विकर्ण आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, एक विकर्ण मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) होती है जिसमें मुख्य विकर्ण के बाहर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं; आमतौर पर इस शब्द का उपयोग स्क्वायर मैट्रिसेस के लिए किया जाता है। मुख्य विकर्ण के तत्व या तो शून्य या अशून्य हो सकते हैं। एक 2×2 विकर्ण मैट्रिक्स का एक उदाहरण है $\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$, जबकि 3×3 विकर्ण मैट्रिक्स का एक उदाहरण है$\left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{smallmatrix}}\right]$. किसी भी आकार का एक आईडेंटिटी मैट्रिक्स, या उसका कोई गुणक (स्केलर मैट्रिक्स), एक विकर्ण मैट्रिक्स होती है। विकर्ण मैट्रिक्स को कभी-कभी एक स्केलिंग मैट्रिक्स के रूप में कहा जाता है, क्योंकि इसके साथ मैट्रिक्सगुणा करने से स्केल (आकार) में परिवर्तन होता है। इसका डिटर्मिनेंट इसके डायगनल मूल्यों का उत्पाद होता है।

परिभाषा

जैसा ऊपर बताया गया है, एक विकर्ण मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें सभी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां शून्य हैं। अर्थात, n स्तंभों और n पंक्तियों वाली मैट्रिक्स D = (d_i,j) n कॉलम और विकर्ण होती है। यदि

$$\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.$$

हालाँकि, मुख्य विकर्ण प्रविष्टियाँ प्रतिबंधित नहीं किया गया है।

विकर्ण मैट्रिक्स का शब्द कभी-कभी एक आयताकार डायगनल मैट्रिक्स को संदर्भित कर सकता है, जो एक m-by-n मैट्रिक्स होती है जिसमें d_i,i के रूप में नहीं होने वाले सभी तत्व शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$ या ${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}$

अधिकतर मामलों में, विकर्ण मैट्रिक्स वर्गीय मैट्रिक्स को संदर्भित करती है, जो एकवर्गीय विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट की जा सकती है।. एक वर्गीय विकर्ण मैट्रिक्स एक सममित मैट्रिक्स होती है, इसलिए इसे सममित्र विकर्ण मैट्रिक्स भी कहा जा सकता है.

निम्नलिखित मैट्रिक्स वर्ग विकर्ण मैट्रिक्स होती है:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$$

यदि प्रविष्टियाँ वास्तविक संख्याएँ या जटिल संख्याएँ हैं, तो यह एक सामान्य मैट्रिक्स भी होती है।

इस लेख के शेष भाग में हम केवल वर्ग विकर्ण आव्यूहों पर विचार करेंगे, और उन्हें सीधे विकर्ण आव्यूहों के रूप में संदर्भित करेंगे।

वेक्टर-टू-मैट्रिक्स डायग ऑपरेटर

एक विकर्ण मैट्रिक्स $\mathbf {D}$ वेक्टर से बनाया जा सकता है $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ का उपयोग $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर:

$$\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$$

इसे और अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )$.

उसी ऑपरेटर का उपयोग ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स को दर्शाने के लिए भी किया जाता है। $\mathbf {A} =\operatorname {diag} (A_{1},\dots ,A_{n})$ $\operatorname {diag}$ h> ऑपरेटर के रूप में लिखा जा सकता है: जहां प्रत्येक तर्क $A_{i}$ एक मैट्रिक्स है।

$$\operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I}$$

कहाँ $\circ$ हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस) का प्रतिनिधित्व करता है और $\mathbf {1}$ तत्वों के साथ एक स्थिर वेक्टर है।

मैट्रिक्स-टू-वेक्टर डायग ऑपरेटर

उलटा मैट्रिक्स-टू-वेक्टर $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर को कभी-कभी समान नाम से दर्शाया जाता है $\operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ जहां तर्क अब एक मैट्रिक्स है और परिणाम इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का एक सदिश है।

निम्नलिखित संपत्ति रखती है:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}$$

स्केलर मैट्रिक्स

जिस विकर्ण मैट्रिक्स के सभी विकर्ण तत्व बराबर होते हैं, वह एक स्केलर मैट्रिक्स होती है; अर्थात्, पहचान मैट्रिक्स I के एक स्केलर गुणक λ का। इसका प्रभाव एक वेक्टर पर λ से स्केलर गुणा करना होता है। उदाहरण के लिए, एक 3×3 स्केलर मैट्रिक्स निम्नलिखित रूप धारण करती है:

$${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}$$

स्केलर मैट्रिक्स मैट्रिक्स बीजगणित का केंद्र होते हैं: अर्थात्, वे सभी वर्ग मैट्रिक्स के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती हैं। इसके विपरीत, एक क्षेत्र (गणित) पर ( जैसे वास्तविक संख्या), सभी विकर्ण तत्व अलग-अलग होने वाली एक विकर्ण मैट्रिक्स केवल विकर्ण मैट्रिक्स के साथ संयुक्त रूप से संयोज्य होती है (इसका केंद्रीकरणकर्ता मैट्रिक्स की समूह होती है)। यह इसलिए है क्योंकि यदि एक विकर्ण मैट्रिक्स $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ है $a_{i}\neq a_{j},$ फिर एक मैट्रिक्स दिया $\mathbf {M}$ साथ $m_{ij}\neq 0,$ $(i,j)$ तो उत्पादों की अवधि हैं: $(\mathbf {D} \mathbf {M} )_{ij}=a_{i}m_{ij}$ और $(\mathbf {M} \mathbf {D} )_{ij}=m_{ij}a_{j},$ और $a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}$ ($m_{ij}$ से विभाजित कर सकता है ), इसलिए वे अलग-अलग होते हैं जब तक ऑफ-विकर्ण मान शून्य नहीं हैं। यदि विकर्ण मैट्रिक्स के सभी विकर्ण तत्व अलग हैं या सभी बराबर हैं, तो वे केवल विकर्ण मैट्रिक्स के साथ संयुक्त होते हैं ।

एक सार सदिश स्थान V के लिए (कंक्रीट सदिश स्थान के बजाय $K^{n}$), अदिश आव्यूहों के अनुरूप अदिश परिवर्तन हैं। यह आमतौर पर एक मॉड्यूल (रिंग थ्योरी) M के लिए एक रिंग (बीजगणित) R पर अधिक सच है, जिसमें एंडोमोर्फिज्म बीजगणित End(M) ('M' पर रैखिक ऑपरेटरों का बीजगणित) ) मेट्रिसेस के बीजगणित की जगह। औपचारिक रूप से, अदिश गुणन एक रेखीय मानचित्र है, जो एक मानचित्र को प्रेरित करता है $R\to \operatorname {End} (M),$ (एक स्केलर λ से इसके संबंधित स्केलर परिवर्तन, λ द्वारा गुणा) आर-बीजगणित (रिंग थ्योरी) के रूप में एंड (एम) को प्रदर्शित करता है। वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, स्केलर ट्रांसफॉर्म एंडोमोर्फिज्म बीजगणित की अंगूठी का बिल्कुल केंद्र हैं, और इसी प्रकार, उलटा ट्रांसफॉर्म सामान्य रैखिक समूह जीएल (वी) का केंद्र हैं। पूर्व अधिक आम तौर पर सही मुक्त मॉड्यूल है $M\cong R^{n}$, जिसके लिए एंडोमोर्फिज्म बीजगणित मैट्रिक्स बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है।

वेक्टर संचालन

एक वेक्टर को एक विकर्ण मैट्रिक्स से गुणा करने पर प्रत्येक पद को संबंधित विकर्ण प्रविष्टि से गुणा किया जाता है। एक विकर्ण मैट्रिक्स दिया $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ और एक वेक्टर $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$उत्पाद है:

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

यह एक विकर्ण मैट्रिक्स के बजाय एक सदिश का उपयोग करके अधिक सघन रूप से व्यक्त किया जा सकता है, $\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, और वैक्टर (एंट्रीवाइज प्रोडक्ट) के हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस) को निरूपित किया $\mathbf {d} \circ \mathbf {v}$:

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

यह गणितीय रूप से समतुल्य है, लेकिन इस विरल मैट्रिक्स के सभी शून्य शब्दों को संग्रहीत करने से बचता है। इस प्रकार इस उत्पाद का उपयोग यंत्र अधिगम में किया जाता है, जैसे backpropagation में डेरिवेटिव के उत्पादों की गणना करना या TF-IDF में IDF भार को गुणा करना, चूंकि कुछ बीएलएएस ढांचे, जो मैट्रिसेस को कुशलतापूर्वक गुणा करते हैं, हैडमार्ड उत्पाद क्षमता को सीधे शामिल नहीं करते हैं।

मैट्रिक्स संचालन

मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स गुणन के संचालन विशेष रूप से विकर्ण मैट्रिसेस के लिए सरल हैं। लिखना diag(a₁, ..., a_n) एक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ ऊपरी बाएँ कोने में शुरू होती हैं₁, ..., ए_n. फिर, जोड़ने के लिए, हमारे पास है

diag(a₁, ..., a_n) + diag(b₁, ..., b_n) = diag(a₁ + b₁, ..., a_n + b_n)

और मैट्रिक्स गुणन के लिए,

diag(a₁, ..., a_n) diag(b₁, ..., b_n) = diag(a₁b₁, ..., a_nb_n).

विकर्ण मैट्रिक्स diag(a₁, ..., a_n) उलटा मैट्रिक्स है अगर और केवल अगर प्रविष्टियां ए₁, ..., ए_n सभी अशून्य हैं। इस मामले में, हमारे पास है

diag(a₁, ..., a_n)⁻¹ = diag(a₁⁻¹, ..., a_n⁻¹).

विशेष रूप से, विकर्ण मेट्रिसेस सभी एन-बाय-एन मेट्रिसेस की रिंग का एक सबरिंग बनाते हैं।

n-by-n मैट्रिक्स को गुणा करना A बाएँ से diag(a₁, ..., a_n) गुणा करने के बराबर है i-वीं पंक्ति A द्वारा a_i सभी के लिए i; मैट्रिक्स को गुणा करना A के साथ दाएँ से diag(a₁, ..., a_n) गुणा करने के बराबर है i-वाँ स्तंभ A द्वारा a_i सभी के लिए i.

ईजेनबेसिस में ऑपरेटर मैट्रिक्स

Main articles: Transformation matrix § Finding the matrix of a transformation, and Eigenvalues and eigenvectors

जैसा कि परिवर्तन मैट्रिक्स में समझाया गया है # परिवर्तन के मैट्रिक्स को खोजना, एक विशेष आधार है, e₁, ..., e_n, जिसके लिए मैट्रिक्स $\mathbf {A}$ तिरछा रूप धारण कर लेता है। इसलिए, परिभाषित समीकरण में ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {e} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$, सभी गुणांक $a_{i,j}$ साथ i ≠ j शून्य हैं, प्रति योग केवल एक पद छोड़ते हैं। जीवित विकर्ण तत्व, $a_{i,i}$, eigenvalues ​​​​के रूप में जाना जाता है और के साथ नामित किया गया है $\lambda _{i}$ समीकरण में, जो कम हो जाता है $\mathbf {A} \mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$. परिणामी समीकरण को eigenvalue समीकरण के रूप में जाना जाता है और विशेषता बहुपद और आगे, आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।

दूसरे शब्दों में, के eigenvalues diag(λ₁, ..., λ_n) हैं λ₁, ..., λ_n के संबद्ध ईजेनवेक्टरों के साथ e₁, ..., e_n.

गुण

• का निर्धारक diag(a₁, ..., a_n) उत्पाद है a₁⋯a_n.
• एक विकर्ण मैट्रिक्स का सहायक फिर से विकर्ण है।
• जहां सभी मेट्रिसेस वर्गाकार होते हैं,
  • एक मैट्रिक्स विकर्ण है अगर और केवल अगर यह त्रिकोणीय और सामान्य मैट्रिक्स है।
  • एक मैट्रिक्स विकर्ण है अगर और केवल अगर यह त्रिकोणीय मैट्रिक्स दोनों है | ऊपरी- और त्रिकोणीय मैट्रिक्स | निचला-त्रिकोणीय।
  • एक विकर्ण मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स है।
• पहचान मैट्रिक्स मैं_n और शून्य मैट्रिक्स विकर्ण हैं।
• एक 1×1 मैट्रिक्स हमेशा विकर्ण होता है।

अनुप्रयोग

रैखिक बीजगणित के कई क्षेत्रों में विकर्ण मैट्रिक्स होते हैं। ऊपर दिए गए मैट्रिक्स ऑपरेशन और eigenvalues/eigenvectors के सरल विवरण के कारण, आमतौर पर एक विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा दिए गए मैट्रिक्स या रैखिक ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करना वांछनीय है।

वास्तव में, एक दिया गया n-by-n मैट्रिक्स A एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान मैट्रिक्स है (जिसका अर्थ है कि एक मैट्रिक्स है X ऐसा है कि X⁻¹AX विकर्ण है) अगर और केवल अगर यह है n रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेनवेक्टर। ऐसे आव्यूहों को विकर्णीय आव्यूह कहा जाता है।

वास्तविक संख्या या जटिल संख्या संख्याओं के क्षेत्र (गणित) में, अधिक सत्य है। वर्णक्रमीय प्रमेय का कहना है कि प्रत्येक सामान्य मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स (यदि AA^∗ = A^∗A तो एक एकात्मक मैट्रिक्स मौजूद है U ऐसा है कि UAU^∗ विकर्ण है)। इसके अलावा, एकवचन मूल्य अपघटन का अर्थ है कि किसी भी मैट्रिक्स के लिए A, एकात्मक मैट्रिसेस मौजूद हैं U और V ऐसा है कि U^∗AV सकारात्मक प्रविष्टियों के साथ विकर्ण है।

ऑपरेटर सिद्धांत

ऑपरेटर सिद्धांत में, विशेष रूप से पीडीई के अध्ययन में, ऑपरेटरों को विशेष रूप से समझना आसान होता है और पीडीई को हल करना आसान होता है यदि ऑपरेटर उस आधार के संबंध में विकर्ण है जिसके साथ कोई काम कर रहा है; यह एक विभाजनीय आंशिक अंतर समीकरण के समान होता है। इसलिए, ऑपरेटरों को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण तकनीक निर्देशांक का एक परिवर्तन है - ऑपरेटरों की भाषा में, एक अभिन्न परिवर्तन - जो आधार को आइगेनफंक्शंस के खुद का आधार में बदलता है: जो समीकरण को वियोज्य बनाता है। इसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण फूरियर रूपांतरण होता है, जो गर्मी समीकरण में निरंतर गुणांक विभेदन ऑपरेटरों (या अधिक सामान्यतः अनुवाद अपरिवर्तनीय ऑपरेटरों) को विकर्ण करता है, जैसे उदाहरण के लिए हीट समीकरण में लपलेसियन ऑपरेटर।

विशेष रूप से गुणन ऑपरेटर आसान होते हैं, जो एक निश्चित स्थिर फ़ंक्शं के गुणन द्वारा परिभाषित होते हैं - प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शं के मान एक मैट्रिक्स के विकर्ण प्रविष्टियों के समान होते हैं।

यह भी देखें

• विरोधी विकर्ण मैट्रिक्स
• बैंडेड मैट्रिक्स
• बिडायगोनल मैट्रिक्स
• तिरछे प्रमुख मैट्रिक्स
• विकर्ण मैट्रिक्स
• जॉर्डन सामान्य रूप
• गुणा ऑपरेटर
• त्रिविकर्ण मैट्रिक्स
• टोप्लिट्ज मैट्रिक्स
• तोरल झूठ बीजगणित
• परिचालित मैट्रिक्स

स्रोत

• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6

श्रेणी:मैट्रिक्स सामान्य रूप श्रेणी: विरल मैट्रिसेस