होलोमॉर्फिक सदिश बंडल: Difference between revisions

Revision as of 01:07, 30 April 2023

गणित में, एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल एक जटिल मैनिफोल्ड पर एक जटिल वेक्टर बंडल होता है $X$ जैसे कि कुल स्थान $E$ एक जटिल कई गुना और प्रक्षेपण मानचित्र है $π : E \to X$ होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है। मौलिक उदाहरण एक जटिल मैनिफोल्ड के होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल हैं, और इसके दोहरे, होलोमोर्फिक कॉटैंजेंट बंडल हैं। एक होलोमॉर्फिक लाइन बंडल एक रैंक वन होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल है।

सेर्रे का गागा सिद्धांत के माध्यम से , होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों की श्रेणी एक चिकनी विविधता जटिल प्रोजेक्टिव किस्म 'X' (एक जटिल मैनिफोल्ड के रूप में देखी गई) पर बीजगणितीय वेक्टर बंडलों की श्रेणी के बराबर है (यानी, परिमित रैंक के स्थानीय रूप से मुक्त शीफ) ' 'एक्स।

तुच्छीकरण के माध्यम से परिभाषा

विशेष रूप से, किसी के लिए आवश्यक है कि तुच्छीकरण मानचित्र

\phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}

बिहोलोमोर्फिक मानचित्र हैं। यह संक्रमण मानचित्रों की आवश्यकता के बराबर है

t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )

होलोमॉर्फिक मानचित्र हैं। एक जटिल मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल पर होलोमोर्फिक संरचना की गारंटी इस टिप्पणी से होती है कि वेक्टर-मूल्यवान होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न (उचित अर्थ में) स्वयं होलोमोर्फिक है।

होलोमोर्फिक वर्गों का शीफ

होने देना $E$ एक होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल बनें। एक स्थानीय खंड $s : U \to E | U$ को होलोमॉर्फिक कहा जाता है, यदि प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में $U$ , यह कुछ (समतुल्य किसी भी) तुच्छीकरण में होलोमोर्फिक है।

यह स्थिति स्थानीय है, जिसका अर्थ है कि होलोमोर्फिक खंड एक शीफ (गणित) बनाते हैं $X$ . इस शीफ को कभी-कभी निरूपित किया जाता है ${\mathcal {O}}(E)$ , या के माध्यम से संकेतन का दुरुपयोग $E$ . ऐसा पूला हमेशा स्थानीय रूप से सदिश बंडल की रैंक के समान रैंक से मुक्त होता है। अगर $E$ तुच्छ रेखा बंडल है ${\underline {\mathbf {C} }},$ तो यह पूला संरचना शीफ के साथ मेल खाता है ${\mathcal {O}}_{X}$ जटिल कई गुना $X$ .

बुनियादी उदाहरण

लाइन बंडल हैं ${\mathcal {O}}(k)$ ऊपर $\mathbb {CP} ^{n}$ जिनके वैश्विक खंड डिग्री के सजातीय बहुपदों के अनुरूप हैं $k$ (के लिए $k$ सकारात्मक पूर्णांक)। विशेष रूप से, $k=0$ तुच्छ रेखा बंडल से मेल खाती है। अगर हम कवर लेते हैं $U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}$ तो हम चार्ट ढूंढ सकते हैं $\phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}$ <ब्लॉककोट> के माध्यम से परिभाषित $\phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}$ हम ट्रांजिशन फंक्शन बना सकते हैं $\phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})$ <ब्लॉककोट> के माध्यम से परिभाषित $\phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{j}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)$ अब, यदि हम तुच्छ बंडल पर विचार करें $L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C}$ हम प्रेरित संक्रमण कार्य बना सकते हैं $\psi _{i,j}$ . अगर हम समन्वय का उपयोग करते हैं $z$ फाइबर पर, तो हम ट्रांज़िशन फ़ंक्शंस बना सकते हैं

$\psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)$

किसी भी पूर्णांक के लिए $k$ . इनमें से प्रत्येक एक लाइन बंडल से जुड़ा हुआ है ${\mathcal {O}}(k)$ . चूंकि वेक्टर बंडल आवश्यक रूप से पीछे खींचते हैं, कोई भी होलोमोर्फिक सबमेनिफोल्ड $f:X\to \mathbb {CP} ^{n}$ एक संबंधित लाइन बंडल है $f^{*}({\mathcal {O}}(k))$ , कभी-कभी निरूपित ${\mathcal {O}}(k)|_{X}$ .

डोलबेल्ट ऑपरेटर्स

ग्रहण $E$ एक होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल है। फिर एक प्रतिष्ठित संचालिका है ${\bar {\partial }}_{E}$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। एक स्थानीय तुच्छता में $U_{\alpha }$ का $E$ , स्थानीय फ्रेम के साथ $e_{1},\dots ,e_{n}$ , कोई भी खंड लिखा जा सकता है $s=\sum _{i}s^{i}e_{i}$ कुछ सहज कार्यों के लिए $s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C}$ . स्थानीय रूप से एक ऑपरेटर को परिभाषित करें

{\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}

कहाँ ${\bar {\partial }}$ रेगुलर कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल फॉर्म है द डॉल्बेल्ट ऑपरेटर्स|बेस मैनिफोल्ड का कॉची-रीमैन ऑपरेटर। यह ऑपरेटर सभी पर अच्छी तरह से परिभाषित है $E$ क्योंकि दो तुच्छताओं के ओवरलैप पर $U_{\alpha },U_{\beta }$ होलोमोर्फिक संक्रमण समारोह के साथ $g_{\alpha \beta }$ , अगर $s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}$ कहाँ $f_{j}$ के लिए एक स्थानीय फ्रेम है $E$ पर $U_{\beta }$ , तब $s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}$ , इसलिए

{\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})

क्योंकि संक्रमण कार्य होलोमोर्फिक हैं। यह निम्नलिखित परिभाषा की ओर ले जाता है: एक चिकने जटिल सदिश बंडल पर एक डॉलबेल्ट ऑपरेटर $E\to M$ एक $\mathbb {C}$ -रैखिक ऑपरेटर

{\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)

ऐसा है कि

(कॉची-रीमैन स्थिति) ${\bar {\partial }}_{E}^{2}=0$ ,
(लीबनिज नियम) किसी भी वर्ग के लिए $s\in \Gamma (E)$ और समारोह $f$ पर $M$ , किसी के पास

{\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)

.

न्यूलैंडर-निरेनबर्ग प्रमेय के एक आवेदन से, एक होलोमोर्फिक बंडल के डोलबेल्ट ऑपरेटर के निर्माण के लिए एक बातचीत प्राप्त करता है:^[1]

प्रमेय: एक डोलबौल्ट ऑपरेटर दिया गया है ${\bar {\partial }}_{E}$ एक चिकने जटिल वेक्टर बंडल पर $E$ , पर एक अद्वितीय होलोमोर्फिक संरचना है $E$ ऐसा है कि ${\bar {\partial }}_{E}$ जैसा कि ऊपर निर्मित किया गया है, संबद्ध डॉलबियॉल्ट ऑपरेटर है।

एक डॉल्बेल्ट ऑपरेटर के माध्यम से प्रेरित होलोमोर्फिक संरचना के संबंध में ${\bar {\partial }}_{E}$ , एक चिकना खंड $s\in \Gamma (E)$ होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर ${\bar {\partial }}_{E}(s)=0$ . यह एक रिंग वाली जगह के रूप में एक चिकनी या जटिल मैनिफोल्ड की परिभाषा के समान नैतिक रूप से है। अर्थात्, यह निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि एक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर कौन से कार्य सुचारू या जटिल हैं, ताकि इसे एक चिकनी या जटिल संरचना के साथ जोड़ा जा सके।

डोलबौल्ट ऑपरेटर के पास बंद और सटीक अंतर रूपों के संदर्भ में स्थानीय व्युत्क्रम होता है।^[2]

== एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल == में मूल्यों के साथ रूपों का ढेर होता है।

अगर ${\mathcal {E}}_{X}^{p,q}$ के पुलिंदे को दर्शाता है $C \infty$ प्रकार के विभेदक रूप $(p, q)$ , फिर प्रकार का शीफ $(p, q)$ मूल्यों के साथ रूपों $E$ को टेंसर उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.

ये पूले ठीक पूले हैं, जिसका अर्थ है कि वे एकता के विभाजन को स्वीकार करते हैं।

चिकने और होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों के बीच एक मूलभूत अंतर यह है कि बाद वाले में, एक कैनोनिकल डिफरेंशियल ऑपरेटर होता है, जो ऊपर परिभाषित डोलबौल्ट ऑपरेटरों के माध्यम से दिया गया है:

{\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).

होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों की कोहोलॉजी

अगर $E$ एक होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल है, जिसका कोहोलॉजी है $E$ को शेफ कोहोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है ${\mathcal {O}}(E)$ . विशेष रूप से, हमारे पास है

H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),

के वैश्विक होलोमोर्फिक वर्गों का स्थान

E

. हमारे पास वह भी है

H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))

के ट्रिवियल लाइन बंडल के एक्सटेंशन के समूह को पैरामीट्रिज करता है

X

के माध्यम से

E

, यानी होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों का सटीक क्रम

0 \to E \to F \to X \times C \to 0

. समूह संरचना के लिए, बेयर सम और साथ ही शीफ एक्सटेंशन भी देखें।

डोलबेल्ट के प्रमेय के माध्यम से , इस शीफ कॉहोलॉजी को वैकल्पिक रूप से होलोमोर्फिक बंडल में मूल्यों के साथ रूपों के शीशों के माध्यम से परिभाषित श्रृंखला परिसर के कोहोलॉजी के रूप में वर्णित किया जा सकता है। $E$ . अर्थात् हमारे पास है

H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).

पिकार्ड समूह

कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, पिकार्ड ग्रुप $Pic(X)$ जटिल कई गुना $X$ टेंसर उत्पाद के माध्यम से दिए गए समूह कानून के साथ होलोमोर्फिक लाइन बंडलों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों का समूह है और दोहरीकरण के माध्यम से दिया गया व्युत्क्रम है। इसे समकक्ष रूप से पहले कोहोलॉजी समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$ गैर-लुप्त हो रहे होलोमॉर्फिक कार्यों के पूले का।

होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल पर हर्मिटियन मेट्रिक्स

ई को एक जटिल मैनिफोल्ड एम पर एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल होने दें और मान लें कि ई पर एक हर्मिटियन मीट्रिक है; यानी फाइबर ई_x आंतरिक उत्पादों <·,·> से लैस हैं जो सुचारू रूप से भिन्न होते हैं। फिर ई पर एक अनूठा कनेक्शन (वेक्टर बंडल) मौजूद है जो जटिल संरचना और मीट्रिक संरचना दोनों के साथ संगत है, जिसे 'चेर्न कनेक्शन' कहा जाता है; अर्थात्, ∇ एक ऐसा संबंध है कि

(1) ई के किसी भी चिकने खंड के लिए,

\pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s

जहां प_0,1(0, 1)-सदिश मूल्यवान रूप का घटक लेता है|ई-मूल्यवान 1-रूप होता है।

(2) किसी भी चिकने खंड s, t के E और M पर एक सदिश क्षेत्र X के लिए होता है।

X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle

जहाँ हमने लिखा था

\nabla _{X}s

के आंतरिक उत्पाद के लिए

\nabla s

X के माध्यम से । (यह कहने के समान है कि ∇ के माध्यम से समानांतर परिवहन मीट्रिक <·,·> को संरक्षित करता है।)

दरअसल, अगर यू = (ई₁, …, यह है_n) एक होलोमोर्फिक फ्रेम है, तो मान लीजिए $h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle$ और ω को परिभाषित करें_u समीकरण के माध्यम से $\sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}$ , जिसे हम और सरल रूप में लिखते हैं:

\omega _{u}=h^{-1}\partial h.

यदि u' = ug आधार g के होलोमोर्फिक परिवर्तन के साथ एक और फ्रेम है, तो

\omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},

और इसलिए ω वास्तव में एक कनेक्शन प्रपत्र है, जो ∇ by ∇s = ds + ω · s को जन्म देता है। अब, चूंकि ${\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}$ ,

d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .

अर्थात, ∇ मीट्रिक संरचना के अनुकूल है। अंत में, चूंकि ω एक (1, 0)-रूप है, (0, 1)-घटक $\nabla s$ है ${\bar {\partial }}_{E}s$ .

होने देना $\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$ ∇ का वक्रता रूप हो। तब से $\pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}$ डोलबियॉल्ट ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार वर्गों को शून्य तक, Ω में कोई (0, 2)-घटक नहीं है और चूंकि Ω को आसानी से तिरछा-हर्मिटियन दिखाया जाता है,^[3] इसका कोई (2, 0)-घटक भी नहीं है। परिणाम स्वरुप, Ω एक (1, 1)-रूप है जो के माध्यम से दिया गया है

\Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .

होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों के उच्च कोहोलॉजी के लिए सुसंगत शीफ कोहोलॉजी में वक्रता Ω प्रमुखता से दिखाई देती है; उदाहरण के लिए, कोडैरा की लुप्तप्राय प्रमेय और नाकानो की लुप्त प्रमेय दिखाई देती है।

↑ Kobayashi, S. (2014). Differential geometry of complex vector bundles (Vol. 793). Princeton University Press.
↑ Kycia, Radosław Antoni (2020). "पॉइंकेयर लेम्मा, एंटीएक्सैक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर". Results in Mathematics (in English). 75 (3): 122. doi:10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383.
↑ For example, the existence of a Hermitian metric on E means the structure group of the frame bundle can be reduced to the unitary group and Ω has values in the Lie algebra of this unitary group, which consists of skew-hermitian metrices.

संदर्भ

ग्रीफिथ, फिलिप; हैरिस, जोसेफ़ (1994), बीजगणितीय ज्यामिति के सिद्धांत, विली क्लासिक्स लाइब्रेरी, न्यूयॉर्क: जॉन विली एंड संस, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
"Vector bundle, analytic", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

यह भी देखें

बिरखॉफ-ग्रोथेंडिक प्रमेय
क्विलन मीट्रिक
गंभीर द्वैत

बाहरी संबंध

Splitting principle for holomorphic vector bundles

[1] Kobayashi, S. (2014). Differential geometry of complex vector bundles (Vol. 793). Princeton University Press.

[2] Kycia, Radosław Antoni (2020). "पॉइंकेयर लेम्मा, एंटीएक्सैक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर". Results in Mathematics (in English). 75 (3): 122. doi:10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383.

[3] For example, the existence of a Hermitian metric on E means the structure group of the frame bundle can be reduced to the unitary group and Ω has values in the Lie algebra of this unitary group, which consists of skew-hermitian metrices.

[1]

[2]

[3]

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 गणित में, एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल एक जटिल मैनिफोल्ड पर एक [[जटिल वेक्टर बंडल]] होता है {{mvar|X}} जैसे कि कुल स्थान {{mvar|E}} एक जटिल कई गुना और प्रक्षेपण मानचित्र है {{math|π : ''E'' → ''X''}} [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] है। मौलिक उदाहरण एक जटिल मैनिफोल्ड के [[होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल]] हैं, और इसके दोहरे, [[होलोमोर्फिक कॉटैंजेंट बंडल]] हैं। एक होलोमॉर्फिक लाइन बंडल एक रैंक वन होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल है।
-Serre's [[GAGA]] द्वारा, होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों की श्रेणी एक चिकनी विविधता जटिल प्रोजेक्टिव किस्म 'X' (एक जटिल मैनिफोल्ड के रूप में देखी गई) पर [[बीजगणितीय वेक्टर बंडल]]ों की श्रेणी के बराबर है (यानी, परिमित रैंक के [[स्थानीय रूप से मुक्त शीफ]]) ' 'एक्स''।
+सेर्रे का गागा सिद्धांत के माध्यम से , होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों की श्रेणी एक चिकनी विविधता जटिल प्रोजेक्टिव किस्म 'X' (एक जटिल मैनिफोल्ड के रूप में देखी गई) पर [[बीजगणितीय वेक्टर बंडल]]ों की श्रेणी के बराबर है (यानी, परिमित रैंक के [[स्थानीय रूप से मुक्त शीफ]]) ' 'एक्स''।
 == तुच्छीकरण के माध्यम से परिभाषा ==
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 होने देना {{mvar|E}} एक होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल बनें। एक स्थानीय खंड {{math|''s'' : ''U'' → ''E''{{!}}<sub>''U''</sub>}} को होलोमॉर्फिक कहा जाता है, यदि प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में {{mvar|U}}, यह कुछ (समतुल्य किसी भी) तुच्छीकरण में होलोमोर्फिक है।
-यह स्थिति स्थानीय है, जिसका अर्थ है कि होलोमोर्फिक खंड एक शीफ (गणित) बनाते हैं {{mvar|X}}. इस शीफ को कभी-कभी निरूपित किया जाता है <math>\mathcal O(E)</math>, या द्वारा संकेतन का दुरुपयोग {{mvar|E}}. ऐसा पूला हमेशा स्थानीय रूप से सदिश बंडल की रैंक के समान रैंक से मुक्त होता है। अगर {{mvar|E}} तुच्छ रेखा बंडल है <math>\underline{\mathbf{C}},</math> तो यह पूला [[संरचना शीफ]] के साथ मेल खाता है <math>\mathcal O_X</math> जटिल कई गुना {{mvar|X}}.
+यह स्थिति स्थानीय है, जिसका अर्थ है कि होलोमोर्फिक खंड एक शीफ (गणित) बनाते हैं {{mvar|X}}. इस शीफ को कभी-कभी निरूपित किया जाता है <math>\mathcal O(E)</math>, या के माध्यम से संकेतन का दुरुपयोग {{mvar|E}}. ऐसा पूला हमेशा स्थानीय रूप से सदिश बंडल की रैंक के समान रैंक से मुक्त होता है। अगर {{mvar|E}} तुच्छ रेखा बंडल है <math>\underline{\mathbf{C}},</math> तो यह पूला [[संरचना शीफ]] के साथ मेल खाता है <math>\mathcal O_X</math> जटिल कई गुना {{mvar|X}}.
 == बुनियादी उदाहरण ==
-लाइन बंडल हैं <math>\mathcal{O}(k)</math> ऊपर <math>\mathbb{CP}^n</math> जिनके वैश्विक खंड डिग्री के सजातीय बहुपदों के अनुरूप हैं <math>k</math> (के लिए <math>k</math> सकारात्मक पूर्णांक)। विशेष रूप से, <math>k = 0</math> तुच्छ रेखा बंडल से मेल खाती है। अगर हम कवर लेते हैं <math>U_i = \{ [x_0:\cdots:x_n] : x_i \neq 0 \}</math> तो हम चार्ट ढूंढ सकते हैं <math>\phi_i: U_i \to \mathbb{C}^n</math> <ब्लॉककोट> द्वारा परिभाषित<math>\phi_i([x_0:\cdots:x_i: \cdots : x_n]) = \left( \frac{x_0}{x_i},\ldots,\frac{x_{i-1}}{x_i}, \frac{x_{i+1}}{x_i}, \ldots, \frac{x_n}{x_i} \right) = \mathbb{C}^n_i</math></blockquote>हम ट्रांजिशन फंक्शन बना सकते हैं <math>\phi_{ij}|_{U_i\cap U_j}:\mathbb{C}_i^n \cap \phi_i(U_i\cap U_j) \to \mathbb{C}_j^n \cap \phi_j(U_i\cap U_j)</math> <ब्लॉककोट> द्वारा परिभाषित<math>\phi_{ij} = \phi_i \circ \phi_j^{-1}(z_1, \ldots, z_n) = \left( \frac{z_1}{z_i},\ldots, \frac{z_{i-1}}{z_i}, \frac{z_{i+1}}{z_i}, \ldots, \frac{z_j}{z_i},\frac{1}{z_j},\frac{z_{j+1}}{z_i},\ldots, \frac{z_n}{z_i} \right)</math></blockquote>अब, यदि हम तुच्छ बंडल पर विचार करें <math>L_i = \phi_i(U_i)\times \mathbb{C}</math> हम प्रेरित संक्रमण कार्य बना सकते हैं <math>\psi_{i,j}</math>. अगर हम समन्वय का उपयोग करते हैं <math>z</math> फाइबर पर, तो हम ट्रांज़िशन फ़ंक्शंस बना सकते हैं<blockquote><math>\psi_{i,j}((z_1,\ldots,z_n), z) = \left(\phi_{i,j}(z_1,\ldots,z_n), \frac{z_i^k}{z_j^k}\cdot z \right)</math></blockquote>किसी भी पूर्णांक के लिए <math>k</math>. इनमें से प्रत्येक एक लाइन बंडल से जुड़ा हुआ है <math>\mathcal{O}(k)</math>. चूंकि वेक्टर बंडल आवश्यक रूप से पीछे खींचते हैं, कोई भी होलोमोर्फिक सबमेनिफोल्ड <math>f:X \to \mathbb{CP}^n</math> एक संबंधित लाइन बंडल है <math>f^*(\mathcal{O}(k))</math>, कभी-कभी निरूपित <math>\mathcal{O}(k)|_X</math>.
+लाइन बंडल हैं <math>\mathcal{O}(k)</math> ऊपर <math>\mathbb{CP}^n</math> जिनके वैश्विक खंड डिग्री के सजातीय बहुपदों के अनुरूप हैं <math>k</math> (के लिए <math>k</math> सकारात्मक पूर्णांक)। विशेष रूप से, <math>k = 0</math> तुच्छ रेखा बंडल से मेल खाती है। अगर हम कवर लेते हैं <math>U_i = \{ [x_0:\cdots:x_n] : x_i \neq 0 \}</math> तो हम चार्ट ढूंढ सकते हैं <math>\phi_i: U_i \to \mathbb{C}^n</math> <ब्लॉककोट> के माध्यम से परिभाषित<math>\phi_i([x_0:\cdots:x_i: \cdots : x_n]) = \left( \frac{x_0}{x_i},\ldots,\frac{x_{i-1}}{x_i}, \frac{x_{i+1}}{x_i}, \ldots, \frac{x_n}{x_i} \right) = \mathbb{C}^n_i</math>हम ट्रांजिशन फंक्शन बना सकते हैं <math>\phi_{ij}|_{U_i\cap U_j}:\mathbb{C}_i^n \cap \phi_i(U_i\cap U_j) \to \mathbb{C}_j^n \cap \phi_j(U_i\cap U_j)</math> <ब्लॉककोट> के माध्यम से परिभाषित<math>\phi_{ij} = \phi_i \circ \phi_j^{-1}(z_1, \ldots, z_n) = \left( \frac{z_1}{z_i},\ldots, \frac{z_{i-1}}{z_i}, \frac{z_{i+1}}{z_i}, \ldots, \frac{z_j}{z_i},\frac{1}{z_j},\frac{z_{j+1}}{z_i},\ldots, \frac{z_n}{z_i} \right)</math>अब, यदि हम तुच्छ बंडल पर विचार करें <math>L_i = \phi_i(U_i)\times \mathbb{C}</math> हम प्रेरित संक्रमण कार्य बना सकते हैं <math>\psi_{i,j}</math>. अगर हम समन्वय का उपयोग करते हैं <math>z</math> फाइबर पर, तो हम ट्रांज़िशन फ़ंक्शंस बना सकते हैं<blockquote><math>\psi_{i,j}((z_1,\ldots,z_n), z) = \left(\phi_{i,j}(z_1,\ldots,z_n), \frac{z_i^k}{z_j^k}\cdot z \right)</math></blockquote>किसी भी पूर्णांक के लिए <math>k</math>. इनमें से प्रत्येक एक लाइन बंडल से जुड़ा हुआ है <math>\mathcal{O}(k)</math>. चूंकि वेक्टर बंडल आवश्यक रूप से पीछे खींचते हैं, कोई भी होलोमोर्फिक सबमेनिफोल्ड <math>f:X \to \mathbb{CP}^n</math> एक संबंधित लाइन बंडल है <math>f^*(\mathcal{O}(k))</math>, कभी-कभी निरूपित <math>\mathcal{O}(k)|_X</math>.
 == डोलबेल्ट ऑपरेटर्स ==
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 :<math>\bar{\partial}_E (s) := \sum_i \bar{\partial}(s^i) \otimes e_i</math>
-कहाँ <math>\bar{\partial}</math> रेगुलर कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल फॉर्म है#द डॉल्बेल्ट ऑपरेटर्स|बेस मैनिफोल्ड का कॉची-रीमैन ऑपरेटर। यह ऑपरेटर सभी पर अच्छी तरह से परिभाषित है {{mvar|E}} क्योंकि दो तुच्छताओं के ओवरलैप पर <math>U_{\alpha}, U_{\beta}</math> होलोमोर्फिक संक्रमण समारोह के साथ <math>g_{\alpha\beta}</math>, अगर <math>s=s^i e_i = \tilde{s}^j f_j</math> कहाँ <math>f_j</math> के लिए एक स्थानीय फ्रेम है {{mvar|E}} पर <math>U_{\beta}</math>, तब <math>s^i = \sum_j (g_{\alpha\beta})_j^i \tilde{s}^j</math>, इसलिए
+कहाँ <math>\bar{\partial}</math> रेगुलर कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल फॉर्म है द डॉल्बेल्ट ऑपरेटर्स|बेस मैनिफोल्ड का कॉची-रीमैन ऑपरेटर। यह ऑपरेटर सभी पर अच्छी तरह से परिभाषित है {{mvar|E}} क्योंकि दो तुच्छताओं के ओवरलैप पर <math>U_{\alpha}, U_{\beta}</math> होलोमोर्फिक संक्रमण समारोह के साथ <math>g_{\alpha\beta}</math>, अगर <math>s=s^i e_i = \tilde{s}^j f_j</math> कहाँ <math>f_j</math> के लिए एक स्थानीय फ्रेम है {{mvar|E}} पर <math>U_{\beta}</math>, तब <math>s^i = \sum_j (g_{\alpha\beta})_j^i \tilde{s}^j</math>, इसलिए
 :<math>\bar{\partial} (s^i) = \sum_j (g_{\alpha\beta})_j^i \bar{\partial} (\tilde{s}^j)</math>
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 न्यूलैंडर-निरेनबर्ग प्रमेय के एक आवेदन से, एक होलोमोर्फिक बंडल के डोलबेल्ट ऑपरेटर के निर्माण के लिए एक बातचीत प्राप्त करता है:<ref>Kobayashi, S. (2014). Differential geometry of complex vector bundles (Vol. 793). Princeton University Press.</ref>
-<blockquote>Theorem: एक Dolbeault ऑपरेटर दिया गया है <math>\bar{\partial}_E</math> एक चिकने जटिल वेक्टर बंडल पर <math>E</math>, पर एक अद्वितीय होलोमोर्फिक संरचना है <math>E</math> ऐसा है कि <math>\bar{\partial}_E</math> जैसा कि ऊपर निर्मित किया गया है, संबद्ध डॉलबियॉल्ट ऑपरेटर है।</blockquote>
+<blockquote>प्रमेय: एक डोलबौल्ट ऑपरेटर दिया गया है <math>\bar{\partial}_E</math> एक चिकने जटिल वेक्टर बंडल पर <math>E</math>, पर एक अद्वितीय होलोमोर्फिक संरचना है <math>E</math> ऐसा है कि <math>\bar{\partial}_E</math> जैसा कि ऊपर निर्मित किया गया है, संबद्ध डॉलबियॉल्ट ऑपरेटर है।</blockquote>
-एक डॉल्बेल्ट ऑपरेटर द्वारा प्रेरित होलोमोर्फिक संरचना के संबंध में <math>\bar{\partial}_E</math>, एक चिकना खंड <math>s\in \Gamma(E)</math> होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर <math>\bar{\partial}_E(s) = 0</math>. यह एक रिंग वाली जगह के रूप में एक चिकनी या जटिल मैनिफोल्ड की परिभाषा के समान नैतिक रूप से है। अर्थात्, यह निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि एक [[टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड]] पर कौन से कार्य सुचारू या जटिल हैं, ताकि इसे एक चिकनी या जटिल संरचना के साथ जोड़ा जा सके।
+एक डॉल्बेल्ट ऑपरेटर के माध्यम से प्रेरित होलोमोर्फिक संरचना के संबंध में <math>\bar{\partial}_E</math>, एक चिकना खंड <math>s\in \Gamma(E)</math> होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर <math>\bar{\partial}_E(s) = 0</math>. यह एक रिंग वाली जगह के रूप में एक चिकनी या जटिल मैनिफोल्ड की परिभाषा के समान नैतिक रूप से है। अर्थात्, यह निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि एक [[टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड]] पर कौन से कार्य सुचारू या जटिल हैं, ताकि इसे एक चिकनी या जटिल संरचना के साथ जोड़ा जा सके।
-Dolbeault ऑपरेटर के पास [[बंद और सटीक अंतर रूप]]ों के संदर्भ में स्थानीय व्युत्क्रम होता है।<ref>{{Cite journal|last=Kycia|first=Radosław Antoni|title=पॉइंकेयर लेम्मा, एंटीएक्सैक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर|journal=Results in Mathematics|year=2020 |language=en|volume=75|issue=3|pages=122|doi=10.1007/s00025-020-01247-8|issn=1422-6383|doi-access=free}}</ref>
+डोलबौल्ट ऑपरेटर के पास [[बंद और सटीक अंतर रूप]]ों के संदर्भ में स्थानीय व्युत्क्रम होता है।<ref>{{Cite journal|last=Kycia|first=Radosław Antoni|title=पॉइंकेयर लेम्मा, एंटीएक्सैक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर|journal=Results in Mathematics|year=2020 |language=en|volume=75|issue=3|pages=122|doi=10.1007/s00025-020-01247-8|issn=1422-6383|doi-access=free}}</ref>
-== एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल == में मूल्यों के साथ रूपों का ढेर
+== एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल == में मूल्यों के साथ रूपों का ढेर होता है।
 अगर <math>\mathcal E_X^{p, q}</math> के पुलिंदे को दर्शाता है {{math|''C''<sup>∞</sup>}} प्रकार के विभेदक रूप {{math|(''p'', ''q'')}}, फिर प्रकार का शीफ {{math|(''p'', ''q'')}} मूल्यों के साथ रूपों {{mvar|E}} को [[टेंसर उत्पाद]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 :<math>\mathcal{E}^{p, q}(E) \triangleq \mathcal E_X^{p, q}\otimes E.</math>
 ये पूले ठीक पूले हैं, जिसका अर्थ है कि वे एकता के विभाजन को स्वीकार करते हैं।
-चिकने और होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों के बीच एक मूलभूत अंतर यह है कि बाद वाले में, एक कैनोनिकल डिफरेंशियल ऑपरेटर होता है, जो ऊपर परिभाषित #Dolbeault ऑपरेटरों द्वारा दिया गया है:
+चिकने और होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों के बीच एक मूलभूत अंतर यह है कि बाद वाले में, एक कैनोनिकल डिफरेंशियल ऑपरेटर होता है, जो ऊपर परिभाषित डोलबौल्ट ऑपरेटरों के माध्यम से दिया गया है:
 :<math>\overline{\partial}_E : \mathcal{E}^{p, q}(E) \to \mathcal{E}^{p, q+1}(E).</math>
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 == होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों की कोहोलॉजी ==
-{{See also|Dolbeault cohomology}}
+{{See also|डोलबौल्ट कोहोलॉजी}}
 अगर {{mvar|E}} एक होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल है, जिसका कोहोलॉजी है {{mvar|E}} को [[शेफ कोहोलॉजी]] के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\mathcal O(E)</math>. विशेष रूप से, हमारे पास है
-:<math>H^0(X, \mathcal O(E)) = \Gamma (X, \mathcal O(E)),</math> के वैश्विक होलोमोर्फिक वर्गों का स्थान {{mvar|E}}. हमारे पास वह भी है <math>H^1(X, \mathcal O(E))</math> के ट्रिवियल लाइन बंडल के एक्सटेंशन के समूह को पैरामीट्रिज करता है {{mvar|X}} द्वारा {{mvar|E}}, यानी होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों का सटीक क्रम {{math|0 → ''E'' → ''F'' → ''X'' × '''C''' → 0}}. समूह संरचना के लिए, बेयर सम और साथ ही [[शीफ एक्सटेंशन]] भी देखें।
+:<math>H^0(X, \mathcal O(E)) = \Gamma (X, \mathcal O(E)),</math> के वैश्विक होलोमोर्फिक वर्गों का स्थान {{mvar|E}}. हमारे पास वह भी है <math>H^1(X, \mathcal O(E))</math> के ट्रिवियल लाइन बंडल के एक्सटेंशन के समूह को पैरामीट्रिज करता है {{mvar|X}} के माध्यम से {{mvar|E}}, यानी होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों का सटीक क्रम {{math|0 → ''E'' → ''F'' → ''X'' × '''C''' → 0}}. समूह संरचना के लिए, बेयर सम और साथ ही [[शीफ एक्सटेंशन]] भी देखें।
-डोलबेल्ट के प्रमेय द्वारा, इस शीफ कॉहोलॉजी को वैकल्पिक रूप से होलोमोर्फिक बंडल में मूल्यों के साथ रूपों के शीशों द्वारा परिभाषित श्रृंखला परिसर के कोहोलॉजी के रूप में वर्णित किया जा सकता है। <math>E</math>. अर्थात् हमारे पास है
+डोलबेल्ट के प्रमेय के माध्यम से , इस शीफ कॉहोलॉजी को वैकल्पिक रूप से होलोमोर्फिक बंडल में मूल्यों के साथ रूपों के शीशों के माध्यम से परिभाषित श्रृंखला परिसर के कोहोलॉजी के रूप में वर्णित किया जा सकता है। <math>E</math>. अर्थात् हमारे पास है
 :<math>H^i(X, \mathcal O(E)) = H^i((\mathcal{E}^{0,\bullet}(E), \bar{\partial}_E)).</math>
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 == पिकार्ड समूह ==
-कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, पिकार्ड ग्रुप {{math|Pic(''X'')}} जटिल कई गुना {{mvar|X}} टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए समूह कानून के साथ होलोमोर्फिक लाइन बंडलों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों का समूह है और दोहरीकरण द्वारा दिया गया व्युत्क्रम है। इसे समकक्ष रूप से पहले कोहोलॉजी समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>H^1(X, \mathcal O_X^*)</math> गैर-लुप्त हो रहे होलोमॉर्फिक कार्यों के पूले का।
+कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, पिकार्ड ग्रुप {{math|Pic(''X'')}} जटिल कई गुना {{mvar|X}} टेंसर उत्पाद के माध्यम से दिए गए समूह कानून के साथ होलोमोर्फिक लाइन बंडलों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों का समूह है और दोहरीकरण के माध्यम से दिया गया व्युत्क्रम है। इसे समकक्ष रूप से पहले कोहोलॉजी समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>H^1(X, \mathcal O_X^*)</math> गैर-लुप्त हो रहे होलोमॉर्फिक कार्यों के पूले का।
 == होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल पर हर्मिटियन मेट्रिक्स ==
-{{see also|Hermitian connection}}
+{{see also|हर्मिटियन कनेक्शन}}
 ई को एक जटिल मैनिफोल्ड एम पर एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल होने दें और मान लें कि ई पर एक [[हर्मिटियन मीट्रिक]] है; यानी फाइबर ई<sub>x</sub> आंतरिक उत्पादों <·,·> से लैस हैं जो सुचारू रूप से भिन्न होते हैं। फिर ई पर एक अनूठा [[कनेक्शन (वेक्टर बंडल)]] मौजूद है जो जटिल संरचना और मीट्रिक संरचना दोनों के साथ संगत है, जिसे 'चेर्न कनेक्शन' कहा जाता है; अर्थात्, ∇ एक ऐसा संबंध है कि
-: (1) ई के किसी भी चिकने खंड के लिए, <math>\pi_{0,1} \nabla s = \bar \partial_E s</math> जहां प<sub>0,1</sub>(0, 1)-सदिश मूल्यवान रूप का घटक लेता है|ई-मूल्यवान 1-रूप।
+: (1) ई के किसी भी चिकने खंड के लिए, <math>\pi_{0,1} \nabla s = \bar \partial_E s</math> जहां प<sub>0,1</sub>(0, 1)-सदिश मूल्यवान रूप का घटक लेता है|ई-मूल्यवान 1-रूप होता है।
-: (2) किसी भी चिकने खंड s, t के E और M पर एक सदिश क्षेत्र X के लिए,
+: (2) किसी भी चिकने खंड s, t के E और M पर एक सदिश क्षेत्र X के लिए होता है।
 :::<math>X \cdot \langle s, t \rangle = \langle \nabla_X s, t \rangle + \langle s, \nabla_X t \rangle</math>
-::जहाँ हमने लिखा था <math>\nabla_X s</math> के आंतरिक उत्पाद के लिए <math>\nabla s</math> X द्वारा। (यह कहने के बराबर है कि ∇ द्वारा [[समानांतर परिवहन]] मीट्रिक <·,·> को संरक्षित करता है।)
+::जहाँ हमने लिखा था <math>\nabla_X s</math> के आंतरिक उत्पाद के लिए <math>\nabla s</math> X के माध्यम से । (यह कहने के समान है कि ∇ के माध्यम से [[समानांतर परिवहन]] मीट्रिक <·,·> को संरक्षित करता है।)
-दरअसल, अगर यू = (ई<sub>1</sub>, …, यह है<sub>''n''</sub>) एक होलोमोर्फिक फ्रेम है, तो मान लीजिए <math>h_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle</math> और ω को परिभाषित करें<sub>''u''</sub> समीकरण द्वारा <math>\sum h_{ik} \, {(\omega_u)}^k_{j} = \partial h_{ij}</math>, जिसे हम और सरल रूप में लिखते हैं:
+दरअसल, अगर यू = (ई<sub>1</sub>, …, यह है<sub>''n''</sub>) एक होलोमोर्फिक फ्रेम है, तो मान लीजिए <math>h_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle</math> और ω को परिभाषित करें<sub>''u''</sub> समीकरण के माध्यम से <math>\sum h_{ik} \, {(\omega_u)}^k_{j} = \partial h_{ij}</math>, जिसे हम और सरल रूप में लिखते हैं:
 :<math>\omega_u = h^{-1} \partial h.</math>
 यदि u' = ug आधार g के होलोमोर्फिक परिवर्तन के साथ एक और फ्रेम है, तो
 :<math>\omega_{u'} = g^{-1} dg + g \omega_u g^{-1},</math>
-और इसलिए ω वास्तव में एक [[ कनेक्शन प्रपत्र ]] है, जो ∇ by ∇s = ds + ω · s को जन्म देता है। अब, चूंकि <math>{\overline{\omega}}^T = \overline{\partial} h \cdot h^{-1}</math>,
+और इसलिए ω वास्तव में एक [[ कनेक्शन प्रपत्र |कनेक्शन प्रपत्र]] है, जो ∇ by ∇s = ds + ω · s को जन्म देता है। अब, चूंकि <math>{\overline{\omega}}^T = \overline{\partial} h \cdot h^{-1}</math>,
 :<math>d \langle e_i, e_j \rangle = \partial h_{ij} + \overline{\partial} h_{ij} = \langle {\omega}^k_i e_k, e_j \rangle + \langle e_i, {\omega}^k_j e_k \rangle = \langle \nabla e_i, e_j \rangle + \langle e_i, \nabla e_j \rangle.</math>
 अर्थात, ∇ मीट्रिक संरचना के अनुकूल है। अंत में, चूंकि ω एक (1, 0)-रूप है, (0, 1)-घटक <math>\nabla s</math> है <math>\bar \partial_E s</math>.
-होने देना <math>\Omega = d \omega + \omega \wedge \omega</math> ∇ का [[वक्रता रूप]] हो। तब से <math>\pi_{0,1} \nabla = \bar \partial_E</math> Dolbeault ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार वर्गों को शून्य तक, Ω में कोई (0, 2)-घटक नहीं है और चूंकि Ω को आसानी से तिरछा-हर्मिटियन दिखाया जाता है,<ref>For example, the existence of a Hermitian metric on ''E'' means the structure group of the frame bundle can be reduced to the [[unitary group]] and Ω has values in the Lie algebra of this unitary group, which consists of skew-hermitian metrices.</ref> इसका कोई (2, 0)-घटक भी नहीं है। नतीजतन, Ω एक (1, 1)-रूप है जो द्वारा दिया गया है
+होने देना <math>\Omega = d \omega + \omega \wedge \omega</math> ∇ का [[वक्रता रूप]] हो। तब से <math>\pi_{0,1} \nabla = \bar \partial_E</math> डोलबियॉल्ट ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार वर्गों को शून्य तक, Ω में कोई (0, 2)-घटक नहीं है और चूंकि Ω को आसानी से तिरछा-हर्मिटियन दिखाया जाता है,<ref>For example, the existence of a Hermitian metric on ''E'' means the structure group of the frame bundle can be reduced to the [[unitary group]] and Ω has values in the Lie algebra of this unitary group, which consists of skew-hermitian metrices.</ref> इसका कोई (2, 0)-घटक भी नहीं है। परिणाम स्वरुप, Ω एक (1, 1)-रूप है जो के माध्यम से दिया गया है
 :<math>\Omega = \bar \partial_E \omega.</math><!-- \bar \partial \partial log |h|. -->
-होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों के उच्च कोहोलॉजी के लिए [[सुसंगत शीफ कोहोलॉजी]] में वक्रता Ω प्रमुखता से दिखाई देती है; उदाहरण के लिए, कोडैरा की लुप्तप्राय प्रमेय और नाकानो की गायब प्रमेय।
+होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडलों के उच्च कोहोलॉजी के लिए [[सुसंगत शीफ कोहोलॉजी]] में वक्रता Ω प्रमुखता से दिखाई देती है; उदाहरण के लिए, कोडैरा की लुप्तप्राय प्रमेय और नाकानो की लुप्त प्रमेय दिखाई देती है।
 == टिप्पणियाँ ==
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 ==संदर्भ==
-* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | author1-link=Phillip Griffiths | last2=Harris | first2=Joseph | author2-link=Joe Harris (mathematician) | title=Principles of algebraic geometry | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 | mr=1288523 | year=1994}}
+* {{Citation | last1=ग्रीफिथ | first1=फिलिप | author1-link=फिलिप ग्रिफिथ्स | last2=हैरिस | first2=जोसेफ़ | author2-link=जो हैरिस (गणितज्ञ) | title=बीजगणितीय ज्यामिति के सिद्धांत | publisher=[[जॉन विली एंड संस]] | location=न्यूयॉर्क | series=विली क्लासिक्स लाइब्रेरी | isbn=978-0-471-05059-9 | mr=1288523 | year=1994}}
 *{{Springer|id=v/v096400|title=Vector bundle, analytic}}

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होलोमॉर्फिक सदिश बंडल: Difference between revisions

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Contents

तुच्छीकरण के माध्यम से परिभाषा

होलोमोर्फिक वर्गों का शीफ

बुनियादी उदाहरण

डोलबेल्ट ऑपरेटर्स

होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों की कोहोलॉजी

पिकार्ड समूह

होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल पर हर्मिटियन मेट्रिक्स

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तुच्छीकरण के माध्यम से परिभाषा

होलोमोर्फिक वर्गों का शीफ ​​

बुनियादी उदाहरण

डोलबेल्ट ऑपरेटर्स

होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों की कोहोलॉजी

पिकार्ड समूह

होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल पर हर्मिटियन मेट्रिक्स

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