कनेक्शन प्रपत्र

गणित में विशेष रूप से अवकलन ज्यामिति में एक कनेक्शन प्रपत्र गणित के डेटा को व्यवस्थित करने की विधि होती है, जो गतिमान फ्रेम और अंतर रूपों की भाषा का उपयोग करता है।

ऐतिहासिक रूप से, एली कार्टन द्वारा 20 वीं शताब्दी के पहले भाग में कनेक्शन प्रपत्र को प्रस्तुत किया गया था और इस प्रकार फ्रेम को स्थानांतरित करने की उनकी पद्धति के लिए प्रमुख प्रेरणाओं में से एक था। कनेक्शन प्रपत्र सामान्यतः समन्वय फ्रेम की पसंद पर निर्भर करता है और इसलिए यह एक तन्य वस्तु के रूप में नहीं है। कार्टन के प्रारंभिक काम के बाद कनेक्शन प्रपत्र के विभिन्न सामान्यीकरण और पुनर्व्याख्या को तैयार किया गया था और विशेष रूप से एक सिद्धांत बंडल पर एक टेंसोरियल ऑब्जेक्ट के रूप में कनेक्शन फॉर्म की प्राकृतिक पुनर्व्याख्या होती है और दूसरी ओर कनेक्शन प्रपत्र का लाभ है कि यह अलग-अलग मैनिफोल्ड पर परिभाषित एक अंतर के रूप में होता है और इसके अतिरिक्त ऊपर एक अमूर्त प्रमुख बंडल के रूप में होता है इसलिए इनके साथ आसानी से गणना करने की वजह से टेसोरियलिटी कनेक्शन के न होने के बावजूद इनका उपयोग किया जा रहा है। भौतिकी में, गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न के माध्यम से गेज सिद्धांत के संदर्भ में कनेक्शन रूपों का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

एक कनेक्शन प्रपत्र वेक्टर बंडल के प्रत्येक आधार के अंतर रूपों के मैट्रिक्स (गणित) के साथ सहयोगी होता है। कनेक्शन प्रपत्र टेन्सोरियल के रूप में नहीं होता है, क्योंकि आधार के परिवर्तन के अनुसार कनेक्शन प्रपत्र परिवर्तित हो जाता है जिसमें एटलस (टोपोलॉजी) ट्रांज़िशन मैप्स के बाहरी व्युत्पन्न के रूप में सम्मलित होते हैं, वैसे ही जैसे लेवी-सिविटा कनेक्शन के लिए क्रिस्टोफेल प्रतीक कनेक्शन प्रपत्र का मुख्य टेन्सोरियल इनवेरिएंट इसका वक्रता रूप है। और इस प्रकार स्पर्शरेखा बंडल के साथ सदिश बंडल की सर्वसमिकाएँ करने वाले सोल्डर प्रपत्र की उपस्थिति में, एक अतिरिक्त अपरिवर्तनीय आक्षेप (अंतर ज्यामिति) के रूप में होता है और इस प्रकार कई स्थितियों में अतिरिक्त संरचना वाले सदिश बंडलों पर कनेक्शन प्रपत्रों पर विचार किया जाता है जो लाइ समूह के साथ एक फाइबर बंडल के रूप में होते हैं।

सदिश बंडल

See also: कनेक्शन (वेक्टर बंडल)

सदिश बंडल पर फ्रेम

Main article: फ्रेम बंडल

भिन्न कई गुना एम पर फाइबर आयामी k एक सदिश बंडल के रूप में है और ई के लिए एक 'स्थानीय फ्रेम' ई के स्थानीय अनुभागों का क्रमबद्ध आधार है। स्थानीय फ्रेम का निर्माण करना अधिकांशता संभव होता है और इस प्रकार सदिश बंडलों को अधिकांशता स्थानीय निरर्थकता के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है और कई गुना एटलस (टोपोलॉजी) के अनुरूप होते है। यदि बेस मैनिफोल्ड एम पर कोई बिंदु एक्स दिया गया है, वह एक खुला निकटतम U ⊂ M एक्स के रूप में उपस्थित है जिसके लिए यू पर सदिश बंडल के क्षेत्र U × R^k के लिए समरूप होते है यह स्थानीय तुच्छीकरण के रूप में है। और R^k पर सदिश स्पेस संरचना को इस प्रकार संपूर्ण स्थानीय तुच्छीकरण तक बढ़ाया जा सकता है और R^k के आधार को बढ़ाया जा सकता है और यह स्थानीय फ्रेम को परिभाषित करता है। यहाँ, R का आशय वास्तविक संख्याओं से है $\mathbb {R}$, चूंकि यहां अधिकांश विकास सामान्य रूप से छल्ले पर मॉड्यूल और जटिल संख्याओं $\mathbb {C}$ पर सदिश रिक्त स्थान तक विशेष रूप से बढ़ाया जा सकता है।

यहाँ e = (e_α)_α=1,2,...,k पर एक स्थानीय फ्रेम E के रूप में होते है। इस फ्रेम का उपयोग स्थानीय रूप से E के किसी भी खंड को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि ξ एक स्थानीय खंड है, जिसे उसी खुले समुच्चय पर फ्रेम 'ई' के रूप में परिभाषित किया गया है। तब यह इस प्रकार दिखाया जाता है।

$\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )$

जहां ξ^α(e) फ्रेम e में ξ के घटकों को दर्शाता है। मैट्रिक्स समीकरण के रूप में यह पढ़ा जा सकता है।

$\xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )$

सामान्य सापेक्षता में, ऐसे फ्रेम क्षेत्रों को टेट्राद औपचारिकता कहा जाता है। टेट्रैड विशेष रूप से स्थानीय फ्रेम को बेस मैनिफोल्ड एम पर समन्वय प्रणाली एटलस द्वारा स्थापित किया जाता है और इस प्रकार यह एक स्पष्ट समन्वय प्रणाली से संबंधित है।

बाहरी कनेक्शन

Main article: बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न

E में एक कनेक्शन (सदिश बंडल) एक प्रकार का अंतर ऑपरेटर के रूप में होता है

$D:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)$

जहां Γ सदिश बंडल के स्थानीय खंड (फाइबर बंडल) के शीफ (गणित) को दर्शाता है और Ω¹M, M पर अवकलन 1-प्रपत्र ्स का बंडल के रूप में है। और इस प्रकार D के लिए एक कनेक्शन होने के लिए इसे बाहरी व्युत्पन्न के साथ सही ढंग से जोड़ा जाना चाहिए। विशेष रूप से यदि v E का एक स्थानीय खंड के रूप में है और f एक सहज फलन के रूप में है, तो यह इस प्रकार दिखाया जाता है

$D(fv)=v\otimes (df)+fDv$

जहाँ df, f का बाह्य व्युत्पन्न है।

कभी-कभी डी की परिभाषा को यादृच्छिक ढंग से सदिश मान अवकलन प्रपत्र ई-वैल्यूड प्रपत्र में विस्तारित करना सुविधाजनक होता है, इस प्रकार इसे ई के टेंसर उत्पाद पर अवकलन प्रपत्र के पूर्ण बाहरी बीजगणित के साथ एक अवकलन ऑपरेटर के रूप में माना जाता है। इस संगतता गुणधर्म को संतुष्ट करने वाले बाहरी कनेक्शन डी को देखते हुए, डी का एक अनूठा विस्तार के रूप में उपस्थित होता है

$D:\Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)$

ऐसा है कि

$D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{{\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha$

जहाँ v घात deg v का सजातीय रूप है। दूसरे शब्दों में, D ग्रेडेड मॉड्यूल Γ(E ⊗ Ω^*म).के शीफ पर एक व्युत्पत्ति सार बीजगणित के रूप में होते है

कनेक्शन प्रपत्र

कनेक्शन प्रपत्र तब उत्पन्न होता है जब बाहरी कनेक्शन को किसी विशेष फ्रेम में लागू किया जाता है। e_α के बाहरी कनेक्शन को लागू करने पर यह अद्वितीय k × k मैट्रिक्स (ω_α^β) M पर एक रूप इस प्रकार है,

$De_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }.$

कनेक्शन प्रपत्र के संदर्भ में, E के किसी भी खंड के बाहरी कनेक्शन को अब व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि ξ = Σ_α e_αξ^α. तब

$D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).$

दोनों पक्षों पर घटकों को लेना,

$D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )$

जहां यह समझा जाता है कि डी और ω फ्रेम 'E' के संबंध में घटक-वार व्युत्पन्न का संदर्भ देते हैं और क्रमशः 1-रूपों का मैट्रिक्स, ξ के घटकों पर फलन के रूप में होते है। और इसके विपरीत, 1-प्रपत्र ω का एक मैट्रिक्स खुले समुच्चय पर स्थानीय रूप से कनेक्शन को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त प्राथमिकता देते है, जिस पर खंड 'ई' का आधार परिभाषित किया गया है।

फ्रेम का परिवर्तन

एक उपयुक्त वैश्विक वस्तु के लिए ω का विस्तार करने के लिए यह जांचना आवश्यक है कि जब E के मौलिक वर्गों का एक अलग विकल्प चुना जाता है तो यह कैसा व्यवहार करता है। और इस प्रकार ω_α^β = ω_α^β(e)'e' के विकल्प पर निर्भरता को इंगित करने के लिए होते है।

मान लीजिए कि 'e′ स्थानीय आधार का एक अलग विकल्प के रूप में है। फिर फलन g का एक व्युत्क्रमणीय k × k मैट्रिक्स होता है जैसे कि दिखाया जाता है

${\mathbf {e} }'={\mathbf {e} }\,g,\quad {\text{i.e., }}\,e'_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.$

दोनों पक्षों के बाहरी कनेक्शन को लागू करने से ω के लिए परिवर्तन नियम मिलता है जिसे इस प्रकार दिखाया जाता है

$\omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega (\mathbf {e} )g.$

विशेष रूप से ध्यान दें कि ω एक तन्य विधि से बदलने में विफल रहता है, क्योंकि एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में जाने के नियम में संक्रमण मैट्रिक्स g व्युत्पन्न के रूप में सम्मलित होते हैं।

वैश्विक कनेक्शन प्रपत्र

यदि {U_p} का एक खुला आवरण के रूप में है और प्रत्येक U_p एक तुच्छीकरण e_p से लैस है, तो E के ओवरलैप क्षेत्रों पर स्थानीय कनेक्शन रूपों के बीच पैचिंग डेटा के संदर्भ में वैश्विक कनेक्शन प्रपत्र को परिभाषित करना संभव है। और इस प्रकार विस्तार से M पर एक 'कनेक्शन प्रपत्र ' मैट्रिक्स ω(e_p) की एक प्रणाली के रूप में है और प्रत्येक U_p पर परिभाषित 1-प्रपत्र जो निम्नलिखित अनुकूलता शर्त को पूरा करते हैं

$\omega (\mathbf {e} _{q})=(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}d(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})+(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}\omega (\mathbf {e} _{p})(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q}).$

यह संगतता स्थिति विशेष रूप से सुनिश्चित करती है कि E के एक खंड का बाहरी कनेक्शन के रूप में होते है, जब सार रूप से E ⊗ Ω¹Mके एक खंड के रूप में माना जाता है, और इस प्रकार कनेक्शन को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले आधार अनुभाग की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

वक्रता

Main article: वक्रता रूप

E में एक कनेक्शन प्रपत्र के वक्रता दो रूप द्वारा परिभाषित किया गया है

$\Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).$

कनेक्शन प्रपत्र के विपरीत, वक्रता फ्रेम के परिवर्तन के अनुसार अस्थायी रूप से व्यवहार करती है, जिसे पॉइनकेयर लेम्मा का उपयोग करके सीधे चेक किया जा सकता है। विशेष रूप से यदि ई → ई जी फ्रेम का परिवर्तन है, तो वक्रता दो-रूप से बदल जाती है

$\Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g.$

इस परिवर्तन नियम की एक व्याख्या इस प्रकार है। इसे ई^* फ्रेम ई के अनुरूप दोहरा आधार के रूप में होता है। फिर 2-प्रपत्र के रूप में है

$\Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}$

फ्रेम की पसंद से स्वतंत्र है। विशेष रूप से, Ω एंडोमोर्फिज्म रिंग होम (E,E) में मूल्यों के साथ एम पर एक सदिश -मूल्यवान दो-रूप में होता है। प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार दिखाया जाता है,

$\Omega \in \Gamma (\Omega ^{2}M\otimes {\text{Hom}}(E,E)).$

बाहरी कनेक्शन डी के संदर्भ में, वक्रता एंडोमोर्फिज्म द्वारा दिया जाता है

$\Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,$

v ∈ E के लिए इस प्रकार वक्रता अनुक्रम की विफलता को मापती है

$\Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{2}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{n}(M))$

डी आरहैएम कोहोलॉजी के अर्थ में एक श्रृंखला जटिल रूप में होती है।

सोल्डरिंग और मरोड़

मान लीजिए कि E का फाइबर आयाम k कई गुना M के आयाम के बराबर होती है । इस स्थिति में सदिश बंडल E कभी-कभी इसके कनेक्शन के अतिरिक्त डेटा के एक अतिरिक्त टुकड़े से सुसज्जित होता है एक सोल्डर प्रपत्र ' विश्व स्तर पर परिभाषित सदिश -मान 1-प्रपत्र θ ∈ Ω¹(M,E) के रूप में होता है जिसे मैपिंग के रूप में दिखाया जाता है,

$\theta _{x}:T_{x}M\rightarrow E_{x}$

सभी एक्स ∈ एम के लिए एक रैखिक समरूपता है। यदि एक सोल्डर प्रपत्र दिया गया है, तो कनेक्शन के 'आक्षेप अंतर ज्यामिति' को परिभाषित करना संभव है, बाहरी कनेक्शन के संदर्भ में जिसे इस प्रकार व्यक्त किया है

$\Theta =D\theta .\,$

आक्षेप Θ एम पर एक ई-मान 2-प्रपत्र के रूप में है।

सोल्डर प्रपत्र और संबंधित आक्षेप दोनों को ई के स्थानीय फ्रेम 'ई' के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। यदि θ एक सोल्डर प्रपत्र है, तो यह फ्रेम घटकों में विघटित हो जाता है

$\theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.$

आक्षेप के घटक तब हैं

$\Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).$

वक्रता की तरह, यह दिखाया जा सकता है कि Θ फ्रेम में बदलाव के अनुसार सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण के रूप में व्यवहार करता है:

$\Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).$

फ़्रेम-स्वतंत्र आक्षेप को फ़्रेम घटकों से भी पुनर्प्राप्त किया जा सकता है:

$\Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).$

बियांची सर्वसमिकाएँ

बियांची की सर्वसमिकाएँ आक्षेप को वक्रता से संबंधित होती है। और इस प्रकार पहली बियांची सर्वसमिकाएँ बताती है कि

$D\Theta =\Omega \wedge \theta$

जबकि दूसरी बियांची सर्वसमिकाएँ बताती है कि

$\,D\Omega =0.$

उदाहरण: लेवी-सिविता कनेक्शन

एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि M में रिमेंनियन मीट्रिक है। यदि किसी के पास M के ऊपर एक सदिश बंडल E है, तो बंडल मीट्रिक के रूप में मीट्रिक को पूरे सदिश बंडल तक बढ़ाया जा सकता है। कोई तब एक कनेक्शन परिभाषित कर सकता है जो इस बंडल मीट्रिक के साथ संगत है, यह मीट्रिक कनेक्शन है। ई के स्पर्शरेखा बंडल टीएम होने के विशेष स्थिति के लिए, मीट्रिक कनेक्शन को रिमानियन कनेक्शन कहा जाता है। एक रिमेंनियन कनेक्शन को देखते हुए, अधिकांशता एक अद्वितीय, समतुल्य कनेक्शन मिल सकता है जो आक्षेप तनाव | मरोड़-मुक्त है। यह एम के टेंगेंट बंडल टीएम पर लेवी-सिविता कनेक्शन है। स्पर्शरेखा बंडल पर एक स्थानीय फ्रेम सदिश क्षेत्रों की एक क्रमबद्ध सूची है e = (e_i | i = 1, 2, ..., n), कहाँ n = dim M, M के एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित किया गया है जो अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। क्रिस्टोफेल प्रतीक लेवी-सिविता कनेक्शन को परिभाषित करते हैं

$\nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.$

यदि θ = {θⁱ | i = 1, 2, ..., n}, स्पर्शरेखा बंडल के दोहरे आधार को दर्शाता है, जैसे कि θ^मैं(और_j) = डी^{मैं_j (क्रोनकर डेल्टा), तो कनेक्शन प्रपत्र है}

$\omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma ^{j}{}_{ki}(\mathbf {e} )\theta ^{k}.$

कनेक्शन प्रपत्र के संदर्भ में, सदिश क्षेत्र पर बाहरी कनेक्शन v = Σ_ie_ivⁱ द्वारा दिया गया है

$Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}.$

ई के साथ अनुबंध करके, सामान्य अर्थों में, लेवी-सिविता कनेक्शन को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं_i:

$\nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right)$

वक्रता

लेवी-सिविता कनेक्शन का वक्रता 2-रूप मैट्रिक्स (Ω_i^j) द्वारा दिया गया

$\Omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )=d\omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )+\sum _{k}\omega _{k}{}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}{}^{k}(\mathbf {e} ).$

सादगी के लिए, मान लीजिए कि फ्रेम ई होलोनोमिक आधार है, जिससे कि dθⁱ = 0. फिर, अब दोहराए गए सूचकांकों पर योग परिपाटी का उपयोग करते हुए,

${\begin{array}{ll}\Omega _{i}{}^{j}&=d(\Gamma ^{j}{}_{qi}\theta ^{q})+(\Gamma ^{j}{}_{pk}\theta ^{p})\wedge (\Gamma ^{k}{}_{qi}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma ^{j}{}_{qi}+\Gamma ^{j}{}_{pk}\Gamma ^{k}{}_{qi})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}$

जहाँ R रीमैन वक्रता टेन्सर है।

मरोड़

लेवी-सिविता कनेक्शन को शून्य आक्षेप के साथ स्पर्शरेखा बंडल में अद्वितीय मीट्रिक कनेक्शन के रूप में वर्णित किया गया है। आक्षेप का वर्णन करने के लिए, ध्यान दें कि सदिश बंडल E स्पर्शरेखा बंडल है। इसमें एक कैनोनिकल सोल्डर प्रपत्र होता है (जिसे कभी-कभी विहित एक रूप कहा जाता है, विशेष रूप से मौलिक यांत्रिकी के संदर्भ में) जो कि खंड θ है Hom(TM, TM) = T^∗M ⊗ TM स्पर्शरेखा रिक्त स्थान की सर्वसमिकाएँ एंडोमोर्फिज्म के अनुरूप। फ्रेम ई में, सोल्डर प्रपत्र है {{{1}}}, जहां फिर से θⁱ दोहरा आधार है।

कनेक्शन का आक्षेप किसके द्वारा दिया जाता है Θ = Dθ, या सोल्डर प्रपत्र के फ्रेम घटकों के संदर्भ में

$\Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}.$

सादगी के लिए फिर से यह मानते हुए कि ई होलोनोमिक है, यह अभिव्यक्ति कम हो जाती है

$\Theta ^{i}=\Gamma ^{i}{}_{kj}\theta ^{k}\wedge \theta ^{j}$,

जो गायब हो जाता है यदि और केवल यदि Γ^{मैं_kj अपने निचले सूचकांकों पर सममित है।}

आक्षेप के साथ एक मीट्रिक कनेक्शन दिया गया है, एक बार अधिकांशता एक एकल, अद्वितीय कनेक्शन मिल सकता है जो आक्षेप से मुक्त है, यह लेवी-सिविता कनेक्शन है। एक रिमेंनियन कनेक्शन और उससे जुड़े लेवी-सिविता कनेक्शन के बीच का अंतर विरूपण टेंसर है।

संरचना समूह

एक अधिक विशिष्ट प्रकार के कनेक्शन प्रपत्र का निर्माण तब किया जा सकता है जब सदिश बंडल ई एक संबद्ध बंडल रखता है। यह ई पर फ्रेम 'ई' के एक पसंदीदा वर्ग के बराबर है, जो एक लाइ समूह जी से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, ई में एक मीट्रिक (सदिश बंडल) की उपस्थिति में, एक फ्रेम के साथ काम करता है जो प्रत्येक पर एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है बिंदु। संरचना समूह तब ओर्थोगोनल समूह है, क्योंकि यह समूह फ़्रेमों की ऑर्थोनॉर्मलिटी को संरक्षित करता है। अन्य उदाहरणों में सम्मलित हैं:

• पूर्ववर्ती खंड में विचार किए गए सामान्य फ्रेम में संरचनात्मक समूह जीएल (के) होता है जहां के ई का फाइबर आयाम होता है।
• एक जटिल मैनिफोल्ड (या लगभग जटिल मैनिफोल्ड) का होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल। यहाँ संरचना समूह जीएल है_n(C) ⊂ GL_2n(आर)। यदि एक हर्मिटियन मीट्रिक दिया जाता है, तो संरचना समूह एकात्मक फ्रेम पर अभिनय करने वाले एकात्मक समूह को कम कर देता है।* स्पिन संरचना से सुसज्जित कई गुना पर स्पिनर। स्पिन स्पेस पर एक अपरिवर्तनीय आंतरिक उत्पाद के संबंध में फ्रेम एकात्मक हैं, और समूह स्पिन समूह को कम कर देता है।
• सीआर कई गुना ्स पर होलोमॉर्फिक स्पर्शरेखा बंडल।

सामान्यतः , E को फाइबर आयाम k का एक दिया गया सदिश बंडल और G ⊂ GL(k) 'R' के सामान्य रैखिक समूह का एक दिया गया उपसमूह है।^{क</सुप>. यदि (ई_α) ई का स्थानीय फ्रेम है, फिर एक मैट्रिक्स-मूल्यवान फलन (जी_ij): M → G, e पर फलन कर सकता है_α एक नया फ्रेम बनाने के लिए}

$e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.$

ऐसे दो फ्रेम जी से संबंधित हैं। अनौपचारिक रूप से, सदिश बंडल ई में जी-बंडल की संरचना होती है, यदि फ्रेम का पसंदीदा वर्ग निर्दिष्ट किया जाता है, जो सभी स्थानीय रूप से जी-एक दूसरे से संबंधित हैं। औपचारिक शब्दों में, 'ई' संरचना समूह 'जी' के साथ एक फाइबर बंडल है जिसका विशिष्ट फाइबर आर है^k GL(k) के एक उपसमूह के रूप में G की प्राकृतिक क्रिया के साथ।

संगत कनेक्शन

ई पर जी-बंडल की संरचना के साथ एक कनेक्शन मीट्रिक संगत के रूप में है, बशर्ते संबंधित समानांतर परिवहन मानचित्र अधिकांशता एक जी-फ्रेम को दूसरे में भेजते हैं। औपचारिक रूप से, एक वक्र γ के साथ, निम्नलिखित को स्थानीय रूप से धारण करना चाहिए अर्थात, टी के पर्याप्त छोटे मूल्यों के लिए परिभाषित करता है।

$\Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)$

कुछ मैट्रिक्स g_α^β के रूप में होते है, जो t पर भी निर्भर हो सकता है। t=0 पर अवकलन देता है

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))$

जहां गुणांक ω_α^β लाई समूह जी के बीजगणित का मान परिभाषित करता है।

इस अवलोकन के साथ, कनेक्शन ω_α^β बनाता है जिसे इस प्रकार परिभाषित करता है।

$De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} )$

संरचना के साथ संगत है यदि एक-रूपों का मैट्रिक्स ω_α^β(e) के रूप में है, तो g का मान इस प्रकार व्यक्त करता है।

एक संगत कनेक्शन का वक्रता रूप, इसके अतिरिक्त एक g का मान दो-रूप में होता ।

फ्रेम का परिवर्तन

फ्रेम के बदलाव के अनुसार

$e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }$

जहाँ g एक G-मूल्यवान फलन है जो M के एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित है, कनेक्शन प्रपत्र के माध्यम से रूपांतरित होता है

$\omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }.$

मैट्रिक्स उत्पादों का उपयोग इस प्रकार करता है

$\omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.$

इनमें से प्रत्येक पद की व्याख्या करने के लिए याद रखें कि g : M → G एक G-का मान स्थानीय रूप से परिभाषित फलन के रूप में है। इसे ध्यान में रखकर,

$\omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{*}\omega _{\mathfrak {g}}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (\mathbf {e} )$

कहाँ ω_g समूह जी के लिए मौरर-कार्टन प्रपत्र है, यहां फलन जी के साथ एम को पुलबैक (अंतर ज्यामिति) है, और विज्ञापन इसके लाई बीजगणित पर जी का आसन्न प्रतिनिधित्व करती है।

प्रमुख बंडल

कनेक्शन प्रपत्र , जैसा कि अब तक प्रस्तुत किया गया है, फ्रेम के एक विशेष विकल्प पर निर्भर करता है। पहली परिभाषा में फ्रेम केवल अनुभागों का एक स्थानीय आधार के रूप में होता है। प्रत्येक फ्रेम के लिए एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में जाने के लिए मौलिक नियम के साथ एक कनेक्शन प्रपत्र दिया जाता है।दूसरी परिभाषा में, स्वयं फ्रेम में कुछ अतिरिक्त संरचना होती है जो एक लाई समूह द्वारा दी जाती है और फ्रेम के परिवर्तन उन लोगों के लिए विवश हो जाते हैं जो उसका मान लेते हैं। 1940 के दशक में चार्ल्स एह्रेसमैन द्वारा अग्रणी प्रमुख बंडलों की भाषा इन कई कनेक्शन रूपों को व्यवस्थित करने की एक विधि प्रदान करती है और परिवर्तन के लिए एक ही नियम के साथ उन्हें एक आंतरिक रूप में जोड़ने वाले मौलिक नियम प्रदान करती है। इस दृष्टिकोण का नुकसान यह है कि रूपों को अब कई गुना पर परिभाषित नहीं किया जाता है, बल्कि एक बड़े प्रमुख बंडल के रूप में किया जाता है।

कनेक्शन प्रपत्र के लिए मुख्य कनेक्शन

मान लीजिए कि E → M संरचना समूह G के साथ एक सदिश बंडल के रूप में है। मान लीजिए कि {U} M का एक खुला आवरण है, प्रत्येक U पर G-फ्रेम के साथ जिसे e_U द्वारा दर्शाया गया है।. ये ओवरलैपिंग ओपन समुच्चय के प्रतिच्छेदन से संबंधित होती है

${\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}$

कुछ जी-मान फलन h_UV के लिए U ∩ V को परिभाषित करते है।

माना F_GE, एम के प्रत्येक बिंदु पर लिए गए सभी जी-फ्रेमों का समुच्चय के रूप में है। यह एम पर एक प्रमुख जी-बंडल है। और इस प्रकार विस्तार से इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि जी-फ्रेम से संबंधित होता है, F_GE खुले आवरण के समुच्चय के बीच ग्लूइंग डेटा के संदर्भ में महसूस किया जा सकता है:

$F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim$

जहां तुल्यता संबंध $\sim$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

$((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.$

F_GE पर प्रत्येक उत्पाद U × G पर एक 'g'-मान एक निर्दिष्ट रूप में होता हैऔर एक कनेक्शन प्रमुख बंडल G- को निम्नानुसार परिभाषित करता है, जो ओवरलैप क्षेत्रों पर समानता संबंध के रूप में होता है जिसे इस प्रकार दिखाया जाता है।

$\pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G$

प्रक्षेपण नक्शे के रूप में अब, एक बिंदु (x,g) ∈ U × G के लिए समुच्चय के रूप में होते है, जिसे इस प्रकार दिखाया जाता है।

$\omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.$

इस तरह से निर्मित 1-प्रपत्र ω अतिव्यापी समुच्चय के बीच संक्रमण के रूप में होता है और इसलिए प्रमुख बंडल F_GE पर विश्व स्तर पर परिभाषित 1-प्रपत्र देने के लिए उतरता है। यह दिखाया जा सकता है कि ω इस अर्थ में एक प्रमुख कनेक्शन के रूप में है और यह F_GE पर सही जी घटनाक्रम के जनरेटर को पुन: उत्पन्न करता है और समान रूप से T(F_GE) पर सही कार्रवाई को परस्पर जोड़ता है जी के आसन्न प्रतिनिधित्व के रूप में होता है।

प्रमुख कनेक्शन से जुड़े कनेक्शन प्रपत्र

इसके विपरीत, एक प्रमुख G-बंडल P→M में एक प्रमुख G-कनेक्शन ω, M पर कनेक्शन रूपों के संग्रह को जन्म देता है। मान लीजिए कि 'e': M → P, P का एक स्थानीय खंड के रूप में है। फिर ω का पुलबैक 'ई' एम पर 'जी'-मूल्यवान एक-रूप को परिभाषित करता है

$\omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .$

g का मान फलन जी द्वारा फ्रेम बदलना, और इस प्रकार कोई देखता है कि ω('e') लीबनिज़ नियम और संयोजन का उपयोग करके आवश्यक विधि से बदलता है

$\langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*}\omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle$

जहां एक्स एम पर एक सदिश के रूप में है और डी पुशफॉरवर्ड (अंतर) को दर्शाता है।

यह भी देखें

• एह्रेसमैन कनेक्शन
• कार्टन कनेक्शन
• एफ़िन कनेक्शन
• वक्रता रूप

संदर्भ

• Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951.
• Chern S. S.; Moser, J.K. (1974), "Real hypersurfaces in complex manifolds", Acta Math., 133: 219–271, doi:10.1007/BF02392146
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978), Principles of algebraic geometry, John Wiley and sons, ISBN 0-471-05059-8
• Jost, Jürgen (2011), Riemannian geometry and geometric analysis (PDF), Universitext (Sixth ed.), Springer, Heidelberg, doi:10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN 978-3-642-21297-0, MR 2829653
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
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• Spivak, Michael (1999a), A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 2), Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
• Spivak, Michael (1999b), A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3), Publish or Perish, ISBN 0-914098-72-1
• Wells, R.O. (1973), Differential analysis on complex manifolds, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0
• Wells, R.O. (1980), Differential analysis on complex manifolds, Prentice–Hall