अदिश (गणित)

Not to be confused with अदिश(भौतिकी).

For other uses, see अदिश.

अदिश किसी क्षेत्र(गणित) का एक अव्यव है जिसका उपयोग सदिश दूरी को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। रैखिक बीजगणित में, वास्तविक संख्या या सामान्यतः किसी क्षेत्र के अव्यवों को अदिश कहा जाता है और अदिश गुणन(सदिश दूरी में परिभाषित) के संचालन के माध्यम से संबंधित सदिश दूरी में सदिश से संबंधित होता है, जिसमें एक सदिश को एक अदिश द्वारा गुणा किया जा सकता है। सदिश बनाने के लिए परिभाषित पद्धति सामान्यतया, एक सदिश दूरी को वास्तविक संख्याओं(जैसे सम्मिश्र संख्या) के अतिरिक्त किसी भी क्षेत्र का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। तब उस सदिश समष्टि के अदिश संबद्ध क्षेत्र के अवयव होंगे(जैसे सम्मिश्र संख्या)।

आंतरिक उत्पाद संचालन में अदिश गुणन के साथ भ्रमित न होने के लिए एक सदिश दूरी को परिभाषित किया जा सकता है, जिससे दो सदिशों को एक अदिश उत्पन्न करने के लिए परिभाषित तरीके से गुणा किया जा सकता है। एक अदिश उत्पाद से निर्मित एक सदिश दूरी को आंतरिक उत्पाद दूरी कहा जाता है।

कई अदिश द्वारा वर्णित मात्रा, जैसे कि दिशा और परिमाण दोनों, सदिश (गणित और भौतिकी) कहलाती है। अदिश शब्द का उपयोग कभी-कभी अनौपचारिक रूप से एक सदिश, मैट्रिक्स (गणित) , टेन्सर , या अन्य, सामान्यतः, यौगिक मूल्य के लिए किया जाता है, जो वास्तव में एक घटक के लिए कम हो जाता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, 1 × n मैट्रिक्स और n × 1 मैट्रिक्स का उत्पाद, जो औपचारिक रूप से 1 × 1 मैट्रिक्स है, को अधिकांशतः 'अदिश' कहा जाता है। एक चतुर्भुज के वास्तविक घटक को उसका 'अदिश भाग' भी कहा जाता है।

अदिश मैट्रिक्स शब्द का उपयोग kI के रूप में मैट्रिक्स को दर्शाने के लिए किया जाता है जहां k एक अदिश राशि है और I पहचान मैट्रिक्स है।

व्युत्पत्ति

अदिश शब्द लैटिन भाषा के शब्द स्केलारिस से मिला है, जो स्कैला(सीढ़ी के लिए लैटिन) का एक विशेषण रूप है, जिससे अंग्रेजी शब्द स्केल भी आता है। गणित में अदिश शब्द का पहला रिकॉर्ड किया गया उपयोग फ़्राँस्वा विएते की विश्लेषणात्मक कला(आर्टेम एनालिटिसम इसागोगे में) (1591) में होता है:

परिमाण जो अपनी प्रकृति के अनुसार एक प्रकार से दूसरे प्रकार में आनुपातिक रूप से बढ़ते या घटते हैं, उन्हें अदिश पद कहा जा सकता है।

(लैटिन: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi proportionaliter adscendunt vel descendunt, vocentur Scalares.)

ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी के एक उद्धरण के अनुसार अंग्रेजी में अदिश शब्द का पहला रिकॉर्ड किया गया उपयोग विलियम रोवन हैमिल्टन डब्ल्यू के साथ हुआ। 1846 में आर हैमिल्टन एक चतुष्कोण के वास्तविक भाग को परिभाषित करते हुए:

बीजगणितीय रूप से वास्तविक भाग प्राप्त हो सकता है, किसी प्रश्न के अनुसार जिसमें यह होता है कि नकारात्मक से सकारात्मक अनंत तक संख्याओं की प्रगति के एक पैमाने पर सभी मान निहित होते हैं; इसलिए हम इसे अदिश भाग कहेंगे।

परिभाषाएं और गुण

सदिश (गणित और भौतिकी) के विपरीत, अदिश वास्तविक संख्या एँ हैं जिनका उपयोग रैखिक बीजगणित में किया जाता है। यह छवि एक यूक्लिडियन सदिश दिखाती है। इसके निर्देशांक x और y अदिश हैं, जैसे इसकी लंबाई है, लेकिन 'v' एक अदिश नहीं है।

सदिश रिक्त दूरी के अदिश

एक सदिश दूरी को सदिश (एडिटिव एबेलियन समूह), अदिश (क्षेत्र (गणित)) का एक सेट, और एक अदिश गुणन संक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक अन्य सदिश k'v बनाने के लिए एक अदिश k और एक सदिश 'v' लेता है। उदाहरण के लिए, एक समन्वय दूरी में, अदिश गुणन $k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ उत्पन्न $(kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})$. कार्य दूरी में, kf फलन है x ↦ k(f(x)).

अदिश को किसी भी क्षेत्र से लिया जा सकता है, जिसमें परिमेय संख्या , बीजीय संख्या, वास्तविक और जटिल संख्या, साथ ही परिमित क्षेत्र सम्मिलित हैं।

सदिश घटकों के रूप में अदिश

रेखीय बीजगणित के एक मौलिक प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक सदिश दूरी का एक आधार (रैखिक बीजगणित) होता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्षेत्र K पर प्रत्येक सदिश दूरी संगत निर्देशांक सदिश समष्टि के लिए समरूपता है, जहाँ प्रत्येक निर्देशांक में K के अव्यव होते हैं (जैसे, निर्देशांक (a)₁, एक₂, ..., एक_n) जहाँ एक_iK और n विचाराधीन सदिश समष्टि का आयाम है।) उदाहरण के लिए, आयाम का प्रत्येक वास्तविक सदिश दूरी (सदिश दूरी) n, n-आयामी वास्तविक दूरी 'R' के समरूपी होता है।.

मानक सदिश स्पेस में अदिश

वैकल्पिक रूप से, मानक सदिश दूरी V को एक मानक (गणित) फलन से निर्देशित किया जा सकता है जो V अदिश ||'v'|| में प्रत्येक सदिश 'v' को निर्दिष्ट करता है। परिभाषा के अनुसार, 'v' को एक अदिश k से गुणा करने पर इसके मानक को भी |k| से गुणा किया जाता है। अगर ||'v'|| 'v' की लंबाई के रूप में व्याख्या की जाती है, इस संक्रिया को 'v' की लंबाई को k द्वारा 'मापन' के रूप में वर्णित किया जा सकता है। मानक से लैस एक सदिश दूरी को एक आदर्श सदिश दूरी(या मानक रैखिक दूरी) कहा जाता है।

मानक को सामान्यतः V' के अदिश क्षेत्र K के एक अव्यव के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो बाद वाले को उन क्षेत्र तक सीमित करता है जो चिह्न की धारणा का समर्थन करते हैं। इसके अलावा, यदि V का आयाम 2 या अधिक है, तो K को वर्गमूल के साथ-साथ चार अंकगणितीय संक्रियाओं के आधार पर समाप्त किया जाना चाहिए; इस प्रकार परिमेय संख्या 'Q' को बाहर रखा गया है, लेकिन द्विघात करणी स्वीकार्य है। इस कारण से, प्रत्येक अदिश उत्पाद दूरी एक मानक सदिश दूरी नहीं है।

मॉड्यूल में अदिश

जब आवश्यकता होने पर अदिश का सेट एक क्षेत्र बनाता है, तो उसे केवल एक वलय(गणित) बनाने की आवश्यकता होती है (ताकि, उदाहरण के लिए, अदिश के विभाजन को परिभाषित करने की आवश्यकता न हो, या अदिश को विनिमेय नहीं होना चाहिए), परिणामी अधिक सामान्य बीजीय संरचना को मॉड्यूल (गणित) कहा जाता है।

इस सन्दर्भ में अदिश जटिल वस्तुएं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि R एक वलय है, तो उत्पाद दूरी R . के सदिश को n×n आव्यूह के साथ एक मॉड्यूल में बनाया जा सकता है जिसमें अदिश के रूप में R से प्रविष्टियाँ होती हैं। एक और उदाहरण कई गुणन से आता है, जहां स्पर्शरेखा बंडल के खंड (फाइबर बंडल) का दूरी कई गुना वास्तविक कार्यों के बीजगणित पर एक मॉड्यूल बनाता है।

मापन परिवर्तन

एक प्रकार का रैखिक परिवर्तन ,सदिश रिक्त दूरी और मॉड्यूल का अदिश गुणन मापन (ज्यामिति) की विशेष परिस्थिति है।

यह भी देखें

• बीजगणितीय संरचना
• अदिश (भौतिकी)
• रेखीय बीजगणित

बाहरी संबंध

• "Scalar", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Scalar". MathWorld.
• Mathwords.com – Scalar