विन्यास समष्टि (गणित): Difference between revisions

Revision as of 18:07, 29 November 2023

वृत्त पर बिंदुओं के सभी अव्यवस्थित युग्मों का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस मोबियस पट्टी है।

गणित में, कॉन्फ़िगरेशन स्पेस ऐसा निर्माण है जो भौतिकी में स्टेट स्पेस या फेज स्पेस से निकटता से संबंधित है। भौतिकी में, इनका उपयोग उच्च-आयामी स्पेस में बिंदु के रूप में पूरे प्रणाली की स्थिति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार गणित में, उनका उपयोग टोपोलॉजिकल स्पेस में स्थितियों के लिए बिंदुओं के संग्रह के असाइनमेंट का वर्णन करने के लिए किया जाता है। अधिक विशेष रूप से, गणित में कॉन्फ़िगरेशन स्पेस विभिन्न नॉन-कोलिडिंग कणों के विशेष स्थिति में कॉन्फ़िगरेशन स्पेस (भौतिकी) के विशेष उदाहरण हैं।

परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ और एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, $X^{n}$ को कार्टेशियन टोपोलॉजी से सुसज्जित, $X$ का $n$ वां (आदेशित) कॉन्फ़िगरेशन स्पेस $X$ में जोड़ीवार भिन्न-भिन्न बिंदुओं के $n$ -टुपल्स का समुच्चय है

\operatorname {Conf} _{n}(X):=X^{n}\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\ {\text{ for some  }}i\neq j\}.

^[1]

यह स्पेस सामान्यतः $X^{n}$ में सम्मिलित होने से सब-स्पेस $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ टोपोलॉजी से संपन्न होता है। इसे कभी-कभी $F(X,n)$ या ${\mathcal {C}}^{n}(X)$ से भी दर्शाया जाता है ^[2]

$\operatorname {Conf} _{n}(X)$ में बिंदुओं पर सममित समूह $S_{n}$ की स्वाभाविक क्रिया होती है।

{\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{aligned}}

यह क्रिया X के nवें अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्पेस को जन्म देती है,

\operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n},

जो उस क्रिया का कक्षीय स्पेस है। अंतर्ज्ञान यह है कि यह क्रिया "बिंदुओं के नाम त्रुटि हो जाती है"। इस प्रकार अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्पेस को कभी-कभी ${\mathcal {UC}}^{n}(X)$ , या $B_{n}(X)$ दर्शाया जाता है।^[2] सभी $n$ पर अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन रिक्त स्पेस का संग्रह रैन स्पेस है, और एक प्राकृतिक टोपोलॉजी के साथ आता है।

वैकल्पिक सूत्रीकरण

टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ और एक परिमित समुच्चय $S$ के लिए, S द्वारा लेबल किए गए कणों के साथ X का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस है

\operatorname {Conf} _{S}(X):=\{f\mid f\colon S\hookrightarrow X{\text{ is injective}}\}.

$n\in \mathbb {N}$ के लिए, $\mathbf {n} :=\{1,2,\ldots ,n\}$ को परिभाषित करें। फिर X का nवाँ कॉन्फ़िगरेशन स्पेस है, और इसे केवल $\operatorname {Conf} _{\mathbf {n} }(X)$ से दर्शाया जाता है ^{^[3]}

उदाहरण

इस प्रकार $\mathbf {R} ^{2}$ में दो बिंदुओं के क्रमबद्ध कॉन्फ़िगरेशन का स्पेस एक वृत्त के साथ यूक्लिडियन 3-स्पेस के उत्पाद के लिए समरूप है, अर्थात $\operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}$ ।^[2]
इस प्रकार अधिक सामान्यतः, $\mathbf {R} ^{n}$ में दो बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस गोले $S^{n-1}$ के समतुल्य समरूप है ^[4]
इस प्रकार $\mathbf {R} ^{2}$ में $n$ बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस nवें ब्रैड समूह का वर्गीकरण स्पेस है (नीचे देखें)।

ब्रैड समूहों से सम्बन्ध

इस प्रकार कनेक्टेड टोपोलॉजिकल स्पेस X पर n-स्ट्रैंड ब्रैड समूह है

B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X)),

इस प्रकार X के nवें अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्पेस का मूल समूह X पर n-स्ट्रैंड शुद्ध ब्रैड समूह है ^[2]

P_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(X)).

पहले अध्ययन किए गए ब्रैड समूह आर्टिन ब्रैड समूह $B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2}))$ थे। जबकि उपरोक्त परिभाषा वह नहीं है जो एमिल आर्टिन ने दी थी, इस प्रकार एडॉल्फ हर्विट्ज़ ने आर्टिन ब्रैड समूहों को आर्टिन की परिभाषा (1891 में) से अधिक पहले सम्मिश्र विमान के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के मौलिक समूहों के रूप में परिभाषित किया था।^[5]

यह इस परिभाषा और इस तथ्य से अनुसरण करता है कि $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ और $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ $K(\pi ,1)$ के ईलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त स्पेस हैं, जो कि समतल का अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्पेस है। इस प्रकार आर्टिन ब्रैड समूह के लिए एक वर्गीकरण स्पेस है, और $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ शुद्ध आर्टिन ब्रैड समूह के लिए एक वर्गीकरण स्पेस $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ है , जब दोनों को भिन्न-भिन्न समूह माना जाता है।^[6]

मैनिफोल्ड्स का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस

यदि मूल स्पेस $X$ एक मैनिफोल्ड है तो इसके क्रमबद्ध कॉन्फ़िगरेशन स्पेस $X$ की बलों के विवृत उपसमष्टि हैं और इस प्रकार स्वयं मैनिफोल्ड हैं। इस प्रकार भिन्न-भिन्न अव्यवस्थित बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस भी मैनिफोल्ड है, जबकि आवश्यक नहीं कि भिन्न-भिन्न अव्यवस्थित बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस इसके अतिरिक्त एक कक्षीय है।

इस प्रकार कॉन्फ़िगरेशन स्पेस एक प्रकार का वर्गीकृत स्पेस या (ठीक) मॉड्यूलि स्पेस है। विशेष रूप से, एक सार्वभौमिक बंडल $\pi \colon E_{n}\to C_{n}$ है जो कि सामान्य बंडल $C_{n}\times X\to C_{n}$ का एक सब-बंडल है, और जिसमें है गुण यह है कि प्रत्येक बिंदु $p\in C_{n}$ पर फाइबर, p द्वारा वर्गीकृत $X$ का n अवयव उपसमुच्चय है।

होमोटोपी इनवेरिएंस

होमोटोपी एक प्रकार के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस होमोटोपी अपरिवर्तनीय नहीं हैं। उदाहरण के लिए, रिक्त स्पेस $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})$ किसी भी दो भिन्न-भिन्न मानों के लिए समरूप समरूप नहीं हैं इस प्रकार $\mathrm {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{0})$ के लिए रिक्त है, $n\geq 2$ , $K(\pi ,1)$ प्रकार का एक ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ है, और $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})$ , $m\geq 3$ के लिए जुड़ा हुआ है

यह एक रिक्त प्रश्न हुआ करता था कि क्या कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स के उदाहरण थे जो होमोटॉपी एक्विवलेंट थे किन्तु नॉन-होमोटॉपी एक्विवलेंट कॉन्फ़िगरेशन स्पेस थे: इस प्रकार ऐसा उदाहरण केवल 2005 में रिकार्डो लोंगोनी और पाओलो साल्वाटोर द्वारा पाया गया था। इस प्रकार उनके उदाहरण दो त्रि-आयामी लेंस स्पेस और उनमें कम से कम दो बिंदुओं के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस हैं। यह कॉन्फ़िगरेशन स्पेस समरूप समतुल्य नहीं हैं, इसका पता मैसी उत्पादों द्वारा उनके संबंधित सार्वभौमिक आवरणों में लगाया गया था।^[7] इस प्रकार सरल रूप से जुड़े हुए बंद मैनिफोल्ड के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के लिए होमोटोपी इनवेरिएंस सामान्य रूप से रिक्त रहता है, और इस प्रकार बेस फ़ील्ड $\mathbf {R}$ पर पकड़ बनाए रखने के लिए सिद्ध किया गया है।^[8]^[9] आयाम कम से कम 4 भी सिद्ध हुआ था।^[10]

ग्राफ़ का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस

कुछ परिणाम ग्राफ़ (टोपोलॉजी) के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के लिए विशेष हैं। इस प्रकार यह समस्या रोबोटिक्स और मोशन प्लानिंग से संबंधित हो सकती है: कोई विभिन्न रोबोटों को पटरियों पर रखने और उन्हें कोलिसन के बिना विभिन्न स्थितियों में ले जाने के लिए प्रयास करने की कल्पना कर सकता है। इस प्रकार ट्रैक ग्राफ़ के किनारों से मेल खाते हैं, रोबोट कणों से मेल खाते हैं, और सफल नेविगेशन उस ग्राफ़ के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में पथ से मेल खाता है।^[11]

किसी भी ग्राफ़ के लिए $\Gamma$ , $\operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )$ $K(\pi ,1)$ प्रकार का एक ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस है ^[11] और सशक्त विरूपण आयाम के सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स $b(\Gamma )$ में वापस आ जाता है। जहां $b(\Gamma )$ डिग्री के शीर्षों की संख्या कम से कम 3 है। ^[11] ^[12] इसके अतिरिक्त, विरूपण अधिकतम आयाम के गैर-धनात्मक रूप से वृत्ताकार क्यूबिकल परिसरों $\min(n,b(\Gamma ))$ में वापस आ जाता है।^[13]^[14]

मैकेनिकल लिंकेज का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस

एक मैकेनिकल लिंकेज के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस को ग्राफ़ $\Gamma$ के साथ इसकी अंतर्निहित ज्यामिति को भी परिभाषित करता है। इस तरह के ग्राफ को सामान्यतः कठोर छड़ों और अनवरत के संयोजन के रूप में निर्मित माना जाता है। इस तरह के लिंकेज के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस को उचित मीट्रिक से सुसज्जित यूक्लिडियन स्पेस में इसके सभी स्वीकार्य पदों की समग्रता के रूप में परिभाषित किया गया है। जेनेरिक लिंकेज का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस एक स्मूथ मैनिफोल्ड है, उदाहरण के लिए, उल्टे जोड़ों से जुड़े $n$ कठोर छड़ों से बने समान प्लेनर लिंकेज के लिए, कॉन्फ़िगरेशन स्पेस $n$ -टोरस $T^{n}$ है। ^[15]^[16] इस प्रकार ऐसे कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में सबसे सरल विलक्षणता बिंदु एक यूक्लिडियन स्पेस द्वारा एक सजातीय द्विघात हाइपरसर्फेस पर एक शंकु का उत्पाद है। इस प्रकार लिंकेज के लिए ऐसा एक विलक्षणता बिंदु उभरता है जिसे दो सब-लिंकेज में विभाजित किया जा सकता है जैसे कि उनके संबंधित समापन बिंदु ट्रेस-पथ एक गैर-अनुप्रस्थ विधि से प्रतिच्छेद करते हैं, उदाहरण के लिए लिंकेज जिसे संरेखित किया जा सकता है (अर्थात पूर्ण रूप से एक पंक्ति में मोड़ा जा सकता है)।^[17]

संघनन

इस प्रकार कॉन्फ़िगरेशन स्पेस $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ भिन्न-भिन्न बिंदुओं का नॉन-कॉम्पैक्ट होता है, जिसके शीर्ष वहां होते हैं जहां बिंदु एक-दूसरे के निकट आते हैं (संगामी हो जाते हैं)। विभिन्न ज्यामितीय अनुप्रयोगों के लिए कॉम्पैक्ट स्पेस की आवश्यकता होती है, इसलिए कोई कॉम्पैक्ट (गणित) $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ करना चाहेगा अर्थात, इस प्रकार इसे उपयुक्त गुणों के साथ कॉम्पैक्ट स्पेस के विवृत उपसमुच्चय के रूप में एम्बेड करें। इस समस्या के लिए दृष्टिकोण राउल बॉट और क्लिफोर्ड टौब्स द्वारा साथ ही विलियम फुल्टन (गणितज्ञ) और रॉबर्ट मैकफरसन (गणितज्ञ) द्वारा दिए गए हैं,^[18] ।^[19]

यह भी देखें

कॉन्फ़िगरेशन स्पेस (भौतिकी)
स्टेट स्पेस (भौतिकी)

संदर्भ

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 : <math>\operatorname{UConf}_n(X) := \operatorname{Conf}_n(X)/S_n,</math>
-जो उस क्रिया का कक्षीय स्पेस है। अंतर्ज्ञान यह है कि यह क्रिया "बिंदुओं के नाम भूल जाती है"। इस प्रकार अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्पेस को कभी-कभी <math>\mathcal{UC}^n(X)</math>, या <math>B_n(X)</math> दर्शाया जाता है।<ref name=":0" /> सभी <math>n</math> पर अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन रिक्त स्पेस का संग्रह रैन स्पेस है, और एक प्राकृतिक टोपोलॉजी के साथ आता है।
+जो उस क्रिया का कक्षीय स्पेस है। अंतर्ज्ञान यह है कि यह क्रिया "बिंदुओं के नाम त्रुटि हो जाती है"। इस प्रकार अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्पेस को कभी-कभी <math>\mathcal{UC}^n(X)</math>, या <math>B_n(X)</math> दर्शाया जाता है।<ref name=":0" /> सभी <math>n</math> पर अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन रिक्त स्पेस का संग्रह रैन स्पेस है, और एक प्राकृतिक टोपोलॉजी के साथ आता है।
 ===वैकल्पिक सूत्रीकरण ===
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 <math>n\in\N</math> के लिए, <math>\mathbf{n}:=\{1,2,\ldots,n\}</math> को परिभाषित करें। फिर X का {{var|n}}वाँ कॉन्फ़िगरेशन स्पेस है, और इसे केवल <math>\operatorname{Conf}_{\mathbf{n}}(X)</math> से दर्शाया जाता है <sup><ref>{{Cite journal |arxiv=1612.08290|last1=Chettih|first1=Safia|title=लूप्स वाले पेड़ों के कॉन्फ़िगरेशन स्थानों की समरूपता|journal=[[Algebraic & Geometric Topology]] |volume=18|issue=4|pages=2443–2469|last2=Lütgehetmann|first2=Daniel|year=2018|doi=10.2140/agt.2018.18.2443|s2cid=119168700}}</ref>
 == उदाहरण ==
-*<math>\mathbf{R}^2</math> में दो बिंदुओं के क्रमबद्ध कॉन्फ़िगरेशन का स्पेस एक वृत्त के साथ यूक्लिडियन 3-स्पेस के उत्पाद के लिए समरूप है, अर्थात <math>\operatorname{Conf}_2(\mathbf{R}^2)\cong \mathbf{R}^3\times S^1</math>।<ref name=":0" />
+*इस प्रकार <math>\mathbf{R}^2</math> में दो बिंदुओं के क्रमबद्ध कॉन्फ़िगरेशन का स्पेस एक वृत्त के साथ यूक्लिडियन 3-स्पेस के उत्पाद के लिए समरूप है, अर्थात <math>\operatorname{Conf}_2(\mathbf{R}^2)\cong \mathbf{R}^3\times S^1</math>।<ref name=":0" />
-*अधिक सामान्यतः, <math>\mathbf{R}^n</math> में दो बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस गोले <math>S^{n-1}</math> के समतुल्य समरूप है <ref>{{cite arXiv|last=Sinha|first=Dev|date=2010-02-20|title=छोटे डिस्क ओपेराड की समरूपता|page=2 |eprint=math/0610236}}</ref>
+*इस प्रकार अधिक सामान्यतः, <math>\mathbf{R}^n</math> में दो बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस गोले <math>S^{n-1}</math> के समतुल्य समरूप है <ref>{{cite arXiv|last=Sinha|first=Dev|date=2010-02-20|title=छोटे डिस्क ओपेराड की समरूपता|page=2 |eprint=math/0610236}}</ref>
-*<math>\mathbf{R}^2</math> में <math>n</math> बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस nवें ब्रैड समूह का वर्गीकरण स्पेस है (नीचे देखें)।
+*इस प्रकार <math>\mathbf{R}^2</math> में <math>n</math> बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस nवें ब्रैड समूह का वर्गीकरण स्पेस है (नीचे देखें)।
 == ब्रैड समूहों से सम्बन्ध ==
 {{Main|ब्रैड समूह}}
-कनेक्टेड टोपोलॉजिकल स्पेस {{var|X}} पर {{var|n}}-स्ट्रैंड ब्रैड समूह है
+इस प्रकार कनेक्टेड टोपोलॉजिकल स्पेस {{var|X}} पर {{var|n}}-स्ट्रैंड ब्रैड समूह है
 :<math>B_n(X):=\pi_1(\operatorname{UConf}_n(X)),</math>
-{{var|X}} के {{var|n}}वें अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्पेस का मूल समूह {{var|X}} पर {{var|n}}-स्ट्रैंड शुद्ध ब्रैड समूह है <ref name=":0" />
+इस प्रकार {{var|X}} के {{var|n}}वें अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्पेस का मूल समूह {{var|X}} पर {{var|n}}-स्ट्रैंड शुद्ध ब्रैड समूह है <ref name=":0" />
 :<math>P_n(X):=\pi_1(\operatorname{Conf}_n(X)).</math>
 पहले अध्ययन किए गए ब्रैड समूह आर्टिन ब्रैड समूह <math>B_n\cong\pi_1(\operatorname{UConf}_n(\mathbf{R}^2))</math> थे। जबकि उपरोक्त परिभाषा वह नहीं है जो एमिल आर्टिन ने दी थी, इस प्रकार एडॉल्फ हर्विट्ज़ ने आर्टिन ब्रैड समूहों को आर्टिन की परिभाषा (1891 में) से अधिक पहले सम्मिश्र विमान के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के मौलिक समूहों के रूप में परिभाषित किया था।<ref>{{cite book |series=[[Lecture Notes in Mathematics]] |volume=372 |first=Wilhelm |last=Magnus | author-link=Wilhelm Magnus |chapter=Braid groups: A survey |chapter-url=https://doi.org/10.1007%2FBFb0065203 |title=समूहों के सिद्धांत पर दूसरे अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन की कार्यवाही|publisher=Springer |year=1974 |isbn=978-3-540-06845-7 |pages=465|doi=10.1007/BFb0065203 }}</ref>
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 यदि मूल स्पेस <math>X</math> एक मैनिफोल्ड है तो इसके क्रमबद्ध कॉन्फ़िगरेशन स्पेस <math>X</math> की बलों के विवृत उपसमष्टि हैं और इस प्रकार स्वयं मैनिफोल्ड हैं। इस प्रकार भिन्न-भिन्न अव्यवस्थित बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस भी मैनिफोल्ड है, जबकि आवश्यक नहीं कि भिन्न-भिन्न अव्यवस्थित बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस इसके अतिरिक्त एक कक्षीय है।
-कॉन्फ़िगरेशन स्पेस एक प्रकार का वर्गीकृत स्पेस  या (ठीक) मॉड्यूलि स्पेस है। विशेष रूप से, एक सार्वभौमिक बंडल <math> \pi\colon E_n\to C_n </math> है जो कि सामान्य बंडल <math> C_n\times X\to C_n</math> का एक उप-बंडल है, और जिसमें है गुण यह है कि प्रत्येक बिंदु <math> p\in C_n</math> पर फाइबर, p द्वारा वर्गीकृत <math> X </math> का n अवयव उपसमुच्चय है।
+इस प्रकार कॉन्फ़िगरेशन स्पेस एक प्रकार का वर्गीकृत स्पेस  या (ठीक) मॉड्यूलि स्पेस है। विशेष रूप से, एक सार्वभौमिक बंडल <math> \pi\colon E_n\to C_n </math> है जो कि सामान्य बंडल <math> C_n\times X\to C_n</math> का एक सब-बंडल है, और जिसमें है गुण यह है कि प्रत्येक बिंदु <math> p\in C_n</math> पर फाइबर, p द्वारा वर्गीकृत <math> X </math> का n अवयव उपसमुच्चय है।
 === [[समरूप अपरिवर्तनीय|होमोटोपी इनवेरिएंस]] ===
 होमोटोपी एक प्रकार के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस  होमोटोपी अपरिवर्तनीय नहीं हैं। उदाहरण के लिए, रिक्त स्पेस <math>\operatorname{Conf}_n(\mathbb R^m)</math>  किसी भी दो भिन्न-भिन्न मानों के लिए समरूप समरूप नहीं हैं इस प्रकार <math>\mathrm{Conf}_n(\mathbb{R}^0)</math> के लिए रिक्त है, <math>n \ge 2</math> ,<math>K(\pi,1)</math> प्रकार का एक ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस <math>\operatorname{Conf}_n(\mathbb R^2)</math> है, और <math>\operatorname{Conf}_n(\mathbb R^m)</math> ,<math> m \geq 3</math> के लिए जुड़ा हुआ है
+यह एक रिक्त प्रश्न हुआ करता था कि क्या कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स के उदाहरण थे जो होमोटॉपी एक्विवलेंट  थे किन्तु नॉन-होमोटॉपी एक्विवलेंट  कॉन्फ़िगरेशन स्पेस थे: इस प्रकार ऐसा उदाहरण केवल 2005 में रिकार्डो लोंगोनी और पाओलो साल्वाटोर द्वारा पाया गया था। इस प्रकार उनके उदाहरण दो त्रि-आयामी लेंस स्पेस और उनमें कम से कम दो बिंदुओं के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस हैं। यह कॉन्फ़िगरेशन स्पेस समरूप समतुल्य नहीं हैं, इसका पता मैसी उत्पादों द्वारा उनके संबंधित सार्वभौमिक आवरणों में लगाया गया था।<ref>{{citation|title=Configuration spaces are not homotopy invariant|year=2005|last1=Salvatore|last2=Longoni|first1=Paolo|first2=Riccardo|journal=Topology|volume=44|issue=2|pages=375&ndash;380|doi=10.1016/j.top.2004.11.002|arxiv=math/0401075|s2cid=15874513}}</ref> इस प्रकार सरल रूप से जुड़े हुए बंद मैनिफोल्ड के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के लिए होमोटोपी इनवेरिएंस सामान्य रूप से रिक्त रहता है, और इस प्रकार बेस फ़ील्ड <math>\mathbf{R}</math> पर पकड़ बनाए रखने के लिए सिद्ध किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Campos|first1=Ricardo|last2=Willwacher|first2=Thomas|author-link2=Thomas Willwacher|date=2023|title=बिंदुओं के विन्यास स्थानों के लिए एक मॉडल|journal=Algebraic & Geometric Topology |volume=23 |issue=5 |pages=2029–2106 |doi=10.2140/agt.2023.23.2029 |arxiv=1604.02043 }}</ref><ref>{{cite journal|last=Idrissi|first=Najib|date=2016-08-29|title=The Lambrechts–Stanley Model of Configuration Spaces|url=https://archive.org/details/arxiv-1608.08054|journal=Inventiones Mathematicae|volume=216|pages=1–68|arxiv=1608.08054 |doi=10.1007/s00222-018-0842-9|bibcode=2016arXiv160808054I|s2cid=102354039}}</ref> आयाम कम से कम 4 भी सिद्ध हुआ था।<ref>{{cite arXiv|last1=Campos|first1=Ricardo|last2=Idrissi|first2=Najib|last3=Lambrechts|first3=Pascal|last4=Willwacher|first4=Thomas|author-link4=Thomas Willwacher|date=2018-02-02|title=सीमा के साथ मैनिफोल्ड्स का कॉन्फ़िगरेशन स्थान|eprint=1802.00716|class=math.AT}}</ref>
-यह एक रिक्त प्रश्न हुआ करता था कि क्या कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स के उदाहरण थे जो होमोटॉपी एक्विवलेंट  थे किन्तु नॉन-होमोटॉपी एक्विवलेंट  कॉन्फ़िगरेशन स्पेस थे: इस प्रकार ऐसा उदाहरण केवल 2005 में रिकार्डो लोंगोनी और पाओलो साल्वाटोर द्वारा पाया गया था। उनके उदाहरण दो त्रि-आयामी लेंस स्पेस और उनमें कम से कम दो बिंदुओं के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस हैं। यह कॉन्फ़िगरेशन स्पेस समरूप समतुल्य नहीं हैं, इसका पता मैसी उत्पादों द्वारा उनके संबंधित सार्वभौमिक आवरणों में लगाया गया था।<ref>{{citation|title=Configuration spaces are not homotopy invariant|year=2005|last1=Salvatore|last2=Longoni|first1=Paolo|first2=Riccardo|journal=Topology|volume=44|issue=2|pages=375&ndash;380|doi=10.1016/j.top.2004.11.002|arxiv=math/0401075|s2cid=15874513}}</ref> इस प्रकार सरल रूप से जुड़े हुए बंद मैनिफोल्ड के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के लिए होमोटोपी इनवेरिएंस सामान्य रूप से रिक्त रहता है, और बेस फ़ील्ड <math>\mathbf{R}</math> पर पकड़ बनाए रखने के लिए सिद्ध किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Campos|first1=Ricardo|last2=Willwacher|first2=Thomas|author-link2=Thomas Willwacher|date=2023|title=बिंदुओं के विन्यास स्थानों के लिए एक मॉडल|journal=Algebraic & Geometric Topology |volume=23 |issue=5 |pages=2029–2106 |doi=10.2140/agt.2023.23.2029 |arxiv=1604.02043 }}</ref><ref>{{cite journal|last=Idrissi|first=Najib|date=2016-08-29|title=The Lambrechts–Stanley Model of Configuration Spaces|url=https://archive.org/details/arxiv-1608.08054|journal=Inventiones Mathematicae|volume=216|pages=1–68|arxiv=1608.08054 |doi=10.1007/s00222-018-0842-9|bibcode=2016arXiv160808054I|s2cid=102354039}}</ref> आयाम कम से कम 4 भी सिद्ध हुआ था।<ref>{{cite arXiv|last1=Campos|first1=Ricardo|last2=Idrissi|first2=Najib|last3=Lambrechts|first3=Pascal|last4=Willwacher|first4=Thomas|author-link4=Thomas Willwacher|date=2018-02-02|title=सीमा के साथ मैनिफोल्ड्स का कॉन्फ़िगरेशन स्थान|eprint=1802.00716|class=math.AT}}</ref>
 == ग्राफ़ का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस ==
-कुछ परिणाम [[ग्राफ़ (टोपोलॉजी)]] के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के लिए विशेष हैं। इस प्रकार यह समस्या रोबोटिक्स और मोशन प्लानिंग से संबंधित हो सकती है: कोई विभिन्न रोबोटों को पटरियों पर रखने और उन्हें कोलिसन के बिना विभिन्न स्थितियों में ले जाने के लिए प्रयास करने की कल्पना कर सकता है। ट्रैक ग्राफ़ के किनारों से मेल खाते हैं, रोबोट कणों से मेल खाते हैं, और सफल नेविगेशन उस ग्राफ़ के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस  में पथ से मेल खाता है।<ref name=":1">{{citation |last=Ghrist|first=Robert|author-link=Robert Ghrist|contribution=Configuration spaces and braid groups on graphs in robotics|title= Knots, braids, and mapping class groups—papers dedicated to Joan S. Birman|pages=29–40|series= AMS/IP Stud. Adv. Math.|volume=24|publisher=[[American Mathematical Society]]|location= Providence, RI| year=2001| arxiv=math/9905023|mr=1873106|title-link=Joan Birman}}</ref>
+कुछ परिणाम [[ग्राफ़ (टोपोलॉजी)]] के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के लिए विशेष हैं। इस प्रकार यह समस्या रोबोटिक्स और मोशन प्लानिंग से संबंधित हो सकती है: कोई विभिन्न रोबोटों को पटरियों पर रखने और उन्हें कोलिसन के बिना विभिन्न स्थितियों में ले जाने के लिए प्रयास करने की कल्पना कर सकता है। इस प्रकार ट्रैक ग्राफ़ के किनारों से मेल खाते हैं, रोबोट कणों से मेल खाते हैं, और सफल नेविगेशन उस ग्राफ़ के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस  में पथ से मेल खाता है।<ref name=":1">{{citation |last=Ghrist|first=Robert|author-link=Robert Ghrist|contribution=Configuration spaces and braid groups on graphs in robotics|title= Knots, braids, and mapping class groups—papers dedicated to Joan S. Birman|pages=29–40|series= AMS/IP Stud. Adv. Math.|volume=24|publisher=[[American Mathematical Society]]|location= Providence, RI| year=2001| arxiv=math/9905023|mr=1873106|title-link=Joan Birman}}</ref>
 किसी भी ग्राफ़ के लिए <math>\Gamma</math>, <math>\operatorname{Conf}_n(\Gamma)</math> <math>K(\pi,1)</math> प्रकार का एक ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस है <ref name=":1" /> और सशक्त विरूपण आयाम के सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स <math>b(\Gamma)</math> में वापस आ जाता है। जहां <math>b(\Gamma)</math> डिग्री के शीर्षों की संख्या कम से कम 3 है। <ref name=":1" /> <ref>{{Cite journal|last1=Farley|first1=Daniel|last2=Sabalka|first2=Lucas|year=2005|title=असतत मोर्स सिद्धांत और ग्राफ ब्रैड समूह|journal=[[Algebraic & Geometric Topology]]|volume=5|issue=3|pages=1075–1109|doi=10.2140/agt.2005.5.1075|arxiv=math/0410539|mr=2171804|s2cid=119715655}}</ref> इसके अतिरिक्त, विरूपण अधिकतम आयाम के गैर-धनात्मक रूप से वृत्ताकार क्यूबिकल परिसरों <math>\min(n, b(\Gamma))</math> में वापस आ जाता है।<ref>{{Cite journal|last=Świątkowski|first=Jacek|year=2001|title=ग्राफ़ के कॉन्फ़िगरेशन स्थानों के समरूप आयाम का अनुमान|journal=Colloquium Mathematicum|language=pl|volume=89|issue=1|pages=69–79|doi=10.4064/cm89-1-5|mr=1853416 |doi-access=free}}</ref><ref>{{cite thesis|first=Daniel|last= Lütgehetmann| title=ग्राफ़ के कॉन्फ़िगरेशन स्थान| degree=Master’s| publisher=[[Free University of Berlin]]| location=Berlin|year= 2014}}</ref>
-== यांत्रिक लिंकेज का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस ==
+== मैकेनिकल लिंकेज का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस ==
-एक यांत्रिक लिंकेज के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस को ग्राफ़ <math>\Gamma</math> के साथ इसकी अंतर्निहित ज्यामिति को भी परिभाषित करता है। इस तरह के ग्राफ को सामान्यतः कठोर छड़ों और अनवरत के संयोजन के रूप में निर्मित माना जाता है। इस तरह के लिंकेज के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस को उचित मीट्रिक से सुसज्जित यूक्लिडियन स्पेस में इसके सभी स्वीकार्य पदों की समग्रता के रूप में परिभाषित किया गया है। जेनेरिक लिंकेज का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस एक स्मूथ मैनिफोल्ड है, उदाहरण के लिए, उल्टे जोड़ों से जुड़े <math>n</math> कठोर छड़ों से बने समान प्लेनर लिंकेज के लिए, कॉन्फ़िगरेशन स्पेस <math>n</math>-टोरस <math>T^n</math> है। <ref>{{Cite journal|last1=Shvalb|first1=Nir|last2=Shoham|first2=Moshe|last3=Blanc|first3=David|year=2005|title=अरचनोइड तंत्र का विन्यास स्थान|journal=Forum Mathematicum|language=en|volume=17|issue=6|pages=1033–1042|doi=10.1515/form.2005.17.6.1033|s2cid=121995780}}</ref><ref>{{Cite book|last=Farber|first=Michael|year=2007|title=टोपोलॉजिकल रोबोटिक्स के लिए निमंत्रण|publisher=american Mathematical Society}}</ref> इस प्रकार ऐसे कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में सबसे सरल विलक्षणता बिंदु एक यूक्लिडियन स्पेस द्वारा एक सजातीय द्विघात हाइपरसर्फेस पर एक शंकु का उत्पाद है। इस प्रकार लिंकेज के लिए ऐसा एक विलक्षणता बिंदु उभरता है जिसे दो सब-लिंकेज में विभाजित किया जा सकता है जैसे कि उनके संबंधित समापन बिंदु ट्रेस-पथ एक गैर-अनुप्रस्थ विधि से प्रतिच्छेद करते हैं, उदाहरण के लिए लिंकेज जिसे संरेखित किया जा सकता है (अर्थात पूर्ण रूप से एक पंक्ति में मोड़ा जा सकता है)।<ref>{{Cite journal|last1=Shvalb|first1=Nir|last2=Blanc|first2=David|year=2012|title=लिंकेज की सामान्य एकवचन विन्यास|journal=Topology and Its Applications|language=en|volume=159|issue=3|pages=877–890|doi=10.1016/j.topol.2011.12.003|doi-access=free}}</ref>
+एक मैकेनिकल लिंकेज के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस को ग्राफ़ <math>\Gamma</math> के साथ इसकी अंतर्निहित ज्यामिति को भी परिभाषित करता है। इस तरह के ग्राफ को सामान्यतः कठोर छड़ों और अनवरत के संयोजन के रूप में निर्मित माना जाता है। इस तरह के लिंकेज के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस को उचित मीट्रिक से सुसज्जित यूक्लिडियन स्पेस में इसके सभी स्वीकार्य पदों की समग्रता के रूप में परिभाषित किया गया है। जेनेरिक लिंकेज का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस एक स्मूथ मैनिफोल्ड है, उदाहरण के लिए, उल्टे जोड़ों से जुड़े <math>n</math> कठोर छड़ों से बने समान प्लेनर लिंकेज के लिए, कॉन्फ़िगरेशन स्पेस <math>n</math>-टोरस <math>T^n</math> है। <ref>{{Cite journal|last1=Shvalb|first1=Nir|last2=Shoham|first2=Moshe|last3=Blanc|first3=David|year=2005|title=अरचनोइड तंत्र का विन्यास स्थान|journal=Forum Mathematicum|language=en|volume=17|issue=6|pages=1033–1042|doi=10.1515/form.2005.17.6.1033|s2cid=121995780}}</ref><ref>{{Cite book|last=Farber|first=Michael|year=2007|title=टोपोलॉजिकल रोबोटिक्स के लिए निमंत्रण|publisher=american Mathematical Society}}</ref> इस प्रकार ऐसे कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में सबसे सरल विलक्षणता बिंदु एक यूक्लिडियन स्पेस द्वारा एक सजातीय द्विघात हाइपरसर्फेस पर एक शंकु का उत्पाद है। इस प्रकार लिंकेज के लिए ऐसा एक विलक्षणता बिंदु उभरता है जिसे दो सब-लिंकेज में विभाजित किया जा सकता है जैसे कि उनके संबंधित समापन बिंदु ट्रेस-पथ एक गैर-अनुप्रस्थ विधि से प्रतिच्छेद करते हैं, उदाहरण के लिए लिंकेज जिसे संरेखित किया जा सकता है (अर्थात पूर्ण रूप से एक पंक्ति में मोड़ा जा सकता है)।<ref>{{Cite journal|last1=Shvalb|first1=Nir|last2=Blanc|first2=David|year=2012|title=लिंकेज की सामान्य एकवचन विन्यास|journal=Topology and Its Applications|language=en|volume=159|issue=3|pages=877–890|doi=10.1016/j.topol.2011.12.003|doi-access=free}}</ref>
 == संघनन ==
-इस प्रकार कॉन्फ़िगरेशन स्पेस  <math>\operatorname{Conf}_n(X)</math> भिन्न-भिन्न बिंदुओं का नॉन-कॉम्पैक्ट होता है, जिसके सिरे वहां होते हैं जहां बिंदु एक-दूसरे के निकट आते हैं (संगामी हो जाते हैं)। विभिन्न ज्यामितीय अनुप्रयोगों के लिए कॉम्पैक्ट स्पेस की आवश्यकता होती है, इसलिए कोई [[संकलन (गणित)|कॉम्पैक्ट (गणित)]] <math>\operatorname{Conf}_n(X)</math> करना चाहेगा अर्थात, इस प्रकार इसे उपयुक्त गुणों के साथ कॉम्पैक्ट स्पेस के विवृत उपसमुच्चय के रूप में एम्बेड करें। इस समस्या के लिए दृष्टिकोण [[राउल बॉट]] और [[क्लिफोर्ड टौब्स]] द्वारा साथ ही [[विलियम फुल्टन (गणितज्ञ)]] और [[रॉबर्ट मैकफरसन (गणितज्ञ)]] द्वारा दिए गए हैं,<ref>{{Cite journal |last1=Bott |first1=Raoul |author1-link=Raoul Bott|last2=Taubes |first2=Clifford |author2-link=Clifford Taubes|date=1994-10-01 |title=गांठों के अपने आप जुड़ने पर|url=http://dx.doi.org/10.1063/1.530750 |journal=[[Journal of Mathematical Physics]] |volume=35 |issue=10 |pages=5247–5287 |doi=10.1063/1.530750 |issn=0022-2488}}</ref> ।<ref>{{Cite journal |last1=Fulton |first1=William |author1-link=William Fulton (mathematician)|last2=MacPherson |first2=Robert |author2-link=Robert MacPherson (mathematician)|date=January 1994 |title=कॉन्फ़िगरेशन रिक्त स्थान का एक संघनन|url=http://dx.doi.org/10.2307/2946631 |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=139 |issue=1 |pages=183 |doi=10.2307/2946631 |jstor=2946631 |issn=0003-486X}}</ref>
+इस प्रकार कॉन्फ़िगरेशन स्पेस  <math>\operatorname{Conf}_n(X)</math> भिन्न-भिन्न बिंदुओं का नॉन-कॉम्पैक्ट होता है, जिसके शीर्ष वहां होते हैं जहां बिंदु एक-दूसरे के निकट आते हैं (संगामी हो जाते हैं)। विभिन्न ज्यामितीय अनुप्रयोगों के लिए कॉम्पैक्ट स्पेस की आवश्यकता होती है, इसलिए कोई [[संकलन (गणित)|कॉम्पैक्ट (गणित)]] <math>\operatorname{Conf}_n(X)</math> करना चाहेगा अर्थात, इस प्रकार इसे उपयुक्त गुणों के साथ कॉम्पैक्ट स्पेस के विवृत उपसमुच्चय के रूप में एम्बेड करें। इस समस्या के लिए दृष्टिकोण [[राउल बॉट]] और [[क्लिफोर्ड टौब्स]] द्वारा साथ ही [[विलियम फुल्टन (गणितज्ञ)]] और [[रॉबर्ट मैकफरसन (गणितज्ञ)]] द्वारा दिए गए हैं,<ref>{{Cite journal |last1=Bott |first1=Raoul |author1-link=Raoul Bott|last2=Taubes |first2=Clifford |author2-link=Clifford Taubes|date=1994-10-01 |title=गांठों के अपने आप जुड़ने पर|url=http://dx.doi.org/10.1063/1.530750 |journal=[[Journal of Mathematical Physics]] |volume=35 |issue=10 |pages=5247–5287 |doi=10.1063/1.530750 |issn=0022-2488}}</ref> ।<ref>{{Cite journal |last1=Fulton |first1=William |author1-link=William Fulton (mathematician)|last2=MacPherson |first2=Robert |author2-link=Robert MacPherson (mathematician)|date=January 1994 |title=कॉन्फ़िगरेशन रिक्त स्थान का एक संघनन|url=http://dx.doi.org/10.2307/2946631 |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=139 |issue=1 |pages=183 |doi=10.2307/2946631 |jstor=2946631 |issn=0003-486X}}</ref>
-==यह भी देखें==
+==यह भी देखें                                                                                                                                                                                                                              ==
 {{Portal|Mathematics}}
 *कॉन्फ़िगरेशन स्पेस  (भौतिकी)
 *स्टेट स्पेस (भौतिकी)
-== संदर्भ ==
+== संदर्भ                                                                                                                            ==
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परिभाषा

वैकल्पिक सूत्रीकरण

उदाहरण

ब्रैड समूहों से सम्बन्ध

मैनिफोल्ड्स का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस

होमोटोपी इनवेरिएंस

ग्राफ़ का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस

मैकेनिकल लिंकेज का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस

संघनन

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ब्रैड समूहों से सम्बन्ध

मैनिफोल्ड्स का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस

होमोटोपी इनवेरिएंस

ग्राफ़ का कॉन्फ़िगरेशन स्पेस

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