धनात्मक रैखिक फलनात्मक: Difference between revisions

Revision as of 08:07, 1 December 2023

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक क्रमबद्ध सदिश समष्टि $(V,\leq )$ पर एक धनात्मक रैखिक कार्यात्मक, पर एक रैखिक कार्यात्मक $f$ है जिससे सभी धनात्मक अवयव $v\in V,$ अथार्त कि $v\geq 0,$ के लिए यह माना जा सकता है कि

f(v)\geq 0.

दूसरे शब्दों में, एक धनात्मक रैखिक कार्यात्मकता को धनात्मक अवयव के लिए गैर-ऋणात्मक मान लेने की आश्वासन दी जाती है। जो कि धनात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं का महत्व रिज़्ज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय जैसे परिणामों में निहित है।

जब $V$ एक सम्मिश्र सदिश समष्टि है, तो यह माना जाता है कि सभी $v\geq 0,$ के लिए $f(v)$ वास्तविक है। जैसा कि उस स्थिति में जब $V$ एक C*-बीजगणित है जिसमें स्व-सहायक अवयव का आंशिक रूप से क्रमबद्ध उप-समष्टि होता है, कभी-कभी आंशिक क्रम केवल एक उप-समष्टि $W\subseteq V,$ पर रखा जाता है और आंशिक क्रम पूरे $V,$ तक विस्तारित नहीं होता है, जिसमें यदि संकेतन के दुरुपयोग से $V,$ के धनात्मक तत्व $W,$ के धनात्मक तत्व हैं। इसका तात्पर्य यह है कि C*-बीजगणित के लिए, एक धनात्मक रैखिक कार्यात्मक किसी भी $x\in V$ को किसी वास्तविक संख्या में कुछ $s\in V$ के लिए $s^{\ast }s$ के समान भेजता है, जो इसके सम्मिश्र संयुग्म के समान है, और इसलिए सभी धनात्मक रैखिक कार्यात्मक ऐसे $x.$ की स्व-संयुक्तता को सुरक्षित रखें। C*-बीजगणित पर धनात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं को आंतरिक उत्पादों से जोड़ने के लिए जीएनएस निर्माण में इस गुण का उपयोग किया जाता है।

सभी धनात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं की निरंतरता के लिए पर्याप्त नियम

क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश रिक्त समष्टि का एक तुलनात्मक रूप से बड़ा वर्ग है जिस पर प्रत्येक धनात्मक रैखिक रूप आवश्यक रूप से निरंतर है।^[1]

इसमें सभी टोपोलॉजिकल सदिश जालक सम्मिलित हैं जो अनुक्रमिक रूप से पूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस हैं।^[1]

प्रमेय मान लीजिए कि $X$ धनात्मक शंकु $C\subseteq X$ के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है और मान लीजिए कि ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$

फिर निम्नलिखित में से प्रत्येक नियम यह आश्वासन देने के लिए पर्याप्त है कि $X.$ पर प्रत्येक धनात्मक रैखिक कार्यात्मकता निरंतर है:

$C$ इसमें गैर-खाली टोपोलॉजिकल इंटीरियर (इंच) $X$ है ^[1]
$X$ पूर्ण समष्टि और मेट्रिज़ेबल और $X=C-C.$ है ^[1]
X बोर्नोलॉजिकल स्पेस है और $C$ $X.$ में एक अर्ध-पूर्ण सख्त ${\mathcal {B}}$ -शंकु है।^[1]
$X$ , धनात्मक रैखिक मानचित्रों के वर्ग के संबंध में आदेशित फ़्रेचेट रिक्त समष्टि के वर्ग $\left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ की आगमनात्मक सीमा है, जहां सभी $X_{\alpha }=C_{\alpha }-C_{\alpha }$ के लिए $\alpha \in A,$ है, जहां $C_{\alpha }$ $X_{\alpha }.$ का धनात्मक शंकु है।^[1]

निरंतर धनात्मक विस्तार

निम्नलिखित प्रमेय एच. बाउर और स्वतंत्र रूप से नामियोका के कारण है।^[1]

प्रमेय:^[1] मान लीजिए कि

X

धनात्मक शंकु के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस (टीवीएस) है

C,

मान लीजिए कि

M

,

E,

का एक सदिश उपसमष्टि है और मान लीजिए कि

f

,

M.

पर एक रैखिक रूप है, तो

f

के पास

X

पर एक सतत धनात्मक रैखिक रूप का विस्तार है, यदि और केवल यदि X में

0

का कुछ उत्तल निकट U उपस्थित है इस प्रकार कि

\operatorname {Re} f

ऊपर

M\cap (U-C).

पर परिबद्ध है।

परिणाम:^[1] मान लीजिए कि

X

धनात्मक शंकु के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है

C,

मान लीजिए

M

,

E.

का एक सदिश उपसमष्टि है। यदि

C\cap M

में

C

का आंतरिक बिंदु है तो

M

पर प्रत्येक सतत धनात्मक रैखिक रूप का

X.

पर सतत धनात्मक रैखिक रूप का विस्तार होता है।

परिणाम:^[1] मान लीजिए कि $X$ धनात्मक शंकु के साथ एक क्रमित सदिश समष्टि है

C,

मान लीजिए कि

M

,

E,

का एक सदिश उपसमष्टि है और मान लीजिए कि

f

,

M.

का एक रैखिक रूप है तब

f

के पास

X

पर एक धनात्मक रैखिक रूप का विस्तार होता है यदि और केवल यदि

X

में कुछ उत्तल अवशोषक उपसमुच्चय

W

उपस्थित होता है जिसमें

X

की उत्पत्ति होती है जैसे कि

\operatorname {Re} f

ऊपर

M\cap (W-C).

से घिरा होता है।

प्रमाण: यह $X$ को उत्तम स्थानीय उत्तल टोपोलॉजी प्रदान करने के लिए पर्याप्त है, जिससे $W$ को $0\in X.$ के निकट में बनाया जा सकता है।

उदाहरण

$V,$ के उदाहरण के रूप में, सम्मिश्र वर्ग आव्यूहों के C*-बीजगणित पर विचार करें, जिसमें धनात्मक तत्व धनात्मक-निश्चित आव्यूह हैं। इस C*-बीजगणित पर परिभाषित ट्रेस फलन एक धनात्मक कार्यात्मक है, क्योंकि किसी भी धनात्मक-निश्चित मैट्रिक्स के आइजेनवैल्यू धनात्मक हैं, और इसलिए इसका ट्रेस धनात्मक है।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस $X.$ पर कॉम्पैक्ट समर्थन के सभी निरंतर सम्मिश्र-मूल्य वाले कार्यों के रीज़ स्पेस $\mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X)$ पर विचार करें। जो कि $X.$ पर एक बोरेल नियमित माप $\mu$ और द्वारा परिभाषित एक कार्यात्मक $\psi$ पर विचार करें

\psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad {\text{ for all }}f\in \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X).

फिर, यह कार्यात्मक धनात्मक है (किसी भी धनात्मक फलन का अभिन्न अंग एक धनात्मक संख्या है)। इसके अतिरिक्त, इस समष्टि पर किसी भी धनात्मक कार्यात्मकता का यह रूप होता है, जैसा कि रिज़्ज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय से निम्नानुसार है।

धनात्मक रैखिक कार्यात्मक (सी*-बीजगणित)

मान लीजिए कि M एक C*-बीजगणित है (अधिक सामान्यतः, C*-बीजगणित A में एक ऑपरेटर प्रणाली) जिसकी पहचान 1 है। मान लीजिए कि $M^{+}$ $M.$ में धनात्मक अवयव के समुच्चय को दर्शाता है।

$M$ पर एक रैखिक कार्यात्मक $\rho$ को धनात्मक कहा जाता है यदि सभी $a\in M^{+}.$ के लिए $\rho (a)\geq 0,$ है।

प्रमेय. $M$ पर एक रैखिक कार्यात्मक $\rho$ धनात्मक है यदि और केवल यदि $\rho$ घिरा हुआ है और $\|\rho \|=\rho (1).$ है।^[2]

कॉची-श्वार्ज़ असमानता

$\rho$ C*-बीजगणित $A,$ पर एक धनात्मक रैखिक कार्यात्मक है, तो कोई $A,$ पर एक अर्धनिश्चित सेसक्विलिनियर रूप को $\langle a,b\rangle =\rho (b^{\ast }a).$ द्वारा परिभाषित कर सकता है, इस प्रकार कॉची-श्वार्ज़ असमानता से हमारे पास है

\left|\rho (b^{\ast }a)\right|^{2}\leq \rho (a^{\ast }a)\cdot \rho (b^{\ast }b).

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

समष्टि $C$ को देखते हुए, एक मूल्य प्रणाली को $C$ पर एक सतत, धनात्मक, रैखिक कार्यात्मक के रूप में देखा जा सकता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 ^1.7 ^1.8 ^1.9 Schaefer & Wolff 1999, pp. 225–229.
↑ Murphy, Gerard. "3.3.4". सी*-बीजगणित और संचालिका सिद्धांत (1st ed.). Academic Press, Inc. p. 89. ISBN 978-0125113601.

ग्रन्थसूची

Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999225–229-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 ^1.7 ^1.8 ^1.9 Schaefer & Wolff 1999, pp. 225–229.

[Murphy-2] Murphy, Gerard. "3.3.4". सी*-बीजगणित और संचालिका सिद्धांत (1st ed.). Academic Press, Inc. p. 89. ISBN 978-0125113601.

[1]

[2]

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+गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक क्रमबद्ध सदिश समष्टि <math>(V, \leq)</math> पर एक '''धनात्मक रैखिक कार्यात्मक''', पर एक रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> है जिससे सभी धनात्मक अवयव <math>v \in V,</math> अथार्त कि <math>v \geq 0,</math> के लिए यह माना जा सकता है कि
-गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक क्रमबद्ध सदिश स्थान <math>(V, \leq)</math> पर एक '''सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक''', पर एक रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> है जिससे सभी सकारात्मक अवयव <math>v \in V,</math> अथार्त कि <math>v \geq 0,</math> के लिए यह माना जा सकता है कि
 <math display="block">f(v) \geq 0.</math>
-दूसरे शब्दों में, एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकता को सकारात्मक अवयव के लिए गैर-ऋणात्मक मान लेने की आश्वासन दी जाती है। जो कि सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं का महत्व रिज़्ज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय जैसे परिणामों में निहित है।
+दूसरे शब्दों में, एक धनात्मक रैखिक कार्यात्मकता को धनात्मक अवयव के लिए गैर-ऋणात्मक मान लेने की आश्वासन दी जाती है। जो कि धनात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं का महत्व रिज़्ज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय जैसे परिणामों में निहित है।
-जब <math>V</math> एक सम्मिश्र सदिश समष्टि है, तो यह माना जाता है कि सभी <math>v\ge0,</math> के लिए <math>f(v)</math> वास्तविक है। जैसा कि उस स्थिति में जब <math>V</math> एक C*-बीजगणित है जिसमें स्व-सहायक अवयव का आंशिक रूप से क्रमबद्ध उप-स्थान होता है, कभी-कभी आंशिक क्रम केवल एक उप-स्थान <math>W\subseteq V,</math> पर रखा जाता है और आंशिक क्रम पूरे <math>V,</math> तक विस्तारित नहीं होता है, जिसमें यदि संकेतन के दुरुपयोग से <math>V,</math> के सकारात्मक तत्व <math>W,</math> के सकारात्मक तत्व हैं। इसका तात्पर्य यह है कि C*-बीजगणित के लिए, एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक किसी भी <math>x \in V</math> को किसी वास्तविक संख्या में कुछ <math>s \in V</math> के लिए <math>s^{\ast}s</math> के समान भेजता है, जो इसके सम्मिश्र संयुग्म के समान है, और इसलिए सभी सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक ऐसे <math>x.</math> की स्व-संयुक्तता को सुरक्षित रखें। C*-बीजगणित पर सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं को आंतरिक उत्पादों से जोड़ने के लिए जीएनएस निर्माण में इस गुण का उपयोग किया जाता है।
+जब <math>V</math> एक सम्मिश्र सदिश समष्टि है, तो यह माना जाता है कि सभी <math>v\ge0,</math> के लिए <math>f(v)</math> वास्तविक है। जैसा कि उस स्थिति में जब <math>V</math> एक C*-बीजगणित है जिसमें स्व-सहायक अवयव का आंशिक रूप से क्रमबद्ध उप-समष्टि होता है, कभी-कभी आंशिक क्रम केवल एक उप-समष्टि <math>W\subseteq V,</math> पर रखा जाता है और आंशिक क्रम पूरे <math>V,</math> तक विस्तारित नहीं होता है, जिसमें यदि संकेतन के दुरुपयोग से <math>V,</math> के धनात्मक तत्व <math>W,</math> के धनात्मक तत्व हैं। इसका तात्पर्य यह है कि C*-बीजगणित के लिए, एक धनात्मक रैखिक कार्यात्मक किसी भी <math>x \in V</math> को किसी वास्तविक संख्या में कुछ <math>s \in V</math> के लिए <math>s^{\ast}s</math> के समान भेजता है, जो इसके सम्मिश्र संयुग्म के समान है, और इसलिए सभी धनात्मक रैखिक कार्यात्मक ऐसे <math>x.</math> की स्व-संयुक्तता को सुरक्षित रखें। C*-बीजगणित पर धनात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं को आंतरिक उत्पादों से जोड़ने के लिए जीएनएस निर्माण में इस गुण का उपयोग किया जाता है।
-== सभी सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं की निरंतरता के लिए पर्याप्त नियम ==
+== सभी धनात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं की निरंतरता के लिए पर्याप्त नियम ==
-क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश रिक्त स्थान का एक तुलनात्मक रूप से बड़ा वर्ग है जिस पर प्रत्येक सकारात्मक रैखिक रूप आवश्यक रूप से निरंतर है।{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}
+क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश रिक्त समष्टि का एक तुलनात्मक रूप से बड़ा वर्ग है जिस पर प्रत्येक धनात्मक रैखिक रूप आवश्यक रूप से निरंतर है।{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}
 इसमें सभी [[ टोपोलॉजिकल वेक्टर जाली |टोपोलॉजिकल सदिश जालक]] सम्मिलित हैं जो अनु[[क्रमिक रूप से पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|क्रमिक रूप से पूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस]] हैं।{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}
-प्रमेय मान लीजिए कि <math>X</math> सकारात्मक शंकु <math>C \subseteq X</math> के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है और मान लीजिए कि <math>\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)</math>
+प्रमेय मान लीजिए कि <math>X</math> धनात्मक शंकु <math>C \subseteq X</math> के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है और मान लीजिए कि <math>\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)</math>
-फिर निम्नलिखित में से प्रत्येक नियम यह आश्वासन देने के लिए पर्याप्त है कि <math>X.</math> पर प्रत्येक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकता निरंतर है:
+फिर निम्नलिखित में से प्रत्येक नियम यह आश्वासन देने के लिए पर्याप्त है कि <math>X.</math> पर प्रत्येक धनात्मक रैखिक कार्यात्मकता निरंतर है:
 # <math>C</math> इसमें गैर-खाली टोपोलॉजिकल इंटीरियर (इंच) <math>X</math> है {{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}
-# <math>X</math> [[पूर्ण स्थान]] और [[मेट्रिज़ेबल]] और <math>X = C - C.</math> है {{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}
+# <math>X</math> [[पूर्ण स्थान|पूर्ण समष्टि]] और [[मेट्रिज़ेबल]] और <math>X = C - C.</math> है {{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}
 #X [[बोर्नोलॉजिकल स्पेस]] है और <math>C</math> <math>X.</math> में एक अर्ध-पूर्ण सख्त <math>\mathcal{B}</math> -शंकु है।{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}
-#<math>X</math>, सकारात्मक रैखिक मानचित्रों के वर्ग के संबंध में आदेशित फ़्रेचेट रिक्त स्थान के वर्ग <math>\left(X_{\alpha} \right)_{\alpha \in A}</math> की आगमनात्मक सीमा है, जहां सभी <math>X_{\alpha} = C_{\alpha} - C_{\alpha}</math> के लिए <math>\alpha \in A,</math> है, जहां <math>C_{\alpha}</math> <math>X_{\alpha}.</math> का सकारात्मक शंकु है।{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}
+#<math>X</math>, धनात्मक रैखिक मानचित्रों के वर्ग के संबंध में आदेशित फ़्रेचेट रिक्त समष्टि के वर्ग <math>\left(X_{\alpha} \right)_{\alpha \in A}</math> की आगमनात्मक सीमा है, जहां सभी <math>X_{\alpha} = C_{\alpha} - C_{\alpha}</math> के लिए <math>\alpha \in A,</math> है, जहां <math>C_{\alpha}</math> <math>X_{\alpha}.</math> का धनात्मक शंकु है।{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}
-==निरंतर सकारात्मक विस्तार ==
+==निरंतर धनात्मक विस्तार ==
 निम्नलिखित प्रमेय एच. बाउर और स्वतंत्र रूप से नामियोका के कारण है।{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}
-:प्रमेय:{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}} मान लीजिए कि <math>X</math> सकारात्मक शंकु के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस (टीवीएस) है <math>C,</math> मान लीजिए कि <math>M</math>, <math>E,</math> का एक सदिश उपसमष्टि है और मान लीजिए कि <math>f</math>, <math>M.</math> पर एक रैखिक रूप है, तो <math>f</math> के पास <math>X</math> पर एक सतत सकारात्मक रैखिक रूप का विस्तार है, यदि और केवल यदि X में <math>0</math> का कुछ उत्तल निकट U उपस्थित है इस प्रकार कि <math>\operatorname{Re} f</math> ऊपर <math>M \cap (U - C).</math> पर परिबद्ध है।
+:प्रमेय:{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}} मान लीजिए कि <math>X</math> धनात्मक शंकु के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस (टीवीएस) है <math>C,</math> मान लीजिए कि <math>M</math>, <math>E,</math> का एक सदिश उपसमष्टि है और मान लीजिए कि <math>f</math>, <math>M.</math> पर एक रैखिक रूप है, तो <math>f</math> के पास <math>X</math> पर एक सतत धनात्मक रैखिक रूप का विस्तार है, यदि और केवल यदि X में <math>0</math> का कुछ उत्तल निकट U उपस्थित है इस प्रकार कि <math>\operatorname{Re} f</math> ऊपर <math>M \cap (U - C).</math> पर परिबद्ध है।
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-:परिणाम:{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}} मान लीजिए कि <math>X</math> सकारात्मक शंकु के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश स्थान है <math>C,</math> मान लीजिए <math>M</math>, <math>E.</math> का एक सदिश उपसमष्टि है। यदि <math>C \cap M</math> में <math>C</math> का आंतरिक बिंदु है तो <math>M</math> पर प्रत्येक सतत सकारात्मक रैखिक रूप का <math>X.</math> पर सतत सकारात्मक रैखिक रूप का विस्तार होता है।
+:परिणाम:{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}} मान लीजिए कि <math>X</math> धनात्मक शंकु के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है <math>C,</math> मान लीजिए <math>M</math>, <math>E.</math> का एक सदिश उपसमष्टि है। यदि <math>C \cap M</math> में <math>C</math> का आंतरिक बिंदु है तो <math>M</math> पर प्रत्येक सतत धनात्मक रैखिक रूप का <math>X.</math> पर सतत धनात्मक रैखिक रूप का विस्तार होता है।
-:परिणाम:'''{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}''' मान लीजिए कि '''<math>X</math>''' सकारात्मक शंकु के साथ एक क्रमित सदिश समष्टि है <math>C,</math>   मान लीजिए कि <math>M</math>, <math>E,</math> का एक सदिश उपसमष्टि है और मान लीजिए कि <math>f</math>, <math>M.</math>का एक रैखिक रूप है तब <math>f</math> के पास <math>X</math> पर एक सकारात्मक रैखिक रूप का विस्तार होता है यदि और केवल यदि <math>X</math> में कुछ उत्तल अवशोषक उपसमुच्चय <math>W</math> उपस्थित होता है जिसमें <math>X</math> की उत्पत्ति होती है जैसे कि <math>\operatorname{Re} f</math> ऊपर <math>M \cap (W - C).</math> से घिरा होता है।
+:परिणाम:'''{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=225-229}}''' मान लीजिए कि '''<math>X</math>''' धनात्मक शंकु के साथ एक क्रमित सदिश समष्टि है <math>C,</math>   मान लीजिए कि <math>M</math>, <math>E,</math> का एक सदिश उपसमष्टि है और मान लीजिए कि <math>f</math>, <math>M.</math>का एक रैखिक रूप है तब <math>f</math> के पास <math>X</math> पर एक धनात्मक रैखिक रूप का विस्तार होता है यदि और केवल यदि <math>X</math> में कुछ उत्तल अवशोषक उपसमुच्चय <math>W</math> उपस्थित होता है जिसमें <math>X</math> की उत्पत्ति होती है जैसे कि <math>\operatorname{Re} f</math> ऊपर <math>M \cap (W - C).</math> से घिरा होता है।
 प्रमाण: यह <math>X</math> को उत्तम स्थानीय उत्तल टोपोलॉजी प्रदान करने के लिए पर्याप्त है, जिससे <math>W</math> को <math>0 \in X.</math> के निकट में बनाया जा सकता है।
 == उदाहरण ==
-<math>V,</math> के उदाहरण के रूप में, सम्मिश्र वर्ग आव्यूहों के C*-बीजगणित पर विचार करें, जिसमें सकारात्मक तत्व सकारात्मक-निश्चित आव्यूह हैं। इस C*-बीजगणित पर परिभाषित ट्रेस फ़ंक्शन एक सकारात्मक कार्यात्मक है, क्योंकि किसी भी सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स के आइजेनवैल्यू सकारात्मक हैं, और इसलिए इसका ट्रेस सकारात्मक है।
+<math>V,</math> के उदाहरण के रूप में, सम्मिश्र वर्ग आव्यूहों के C*-बीजगणित पर विचार करें, जिसमें धनात्मक तत्व धनात्मक-निश्चित आव्यूह हैं। इस C*-बीजगणित पर परिभाषित ट्रेस फलन एक धनात्मक कार्यात्मक है, क्योंकि किसी भी धनात्मक-निश्चित मैट्रिक्स के आइजेनवैल्यू धनात्मक हैं, और इसलिए इसका ट्रेस धनात्मक है।
-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस <math>X.</math>पर कॉम्पैक्ट समर्थन के सभी निरंतर जटिल-मूल्य वाले कार्यों के रीज़ स्पेस <math>\mathrm{C}_{\mathrm{c}}(X)</math> पर विचार करें। जो कि <math>X.</math> पर एक बोरेल नियमित माप <math>\mu</math> और द्वारा परिभाषित एक कार्यात्मक <math>\psi</math> पर विचार करें <math display=block>\psi(f) = \int_X f(x) d \mu(x) \quad \text{ for all } f \in \mathrm{C}_{\mathrm{c}}(X).</math> फिर, यह कार्यात्मक सकारात्मक है (किसी भी सकारात्मक फ़ंक्शन का अभिन्न अंग एक सकारात्मक संख्या है)। इसके अलावा, इस स्थान पर किसी भी सकारात्मक कार्यात्मकता का यह रूप होता है, जैसा कि रिज़्ज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय से निम्नानुसार है।
+स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस <math>X.</math>पर कॉम्पैक्ट समर्थन के सभी निरंतर सम्मिश्र-मूल्य वाले कार्यों के रीज़ स्पेस <math>\mathrm{C}_{\mathrm{c}}(X)</math> पर विचार करें। जो कि <math>X.</math> पर एक बोरेल नियमित माप <math>\mu</math> और द्वारा परिभाषित एक कार्यात्मक <math>\psi</math> पर विचार करें <math display=block>\psi(f) = \int_X f(x) d \mu(x) \quad \text{ for all } f \in \mathrm{C}_{\mathrm{c}}(X).</math> फिर, यह कार्यात्मक धनात्मक है (किसी भी धनात्मक फलन का अभिन्न अंग एक धनात्मक संख्या है)। इसके अतिरिक्त, इस समष्टि पर किसी भी धनात्मक कार्यात्मकता का यह रूप होता है, जैसा कि रिज़्ज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय से निम्नानुसार है।
-== सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक (सी*-बीजगणित) ==
+== धनात्मक रैखिक कार्यात्मक (सी*-बीजगणित) ==
-मान लीजिए कि M एक C*-बीजगणित है (अधिक सामान्यतः, C*-बीजगणित A में एक ऑपरेटर प्रणाली) जिसकी पहचान 1 है। मान लीजिए कि <math>M^+</math> <math>M.</math> में सकारात्मक अवयव के सेट को दर्शाता है।
+मान लीजिए कि M एक C*-बीजगणित है (अधिक सामान्यतः, C*-बीजगणित A में एक ऑपरेटर प्रणाली) जिसकी पहचान 1 है। मान लीजिए कि <math>M^+</math> <math>M.</math> में धनात्मक अवयव के समुच्चय को दर्शाता है।
-<math>M</math> पर एक रैखिक कार्यात्मक <math>\rho</math> को सकारात्मक कहा जाता है यदि सभी <math>a \in M^+.</math> के लिए <math>\rho(a) \geq 0,</math> है।
+<math>M</math> पर एक रैखिक कार्यात्मक <math>\rho</math> को धनात्मक कहा जाता है यदि सभी <math>a \in M^+.</math> के लिए <math>\rho(a) \geq 0,</math> है।
-प्रमेय. <math>M</math> पर एक रैखिक कार्यात्मक <math>\rho</math> सकारात्मक है यदि और केवल यदि <math>\rho</math> घिरा हुआ है और <math>\|\rho\| = \rho(1).</math> है।<ref name="Murphy">{{cite book|last=Murphy|first=Gerard |title=सी*-बीजगणित और संचालिका सिद्धांत|publisher=Academic Press, Inc.|isbn=978-0125113601|edition=1st|chapter=3.3.4|pages=89}}</ref>
+प्रमेय. <math>M</math> पर एक रैखिक कार्यात्मक <math>\rho</math> धनात्मक है यदि और केवल यदि <math>\rho</math> घिरा हुआ है और <math>\|\rho\| = \rho(1).</math> है।<ref name="Murphy">{{cite book|last=Murphy|first=Gerard |title=सी*-बीजगणित और संचालिका सिद्धांत|publisher=Academic Press, Inc.|isbn=978-0125113601|edition=1st|chapter=3.3.4|pages=89}}</ref>
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 === कॉची-श्वार्ज़ असमानता ===
-<math>\rho</math> C*-बीजगणित <math>A,</math> पर एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक है, तो कोई <math>A,</math> पर एक अर्धनिश्चित सेसक्विलिनियर रूप को <math>\langle a,b\rangle = \rho(b^{\ast}a).</math> द्वारा परिभाषित कर सकता है, इस प्रकार कॉची-श्वार्ज़ असमानता से हमारे पास है
+<math>\rho</math> C*-बीजगणित <math>A,</math> पर एक धनात्मक रैखिक कार्यात्मक है, तो कोई <math>A,</math> पर एक अर्धनिश्चित सेसक्विलिनियर रूप को <math>\langle a,b\rangle = \rho(b^{\ast}a).</math> द्वारा परिभाषित कर सकता है, इस प्रकार कॉची-श्वार्ज़ असमानता से हमारे पास है
 <math display=block>\left|\rho(b^{\ast}a)\right|^2 \leq \rho(a^{\ast}a) \cdot \rho(b^{\ast}b).</math>
 == अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग ==
-स्थान <math>C</math> को देखते हुए, एक मूल्य प्रणाली को <math>C</math> पर एक सतत, सकारात्मक, रैखिक कार्यात्मक के रूप में देखा जा सकता है।
+समष्टि <math>C</math> को देखते हुए, एक मूल्य प्रणाली को <math>C</math> पर एक सतत, धनात्मक, रैखिक कार्यात्मक के रूप में देखा जा सकता है।
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|सकारात्मक तत्व (आदेशित समूह)|सकारात्मक अवयव }}
+* {{annotated link|धनात्मक घटक (आदेशित समूह)|धनात्मक घटक}}
-* {{annotated link|सकारात्मक रैखिक ऑपरेटर}}
+* {{annotated link|धनात्मक रैखिक संचालक}}
 == संदर्भ ==

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धनात्मक रैखिक फलनात्मक: Difference between revisions

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Revision as of 08:07, 1 December 2023

Contents

सभी धनात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं की निरंतरता के लिए पर्याप्त नियम

निरंतर धनात्मक विस्तार

उदाहरण

धनात्मक रैखिक कार्यात्मक (सी*-बीजगणित)

कॉची-श्वार्ज़ असमानता

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

यह भी देखें

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धनात्मक रैखिक फलनात्मक: Difference between revisions

Revision as of 08:07, 1 December 2023

सभी धनात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं की निरंतरता के लिए पर्याप्त नियम

निरंतर धनात्मक विस्तार

उदाहरण

धनात्मक रैखिक कार्यात्मक (सी*-बीजगणित)

कॉची-श्वार्ज़ असमानता

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

यह भी देखें

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