परिमित समुच्चय

गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धान्त में, एक परिमित समुच्चय एक समुच्चय (गणित) होता है जिसमें तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। अनौपचारिक रूप से, एक परिमित समुच्चय एक ऐसा समुच्चय होता है जिसे सैद्धांतिक रूप से कोई भी गिन सकता है और गिनना समाप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए,

$\{2,4,6,8,10\}$

यह पाँच तत्वों वाला एक परिमित समुच्चय है। एक परिमित समुच्चय के तत्वों की संख्या एक प्राकृतिक संख्या (संभवतः शून्य) है और इसे समुच्चय की प्रमुखता (या प्रमुख संख्या) कहा जाता है। वह समुच्चय जो परिमित समुच्चय नहीं है, अपरिमित समुच्चय कहलाता है। उदाहरण के लिए, सभी धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय अनंत है,

$\{1,2,3,\ldots \}.$

गणना के गणितीय अध्ययन, साहचर्य में परिमित समुच्चय विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं। परिमित समुच्चय से जुड़े कई तर्क कबूतर सिद्धांत पर भरोसा करते हैं, जिसमें कहा गया है कि एक बड़े परिमित समुच्चय से एक छोटे परिमित समुच्चय तक एक एकैकी फलन (गणित) मौजूद नहीं हो सकता है।

परिभाषा और शब्दावली

औपचारिक रूप से, एक समुच्चय S परिमित कहा जाता है यदि कोई आक्षेप मौजूद है तो

$f\colon S\to \{1,\ldots ,n\}$

कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए । जो संख्या n समुच्चय की प्रमुखता है, जिसे |S| के रूप में दर्शाया गया है। खाली समुच्चय { } या ∅ को कार्डिनैलिटी शून्य के साथ परिमित माना जाता है।

यदि एक समुच्चय परिमित है, तो इसके तत्वों को - कई तरीकों से - एक क्रम में लिखा जा सकता है:

$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\quad (x_{i}\in S,\ 1\leq i\leq n).$

साहचर्य में, n तत्वों के साथ एक परिमित समुच्चय को कभी-कभी n-समुच्चय कहा जाता है और k तत्वों वाले सबसमुच्चय को k-सबसमुच्चय कहा जाता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय {5,6,7} एक 3-समुच्चय है - तीन तत्वों वाला परिमित समुच्चय - और {6,7} इसका 2-उपसमुच्चय है।

(जो प्राकृतिक संख्या की परिभाषा से परिचित हैं, वे समुच्चय थ्योरी में परंपरागत रूप से, तथाकथि वॉन न्यूमैन निर्माण (प्राकृतिक संख्या), द्विभाजन के अस्तित्व का उपयोग करना पसंद कर सकते हैं $f\colon S\to n$, जो समतुल्य है।)

मूल गुण

परिमित समुच्चय S का कोई भी उचित उपसमुच्चय परिमित होता है और इसमें स्वयं S से कम अवयव होते हैं। परिणामस्वरूप, एक परिमित समुच्चय S और S के उचित उपसमुच्चय के बीच कोई आक्षेप नहीं हो सकता। इस गुण के साथ कोई भी समुच्चय डेडेकाइंड-परिमित कहलाता है। समुच्चय सिद्धांत के लिए मानक ज़र्मेलो-फ्रैंकेल समुच्चय सिद्धांत सिद्धांतों का उपयोग करते हुए, प्रत्येक डेडेकिंड-परिमित समुच्चय भी सीमित है, लेकिन यह निहितार्थ केवल जेडएफ (पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ज़र्मेलो-फ्रैंकेल स्वयंसिद्ध) में गणितीय प्रमाण नहीं हो सकता है। गणनीय चयन का स्वयंसिद्ध, पसंद के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर संस्करण, इस तुल्यता को साबित करने के लिए पर्याप्त है।

एक ही कार्डिनैलिटी के दो परिमित समुच्चयों के बीच कोई भी इंजेक्शन फ़ंक्शन भी एक विशेषण कार्य (एक प्रक्षेपण) है। इसी तरह, एक ही कार्डिनैलिटी के दो परिमित समुच्चयों के बीच कोई भी प्रक्षेपण भी एक इंजेक्शन है।

दो परिमित समुच्चयों का मिलन (समुच्चय थ्योरी) परिमित होता है, जिसमें

$|S\cup T|\leq |S|+|T|.$

वास्तव में, समावेश-बहिष्करण सिद्धांत द्वारा:

$|S\cup T|=|S|+|T|-|S\cap T|.$

अधिक आम तौर पर, परिमित समुच्चयों की किसी भी परिमित संख्या का मिलन परिमित होता है। परिमित समुच्चयों का कार्टेशियन उत्पाद भी परिमित है, इसके साथ:

$|S\times T|=|S|\times |T|.$

इसी प्रकार, बहुत से परिमित समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल परिमित होता है। n अवयवों वाले परिमित समुच्चय में 2 होते हैंⁿ अलग उपसमुच्चय। अर्थात्, एक परिमित समुच्चय S का घात समुच्चय P(S) परिमित है, कार्डिनैलिटी 2 . के साथ^|S|.

परिमित समुच्चय का कोई उपसमुच्चय परिमित होता है। किसी परिमित समुच्चय के तत्वों पर लागू होने पर किसी फलन के मानों का समुच्चय परिमित होता है।

सभी परिमित समुच्चय गणनीय हैं, लेकिन सभी गणनीय समुच्चय परिमित नहीं हैं। (हालांकि, कुछ लेखक गणनीय का अर्थ गणनीय रूप से अनंत के लिए उपयोग करते हैं, इसलिए परिमित समुच्चयों को गणनीय नहीं मानते हैं।)

एक परिमित समुच्चय पर मुक्त अर्धजाल इसके गैर-रिक्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, जिसमें शामिल हों और मिलें समुच्चय संघ द्वारा दिए गए हों।

परिमितता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय थ्योरी में पसंद के स्वयंसिद्ध (ZF) के बिना, निम्नलिखित स्थितियाँ सभी समतुल्य हैं:

1. S एक पर िमित समुच्चय है। अर्थात्, S को किसी विशिष्ट प्राकृत संख्या से कम उन प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है।
2. (काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की ) एस में सभी गुण हैं जो गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है जो खाली समुच्चय से शुरू होता है और एक समय में एक नया तत्व जोड़ता है। (देखें # समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषाओं की परिमितता के लिए समुच्चय-सैद्धांतिक सूत्रीकरण कुराटोवस्की परिमितता।)
3. (पॉल स्टैकेल) एस को कुल ऑर्डर दिया जा सकता है जो आगे और पीछे दोनों तरफ अच्छी तरह से ऑर्डर किया गया है। अर्थात्, S के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में उपसमुच्चय में सबसे छोटा और सबसे बड़ा दोनों तत्व होते हैं।
4. P(P(S)) से प्रत्येक एक-से-एक फ़ंक्शन स्वयं में है। यही है, एस के सत्ता स्थापित की शक्ति डेडेकिंड-परिमित है (नीचे देखें)।
5. P(P(S)) से स्वयं पर प्रत्येक विशेषण फलन एक-से-एक है।
6. (अल्फ्रेड टार्स्किक ) एस के उपसमुच्चय के प्रत्येक गैर-खाली परिवार में समावेश के संबंध में एक न्यूनतम तत्व है। (समान रूप से, एस के उपसमुच्चय के प्रत्येक गैर-खाली परिवार में समावेश के संबंध में एक अधिकतम तत्व है।)
7. S को अच्छी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है और इस पर कोई भी दो वेल-ऑर्डर आदेश आइसोमोर्फिक हैं। दूसरे शब्दों में, S पर वेल-ऑर्डरिंग में ठीक एक ऑर्डर प्रकार होता है।

यदि पसंद का स्वयंसिद्ध भी माना जाता है (गणनीय पसंद का स्वयंसिद्ध पर्याप्त है), तो निम्नलिखित स्थितियाँ सभी समतुल्य हैं:

1. S एक परिमित समुच्चय है।
2. (रिचर्ड डेडेकिंड ) S से स्वयं में प्रत्येक एक-से-एक कार्य चालू है।
3. S से स्वयं पर प्रत्येक विशेषण फलन एक-से-एक है।
4. S खाली है या S के प्रत्येक आंशिक क्रम में एक अधिकतम तत्व है।

मूलभूत मुद्दे

अनंत समुच्चयों का गणितीय उपचार प्रदान करने के लिए जॉर्ज कैंटर ने समुच्चय के अपने सिद्धांत की शुरुआत की। इस प्रकार परिमित और अनंत के बीच का अंतर समुच्चय सिद्धांत के केंद्र में है। कुछ मूलभूतवादी, फिनिटिज्म , अनंत समुच्चयों के अस्तित्व को अस्वीकार करते हैं और इस प्रकार केवल परिमित समुच्चयों पर आधारित गणित की अनुशंसा करते हैं। मुख्यधारा के गणितज्ञ सख्त परिमितता को बहुत सीमित मानते हैं, लेकिन इसकी सापेक्ष स्थिरता को स्वीकार करते हैं: वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय ों का ब्रह्मांड ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत का एक मॉडल बनाता है जिसमें अनंतता के स्वयंसिद्ध को इसके तार्किक निषेध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यहां तक ​​कि अधिकांश गणितज्ञों के लिए जो अनंत समुच्चयों को गले लगाते हैं, कुछ महत्वपूर्ण संदर्भों में, परिमित और अनंत के बीच औपचारिक अंतर एक नाजुक मामला बना रह सकता है। कठिनाई गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से उत्पन्न होती है। पीनो अंकगणित (और निश्चित रूप से इसके विपरीत भी) के भीतर आनुवंशिक रूप से परिमित समुच्चय के सिद्धांत की व्याख्या कर सकते हैं, इसलिए पीनो अंकगणित के सिद्धांत की अपूर्णता का तात्पर्य आनुवंशिक रूप से परिमित समुच्चय के सिद्धांत से है। विशेष रूप से, दोनों सिद्धांतों के तथाकथित गैर-मानक मॉडलों की अधिकता मौजूद है। एक प्रतीयमान विरोधाभास यह है कि वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय के सिद्धांत के गैर-मानक मॉडल हैं जिनमें अनंत समुच्चय होते हैं, लेकिन ये अनंत समुच्चय मॉडल के भीतर से परिमित दिखते हैं। (यह तब हो सकता है जब मॉडल में इन समुच्चयों की अनंतता को देखने के लिए आवश्यक समुच्चय या फ़ंक्शंस का अभाव हो।) अपूर्णता प्रमेयों के कारण, कोई प्रथम-क्रम तर्क नहीं है | प्रथम-क्रम विधेय, और न ही प्रथम-क्रम विधेय की कोई पुनरावर्ती योजना भी , ऐसे सभी मॉडलों के मानक भाग की विशेषता बता सकता है। तो, कम से कम पहले क्रम के तर्क के दृष्टिकोण से, कोई केवल परिमितता का लगभग वर्णन करने की उम्मीद कर सकता है।

अधिक आम तौर पर, अनौपचारिक धारणाएं जैसे समुच्चय, और विशेष रूप से परिमित समुच्चय, औपचारिक प्रणालियों की एक श्रृंखला में व्याख्या प्राप्त कर सकती हैं जो उनके स्वयंसिद्ध और तार्किक तंत्र में भिन्न होती हैं। सबसे प्रसिद्ध स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांतों में ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय थ्योरी (ZF), ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय थ्योरी विथ द एक्सिओम ऑफ़ चॉइस (ZFC), वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय थ्योरी (NBG), गैर-स्थापित समुच्चय सिद्धांत , शामिल हैं। बर्ट्रेंड रसेल का प्रकार सिद्धांत और उनके विभिन्न मॉडलों के सभी सिद्धांत। क्लासिकल पहले क्रम का तर्क , विभिन्न उच्च-क्रम लॉजिक और अंतर्ज्ञानवादी तर्क में से कोई भी चुन सकता है।

एक औपचारिकता (गणित) अर्थ देख सकती है सिस्टम से सिस्टम में अलग-अलग समुच्चय का। कुछ प्रकार के गणितीय प्लैटोनिज़्म विशेष औपचारिक प्रणालियों को एक अंतर्निहित वास्तविकता के अनुमान के रूप में देख सकते हैं।

परिमितता की समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषाएं

ऐसे संदर्भों में जहां प्राकृतिक संख्या की धारणा समुच्चय की किसी भी धारणा से पहले तार्किक रूप से बैठती है, कोई भी समुच्चय एस को परिमित के रूप में परिभाषित कर सकता है यदि एस फॉर्म के प्राकृतिक संख्याओं के कुछ समुच्चय के लिए एक आक्षेप स्वीकार करता है $\{x\,|\,x<n\}$. गणितज्ञ आमतौर पर समुच्चय थ्योरी में संख्या की धारणाओं को चुनते हैं, उदाहरण के लिए वे प्राकृतिक संख्याओं को परिमित सुव्यवस्थित समुच्चयों के क्रम प्रकारों द्वारा मॉडल कर सकते हैं। इस तरह के दृष्टिकोण के लिए परिमितता की एक संरचनात्मक परिभाषा की आवश्यकता होती है जो प्राकृतिक संख्याओं पर निर्भर नहीं करती है।

ZFC सिद्धांत में सभी समुच्चयों के बीच परिमित समुच्चयों को एकल करने वाले विभिन्न गुण, ZF या अंतर्ज्ञानवादी समुच्चय सिद्धांतों जैसे कमजोर प्रणालियों में तार्किक रूप से असमान हो जाते हैं। दो परिभाषाएँ साहित्य में प्रमुखता से दिखाई देती हैं, एक रिचर्ड डेडेकिंड के कारण, दूसरी काज़िमिर्ज़ कुराटोस्की के कारण। (कुराटोवस्की की ऊपर इस्तेमाल की गई परिभाषा है।)

एक समुच्चय एस को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है यदि कोई इंजेक्शन, गैर-सर्जिकल फ़ंक्शन मौजूद है $f:S\rightarrow S$. ऐसा फलन S और S के उचित उपसमुच्चय के बीच एक आक्षेप प्रदर्शित करता है, अर्थात् f का प्रतिबिम्ब। एक डेडेकाइंड अनंत समुच्चय एस, एक फ़ंक्शन एफ, और एक तत्व एक्स दिया गया है जो एफ की छवि में नहीं है, हम एस के अलग-अलग तत्वों का एक अनंत अनुक्रम बना सकते हैं, अर्थात् $x,f(x),f(f(x)),...$. इसके विपरीत, अलग-अलग तत्वों से मिलकर S में एक अनुक्रम दिया गया है $x_{1},x_{2},x_{3},...$, हम एक फ़ंक्शन f को परिभाषित कर सकते हैं जैसे कि अनुक्रम में तत्वों पर $f(x_{i})=x_{i+1}$ और f अन्यथा पहचान कार्य की तरह व्यवहार करता है। इस प्रकार डेडेकाइंड अनंत समुच्चय में सबसमुच्चय होते हैं जो प्राकृतिक संख्याओं के साथ विशेष रूप से मेल खाते हैं। डेडेकाइंड परिमित स्वाभाविक रूप से इसका मतलब है कि प्रत्येक इंजेक्शन सेल्फ-मैप भी विशेषण है।

Kuratowski परिमितता को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। किसी भी समुच्चय S को देखते हुए, संघ की द्वि-आधारी संक्रिया एक अर्ध-जाली की संरचना के साथ शक्ति समुच्चय P(S) प्रदान करती है। खाली समुच्चय और सिंगलटन (गणित) द्वारा उत्पन्न अर्द्ध लेटेक्स के लिए के (एस) लिखना, कॉल समुच्चय एस कुराटोस्की परिमित है यदि एस स्वयं के (एस) से संबंधित है। सहज रूप से, के (एस) में एस के परिमित उपसमुच्चय होते हैं। महत्वपूर्ण रूप से, किसी को उत्पन्न करने के लिए प्रेरण, पुनरावर्तन या प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि कोई भी के (एस) प्राप्त कर सकता है, बस सभी उप-का प्रतिच्छेदन लेकर। सेमीलेटिस जिसमें खाली समुच्चय और सिंगलटन होते हैं।

सेमिलैटिस और अमूर्त बीजगणित की अन्य धारणाओं से अपरिचित पाठक पूरी तरह से प्रारंभिक सूत्रीकरण पसंद कर सकते हैं। Kuratowski परिमित का अर्थ है S, समुच्चय K(S) में स्थित है, जिसे निम्नानुसार बनाया गया है। P(S) के सभी उपसमुच्चय X के समुच्चय के लिए M इस प्रकार लिखिए कि:

• X में खाली समुच्चय है;
• पी (एस) में प्रत्येक समुच्चय टी के लिए, यदि एक्स में टी होता है तो एक्स में किसी सिंगलटन के साथ टी का संघ भी होता है।

तब K(S) को M के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

ZF में, Kuratowski परिमित का तात्पर्य Dedekind परिमित से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। एक लोकप्रिय शैक्षणिक सूत्रीकरण की भाषा में, जब पसंद का स्वयंसिद्ध बुरी तरह से विफल हो जाता है, तो किसी के पास मोज़े का एक अनंत परिवार हो सकता है, जिसके पास बहुत से जोड़े से अधिक में से एक जुर्राब चुनने का कोई तरीका नहीं होता है। इससे ऐसे मोज़े डेडेकाइंड का समुच्चय परिमित हो जाएगा: मोज़े का कोई अनंत अनुक्रम नहीं हो सकता है, क्योंकि इस तरह के अनुक्रम से अनुक्रम में पहला जुर्राब चुनकर असीम रूप से कई जोड़े के लिए एक जुर्राब चुनने की अनुमति होगी। हालांकि, जुराबों के एक ही समुच्चय के लिए कुराटोव्स्की परिमितता विफल हो जाएगी।

परिमितता की अन्य अवधारणाएँ

जेडएफ समुच्चय सिद्धांत में पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना, एक समुच्चय एस के लिए परिमितता की निम्नलिखित अवधारणाएं अलग हैं। उन्हें ताकत के घटते क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, यानी यदि एक समुच्चय एस सूची में एक मानदंड पूरा करता है तो यह निम्नलिखित सभी मानदंडों को पूरा करता है। पसंद के स्वयंसिद्ध के अभाव में विपरीत निहितार्थ सभी असाध्य हैं, लेकिन अगर पसंद के स्वयंसिद्ध मान लिया जाए तो ये सभी अवधारणाएँ समान हैं। (ध्यान दें कि इनमें से किसी भी परिभाषा को पहले परिभाषित करने के लिए परिमित क्रमिक संख्याओं के समुच्चय की आवश्यकता नहीं है; वे समानता और सदस्यता संबंधों के संदर्भ में सभी शुद्ध समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषाएँ हैं, जिनमें ω शामिल नहीं है।)

• मैं-परिमित। S के उपसमुच्चय के प्रत्येक गैर-खाली समुच्चय में एक ⊆-अधिकतम तत्व होता है। (यह ⊆-न्यूनतम तत्व के अस्तित्व की आवश्यकता के बराबर है। यह परिमितता की मानक संख्यात्मक अवधारणा के बराबर भी है।)
• इया-परिमित। दो समुच्चयों में S के प्रत्येक विभाजन के लिए, दो समुच्चयों में से कम से कम एक I-परिमित है। (इस संपत्ति के साथ एक समुच्चय जो I- परिमित नहीं है, एक अनाकार समुच्चय कहलाता है।)
• II- परिमित। एस के सबसमुच्चय के प्रत्येक गैर-खाली ⊆-मोनोटोन समुच्चय में ⊆-अधिकतम तत्व होता है।
• तृतीय-परिमित। पावर समुच्चय P(S) Dedekind परिमित है।
• चतुर्थ परिमित। एस डेडेकाइंड परिमित है।
• वि परिमित। ∣S∣ = 0 या 2 ⋅ ∣S∣ > ∣S|।
• VI- परिमित। ∣S∣ = 0 या ∣S∣ = 1 या ∣S∣² > ∣S∣.
• 'सातवीं परिमित'। S, I- परिमित या सुव्यवस्थित नहीं है।

आगे के प्रभाव (मजबूत से कमजोर तक) ZF के भीतर प्रमेय हैं। मूत्रालय के साथ ZF में विपरीत प्रभाव (कमजोर से मजबूत तक) के प्रति-उदाहरण मॉडल सिद्धांत का उपयोग करते हुए पाए जाते हैं। इनमें से अधिकांश परिमितता परिभाषाएँ और उनके नाम किसके लिए जिम्मेदार हैं Tarski 1954 द्वारा Howard & Rubin 1998, p. 278. हालाँकि, परिभाषाएँ I, II, III, IV और V में प्रस्तुत की गईं Tarski 1924, pp. 49, 93, आगे के निहितार्थों के लिए सबूतों (या सबूतों के संदर्भ) के साथ। उस समय, प्रति-उदाहरणों को खोजने के लिए मॉडल सिद्धांत पर्याप्त रूप से उन्नत नहीं था।

IV-परिमित के माध्यम से I-परिमित में से प्रत्येक गुण इस अर्थ में लघुता की धारणा है कि इस तरह की संपत्ति के साथ समुच्चय के किसी भी उपसमुच्चय में संपत्ति भी होगी। यह V-फ़ाइनिट से VII-फ़ाइनिट के लिए सही नहीं है, क्योंकि उनके अनगिनत अनंत उपसमुच्चय हो सकते हैं।

यह भी देखें

• फिनसमुच्चय
• साधारण संख्या
• अंकगणितीय योजना

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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