गणितीय अंकन

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गणितीय संकेतन में संक्रियाओं, अनिर्दिष्ट संख्याओं, संबंधों और किसी भी अन्य गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करना और उन्हें व्यंजकों और सूत्रों में जोड़ना सम्मिलित है। गणित, विज्ञान और अभियांत्रिकी में गणितीय संकेतन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है ताकि जटिल अवधारणाओं और गुणों को संक्षिप्त, स्पष्ट और व्यापक तरीके से प्रस्तुत किया जा सके।

उदाहरण के लिए, आइंस्टाइन का समीकरण $E=mc^{2}$ द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता के गणितीय अंकन में एक मात्रात्मक प्रतिनिधित्व है।

गणितीय संकेतन पहली बार 16 वीं शताब्दी के अंत में फ्रांकोइस वियत द्वारा पेश किया गया था और 17वीं और 18वीं शताब्दी के दौरान रेने डेसकार्टेस, आइजैक न्यूटन, गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज और लियोनहार्ड यूलर द्वारा व्यापक रूप से विस्तृत किया गया था।

प्रतीक

Main article: गणितीय प्रतीक

गणितीय संकेतन का आधार अनेक प्रतीकों का प्रयोग है। वे प्राकृतिक भाषाओं में शब्दों की भूमिका के समान भूमिका निभाते हैं। वे गणितीय संकेतन में विभिन्न भूमिकाएँ निभा सकते हैं जैसे क्रिया, विशेषण और संज्ञा एक वाक्य में विभिन्न भूमिकाएँ निभाते हैं।

अक्षर प्रतीक के रूप में

आमतौर पर नामकरण के लिए अक्षरों का उपयोग किया जाता है - गणितीय शब्दजाल में, कोई कहता है कि प्रतिनिधित्व करना - गणितीय वस्तुओं। यह आमतौर पर लैटिन वर्णमाला और ग्रीक वर्णमाला अक्षर हैं जिनका उपयोग किया जाता है, लेकिन हिब्रू वर्णमाला $(\aleph ,\beth )$ के कुछ अक्षरों का कभी-कभी उपयोग किया जाता है। अपरकेस और लोअरकेस अक्षरों को अलग-अलग प्रतीकों के रूप में माना जाता है। लैटिन वर्णमाला के लिए, विभिन्न टाइपफेस भी भिन्न प्रतीक प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, आर, आर, आर, आर, आर, सैद्धांतिक रूप से एक ही गणितीय पाठ में छह अलग-अलग अर्थों के साथ दिखाई दे सकते हैं। आम तौर पर, रोमन अपराइट टाइपफेस का उपयोग प्रतीकों के लिए नहीं किया जाता है, सिवाय उन प्रतीकों के जो कई अक्षरों से बने होते हैं, जैसे कि साइन फ़ंक्शन का प्रतीक $\sin$ "सिन"।

अधिक प्रतीकों के लिए, और संबंधित गणितीय वस्तुओं को संबंधित प्रतीकों द्वारा प्रदर्शित करने की अनुमति देने के लिए, डायाक्रिटिक्स, सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट्स का अक्सर उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, ${\hat {f'_{1}}}$ नामक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के फूरियर रूपांतरण को निरूपित कर सकता है जिसे कहा जाता है $f_{1}.$।

अन्य प्रतीक

प्रतीकों का उपयोग न केवल गणितीय वस्तुओं के नामकरण के लिए किया जाता है। उनका उपयोग ऑपरेशन (गणित) के लिए किया जा सकता है $(+,-,/,\oplus ,\ldots ),$ संबंध (गणित) के लिए $(=,<,\leq ,\sim ,\equiv ,\ldots ),$ तार्किक संयोजकों के लिए $(\implies ,\land ,\lor ,\ldots ),$ परिमाणक (तर्क)तर्क) के लिए $(\forall ,\exists ),$ और अन्य प्रयोजनों के लिए।

कुछ प्रतीक लैटिन या ग्रीक अक्षरों के समान हैं, कुछ विकृत अक्षरों से प्राप्त होते हैं, कुछ पारंपरिक टाइपोग्राफिक प्रतीक हैं, लेकिन कई विशेष रूप से गणित के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

भाव

एक अभिव्यक्ति (गणित) गणितीय प्रतीकों की शब्दावली का एक परिमित संयोजन है जो अच्छी तरह से गठित सूत्र है। नियमों के अनुसार अच्छी तरह से गठित है जो संदर्भ पर निर्भर करता है। सामान्य तौर पर, एक अभिव्यक्ति एक गणितीय वस्तु को दर्शाती है या नाम देती है, और इसलिए गणित की भाषा में प्राकृतिक भाषा में संज्ञा वाक्यांश की भूमिका निभाती है।

एक व्यंजक में अक्सर कुछ संकारक (गणित) होते हैं, और इसलिए इसमें संकारकों की क्रिया द्वारा मूल्यांकन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $3+2$ एक अभिव्यक्ति है जिसमें ऑपरेटर $+$ परिणाम देने के लिए मूल्यांकन किया जा सकता है $5.$ इसलिए, $3+2$ तथा $5$ दो अलग-अलग भाव हैं जो एक ही संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह समानता का अर्थ है $3+2=5.$ एक अधिक जटिल उदाहरण अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है${\textstyle \int _{a}^{b}xdx}$ जिसका मूल्यांकन किया जा सकता है ${\textstyle {\frac {b^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{2}}.}$ हालांकि परिणामी अभिव्यक्ति में विभाजन (गणित), घटाव और घातांक के संचालक शामिल हैं, इसका आगे मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है क्योंकि a तथा b अनिर्दिष्ट संख्याओं को निरूपित करें।

इतिहास

Main article: History of mathematical notation

संख्या

यह माना जाता है कि संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अंकन पहली बार कम से कम 50,000 साल पहले विकसित किया गया था-प्रारंभिक गणितीय विचार जैसे अंगुलियों की गिनती चट्टानों, छड़ियों, हड्डी, मिट्टी, पत्थर, लकड़ी की नक्काशी और गांठदार रस्सियों के संग्रह द्वारा भी प्रतिनिधित्व किया गया है। टैली स्टिक ऊपरी पुरापाषाण काल ​​से गिनती का एक तरीका है। शायद सबसे पुराने ज्ञात गणितीय ग्रंथ प्राचीन सुमेर के हैं। एंडीज की जनगणना क्विपू और अफ्रीका की इशांगो बोन दोनों ने संख्यात्मक अवधारणाओं के लिए लेखांकन की मिलान का चिह्न पद्धति का उपयोग किया।

शून्य की अवधारणा और इसके लिए एक अंकन का परिचय प्रारंभिक गणित में महत्वपूर्ण विकास हैं, जो सदियों से एक संख्या के रूप में शून्य की अवधारणा से पहले का है। इसे बेबीलोनियन अंकों और ग्रीक अंकों द्वारा प्लेसहोल्डर के रूप में इस्तेमाल किया गया था, और फिर माया अंकों, भारतीय अंकों और अरबी अंकों (शून्य का इतिहास देखें) द्वारा पूर्णांक के रूप में उपयोग किया गया था।

आधुनिक अंकन

16वीं शताब्दी तक, गणित अनिवार्य रूप से आलंकारिक बीजगणित था, इस अर्थ में कि स्पष्ट संख्याओं को छोड़कर सब कुछ शब्दों में व्यक्त किया गया था। हालाँकि, कुछ लेखकों जैसे डायोफैंटस ने कुछ प्रतीकों को संक्षिप्त रूप में इस्तेमाल किया।

सूत्रों का पहला व्यवस्थित उपयोग, और विशेष रूप से अनिर्दिष्ट संख्याओं के लिए प्रतीकों (चर (गणित)) का उपयोग आम तौर पर फ्रैंकोइस विएते (16 वीं शताब्दी) के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। हालाँकि, उन्होंने उन प्रतीकों की तुलना में भिन्न प्रतीकों का उपयोग किया जो अब मानक हैं।

बाद में, रेने डेसकार्टेस (17वीं शताब्दी) ने चरों और समीकरणों के लिए आधुनिक अंकन की शुरुआत की; विशेष रूप से, का उपयोग $x,y,z$ अज्ञात (गणित) मात्राओं के लिए और $a,b,c$ ज्ञात लोगों के लिए (स्थिर (गणित))। उन्होंने नोटेशन भी पेश किया i और काल्पनिक इकाई के लिए शब्द काल्पनिक।

18वीं और 19वीं शताब्दियों में गणितीय संकेतन का मानकीकरण आज के रूप में देखा गया। लिओनहार्ड यूलर वर्तमान में उपयोग में आने वाले कई अंकन के लिए जिम्मेदार था: कार्यात्मक संकेतन $f(x),$ e प्राकृतिक लघुगणक के आधार के लिए, ${\textstyle \sum }$ योग आदि के लिए उन्होंने के प्रयोग को भी लोकप्रिय बनाया π आर्किमिडीज़ स्थिरांक के लिए (विलियम जोन्स (गणितज्ञ) द्वारा प्रस्तावित, विलियम ऑट्रेड के एक पुराने अंकन पर आधारित)।

तब से कई नए अंकन पेश किए गए हैं, जो अक्सर गणित के एक विशेष क्षेत्र के लिए विशिष्ट होते हैं। कुछ संकेतन उनके आविष्कारकों के नाम पर रखे गए हैं, जैसे लीबनिज के संकेतन, लेजेंड्रे प्रतीक, आइंस्टीन के योग सम्मेलन, आदि।

टाइपसेटिंग

सामान्य टाइपसेटिंग सिस्टम आमतौर पर गणितीय संकेतन के लिए उपयुक्त नहीं होते हैं। इसका एक कारण यह है कि, गणितीय अंकन में, प्रतीकों को अक्सर दो आयामी आकृतियों में व्यवस्थित किया जाता है जैसे कि में

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{n}}{n!}}.$

TeX एक गणितीय रूप से उन्मुख टाइपसेटिंग प्रणाली है जिसे 1978 में डोनाल्ड नुथ द्वारा बनाया गया था। यह गणित में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इसके विस्तार के माध्यम से LaTeX कहा जाता है, और यह एक वास्तविक मानक है। (उपरोक्त अभिव्यक्ति LaTeX में लिखी गई है।)

हाल ही में, गणितीय टाइपसेटिंग के लिए एक अन्य दृष्टिकोण MathML द्वारा प्रदान किया गया है। हालाँकि, यह वेब ब्राउज़र में अच्छी तरह से समर्थित नहीं है, जो इसका प्राथमिक लक्ष्य है।

का एक असामान्य प्रदर्शन π TeX द्वारा अनुमत (यूरोपीय शैली, दशमलव विभाजक के रूप में अल्पविराम के साथ)

गैर-लैटिन-आधारित गणितीय अंकन

आधुनिक अरबी गणितीय संकेतन ज्यादातर अरबी वर्णमाला पर आधारित है और अरब दुनिया में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से पूर्व-तृतीयक शिक्षा में।

(पश्चिमी संकेतन अरबी अंकों का उपयोग करता है, लेकिन अरबी संकेतन भी लैटिन अक्षरों और संबंधित प्रतीकों को अरबी लिपि से बदल देता है।)

अरबी संकेतन के अलावा, गणित गणितीय वस्तुओं और चर की एक विस्तृत विविधता को दर्शाने के लिए ग्रीक वर्णमाला का भी उपयोग करता है। कुछ अवसरों में, कुछ हिब्रू अक्षरों का भी उपयोग किया जाता है (जैसे अनंत कार्डिनल के संदर्भ में)।

कुछ गणितीय अंकन ज्यादातर आरेखीय होते हैं, और इसलिए लगभग पूरी तरह से स्क्रिप्ट स्वतंत्र होते हैं। पेनरोज़ ग्राफिकल नोटेशन और कॉक्सेटर-डाइनकिन डायग्राम इसके उदाहरण हैं।

नेत्रहीन लोगों द्वारा उपयोग किए जाने वाले ब्रेल-आधारित गणितीय नोटेशन में नेमेथ ब्रेल और GS8 ब्रेल शामिल हैं।

यह भी देखें

• अंकन का दुरुपयोग
• धन्यवाद
• गणितीय प्रतीकों की शब्दावली
  • बोरबाकी खतरनाक मोड़ प्रतीक
• गणितीय अंकन का इतिहास
• आईएसओ 31-11
• आईएसओ 80000-2
• नुथ का अप-एरो नोटेशन
• गणितीय प्रतीकों की सूची
• गणितीय अल्फ़ान्यूमेरिक प्रतीक
• गणितीय सूत्र
• संभाव्यता और सांख्यिकी में अंकन
• गणित की भाषा
• वैज्ञानिक संकेत
• सेमोग्राफी
• गणितीय प्रतीकों की तालिका
• गणितीय सूत्रों में टाइपोग्राफिक सम्मेलन
• वेक्टर संकेतन
• आधुनिक अरबी गणितीय अंकन

संदर्भ

• Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (1929), 2 volumes. ISBN 0-486-67766-4
• Ifrah, Georges (2000), The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer., John Wiley and Sons, p. 48, ISBN 0-471-39340-1. Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk. Ifrah supports his thesis by quoting idiomatic phrases from languages across the entire world.
• Mazur, Joseph (2014), Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15463-3

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• शब्द लेखन

बाहरी संबंध

• Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• Mathematical ASCII Notation how to type math notation in any text editor.
• Mathematics as a Language at cut-the-knot
• Stephen Wolfram: Mathematical Notation: Past and Future. October 2000. Transcript of a keynote address presented at MathML and Math on the Web: MathML International Conference.