प्रसंभाव्य (स्टोकेस्टिक) अवकल समीकरण

प्रसंभाव्य (स्टोकेस्टिक) अवकल समीकरण (एसडीई) एक प्रकार का अवकल समीकरण है जिसमें एक या अधिक शब्द एक प्रसंभाव्य प्रक्रम होते है, जिसके परिणामस्वरूप एक हल प्राप्त होता है जो एक प्रसंभाव्य प्रक्रम भी होता है। एसडीई का उपयोग विभिन्न घटनाओं जैसे कि स्टॉक की मूल्य या ऊष्मीय उच्चावच के अधीन भौतिक प्रणालियों को मॉडल करने के लिए किया जाता है। सामान्यतः, एसडीई में एक चर होता है जो यादृच्छिक वाइट नॉइज़ का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी गणना ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रम के व्युत्पन्न के रूप में की जाती है। हालाँकि, अन्य प्रकार के यादृच्छिक व्यवहार संभव हैं, जैसे कि जम्प प्रक्रियाएँ। यादृच्छिक अवकल समीकरण प्रसंभाव्य अवकल समीकरण के साथ संयुग्मित होते हैं।

पृष्ठभूमि

प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की उत्पत्ति ब्राउनियन गति के सिद्धांत में हुई, जो अल्बर्ट आइंस्टीन और स्मोलुचोव्स्की के कार्य में है। ये शुरुआती उदाहरण रेखीय प्रसंभाव्य अवकल समीकरण थे, जिन्हें फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लैंगविन के बाद 'लैंगविन' समीकरण भी कहा जाता है, जो एक यादृच्छिक बल के अधीन एक सरल आवर्ती दोलक की गति का वर्णन करता है। प्रसंभाव्य अवकल समीकरण का गणितीय सिद्धांत 1940 के दशक में जापानी गणितज्ञ कियोसी इतो के अभूतपूर्व कार्य के माध्यम से विकसित किया गया था, जिन्होंने प्रसंभाव्य समाकल की अवधारणा प्रस्तुत की और अरैखिक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण का अध्ययन शुरू किया। एक अन्य दृष्टिकोण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो सामान्य कलन के समान एक कलन की ओर ले जाता है।

शब्दावली

साहित्य में एसडीई का सबसे साधारण रूप एक साधारण अवकल समीकरण है, जो एक वाइट नॉइज़ चर पर निर्भर एक शब्द से दाहिने हाथ की तरफ से परेशान है। ज्यादातर मामलों में, एसडीई को संबंधित प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। एसडीई की यह समझ अस्पष्ट है और संबंधित समाकल की एक उचित गणितीय परिभाषा द्वारा पूरक होना चाहिए। इस तरह की गणितीय परिभाषा पहली बार 1940 के दशक में कियोसी इतो द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जो आज इटो कलन के रूप में जानी जाती है। एक और निर्माण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो कि स्ट्रैटोनोविच अभिन्न के रूप में जाना जाता है। इटो समाकल और स्ट्रैटोनोविच समाकल संबंधित हैं, लेकिन अलग-अलग, ऑब्जेक्ट्स और उनके बीच की पसंद विचार किए गए एप्लिकेशन पर निर्भर करती है। इटो कैलकुस गैर-प्रत्याशात्मकता या कारणता की अवधारणा पर आधारित है, जो उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक है जहां चर समय है। दूसरी ओर, स्ट्रैटोनोविच कलन में ऐसे नियम हैं जो साधारण कलन से मिलते जुलते हैं और इसमें आंतरिक ज्यामितीय गुण हैं जो ज्यामितीय समस्याओं जैसे कई गुना पर यादृच्छिक गति से निपटने के दौरान इसे और अधिक स्वाभाविक बनाते हैं।

एसडीई पर एक वैकल्पिक दृष्टिकोण डिफियोमोर्फिज्म का प्रसंभाव्य प्रवाह है। यह समझ असंदिग्ध है और प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की निरंतर समय सीमा के स्ट्रैटोनोविच संस्करण से मेल खाती है। एसडीई के साथ संबद्ध स्मोलुचोव्स्की समीकरण या फोककर-प्लांक समीकरण है, एक समीकरण जो संभाव्यता वितरण कार्यों के समय विकास का वर्णन करता है। भिन्न रूपों के अस्थायी विकास के लिए फोकर-प्लैंक विकास का सामान्यीकरण प्रसंभाव्य विकास संचालिका की अवधारणा द्वारा प्रदान किया गया है।

भौतिक विज्ञान में, "लैंगविन एसडीई" शब्द के प्रयोग में एक अस्पष्टता है। जबकि लैंगविन एसडीई एक अधिक सामान्य रूप का हो सकता है, यह शब्द सामान्यतः एसडीई के एक संकीर्ण वर्ग को ढाल प्रवाह वेक्टर क्षेत्रों के साथ संदर्भित करता है। एसडीई का यह वर्ग विशेष रूप से लोकप्रिय है क्योंकि यह पेरिस-सोरलास स्टोकास्टिक क्वांटिज़ेशन प्रक्रिया का प्रारंभिक बिंदु है, सुपरसिमेट्रिक क्वांटम यांत्रिकी से बारीकी से संबंधित एन = 2 सुपरसिमेट्रिक मॉडल की ओर अग्रसर है। भौतिक दृष्टिकोण से, हालांकि, एसडीई का यह वर्ग बहुत दिलचस्प नहीं है क्योंकि यह कभी भी टोपोलॉजिकल सुपरसिमेट्री के सहज टूटने का प्रदर्शन नहीं करता है, यानी (ओवरडम्प्ड) लैंग्विन एसडीई कभी भी अराजक नहीं होते हैं।

प्रसंभाव्य कलन

ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया को असाधारण रूप से जटिल गणितीय रूप से खोजा गया था। वीनर प्रक्रिया लगभग निश्चित रूप से कहीं भी अलग नहीं है; इस प्रकार, इसे कलन के अपने स्वयं के नियमों की आवश्यकता होती है। प्रसंभाव्य कलन, इटो प्रसंभाव्य कलन और स्ट्रैटोनोविच प्रसंभाव्य कलन के दो प्रभावी संस्करण हैं। दोनों में से प्रत्येक के फायदे और नुकसान हैं, और नवागंतुक अक्सर भ्रमित होते हैं कि क्या दी गई स्थिति में एक दूसरे की तुलना में अधिक उपयुक्त है। दिशानिर्देश मौजूद हैं (उदाहरण के लिए Øksendal, 2003) और आसानी से, कोई आसानी से एक आईटीओ एसडीई को समकक्ष स्ट्रैटोनोविच एसडीई में परिवर्तित कर सकता है और फिर से वापस आ सकता है। फिर भी, किसी को सावधान रहना चाहिए कि जब एसडीई को शुरू में लिखा जाता है तो किस कैलकुलेशन का उपयोग करना चाहिए।

संख्यात्मक हल

प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों में शामिल हैं यूलर-मारुयामा विधि, मिल्स्टीन विधि और रनगे-कुट्टा विधि (एसडीई)।

भौतिकी में प्रयोग करें

See also: लैंग्विन समीकरण

भौतिक विज्ञान में, एसडीई में आणविक गतिकी से लेकर न्यूरोडायनामिक्स और खगोलभौतिकीय वस्तुओं की गतिशीलता तक व्यापक प्रयोज्यता है। अधिक विशेष रूप से, एसडीई सभी गतिशील प्रणालियों का वर्णन करते हैं, जिसमें क्वांटम प्रभाव या तो महत्वहीन हैं या गड़बड़ी के रूप में ध्यान में रखा जा सकता है। एसडीई को नॉइज़ के साथ मॉडल के लिए गतिशील प्रणाली सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। यह एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण है क्योंकि वास्तविक प्रणालियों को उनके वातावरण से पूरी तरह से अलग नहीं किया जा सकता है और इस कारण से हमेशा बाहरी प्रसंभाव्य प्रभाव का अनुभव होता है।

नए अज्ञात को प्रस्तुत करके उच्च-क्रम के समीकरणों को कई युग्मित प्रथम-क्रम समीकरणों में बदलने की मानक तकनीकें हैं। इसलिए, निम्नलिखित एसडीई का सबसे सामान्य वर्ग है:

${\frac {dx(t)}{dt}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,$

जहां $x\in X$ अपने चरण (या राज्य) स्थान में सिस्टम में स्थिति है, $X$, एक अलग-अलग कई गुना माना जाता है, $F\in TX$ एक प्रवाह सदिश क्षेत्र है जो विकास के नियतात्मक नियम का प्रतिनिधित्व करता है, और $g_{\alpha }\in TX$ सदिश क्षेत्रों का एक समूह है जो गॉसियन श्वेत नॉइज़, $\xi ^{\alpha }$ के लिए प्रणाली के युग्मन को परिभाषित करता है। यदि $X$ एक रेखीय स्थान है और $g$ स्थिरांक हैं, तो सिस्टम को योज्य नॉइज़ के अधीन कहा जाता है, अन्यथा इसे गुणात्मक नॉइज़ के अधीन कहा जाता है। यह शब्द कुछ हद तक भ्रामक है क्योंकि इसका मतलब सामान्य मामले से है, हालांकि ऐसा लगता है कि यह सीमित मामला है जिसमें $g(x)\propto x$ है।

नॉइज़ के एक निश्चित विन्यास के लिए, एसडीई के पास प्रारंभिक स्थिति के संबंध में अलग-अलग एक अनूठा हल है। प्रसंभाव्य मामले की गैर-तुच्छता तब दिखाई देती है जब कोई नॉइज़ विन्यास पर ब्याज की विभिन्न वस्तुओं को औसत करने का प्रयास करता है। इस अर्थ में, एक एसडीई विशिष्ट रूप से परिभाषित इकाई नहीं है जब नॉइज़ गुणक होता है और जब एसडीई को प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। इस मामले में, एसडीई को "एसडीई की व्याख्या" के रूप में जाना जाता है, जैसे कि आईटीओ या एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्याओं द्वारा पूरक होना चाहिए। फिर भी, जब एसडीई को डिफियोमॉर्फिज़्म के निरंतर-समय के प्रसंभाव्य प्रवाह के रूप में देखा जाता है, तो यह एक विशिष्ट रूप से परिभाषित गणितीय वस्तु है जो स्ट्रैटोनोविच के दृष्टिकोण से एक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की निरंतर समय सीमा से मेल खाती है।

भौतिकी में, हल का मुख्य तरीका समतुल्य फोकर-प्लैंक समीकरण (एफपीई) का उपयोग करते हुए समय के एक समारोह के रूप में संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन को खोजना है। फोकर-प्लैंक समीकरण एक नियतात्मक आंशिक अवकल समीकरण है। यह बताता है कि संभाव्यता वितरण फलन समय के साथ कैसे विकसित होता है उसी तरह जैसे श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम तरंग फलन का समय विकास देता है या प्रसार समीकरण रासायनिक एकाग्रता का समय विकास देता है। वैकल्पिक रूप से, मोंटे कार्लो अनुकरण द्वारा संख्यात्मक हल प्राप्त किया जा सकता है। अन्य तकनीकों में पथ एकीकरण शामिल है जो सांख्यिकीय भौतिकी और क्वांटम यांत्रिकी (उदाहरण के लिए, फोकर-प्लैंक समीकरण को कुछ वेरिएबल्स को रीस्केल करके श्रोडिंगर समीकरण में बदला जा सकता है) या प्रायिकता वितरण समारोह के सांख्यिकीय क्षणों के लिए सामान्य अवकल समीकरणों को लिखकर सादृश्यता पर आधारित है।

संभाव्यता और गणितीय वित्त में प्रयोग करें

संभाव्यता सिद्धांत (और संभाव्यता सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में, उदाहरण के लिए गणितीय वित्त) में प्रयुक्त संकेतन थोड़ा अलग है। यह स्टोकास्टिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों पर प्रकाशनों में प्रयुक्त संकेतन भी है। यह अंकन समय के यादृच्छिक कार्य की विदेशी प्रकृति बनाता है $\eta _{m}$ भौतिकी सूत्रीकरण में और अधिक स्पष्ट। सख्त गणितीय शब्दों में, $\eta _{m}$ सामान्य कार्य के रूप में नहीं चुना जा सकता है, बल्कि केवल सामान्यीकृत कार्य के रूप में चुना जा सकता है। गणितीय सूत्रीकरण इस जटिलता को भौतिकी सूत्रीकरण की तुलना में कम अस्पष्टता के साथ मानता है।

एक विशिष्ट समीकरण रूप का है

$\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},$

कहां $B$ एक वीनर प्रक्रिया (मानक ब्राउनियन गति) को दर्शाता है। इस समीकरण की व्याख्या संबंधित अभिन्न समीकरण को व्यक्त करने के अनौपचारिक तरीके के रूप में की जानी चाहिए

$X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.$

उपरोक्त समीकरण निरंतर समय प्रसंभाव्य प्रक्रम Xt के व्यवहार को एक साधारण लेबेस्ग समाकल और एक इओ समाकल के योग के रूप में दर्शाता है। प्रसंभाव्य अवकल समीकरण की एक अनुमानी (लेकिन बहुत मददगार) व्याख्या यह है कि लंबाई के एक छोटे से समय अंतराल में प्रसंभाव्य प्रक्रम Xt एक राशि से अपना मान बदलती है जो सामान्य रूप से अपेक्षा μ(Xt, t) δ और विचरण σ( एक्सटी, टी)2 δ और प्रक्रिया के पिछले व्यवहार से स्वतंत्र है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक वीनर प्रक्रिया की वृद्धि स्वतंत्र होती है और सामान्य रूप से वितरित होती है। फ़ंक्शन μ को बहाव गुणांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि σ को प्रसार गुणांक कहा जाता है। प्रसंभाव्य प्रक्रम Xt को प्रसार प्रक्रिया कहा जाता है, और यह मार्कोव संपत्ति को संतुष्ट करती है।

एसडीई के हल के गठन के संदर्भ में एक एसडीई की औपचारिक व्याख्या दी गई है। एसडीई के हल की दो मुख्य परिभाषाएँ हैं, एक मजबूत हल और एक कमजोर हल। दोनों को एक प्रक्रिया X के अस्तित्व की आवश्यकता होती है_t जो एसडीई के अभिन्न समीकरण संस्करण को हल करता है। दोनों के बीच का अंतर अंतर्निहित संभावना स्थान में है ($\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P$). एक कमजोर हल में प्रायिकता स्थान और एक प्रक्रिया होती है जो अभिन्न समीकरण को संतुष्ट करती है, जबकि एक मजबूत हल एक ऐसी प्रक्रिया है जो समीकरण को संतुष्ट करती है और किसी दिए गए प्रायिकता स्थान पर परिभाषित होती है।

एक महत्वपूर्ण उदाहरण ज्यामितीय ब्राउनियन गति के लिए समीकरण है

$\mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.$

जो ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में भण्डार की कीमत की गतिशीलता के लिए समीकरण है | ब्लैक-स्कोल्स विकल्प वित्तीय गणित के मूल्य निर्धारण मॉडल।

अधिक सामान्य प्रसंभाव्य अवकल समीकरण भी हैं जहां गुणांक μ और σ न केवल प्रक्रिया X के वर्तमान मूल्य पर निर्भर करते हैं_t, बल्कि प्रक्रिया के पिछले मूल्यों पर भी और संभवतः अन्य प्रक्रियाओं के वर्तमान या पिछले मूल्यों पर भी। उस मामले में हल प्रक्रिया, एक्स, मार्कोव प्रक्रिया नहीं है, और इसे इटो प्रक्रिया कहा जाता है, न कि प्रसार प्रक्रिया। जब गुणांक केवल एक्स के वर्तमान और पिछले मूल्यों पर निर्भर करता है, तो परिभाषित समीकरण को स्टोकास्टिक विलंब अवकल समीकरण कहा जाता है।

हल का अस्तित्व और विशिष्टता

नियतात्मक सामान्य और आंशिक अवकल समीकरणों के साथ, यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या किसी दिए गए एसडीई का हल है, और यह अद्वितीय है या नहीं। एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष 'आर' में मान लेने वाले आईटीओ एसडीई के लिए निम्नलिखित एक विशिष्ट अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय हैⁿ और m-आयामी ब्राउनियन गति B द्वारा संचालित; प्रमाण Øksendal (2003, §5.2) में पाया जा सकता है।

चलो T > 0, और चलो

$\mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};$

$\sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};$

मापने योग्य कार्य हो जिसके लिए निरंतर सी और डी मौजूद हैं

${\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};$

${\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;$

सभी t ∈ [0, T] और सभी x और y ∈ 'R' के लिए^एन, जहां

$|\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.$

मान लीजिए Z एक यादृच्छिक चर है जो B द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित से स्वतंत्र है_s, s ≥ 0, और परिमित क्षण (गणित) के साथ:

$\mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .$

फिर प्रसंभाव्य अवकल समीकरण/इनिशियल वैल्यू प्रॉब्लम

$\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];$

$X_{0}=Z;$

एक पी-लगभग निश्चित रूप से अद्वितीय टी-निरंतर हल (टी, ω) ↦ एक्स है_t(ω) ऐसा है कि एक्स निस्पंदन (सार बीजगणित) एफ के लिए अनुकूलित प्रक्रिया है_t^Z Z और B द्वारा जनरेट किया गया_s, एस ≤ टी, और

$\mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .$

कुछ स्पष्ट रूप से हल करने योग्य एसडीई

रैखिक एसडीई: सामान्य मामला

$dX_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))dt+(b(t)X_{t}+d(t))dW_{t}$

$X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)d(s))ds+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}d(s)dW_{s}\right)$

कहां

$\Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)ds+\int _{t_{0}}^{t}b(s)dW_{s}\right)$

कम करने योग्य एसडीई: केस 1

$dX_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})dt+f(X_{t})dW_{t}$

किसी दिए गए अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए $f$ स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है

$dX_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}$

जिसका एक सामान्य हल है

$X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))$

कहां

$h(x)=\int ^{x}{\frac {ds}{f(s)}}$

कम करने योग्य एसडीई: केस 2

$dX_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)dt+f(X_{t})dW_{t}$

किसी दिए गए अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए $f$ स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है

$dX_{t}=\alpha f(X_{t})dt+f(X_{t})\circ W_{t}$

जो कम करने योग्य है

$dY_{t}=\alpha dt+dW_{t}$

कहां $Y_{t}=h(X_{t})$ कहां $h$ पहले के रूप में परिभाषित किया गया है।

इसका सामान्य हल है

$X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))$

एसडीई और अति सममिती

Main article: प्रसंभाव्य गतिकी का अति सममित सिद्धांत

एसडीई के सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत में, प्रसंभाव्य गतिशीलता को मॉडल के चरण स्थान पर विभेदक रूपों पर अभिनय करने वाले प्रसंभाव्य विकास ऑपरेटर के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। प्रसंभाव्य गतिकी के इस सटीक सूत्रीकरण में, सभी एसडीई में टोपोलॉजिकल सुपरसिमेट्री होती है जो निरंतर समय प्रवाह द्वारा फेज स्पेस की निरंतरता के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करती है। इस सुपरसिमेट्री का सहज टूटना अराजकता, अशांति, स्व-संगठित आलोचनात्मकता आदि के रूप में अनुशासनों में जानी जाने वाली सर्वव्यापी गतिशील घटना का गणितीय सार है और गोल्डस्टोन प्रमेय संबंधित लंबी दूरी के गतिशील व्यवहार की व्याख्या करता है, अर्थात, तितली प्रभाव, 1/f और कर्कश नॉइज़, और भूकंप, तंत्रिका हिमस्खलन, सौर फ्लेयर्स आदि के पैमाने-मुक्त आँकड़े।

यह भी देखें

• लैंग्विन गतिकी
• स्थानीय अस्थिरता
• अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
• प्रसंभाव्य अस्थिरता
• प्रसंभाव्य आंशिक अवकल समीकरण
• प्रसार प्रक्रिया
• प्रसंभाव्य अवकल समीकरण

आगे की पढाई

• Adomian, George (1983). Stochastic systems. Mathematics in Science and Engineering (169). Orlando, FL: Academic Press Inc.
• Adomian, George (1986). Nonlinear stochastic operator equations. Orlando, FL: Academic Press Inc.
• Adomian, George (1989). Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. Mathematics and its Applications (46). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group.
• Calin, Ovidiu (2015). An Informal Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Singapore: World Scientific Publishing. p. 315. ISBN 978-981-4678-93-3.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
• Teugels, J. and Sund B. (eds.) (2004). Encyclopedia of Actuarial Science. Chichester: Wiley. pp. 523–527. {{cite book}}: |author= has generic name (help)
• C. W. Gardiner (2004). Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. Springer. p. 415.
• Thomas Mikosch (1998). Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. Singapore: World Scientific Publishing. p. 212. ISBN 981-02-3543-7.
• Seifedine Kadry (2007). "A Solution of Linear Stochastic Differential Equation". Wseas Transactions on Mathematics. USA: WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, April 2007.: 618. ISSN 1109-2769.
• P. E. Kloeden & E. Platen (1995). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer. ISBN 0-387-54062-8.
• Higham., Desmond J. (January 2001). "An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations". SIAM Review. 43 (3): 525–546. Bibcode:2001SIAMR..43..525H. CiteSeerX 10.1.1.137.6375. doi:10.1137/S0036144500378302.
• Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).

श्रेणी:विभेदक समीकरण श्रेणी: प्रसंभाव्य प्रक्रमएं