परिमित अंतर: Difference between revisions

Revision as of 19:16, 9 January 2023

परिमित अंतर रूप की गणितीय अभिव्यक्ति है $f (x + b) - f (x + a)$ । यदि एक परिमित अंतर $b - a$ से विभाजित किया जाता है, अंतर भागफल मिलता है। परिमित भिन्नताओं द्वारा अवकलज का अनुमान अवकल समीकरण के संख्यात्मक विश्लेषण समाधान के लिएपरिमित अंतर विधि यों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है विशेष रूप से सीमा मूल्य समस्या के लिए निभाता है।

अंतरसंकारक, आमतौर पर $\Delta$ के रूप में जाना जाता है, वह संकारक (गणित) है जो किसी फलन $f$ को $\Delta [f]$ द्वारा परिभाषित करता है।

\Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).

अवकल समीकरण एक फलनिक समीकरण है जिसमें परिमित अंतर संकारक उसी तरह शामिल होता है जैसे एक अवकल समीकरण में अवकलज शामिल होते हैं। अवकल समीकरण और अवकल समीकरण के बीच कई समानताएं हैं, विशेष रूप से हल करने के तरीकों में। कुछ पुनरावृत्ति संबंधों को परिमित अंतरों के साथ पुनरावृत्ति संकेतन को बदलकर अवकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।

संख्यात्मक विश्लेषण में, अवकलज का अनुमान लगाने के लिए परिमित अंतर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और "परिमित अंतर" शब्द का उपयोग अक्सर "अवकलज के परिमित अंतर सन्निकटन" के संक्षिप्त रूप में किया जाता है।^[1]^[2]^[3] परिमित अंतर सन्निकटन ऊपर नियोजित शब्दावली में परिमित अंतर भागफल हैं।

1715 में ब्रुक टेलर द्वारा परिमित अंतर पेश किए गए थे और जॉर्ज बूले(1860), एल.एम. मिल्ने-थॉमसन (1933), और केरोली जॉर्डन [डी] (1939) द्वारा कार्यों में सार स्व-स्थायी गणितीय वस्तुओं के रूप में भी अध्ययन किया गया है। परिमित अंतर अपनी उत्पत्ति को जोस्ट बर्गी के एल्गोरिदम (c. 1592) में से एक में खोजते हैं और आइजैक न्यूटन सहित अन्य लोगों द्वारा काम करते हैं। परिमित अंतरों की औपचारिक गणना को अत्युणु की गणना के विकल्प के रूप में देखा जा सकता है।^[4]

मूल प्रकार

आमतौर पर तीन बुनियादी प्रकारों पर विचार किया जाता है: अग्र, पश्च और केंद्रीय परिमित अंतर।^[1]^[2]^[3]

अग्रांतर सूत्र, $\Delta _{h}[f],$ एक फलन $f$ के रूप में परिभाषित फलन है

\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).

अनुप्रयोग के आधार पर, रिक्ति $h$ परिवर्तनशील या स्थिर हो सकता है। जब छोड़ा गया, $h$ 1 लिया जाता है, वह है,

\Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).

पश्च अंतर फलन मानों $x$ और $x - h$ का उपयोग करता है , $x + h$ और $x$ के मानों के बजाय::

\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).

अंत में, केंद्रीय अंतर द्वारा दिया जाता है

\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).

अवकलज के साथ संबंध

परिमित अंतर अक्सर व्युत्पन्न के सन्निकटन के रूप में प्रयोग किया जाता है, आमतौर पर संख्यात्मक अवकलन में।

फलन का व्युत्पन्न $f$ एक बिंदु पर $x$ फलन की सीमा द्वारा परिभाषित किया गया है।

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.

यदि $h$ शून्य के करीब पहुंचने के बजाय निश्चित (गैर-शून्य) मान है, तो उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर लिखा जाएगा

{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.

इसलिए, जब $h$ छोटा है अग्र के अंतर से विभाजित $h$ अवकलज का अनुमान लगाता है। इस सन्निकटन में त्रुटि टेलर के प्रमेय से प्राप्त की जा सकती है। ये मानते हुए $f$ दो बार अवकलनीय है, हमारे पास है

{\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.

पिछड़े अंतर के लिए समान सूत्र है:

{\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.

हालांकि, केंद्रीय (जिसे केंद्रित भी कहा जाता है) अंतर अधिक सटीक सन्निकटन पैदा करता है। यदि $f$ तीन गुना अवकलनीय है,

{\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\right).

मुख्य समस्या^{[citation needed]} केंद्रीय अंतर विधि के साथ, हालांकि, यह है कि दोलन कार्य शून्य व्युत्पन्न प्राप्त कर सकते हैं। अगर $f (nh) = 1$ , $n$ विषम के लिए, और $f (nh) = 2$ , $n$ के लिए भी फिर भी $f'(nh) = 0$ यदि इसकी गणना केंद्रीय अंतर योजना से की जाती है। यदि $f$ का प्रांत असतत है तो यह विशेष रूप से कठिन है। सममित व्युत्पन्न भी देखें

लेखक जिनके लिए परिमित अंतर का अर्थ है परिमित अंतर सन्निकटन अग्र/पश्च/केंद्रीय अंतर को इस खंड में दिए गए भागफल के रूप में परिभाषित करता है (पिछले खंड में दी गई परिभाषाओं को नियोजित करने के बजाय)।^[1]^[2]^[3]

उच्च-क्रम अंतर

एक समान तरीके से, उच्चतर क्रम अवकलज और अंतर संकारक के लिए परिमित अंतर सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त केंद्रीय अंतर सूत्र का उपयोग करके $f ′(x + .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}h/2)$ और $f'(x - h / 2)$ और $x$ पर $f'$ के अवकलज के लिए केंद्रीय अंतर सूत्र लागू करते हुए, हम $f$ के दूसरे अवकलज का केंद्रीय अंतर सन्निकटन प्राप्त करते हैं:

दूसरा क्रम केंद्रीय: $f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

इसी तरह हम अन्य भिन्न सूत्रों को पुनरावर्ती तरीके से लागू कर सकते हैं।

दूसरा क्रम अग्र: $f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.$
दूसरा क्रम पश्च: $f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.$

अधिक आम तौर पर, $n$ वें क्रम अग्र, पश्च, और केंद्रीय अंतर क्रमशः द्वारा दिए गए हैं,

अग्र: $\Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},$

या $h = 1$ के लिए,

\Delta ^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(-1)^{n-i}f(x+i)

पश्च

$\nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),$
केंद्रीय: $\delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).$

इन समीकरणों में योग चिह्न के बाद द्विपद गुणांक का उपयोग किया जाता है, जैसा कि दिखाया गया है $(n i)$ । पास्कल के त्रिभुज की प्रत्येक पंक्ति i के प्रत्येक मान के लिए गुणांक प्रदान करती है।

ध्यान दें कि केंद्रीय अंतर, विषम $n$ के लिए, $h$ को गैर-पूर्णांक से गुणा करेगा। यह अक्सर एक समस्या होती है क्योंकि यह विवेक के अंतराल को बदलने के बराबर होती है। $δ n [f](x - h / 2)$ और $δ n [f](x + h / 2)$ का औसत लेकर समस्या का समाधान किया जा सकता है

अनुक्रम पर लागू किए गए अग्र अंतर को कभी-कभी अनुक्रम का द्विपद परिवर्तन कहा जाता है, और इसमें कई रोचक संयोजी गुण होते हैं। नॉर्लंड-राइस इंटीग्रल का उपयोग करके आगे के अंतर का मूल्यांकन किया जा सकता है। इस प्रकार की श्रृंखलाओं के लिए अभिन्न प्रतिनिधित्व रोचक है, क्योंकि अभिन्न का मूल्यांकन अक्सर स्पर्शोन्मुख विस्तार या सैडल-पॉइंट तकनीकों का उपयोग करके किया जा सकता है, इसके विपरीत, आगे की अंतर श्रृंखला संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन करने के लिए बेहद कठिन हो सकती है, क्योंकि बड़े $n$ के लिए द्विपद गुणांक तेजी से बढ़ते हैं।

संबंधित अवकलज के साथ इन उच्च-क्रम के अंतरों का संबंध सीधा है,

{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O\left(h^{2}\right).

बेहतर सन्निकटन बनाने के लिए उच्च-क्रम के अंतर का भी उपयोग किया जा सकता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रथम-क्रम अंतर क्रम $h$ की अवधि तक प्रथम-क्रम व्युत्पन्न का अनुमान लगाता है। हालाँकि, संयोजन

{\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}

अनुमानित $f'(x)$ क्रम $h 2$ की अवधि तक। यह टेलर श्रृंखला में उपरोक्त अभिव्यक्ति का विस्तार करके या परिमित अंतरों के कलन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जिसे नीचे समझाया गया है।

यदि आवश्यक हो, तो अग्र, पश्च और केंद्रीय अंतरों को मिलाकर परिमित अंतर को किसी भी बिंदु पर केंद्रित किया जा सकता है।

बहुपद

घात के दिए गए बहुपद के लिए $n \geq 1$ फलन $P(x)$ में व्यक्त किया, वास्तविक संख्या के साथ $a \neq 0$ और $b$ और निचले क्रम की शर्तें (यदि कोई हो) के रूप में चिह्नित $l.o.t.$ :

$P(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+l.o.t.$

$n$ युग्‍मानूसार अंतरों के बाद, निम्न परिणाम प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ $h \neq 0$ अंकगणितीय अंतर को चिह्नित करने वाली एक वास्तविक संख्या है:^[5]

$\Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!$

केवल उच्चतम-क्रम पद का गुणांक रहता है। चूंकि यह परिणाम $x$ के संबंध में स्थिर है , किसी भी युग्‍मानूसार अंतर का मान $0$ होगा।

आगमनात्मक प्रमाण

आधार मामले

मान लीजिए $Q(x)$ घात $1$ का एक बहुपद है:

$\Delta _{h}[Q](x)=Q(x+h)-Q(x)=[a(x+h)+b]-[ax+b]=ah=ah^{1}1!$ यह इसे आधार मामले के लिए साबित करता है।

स्टेप केस

मान लें कि $R(x)$ घात $m -1$ का बहुपद है जहाँ $m \geq 2$ और उच्चतम क्रम वाले पद का गुणांक $a \neq 0$ है। यह मानते हुए कि घात $m -1$ के सभी बहुपदों के लिए निम्नलिखित सही है:

$\Delta _{h}^{m-1}[R](x)=ah^{m-1}(m-1)!$

मान लीजिए कि $S(x)$ घात $m$ का एक बहुपद है। एक युग्‍मानूसार अंतर के साथ:

$\Delta _{h}[S](x)=[a(x+h)^{m}+b(x+h)^{m-1}+l.o.t.]-[ax^{m}+bx^{m-1}+l.o.t.]=ahmx^{m-1}+l.o.t.=T(x)$ $ahm \neq 0$ ,के रूप में, इसका परिणाम $m -1$ घात के बहुपद $T(x)$ में होता है, जिसमें $ahm$ उच्चतम-क्रम पद का गुणांक होता है। उपरोक्त धारणा और $m -1$ युग्‍मानूसार अंतरों को देखते हुए (परिणामस्वरूप $S(x)$ के लिए कुल $m$ युग्‍मानूसार अंतर), यह पाया जा सकता है कि:

$\Delta _{h}^{m-1}[T](x)=ahm\cdot h^{m-1}(m-1)!=ah^{m}m!$

यह प्रमाण को पूरा करता है।

अनुप्रयोग

इस पहचान का उपयोग सबसे कम-घात वाले बहुपद को खोजने के लिए किया जा सकता है जो कई बिंदुओं $(x, y)$ को रोकता है जहाँ x-अक्ष पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु का अंतर एक स्थिरांक $h \neq 0$ है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित बिंदु दिए गए हैं:

x	y
1	4
4	109
7	772
10	2641
13	6364

हम अंतर तालिका का उपयोग कर सकते हैं, जहां पहले $y$ , के दाईं ओर सभी सेल, कॉलम में सेल के लिए निम्न संबंध तुरंत बाईं ओर सेल $(a+1, b+1)$ के लिए मौजूद है, सबसे ऊपर-बाएं सेल निर्देशांक पर है $(0, 0)$ :

$(a+1,b+1)=(a,b)-(a,b+1)$

पहला पद ज्ञात करने के लिए, निम्न तालिका का उपयोग किया जा सकता है:

$x$	$y$	$Δy$	$Δ 2 y$	$Δ 3 y$
1	4
4	109	105
7	772	663	558
10	2641	1869	1206	648
13	6364	3723	1854	648

यह स्थिरांक $648$ पर आता है। अंकगणितीय अंतर $h=3$ है, जैसा कि ऊपर स्थापित किया गया है। स्थिरांक तक पहुँचने के लिए युग्‍मानूसार अंतरों की संख्या को देखते हुए, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि यह घात $3$ का बहुपद है। इस प्रकार, उपरोक्त पहचान का उपयोग करना:

$648=a\cdot 3^{3}\cdot 3!=a\cdot 27\cdot 6=a\cdot 162$

$a$ को हल करने पर, इसका मान 4 पाया जा सकता है। इस प्रकार, बहुपद का पहला पद है $4x 3$ .

फिर, पहले पद को घटाकर, जो बहुपद की घात को कम करता है, और परिमित अंतर को फिर से ज्ञात करता है:

$x$	$y$	$Δy$	$Δ 2 y$
1	$4 - 4(1) 3 = 4 - 4 = 0$
4	$109 - 4(4) 3 = 109 - 256 = -147$	-147
7	$772 - 4(7) 3 = 772 - 1372 = -600$	-453	-306
10	$2641 - 4(10) 3 = 2641 - 4000 = -1359$	-759	-306
13	$6364 - 4(13) 3 = 6364 - 8788 = -2424$	-1065	-306

यहाँ, स्थिरांक केवल 2 युग्‍मानूसार अंतरों के बाद प्राप्त किया जाता है, इस प्रकार निम्न परिणाम:

$-306=a\cdot 3^{2}\cdot 2!=a\cdot 18$

$a$ को हल करने पर, जो $-17$ है, बहुपद का दूसरा पद $-17x 2$ है .

दूसरे पद को घटाकर, अगले पद पर जाना:

$x$	$y$	$Δy$
1	$0 - (-17(1) 2) = 0 + 17 = 17$
4	$-147 - (-17(4) 2) = -147 + 272 = 125$	108
7	$-600 - (-17(7) 2) = -600 + 833 = 233$	108
10	$-1359 - (-17(10) 2) = -1359 + 1700 = 341$	108
13	$-2424 - (-17(13) 2) = -2424 + 2873 = 449$	108

इस प्रकार स्थिर केवल 1 युग्‍मानूसार अंतर के बाद प्राप्त किया जाता है:

$108=a\cdot 3^{1}\cdot 1!=a\cdot 3$

यह पाया जा सकता है $a = 36$ और इस प्रकार बहुपद का तीसरा पद $36x$ है, तीसरे पद को घटाना:

$x$	$y$
1	$17 - 36(1) = 17 - 36 = -19$
4	$125 - 36(4) = 125 - 144 = -19$
7	$233 - 36(7) = 233 - 252 = -19$
10	$341 - 36(10) = 341 - 360 = -19$
13	$449 - 36(13) = 449 - 468 = -19$

बिना किसी युग्मवार अंतर के, यह पाया जाता है कि बहुपद का चौथा और अंतिम पद अचर $-19$ है, इस प्रकार, पहली तालिका में सभी बिंदुओं को अंतर्रोधक करने वाला निम्नतम-घात बहुपद पाया जाता है:

$4x^{3}-17x^{2}+36x-19$

अव्यवस्थित आकार मूल

रेखीय बीजगणित का उपयोग करके परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण किया जा सकता है जो किसी भी क्रम व्युत्पन्न के लिए बाईं ओर बिंदुओं की अव्यवस्थित संख्या और मूल्यांकन बिंदु के दाईं ओर (संभवतः भिन्न) अंकों की संख्या का उपयोग करता है। इसमें रेखीय प्रणाली को हल करना शामिल है जैसे कि मूल्यांकन बिंदु के चारों ओर उन बिंदुओं के योग का टेलर विस्तार वांछित व्युत्पन्न के टेलर विस्तार का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है। इस तरह के सूत्रों को हेक्सागोनल या हीरे के आकार के ग्रिड पर रेखांकन के रूप में दर्शाया जा सकता है।^[6]

यह ग्रिड पर फलन को अलग करने के लिए उपयोगी है, जहां एक ग्रिड के किनारे तक पहुंचता है, उसे एक तरफ कम और कम बिंदुओं का नमूना लेना चाहिए।

विवरण इन नोट्स में दिए गए हैं।

परिमित अंतर गुणांक कैलक्यूलेटर गैर-मानक (और यहां तक कि गैर-पूर्णांक) स्टेंसिल के लिए परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण करता है जिसे अव्यवस्थित स्टैंसिल और वांछित व्युत्पन्न क्रम दिया जाता है .

गुण

सभी घनात्मक $k$ और $n$ के लिए $\Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).$
लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) : $\Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).$

अवकल समीकरण में

परिमित अंतरों का महत्वपूर्ण अनुप्रयोग संख्यात्मक विश्लेषण में है, विशेष रूप से संख्यात्मक आंशिक अवकल समीकरण में, जो साधारण अवकल समीकरण और आंशिक अवकल समीकरण के संख्यात्मक समाधान का लक्ष्य रखता है। विचार यह है आंशिक विभेदक समीकरण में दिखाई देने वाले अवकलज को परिमित अंतर से बदल दिया जाए जो उन्हें अनुमानित करता है। परिणामी विधियों को परिमित अंतर विधियाँ कहा जाता है।

कम्प्यूटेशनल विज्ञान और इंजीनियरिंग विषयों में परिमित अंतर विधि के सामान्य अनुप्रयोग हैं, जैसे ऊष्मा इंजीनियरी, द्रव यांत्रिकी, आदि।

न्यूटन की श्रृंखला

न्यूटन बहुपद में न्यूटन अग्रांतर समीकरण की शर्तें शामिल हैं, जिसका नाम इसहाक न्यूटन के नाम पर रखा गया है, संक्षेप में, यह न्यूटन अंतर्वेशन सूत्र है, जो पहली बार 1687 में उनके 'फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिंसिपिया मैथेमेटिका' में प्रकाशित हुआ था।^[7] अर्थात् निरंतर टेलर विस्तार का असतत अनुरूप,

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {x-a}{k}}\,\Delta ^{k}[f](a),$

जो किसी भी बहुपद फलन के लिए है $f$ और कई (लेकिन सभी नहीं) विश्लेषणात्मक फलन ों के लिए। (यह कब पकड़ में नहीं आता है $f$ चरघातांकी प्रकार है $\pi$ . यह आसानी से देखा जा सकता है, क्योंकि साइन फलन के पूर्णांक गुणकों पर गायब हो जाता है $\pi$ , संबंधित न्यूटन श्रृंखला समान रूप से शून्य है, क्योंकि इस मामले में सभी परिमित अंतर शून्य हैं। फिर भी स्पष्ट रूप से, ज्या फलन शून्य नहीं है।) यहाँ, व्यंजक

{\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}

द्विपद गुणांक है, और

(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)

खाली उत्पाद होने पर फैक्टोरियल या लोअर फैक्टोरियल गिर रहा है $(x) 0$ 1 के रूप में परिभाषित किया गया है। इस विशेष मामले में, के मानों में परिवर्तन के लिए इकाई चरणों की धारणा है $x, h = 1$ नीचे दिए गए सामान्यीकरण का।

टेलर के प्रमेय के इस परिणाम के औपचारिक पत्राचार पर ध्यान दें। ऐतिहासिक रूप से, यह, साथ ही चू-वंडरमोंड पहचान,

(x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},

(इससे अनुसरण करते हुए, और द्विपद प्रमेय के अनुरूप), उन टिप्पणियों में शामिल हैं जो अम्ब्रल कैलकुलस की प्रणाली के लिए परिपक्व हैं।

न्यूटन श्रृंखला विस्तार टेलर श्रृंखला विस्तार से बेहतर हो सकता है जब क्वांटम स्पिन (होल्स्टीन-प्रिमाकॉफ परिवर्तन देखें), नॉर्मल_ऑर्डर#बोसोनिक_ऑपरेटर_फंक्शन या असतत गिनती के आंकड़ों जैसी असतत मात्राओं पर लागू किया जाता है।^[8] वास्तविक अभ्यास में कोई न्यूटन के सूत्र का उपयोग कैसे कर सकता है, यह समझाने के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम को दोगुना करने के पहले कुछ शब्दों पर विचार करें। $f = 2, 2, 4, ...$ कोई एक बहुपद खोज सकता है जो पहले एक अंतर तालिका की गणना करके, और उसके बाद के अंतरों को प्रतिस्थापित करके इन मानों को पुन: उत्पन्न करता है $x 0$ (रेखांकित) सूत्र में निम्नानुसार है,

{\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}

के मानों में गैर-समान चरणों के मामले में $x$ , न्यूटन विभाजित अंतरों की गणना करता है,

\Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}

उत्पादों की श्रृंखला,

{P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),

और परिणामी बहुपद अदिश गुणनफल है,^[9]

f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right)

.

पी-एडिक संख्या के साथ विश्लेषण में | $p$ -आदिक संख्या, Mahler के प्रमेय में कहा गया है कि धारणा है कि $f$ एक बहुपद फलन है कि धारणा के लिए सभी तरह से कमजोर किया जा सकता है $f$ केवल निरंतर है।

कार्लसन की प्रमेय न्यूटन श्रृंखला के अद्वितीय होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें प्रदान करती है, यदि यह मौजूद है। हालाँकि, न्यूटन श्रृंखला सामान्य रूप से मौजूद नहीं है।

न्यूटन श्रृंखला, स्टर्लिंग श्रृंखला और सेलबर्ग वर्ग के साथ, सामान्य अंतर श्रृंखला का एक विशेष मामला है, जिनमें से सभी को उपयुक्त रूप से अग्र बढ़ने वाले अंतरों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।

एक संकुचित और थोड़ा अधिक सामान्य रूप और समदूरस्थ नोड्स में सूत्र पढ़ता है

f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).

परिमित अंतरों की गणना

अग्र के अंतर को एक संकारक (गणित) के रूप में माना जा सकता है, जिसे अंतरसंकारक कहा जाता है, जो फलन को मैप करता है $f$ को $Δ h [f]$ .^[10]^[11] इस संकारक की राशि है

\Delta _{h}=T_{h}-I,

कहां $T h$ द्वारा परिभाषित चरण एच के साथ शिफ्ट संकारक है $T h [f](x) = f (x + h)$ , और $I$ पहचान संकारक है।

उच्च आदेशों के परिमित अंतर को पुनरावर्ती तरीके से परिभाषित किया जा सकता है $Δ n h \equiv Δ h (Δ n - 1 h)$ . एक अन्य समकक्ष परिभाषा है $Δ n h = [T h - I] n$ .

अंतरसंकारक $Δ h$ एक रैखिक संकारक है, इसलिए यह संतुष्ट करता है $Δ h [αf + βg](x) = α Δ h [f](x) + β Δ h [g](x)$ .

यह ऊपर बताए गए एक विशेष लीबनिज़ नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) को भी संतुष्ट करता है, $Δ h (f (x) g (x)) = (Δ h f (x)) g (x + h) + f (x) (Δ h g (x))$ . इसी तरह के बयान पिछड़े और केंद्रीय मतभेदों के लिए हैं।

औपचारिक रूप से टेलर श्रृंखला के संबंध में अनुप्रयोग करना $h$ , सूत्र देता है

\Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2!}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =\mathrm {e} ^{hD}-I,

कहां $D$ निरंतर व्युत्पन्न संकारक, मैपिंग को दर्शाता है $f$ इसके व्युत्पन्न के लिए $f'$ . विस्तार तब मान्य होता है जब दोनों पक्ष पर्याप्त रूप से छोटे के लिए विश्लेषणात्मक कार्यों पर फलन करते हैं $h$ . इस प्रकार, $T h = e hD$ , और औपचारिक रूप से घातीय पैदावार को उलटा करना

hD=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}-\cdots .

यह सूत्र इस अर्थ में है कि बहुपद पर लागू होने पर दोनों संकारक समान परिणाम देते हैं।

विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए भी, दाईं ओर की श्रृंखला को अभिसरण की गारंटी नहीं है, यह एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला हो सकती है। हालांकि, इसका उपयोग व्युत्पन्न के लिए अधिक सटीक सन्निकटन प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला के पहले दो पदों को बनाए रखने से दूसरे क्रम का सन्निकटन प्राप्त होता है $f'(x)$ #उच्च-क्रम अंतर|अनुभाग उच्च-क्रम अंतर के अंत में उल्लेख किया गया है।

पिछड़े और केंद्रीय अंतर संकारक के लिए समान सूत्र हैं

hD=-\log(1-\nabla _{h})\quad {\text{and}}\quad hD=2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\delta _{h}\right).

परिमित अंतरों की गणना कॉम्बिनेटरिक्स के अम्ब्रल कैलकुलस से संबंधित है। यह उल्लेखनीय रूप से व्यवस्थित पत्राचार अम्ब्रल मात्रा के commutators की पहचान के कारण उनके निरंतर अनुरूप है ( $h \to 0$ सीमाएं),

$\left[{\frac {\Delta _{h}}{h}},x\,T_{h}^{-1}\right]=[D,x]=I.$

बड़ी संख्या में मानक कलन के औपचारिक अंतर संबंध शामिल हैं कार्यों $f (x)$ इस प्रकार अम्ब्रल परिमित-अंतर एनालॉग्स को शामिल करने के लिए व्यवस्थित रूप से मैप करें $f (xT -1 h)$ .

उदाहरण के लिए, एक मोनोमियल का उम्ब्रल एनालॉग $x n$ उपरोक्त गिरने वाले फैक्टोरियल (पोचममेर के-प्रतीक) का सामान्यीकरण है,

~(x)_{n}\equiv \left(xT_{h}^{-1}\right)^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots {\bigl (}x-(n-1)h{\bigr )},

ताकि

{\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},

इसलिए उपरोक्त न्यूटन अंतर्वेशन सूत्र (मनमाने फलन के विस्तार में गुणांक मिलान करके $f (x)$ ऐसे प्रतीकों में), और इसी तरह।

उदाहरण के लिए, उम्ब्रल साइन है

\sin \left(x\,T_{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots

सातत्य सीमा के रूप में, का आइजनफंक्शन $Δ h / h$ भी एक घातीय होता है,

{\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},

और इसलिए निरंतर कार्यों के फूरियर योगों को आसानी से अम्ब्रल फूरियर योगों के लिए मैप किया जाता है, यानी, इन umbral आधार घातांकों को गुणा करने वाले समान फूरियर गुणांकों को शामिल करना।^[12] यह उम्ब्रल एक्सपोनेंशियल इस प्रकार पोचममेर प्रतीकों के एक्सपोनेंशियल जनरेटिंग फलन की मात्रा है।

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, डिराक डेल्टा फलन मैप्स को इसके उम्ब्रल संवाददाता, सिंक फलन ,

\delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}},

इत्यादि।^[13] अवकल समीकरण को अक्सर उन तकनीकों के साथ हल किया जा सकता है जो अवकल समीकरण को हल करने के लिए बहुत समान हैं।

अग्रांतर संकारक का व्युत्क्रम संकारक, इसलिए फिर उम्ब्रल इंटीग्रल, अनिश्चित योग या प्रतिपक्ष संकारक है।

परिमित अंतर संकारक की गणना के लिए नियम

भेदभाव नियमों के अनुरूप, हमारे पास है:

निरंतर नियम : यदि $c$ एक स्थिरांक (गणित) है, तब

\Delta c=0

विभेदन की रैखिकता: यदि $a$ और $b$ स्थिर हैं (गणित),

\Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g

उपरोक्त सभी नियम किसी भी अंतरसंकारक पर समान रूप से अच्छी तरह से लागू होते हैं, जिनमें शामिल हैं $\nabla$ के रूप में $Δ$ .

प्रॉडक्ट नियम :

{\begin{aligned}\Delta (fg)&=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g\\\nabla (fg)&=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\end{aligned}}

भागफल नियम :

\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\left(\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)^{-1}

या

\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}

कलन का मौलिक प्रमेय :

{\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\end{aligned}}

संदर्भ देखें।^[14]^[15]^[16]^[17]

सामान्यीकरण

एक सामान्यीकृत परिमित अंतर को आमतौर पर इस रूप में परिभाषित किया जाता है $\Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),$ कहां $μ = (μ 0, \dots, μ N)$ इसका गुणांक वेक्टर है। एक अनंत अंतर एक और सामान्यीकरण है, जहां ऊपर परिमित योग को एक श्रृंखला (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। सामान्यीकरण का दूसरा तरीका गुणांक बना रहा है $μ k$ बिन्दु पर निर्भर है $x$ : $μ k = μ k (x)$ , इस प्रकार भारित परिमित अंतर पर विचार करना। कोई कदम भी उठा सकता है $h$ बिन्दु पर निर्भर है $x$ : $h = h (x)$ . इस तरह के सामान्यीकरण निरंतरता के विभिन्न मापांकों के निर्माण के लिए उपयोगी होते हैं।
सामान्यीकृत अंतर को बहुपद के छल्ले के रूप में देखा जा सकता है $R [T h]$ . यह अंतर बीजगणित की ओर जाता है।
डिफरेंस संकारक आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर मोबियस इनवर्जन का सामान्यीकरण करता है।
घुमाव संकारक के रूप में: घटना बीजगणित की औपचारिकता के माध्यम से, अंतरसंकारक और अन्य मोबियस व्युत्क्रम को पोसेट पर एक फलन के साथ कनवल्शन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसे मोबियस फलन कहा जाता है $μ$ , अंतरसंकारक के लिए $μ$ क्रम है (1, −1, 0, 0, 0, …).

बहुभिन्नरूपी परिमित अंतर

परिमित अंतरों को एक से अधिक चरों में माना जा सकता है। वे कई चरों में आंशिक अवकलज के अनुरूप हैं।

कुछ आंशिक व्युत्पन्न सन्निकटन हैं:

{\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}

वैकल्पिक रूप से, उन अनुप्रयोगों के लिए जिनमें की गणना $f$ सबसे महंगा कदम है, और पहले और दूसरे अवकलज दोनों की गणना की जानी चाहिए, अंतिम मामले के लिए एक अधिक कुशल सूत्र है

f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},

चूंकि गणना करने के लिए केवल वही मान हैं जिनकी पहले से ही पिछले चार समीकरणों के लिए आवश्यकता नहीं है $f (x + h, y + k)$ और $f (x - h, y - k)$ .

यह भी देखें

संदर्भ

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Richardson, C. H. (1954): An Introduction to the Calculus of Finite Differences (Van Nostrand (1954) online copy
Mickens, R. E. (1991): Difference Equations: Theory and Applications (Chapman and Hall/CRC) ISBN 978-0442001360

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गणना
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भेदभाव की रैखिकता
निरंतरता का मापांक
आंशिक रूप से आदेशित सेट

बाहरी कड़ियाँ

"Finite-difference calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Table of useful finite difference formula generated using Mathematica
D. Gleich (2005), Finite Calculus: A Tutorial for Solving Nasty Sums
Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points

श्रेणी: संख्यात्मक अवकल समीकरण श्रेणी:गणितीय विश्लेषण श्रेणी: क्रमगुणित और द्विपद विषय श्रेणी: कैलकुलस में लीनियर ऑपरेटर्स श्रेणी: संख्यात्मक विश्लेषण श्रेणी: गैर-न्यूटोनियन कलन

[WilmottHowison1995-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne (1995). वित्तीय डेरिवेटिव का गणित: एक छात्र परिचय. Cambridge University Press. p. 137. ISBN 978-0-521-49789-3.

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[Chaudhry2007-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 M Hanif Chaudhry (2007). ओपन-चैनल फ्लो. Springer. p. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.

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-परिमित अंतर रूप की गणितीय अभिव्यक्ति है {{math|''f''&thinsp;(''x'' + ''b'') − ''f''&thinsp;(''x'' + ''a'')}}। यदि एक परिमित अंतर {{math|''b'' − ''a''}} से विभाजित किया जाता है, [[ अंतर भागफल |अंतर भागफल]] मिलता है। परिमित भिन्नताओं द्वारा [[ यौगिक | अवकलज]] का अनुमान [[ अंतर समीकरण |अंतर समीकरण]] के [[ संख्यात्मक विश्लेषण |संख्यात्मक विश्लेषण]] समाधान के लिए[[ परिमित अंतर विधि ]]यों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है विशेष रूप से [[ सीमा मूल्य समस्या |सीमा मूल्य समस्या]] के लिए निभाता है।
+परिमित अंतर रूप की गणितीय अभिव्यक्ति है {{math|''f''&thinsp;(''x'' + ''b'') − ''f''&thinsp;(''x'' + ''a'')}}। यदि एक परिमित अंतर {{math|''b'' − ''a''}} से विभाजित किया जाता है, [[ अंतर भागफल |अंतर भागफल]] मिलता है। परिमित भिन्नताओं द्वारा [[ यौगिक | अवकलज]] का अनुमान [[ अंतर समीकरण |अवकल समीकरण]] के [[ संख्यात्मक विश्लेषण |संख्यात्मक विश्लेषण]] समाधान के लिए[[ परिमित अंतर विधि ]]यों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है विशेष रूप से [[ सीमा मूल्य समस्या |सीमा मूल्य समस्या]] के लिए निभाता है।
 [[ अंतर ऑपरेटर |अंतरसंकारक]], आमतौर पर <math>\Delta</math> के रूप में जाना जाता है, वह [[ ऑपरेटर (गणित) |संकारक (गणित)]] है जो किसी फलन {{mvar|f}}  को <math>\Delta[f]</math> द्वारा परिभाषित करता है।
 :<math>\Delta[f](x)= f(x+1)-f(x).</math>
-[[ अंतर समीकरण |अंतर समीकरण]] एक [[ कार्यात्मक समीकरण |फलनिक समीकरण]] है जिसमें परिमित अंतर संकारक उसी तरह शामिल होता है जैसे एक अंतर समीकरण में अवकलज शामिल होते हैं। अंतर समीकरणों और अंतर समीकरणों के बीच कई समानताएं हैं, विशेष रूप से हल करने के तरीकों में। कुछ पुनरावृत्ति संबंधों को परिमित अंतरों के साथ पुनरावृत्ति संकेतन को बदलकर अंतर समीकरणों के रूप में लिखा जा सकता है।
+[[ अंतर समीकरण |अवकल समीकरण]] एक [[ कार्यात्मक समीकरण |फलनिक समीकरण]] है जिसमें परिमित अंतर संकारक उसी तरह शामिल होता है जैसे एक अवकल समीकरण में अवकलज शामिल होते हैं। अवकल समीकरण और अवकल समीकरण के बीच कई समानताएं हैं, विशेष रूप से हल करने के तरीकों में। कुछ पुनरावृत्ति संबंधों को परिमित अंतरों के साथ पुनरावृत्ति संकेतन को बदलकर अवकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।
 संख्यात्मक विश्लेषण में, अवकलज का अनुमान लगाने के लिए परिमित अंतर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और "परिमित अंतर" शब्द का उपयोग अक्सर "अवकलज के परिमित अंतर सन्निकटन" के संक्षिप्त रूप में किया जाता है।<ref name="WilmottHowison1995">{{cite book|author1=Paul Wilmott|author2=Sam Howison|author3=Jeff Dewynne|title=वित्तीय डेरिवेटिव का गणित: एक छात्र परिचय|year=1995|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-49789-3|page=[https://archive.org/details/mathematicsoffin00wilm/page/137 137]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/mathematicsoffin00wilm/page/137}}</ref><ref name="Olver2013">{{cite book|author=Peter Olver|author-link=Peter J. Olver|title=आंशिक विभेदक समीकरणों का परिचय|year=2013|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-319-02099-0|page=182}}</ref><ref name="Chaudhry2007">{{cite book|author=M Hanif Chaudhry|title=ओपन-चैनल फ्लो|year=2007|publisher=Springer|isbn=978-0-387-68648-6|pages=369}}</ref> परिमित अंतर सन्निकटन ऊपर नियोजित शब्दावली में परिमित अंतर भागफल हैं।
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 <math>P(x) = ax^n + bx^{n-1} + l.o.t.</math>
-{{math|''n''}} जोड़ीदार अंतरों के बाद, निम्न परिणाम प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ {{math|''h'' &ne; 0}} अंकगणितीय अंतर को चिह्नित करने वाली एक वास्तविक संख्या है:<ref>{{cite web | url=https://divisbyzero.com/2018/02/13/finite-differences-of-polynomials/ | title=बहुपदों के परिमित अंतर| date=February 13, 2018 }}</ref>
+{{math|''n''}} युग्‍मानूसार अंतरों के बाद, निम्न परिणाम प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ {{math|''h'' &ne; 0}} अंकगणितीय अंतर को चिह्नित करने वाली एक वास्तविक संख्या है:<ref>{{cite web | url=https://divisbyzero.com/2018/02/13/finite-differences-of-polynomials/ | title=बहुपदों के परिमित अंतर| date=February 13, 2018 }}</ref>
 <math>\Delta_h^n [P](x) = ah^nn!</math>
-केवल उच्चतम-क्रम पद का गुणांक रहता है। चूंकि यह परिणाम {{math|''x''}} के संबंध में स्थिर है , किसी भी जोड़ीदार अंतर का मान {{math|0}} होगा।
+केवल उच्चतम-क्रम पद का गुणांक रहता है। चूंकि यह परिणाम {{math|''x''}} के संबंध में स्थिर है , किसी भी युग्‍मानूसार अंतर का मान {{math|0}} होगा।
 === आगमनात्मक प्रमाण ===
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 <math>\Delta_h^{m-1} [R](x) = ah^{m-1}(m-1)!</math>
-मान लीजिए कि {{math|''S(x)''}} घात {{math|''m''}} का एक बहुपद है। एक जोड़ो में अंतर के साथ:
+मान लीजिए कि {{math|''S(x)''}} घात {{math|''m''}} का एक बहुपद है। एक युग्‍मानूसार अंतर के साथ:
-<math>\Delta_h [S](x) = [a(x+h)^{m} + b(x+h)^{m-1} + l.o.t.] - [ax^m + bx^{m-1} + l.o.t.] = ahmx^{m-1} + l.o.t. = T(x)</math> {{math|''ahm'' &ne; 0}},के रूप में, इसका परिणाम {{math|''m''-1}} घात के बहुपद {{math|''T(x)''}} में होता है, जिसमें {{math|''ahm''}} उच्चतम-क्रम पद का गुणांक होता है। उपरोक्त धारणा और {{math|''m''-1}} जोड़ीदार अंतरों को देखते हुए (परिणामस्वरूप {{math|''S(x)''}} के लिए कुल {{math|''m''}} जोड़ीवार अंतर), यह पाया जा सकता है कि:
+<math>\Delta_h [S](x) = [a(x+h)^{m} + b(x+h)^{m-1} + l.o.t.] - [ax^m + bx^{m-1} + l.o.t.] = ahmx^{m-1} + l.o.t. = T(x)</math> {{math|''ahm'' &ne; 0}},के रूप में, इसका परिणाम {{math|''m''-1}} घात के बहुपद {{math|''T(x)''}} में होता है, जिसमें {{math|''ahm''}} उच्चतम-क्रम पद का गुणांक होता है। उपरोक्त धारणा और {{math|''m''-1}} युग्‍मानूसार अंतरों को देखते हुए (परिणामस्वरूप {{math|''S(x)''}} के लिए कुल {{math|''m''}} युग्‍मानूसार अंतर), यह पाया जा सकता है कि:
 <math>\Delta_h^{m-1} [T](x) = ahm \cdot h^{m-1}(m-1)! = ah^mm!</math>
@@ Line 109: / Line 109: @@
 === अनुप्रयोग ===
-इस पहचान का उपयोग सबसे कम-घात वाले बहुपद को खोजने के लिए किया जा सकता है जो कई बिंदुओं {{math|(x, y)}} को रोकता है  जहाँ x-अक्ष पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु का अंतर एक स्थिरांक है {{math|h &ne; 0}}. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित बिंदु दिए गए हैं:
+इस पहचान का उपयोग सबसे कम-घात वाले बहुपद को खोजने के लिए किया जा सकता है जो कई बिंदुओं {{math|(x, y)}} को रोकता है  जहाँ x-अक्ष पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु का अंतर एक स्थिरांक{{math|h &ne; 0}} है,  उदाहरण के लिए, निम्नलिखित बिंदु दिए गए हैं:
 {| class="wikitable"
@@ Line 125: / Line 125: @@
 | 13 || 6364
 |}
-हम अंतर तालिका का उपयोग कर सकते हैं, जहां सभी कक्ष पहले के दाईं ओर होते हैं {{math|y}}, सेल के लिए तुरंत बाईं ओर कॉलम में सेल्स के लिए निम्न संबंध मौजूद है {{math|(a+1, b+1)}}, शीर्ष-बाएँ सेल समन्वय पर होने के साथ {{math|(0, 0)}}:
+हम अंतर तालिका का उपयोग कर सकते हैं, जहां पहले {{math|y}}, के दाईं ओर सभी सेल, कॉलम में सेल के लिए निम्न संबंध तुरंत बाईं ओर सेल {{math|(a+1, b+1)}} के लिए मौजूद है, सबसे ऊपर-बाएं सेल निर्देशांक पर है {{math|(0, 0)}}:
 <math>(a+1, b+1) = (a, b) - (a, b+1)</math>
 पहला पद ज्ञात करने के लिए, निम्न तालिका का उपयोग किया जा सकता है:
@@ Line 149: / Line 150: @@
 | 6364 || 3723 || 1854 || 648
 |}
-यह एक स्थिरांक पर आता है {{math|648}}. अंकगणितीय अंतर है {{math|h{{=}}3}}, जैसा कि ऊपर स्थापित किया गया है। स्थिरांक तक पहुँचने के लिए जोड़ीदार अंतरों की संख्या को देखते हुए, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि यह घात का बहुपद है {{math|3}}. इस प्रकार, उपरोक्त पहचान का उपयोग करना:
+यह स्थिरांक {{math|648}} पर आता है। अंकगणितीय अंतर {{math|h{{=}}3}} है, जैसा कि ऊपर स्थापित किया गया है। स्थिरांक तक पहुँचने के लिए युग्‍मानूसार अंतरों की संख्या को देखते हुए, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि यह घात {{math|3}} का बहुपद है। इस प्रकार, उपरोक्त पहचान का उपयोग करना:
 <math>648 = a \cdot 3^3 \cdot 3! = a \cdot 27 \cdot 6 = a \cdot 162</math>
-के लिए हल करना {{math|a}}, इसका मान पाया जा सकता है {{math|4}}. इस प्रकार, बहुपद का पहला पद है {{math|'''4x<sup>3</sup>'''}}.
+{{math|a}} को हल करने पर, इसका मान 4 पाया जा सकता है। इस प्रकार, बहुपद का पहला पद है {{math|'''4x<sup>3</sup>'''}}.
 फिर, पहले पद को घटाकर, जो बहुपद की घात को कम करता है, और परिमित अंतर को फिर से ज्ञात करता है:
@@ Line 175: / Line 177: @@
 | {{math|6364 - 4(13)<sup>3</sup> {{=}} 6364 - 8788 {{=}} -2424}} || -1065 || -306
 |}
-यहाँ, स्थिरांक केवल 2 जोड़ीदार अंतरों के बाद प्राप्त किया जाता है, इस प्रकार निम्न परिणाम:
+यहाँ, स्थिरांक केवल 2 युग्‍मानूसार अंतरों के बाद प्राप्त किया जाता है, इस प्रकार निम्न परिणाम:
 <math>-306 = a \cdot 3^2 \cdot 2! = a \cdot 18</math>
-के लिए हल करना {{math|a}}, जो है {{math|-17}}, बहुपद का दूसरा पद है {{math|'''-17x<sup>2</sup>'''}}.
+{{math|a}} को हल करने पर, जो {{math|-17}} है, बहुपद का दूसरा पद {{math|'''-17x<sup>2</sup>'''}} है .
 दूसरे पद को घटाकर, अगले पद पर जाना:
@@ Line 201: / Line 204: @@
 | {{math|-2424 - (-17(13)<sup>2</sup>) {{=}} -2424 + 2873 {{=}} 449 }} || 108
 |}
-इस प्रकार स्थिर केवल 1 जोड़ीदार अंतर के बाद प्राप्त किया जाता है:
+इस प्रकार स्थिर केवल 1 युग्‍मानूसार अंतर के बाद प्राप्त किया जाता है:
 <math>108 = a \cdot 3^1 \cdot 1! = a \cdot 3</math>
-यह पाया जा सकता है {{math|a {{=}} 36}} और इस प्रकार बहुपद का तीसरा पद है {{math|'''36x'''}}. तीसरे पद को घटाना:
+यह पाया जा सकता है {{math|a {{=}} 36}} और इस प्रकार बहुपद का तीसरा पद{{math|'''36x'''}} है, तीसरे पद को घटाना:
 {| class="wikitable"
@@ Line 225: / Line 229: @@
 | {{math|449 - 36(13) {{=}} 449 - 468 {{=}} -19}}
 |}
-बिना किसी युग्मवार अंतर के, यह पाया जाता है कि बहुपद का चौथा और अंतिम पद अचर है {{math|-19}}. इस प्रकार, पहली तालिका में सभी बिंदुओं को इंटरसेप्ट करने वाला निम्नतम-घात बहुपद पाया जाता है:
+बिना किसी युग्मवार अंतर के, यह पाया जाता है कि बहुपद का चौथा और अंतिम पद अचर {{math|-19}} है, इस प्रकार, पहली तालिका में सभी बिंदुओं को अंतर्रोधक करने वाला निम्नतम-घात बहुपद पाया जाता है:
 <math>4x^3 - 17x^2 + 36x - 19</math>
+== अव्यवस्थित आकार  मूल ==
+{{main|परिमित अंतर गुणांक}}
+{{further|पांच सूत्री स्टैंसिल}}
+रेखीय बीजगणित का उपयोग करके परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण किया जा सकता है जो किसी भी क्रम व्युत्पन्न के लिए बाईं ओर बिंदुओं की अव्यवस्थित संख्या और मूल्यांकन बिंदु के दाईं ओर (संभवतः भिन्न) अंकों की संख्या का उपयोग करता है। इसमें रेखीय प्रणाली को हल करना शामिल है जैसे कि मूल्यांकन बिंदु के चारों ओर उन बिंदुओं के योग का [[ टेलर विस्तार |टेलर विस्तार]] वांछित व्युत्पन्न के टेलर विस्तार का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है। इस तरह के सूत्रों को हेक्सागोनल या हीरे के आकार के ग्रिड पर रेखांकन के रूप में दर्शाया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Fraser|first1=Duncan C.|title=इंटरपोलेशन फॉर्मूले के ग्राफिक चित्रण पर|journal=Journal of the Institute of Actuaries|date=1 January 1909|volume=43|issue=2|pages=235–241|doi=10.1017/S002026810002494X|url=https://archive.org/stream/journal43instuoft#page/236/mode/2up|access-date=17 April 2017}}</ref>
-== मनमाने ढंग से गुठली का आकार ==
+यह ग्रिड पर फलन को अलग करने के लिए उपयोगी है, जहां एक ग्रिड के किनारे तक पहुंचता है, उसे एक तरफ कम और कम बिंदुओं का नमूना लेना चाहिए।
-{{main|Finite difference coefficient}}
-{{further|Five-point stencil}}
-रेखीय बीजगणित का उपयोग करके परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण किया जा सकता है जो किसी भी क्रम व्युत्पन्न के लिए बाईं ओर बिंदुओं की मनमानी संख्या और मूल्यांकन बिंदु के दाईं ओर (संभवतः भिन्न) अंकों की संख्या का उपयोग करता है। इसमें एक रेखीय प्रणाली को हल करना शामिल है जैसे कि मूल्यांकन बिंदु के चारों ओर उन बिंदुओं के योग का [[ टेलर विस्तार ]] वांछित व्युत्पन्न के टेलर विस्तार का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है। इस तरह के सूत्रों को हेक्सागोनल या हीरे के आकार के ग्रिड पर रेखांकन के रूप में दर्शाया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Fraser|first1=Duncan C.|title=इंटरपोलेशन फॉर्मूले के ग्राफिक चित्रण पर|journal=Journal of the Institute of Actuaries|date=1 January 1909|volume=43|issue=2|pages=235–241|doi=10.1017/S002026810002494X|url=https://archive.org/stream/journal43instuoft#page/236/mode/2up|access-date=17 April 2017}}</ref>
-यह एक ग्रिड पर एक फलन को अलग करने के लिए उपयोगी है, जहां एक व्यक्ति ग्रिड के किनारे तक पहुंचता है, उसे एक तरफ कम और कम बिंदुओं का नमूना लेना चाहिए।
 विवरण इन [http://commons.wikimedia.org/wiki/File:FDnotes.djvu नोट्स] में दिए गए हैं।
-[http://web.media.mit.edu/~crtaylor/calculator.html परिमित अंतर गुणांक कैलक्यूलेटर] गैर-मानक (और यहां तक कि गैर-पूर्णांक) स्टेंसिल के लिए परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण करता है जिसे मनमाना स्टैंसिल और वांछित व्युत्पन्न क्रम दिया जाता है .
+[http://web.media.mit.edu/~crtaylor/calculator.html परिमित अंतर गुणांक कैलक्यूलेटर] गैर-मानक (और यहां तक कि गैर-पूर्णांक) स्टेंसिल के लिए परिमित अंतर सन्निकटन का निर्माण करता है जिसे अव्यवस्थित स्टैंसिल और वांछित व्युत्पन्न क्रम दिया जाता है .
 === गुण ===
-* सभी सकारात्मक के लिए {{mvar|k}} और {{mvar|n}} <math display="block">\Delta^n_{kh} (f, x) = \sum\limits_{i_1=0}^{k-1} \sum\limits_{i_2=0}^{k-1} \cdots \sum\limits_{i_n=0}^{k-1} \Delta^n_h \left(f, x+i_1h+i_2h+\cdots+i_nh\right).</math>
+* सभी घनात्मक {{mvar|k}} और {{mvar|n}} के लिए<math display="block">\Delta^n_{kh} (f, x) = \sum\limits_{i_1=0}^{k-1} \sum\limits_{i_2=0}^{k-1} \cdots \sum\limits_{i_n=0}^{k-1} \Delta^n_h \left(f, x+i_1h+i_2h+\cdots+i_nh\right).</math>
 * [[ लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) ]]: <math display="block">\Delta^n_h (fg, x) = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \Delta^k_h (f, x) \Delta^{n-k}_h(g, x+kh).</math>
+== अवकल समीकरण में ==
-== अंतर समीकरणों में ==
 {{main article|Finite difference method}}
-परिमित अंतरों का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग संख्यात्मक विश्लेषण में है, विशेष रूप से [[ संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरण ]]ों में, जो [[ साधारण अंतर समीकरण ]] और आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान का लक्ष्य रखता है। विचार यह है [[ आंशिक विभेदक समीकरण ]] में दिखाई देने वाले अवकलज को परिमित अंतर से बदल दिया जाए जो उन्हें अनुमानित करता है। परिणामी विधियों को परिमित अंतर विधियाँ कहा जाता है।
+परिमित अंतरों का महत्वपूर्ण अनुप्रयोग संख्यात्मक विश्लेषण में है, विशेष रूप से [[ संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरण |संख्यात्मक आंशिक अवकल समीकरण]] में, जो [[ साधारण अंतर समीकरण |साधारण अवकल समीकरण]] और आंशिक अवकल समीकरण के संख्यात्मक समाधान का लक्ष्य रखता है। विचार यह है [[ आंशिक विभेदक समीकरण |आंशिक विभेदक समीकरण]] में दिखाई देने वाले अवकलज को परिमित अंतर से बदल दिया जाए जो उन्हें अनुमानित करता है। परिणामी विधियों को परिमित अंतर विधियाँ कहा जाता है।
-कम्प्यूटेशनल विज्ञान और इंजीनियरिंग विषयों में परिमित अंतर विधि के सामान्य अनुप्रयोग हैं, जैसे [[ थर्मल इंजीनियरिंग ]], द्रव यांत्रिकी, आदि।
+कम्प्यूटेशनल विज्ञान और इंजीनियरिंग विषयों में परिमित अंतर विधि के सामान्य अनुप्रयोग हैं, जैसे [[ थर्मल इंजीनियरिंग |ऊष्मा इंजीनियरी]], द्रव यांत्रिकी, आदि।
 == न्यूटन की श्रृंखला ==
-[[ न्यूटन बहुपद ]] में न्यूटन फ़ॉरवर्ड डिफ़रेंस समीकरण की शर्तें शामिल हैं, जिसका नाम इसहाक न्यूटन के नाम पर रखा गया है, संक्षेप में, यह न्यूटन इंटरपोलेशन फॉर्मूला है, जो पहली बार 1687 में उनके 'फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिंसिपिया मैथेमेटिका' में प्रकाशित हुआ था।<ref>Newton, Isaac, (1687). [https://archive.org/details/bub_gb_KaAIAAAAIAAJ/page/n459 <!-- pg=466 quote=sir isaac newton principia mathematica. --> ''Principia'', Book III, Lemma V, Case 1]</ref> अर्थात् निरंतर टेलर विस्तार का असतत अनुरूप,
+[[ न्यूटन बहुपद | न्यूटन बहुपद]] में न्यूटन अग्रांतर समीकरण की शर्तें शामिल हैं, जिसका नाम इसहाक न्यूटन के नाम पर रखा गया है, संक्षेप में, यह न्यूटन अंतर्वेशन सूत्र है, जो पहली बार 1687 में उनके 'फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिंसिपिया मैथेमेटिका' में प्रकाशित हुआ था।<ref>Newton, Isaac, (1687). [https://archive.org/details/bub_gb_KaAIAAAAIAAJ/page/n459 <!-- pg=466 quote=sir isaac newton principia mathematica. --> ''Principia'', Book III, Lemma V, Case 1]</ref> अर्थात् निरंतर टेलर विस्तार का असतत अनुरूप,
 {{Equation box 1
@@ Line 357: / Line 359: @@
 :<math>~(x)_n\equiv  \left(xT_h^{-1}\right)^n=x (x-h) (x-2h) \cdots \bigl(x-(n-1)h\bigr),</math> ताकि
 :<math>\frac{\Delta_h}{h} (x)_n=n (x)_{n-1} ,</math>
-इसलिए उपरोक्त न्यूटन इंटरपोलेशन फॉर्मूला (मनमाने फलन के विस्तार में गुणांक मिलान करके {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} ऐसे प्रतीकों में), और इसी तरह।
+इसलिए उपरोक्त न्यूटन अंतर्वेशन सूत्र (मनमाने फलन के विस्तार में गुणांक मिलान करके {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} ऐसे प्रतीकों में), और इसी तरह।
 उदाहरण के लिए, उम्ब्रल साइन है
@@ Line 369: / Line 371: @@
 :<math>\delta (x) \mapsto \frac{\sin \left[ \frac{\pi}{2}\left(1+\frac{x}{h}\right) \right]}{ \pi (x+h) },</math>
-इत्यादि।<ref>{{Cite journal | last1 = Curtright | first1 = T. L. | last2 = Zachos | first2 = C. K. | doi = 10.3389/fphy.2013.00015 | title = अम्ब्राल वेड मेकुम| journal = Frontiers in Physics | volume = 1 | year = 2013 | pages = 15 | arxiv = 1304.0429 | bibcode = 2013FrP.....1...15C | s2cid = 14106142 | doi-access = free }}</ref> अंतर समीकरणों को अक्सर उन तकनीकों के साथ हल किया जा सकता है जो अंतर समीकरणों को हल करने के लिए बहुत समान हैं।
+इत्यादि।<ref>{{Cite journal | last1 = Curtright | first1 = T. L. | last2 = Zachos | first2 = C. K. | doi = 10.3389/fphy.2013.00015 | title = अम्ब्राल वेड मेकुम| journal = Frontiers in Physics | volume = 1 | year = 2013 | pages = 15 | arxiv = 1304.0429 | bibcode = 2013FrP.....1...15C | s2cid = 14106142 | doi-access = free }}</ref> अवकल समीकरण को अक्सर उन तकनीकों के साथ हल किया जा सकता है जो अवकल समीकरण को हल करने के लिए बहुत समान हैं।
-फ़ॉरवर्ड डिफ़रेंस संकारक का व्युत्क्रम संकारक, इसलिए फिर उम्ब्रल इंटीग्रल, अनिश्चित योग या प्रतिपक्ष संकारक है।
+अग्रांतर संकारक का व्युत्क्रम संकारक, इसलिए फिर उम्ब्रल इंटीग्रल, अनिश्चित योग या प्रतिपक्ष संकारक है।
 === परिमित अंतर संकारक की गणना के लिए नियम ===
@@ Line 475: / Line 477: @@
 {{Calculus topics}}
 [[श्रेणी:सीमित अंतर| ]]
-[[श्रेणी: संख्यात्मक अंतर समीकरण]]
+[[श्रेणी: संख्यात्मक अंतर समीकरण|श्रेणी: संख्यात्मक अवकल समीकरण]]
 [[श्रेणी:गणितीय विश्लेषण]]
 [[श्रेणी: क्रमगुणित और द्विपद विषय]]

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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Revision as of 19:16, 9 January 2023

Contents

मूल प्रकार

अवकलज के साथ संबंध

उच्च-क्रम अंतर

बहुपद

आगमनात्मक प्रमाण

आधार मामले

स्टेप केस

अनुप्रयोग

अव्यवस्थित आकार मूल

गुण

अवकल समीकरण में

न्यूटन की श्रृंखला

परिमित अंतरों की गणना

परिमित अंतर संकारक की गणना के लिए नियम

सामान्यीकरण

बहुभिन्नरूपी परिमित अंतर

यह भी देखें

संदर्भ

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मूल प्रकार

अवकलज के साथ संबंध

उच्च-क्रम अंतर

बहुपद

आगमनात्मक प्रमाण

आधार मामले

स्टेप केस

अनुप्रयोग

अव्यवस्थित आकार मूल

गुण

अवकल समीकरण में

न्यूटन की श्रृंखला

परिमित अंतरों की गणना

परिमित अंतर संकारक की गणना के लिए नियम

सामान्यीकरण

बहुभिन्नरूपी परिमित अंतर

यह भी देखें

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