पाउली समीकरण

क्वांटम यांत्रिकी में, पाउली समीकरण या श्रोडिंगर-पाउली समीकरण, स्पिन-½ कणों के लिए श्रोडिंगर समीकरण का सूत्रीकरण है, जो बाहरी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ कण के स्पिन की बातचीत को ध्यान में रखता है। यह डिराक समीकरण की गैर-सापेक्षतावादी सीमा है और इसका उपयोग वहां किया जा सकता है जहां कण प्रकाश की गति से बहुत कम गति से गति कर रहे हैं ताकि सापेक्षतावादी प्रभावों को उपेक्षित किया जा सके। यह 1927 में वोल्फगैंग पाउली द्वारा तैयार किया गया था।

समीकरण

द्रव्यमान $m$ और विद्युत आवेश $q$ के एक कण के लिए, चुंबकीय वेक्टर क्षमता $\mathbf {A}$ और विद्युत अदिश क्षमता $\phi$ द्वारा वर्णित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में, पाउली समीकरण पढ़ता है:

Pauli equation (general)

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

यहाँ σ = ( σ x , σ y , σ z ) सुविधा के लिए सदिश में एकत्र किए गए पाउली ऑपरेटर हैं, और p ^ = - i ℏ ∇ स्थिति प्रतिनिधित्व में गति संचालिका है। सिस्टम की स्थिति, ψ (डायराक नोटेशन में लिखी गई), को दो-घटक स्पिनर वेवफंक्शन, या एक कॉलम वेक्टर (आधार के चुनाव के बाद) के रूप में माना जा सकता है:

पॉली ऑपरेटरों की वजह से हैमिल्टनियन ऑपरेटर 2 × 2 मैट्रिक्स है।

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi$

श्रोडिंगर समीकरण में प्रतिस्थापन से पॉली समीकरण प्राप्त होता है। यह हैमिल्टनियन विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ बातचीत करने वाले चार्ज कण के लिए चिरसम्मत हैमिल्टनियन के समान है। इस चिरसम्मत स्थिति के विवरण के लिए लोरेन्ट्ज़ बल देखें। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में एक मुक्त कण के लिए गतिज ऊर्जा शब्द सिर्फ ${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$ है जहाँ $\mathbf {p}$ गतिज गति है, जबकि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की उपस्थिति में, इसमें न्यूनतम युग्मन $\mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A}$ शामिल है, जहाँ अब $\mathbf {\Pi }$ गतिज संवेग है और $\mathbf {p}$ विहित संवेग है।

पाउली सदिश पहचान का उपयोग करके पाउली संचालकों को गतिज ऊर्जा शब्द से हटाया जा सकता है:

$({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)$

ध्यान दें कि वेक्टर के विपरीत, अवकल संकारक $\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ गैर-शून्य क्रॉस उत्पाद स्वयं के साथ है। इसे स्केलर फ़ंक्शन पर लागू क्रॉस उत्पाद पर विचार करके देखा जा सकता है $\psi$:

$\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi =-q\left[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi$

जहाँ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ चुंबकीय क्षेत्र है।

पूर्ण पाउली समीकरण के लिए, तब प्राप्त होता है

Pauli equation (standard form)

${\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

कमजोर चुंबकीय क्षेत्र

ऐसे मामले के लिए जहां चुंबकीय क्षेत्र स्थिर और समरूप है, सममित गेज का उपयोग करके ${\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}$ का विस्तार किया जा सकता है ${\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} }$ स्थिति संकारक है और A अब संकारक है। हम प्राप्त करते हैं

$(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\hat {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,$

जहां ${\textstyle \mathbf {\hat {L}} }$ कण कोणीय गति ऑपरेटर है और हमने चुंबकीय क्षेत्र वर्ग ${\textstyle B^{2}}$ में उपेक्षा की है। इसलिए हम प्राप्त करते हैं

$\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {L}} +2\mathbf {\hat {S}} )\cdot \mathbf {B} \right)\right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

जहाँ S = σ / 2 कण का चक्रण है। स्पिन के सामने फैक्टर 2 को डायराक जी-फैक्टर के रूप में जाना जाता है। बी में शब्द फॉर्म का है ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ जो एक चुंबकीय पल ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$और एक चुंबकीय क्षेत्र के बीच सामान्य बातचीत है, जैसे ज़ीमान प्रभाव में।

समदैशिक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में आवेश ${\textstyle -e}$ वाले इलेक्ट्रॉन के लिए, कुल कोणीय संवेग ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ और विग्नेर-एकार्ट प्रमेय का उपयोग करके समीकरण को और कम किया जा सकता है। इस प्रकार हम पाते हैं

$\left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

जहां ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$ बोह्र मैग्नेटॉन ${\textstyle m_{j}}$है और ${\textstyle \mathbf {J} }$ से संबंधित चुंबकीय क्वांटम संख्या है। शब्द ${\textstyle g_{J}}$ को लैंडे जी-फैक्टर के रूप में जाना जाता है और इसे यहां दिया गया है

$g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},$

जहां $\ell$ कक्षीय क्वांटम संख्या से संबंधित है $L^{2}$ और $j$ से संबंधित कुल कक्षीय क्वांटम संख्या है $J^{2}$.

डायराक समीकरण से

पाउली समीकरण डायराक समीकरण की गैर-सापेक्षतावादी सीमा है, स्पिन -½ कणों के लिए गति का आपेक्षिक क्वांटम समीकरण।

व्युत्पत्ति

डायराक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

$$i\hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},$$

जहां ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ और $\psi _{1},\psi _{2}$ दो-घटक स्पिनर हैं, जो एक बिस्पिनर बनाते हैं।

निम्नलिखित अंसात्ज़ (ansatz) का प्रयोग:

$${\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},$$

दो नए स्पिनरों के साथ $\psi ,\chi$, समीकरण बन जाता है

$$i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.$$

गैर-सापेक्षतावादी सीमा में, $\partial _{t}\chi$ और बाकी ऊर्जा के संबंध में गतिज और इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा छोटी होती है $mc^{2}$.

इस प्रकार

$$\chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.$$

डायराक समीकरण के ऊपरी घटक में सम्मिलित, हम पाउली समीकरण (सामान्य रूप) पाते हैं:

$$i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .$$

फोल्डी-वौथुइसेन परिवर्तन से

एक बाहरी क्षेत्र में डायराक समीकरण से शुरू होने और फोल्डी-वाउथ्यूसेन परिवर्तन करने से पाउली समीकरण को सख्ती से प्राप्त किया जा सकता है।

पाउली कपलिंग

पाउली का समीकरण न्यूनतम युग्मन की आवश्यकता के द्वारा प्राप्त किया गया है, जो जी-कारक जी = 2 प्रदान करता है। अधिकांश प्राथमिक कणों में विषम जी-कारक होते हैं, जो 2 से भिन्न होते हैं। सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के क्षेत्र में, एक गैर-न्यूनतम युग्मन को परिभाषित करता है, जिसे कभी-कभी पाउली युग्मन कहा जाता है, ताकि एक विषम कारक जोड़ा जा सके।

$\gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

कहां $p_{\mu }$ चार गति ऑपरेटर है, $A_{\mu }$ विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, $a$ विषम चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण के समानुपाती होता है, $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$ विद्युत चुम्बकीय टेंसर है, और ${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$ लोरेंट्ज़ियन स्पिन मैट्रिसेस और गामा मैट्रिक्स के कम्यूटेटर हैं $\gamma ^{\mu }$. गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में, श्रोडिंगर समीकरण के साथ काम करने के बजाय, पाउली युग्मन पाउली समीकरण (या ज़िमन ऊर्जा को पोस्ट करने) के लिए मनमाने ढंग से जी-फैक्टर का उपयोग करने के बराबर है।

यह भी देखें

• अर्धशास्त्रीय भौतिकी
• परमाणु, आणविक और ऑप्टिकल भौतिकी
• समूह संकुचन
• गॉर्डन अपघटन

संदर्भ

पुस्तकें

• Schwabl, Franz (2004). क्वांटम यांत्रिकी I. Springer. ISBN 978-3540431060.
• Schwabl, Franz (2005). उन्नत शिक्षार्थियों के लिए क्वांटम यांत्रिकी. Springer. ISBN 978-3540259046.
• Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Frank Laloe (2006). क्वांटम यांत्रिकी 2. Wiley, J. ISBN 978-0471569527.

श्रेणी:क्वांटम यांत्रिकी