फलन आरेख: Difference between revisions

Revision as of 12:23, 9 February 2023

फ़ंक्शन का आरेख

f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}.

गणित में, एक फलन का आरेख, क्रमित युग्म $f$ $(x,y)$ का समुच्चय है , जहाँ $f(x)=y.$ सामान्यतः जहां $x$ और $f(x)$ वास्तविक संख्याएं हैं, ये युग्म दो-आयामी स्थान में बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक हैं और इस प्रकार इस समतल का एक उपसमुच्चय बनाते हैं।

दो चर के फलनों के संबंध में $(x,y),$ वह युग्म है जिसके फलन का आरेख सामान्यतः क्रमिक त्रयी $(x,y,z)$ के समुच्चय को संदर्भित करता है जहाँ $f(x,y)=z,$ जैसा कि ऊपर की परिभाषा में संदर्भित है। यह समुच्चय त्रि-आयामी स्थान का एक उप समुच्चय है और दो वास्तविक चर के निरंतर वास्तविक मूल्यवान फलन के लिए, यह एक समतल है।

विज्ञान, अभियांत्रिकी, प्रौद्योगिकी, वित्त और अन्य क्षेत्रों में, रेखांकन कई उद्देश्यों के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण हैं। सबसे सरल मामले में एक चर को, सामान्यतः आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग करके दूसरे के एक फलन के रूप में दर्शाया जाता है।

फलन का आरेख, संबंध की एक विशेष विभक्ति है। गणित की आधुनिक ढ़ाचों और, सामान्यतः समुच्चय सिद्धांत में, एक फलन वास्तव में इसके आरेख के समान है।^[1] यद्यपि, यह सामान्यतः मानचित्र के रूप में फलनों को देखने के लिए उपयोगी होता है,^[2] जिसमें न केवल निविष्ट और निर्गत के मध्य संबंध सम्मिलित है, बल्कि यह भी कि कौन सा समुच्चय अनुक्षेत्र है, और कौन सा समुच्चय संहितात्मक है। उदाहरण के लिए, यह कहने के लिए कि एक फलन अधिसूचित कार्य पर है, उपअनुक्षेत्र को ध्यान में नहीं रखा जाना चाहिए। एक फलन का आरेख अपने बल उपअनुक्षेत्र को निर्धारित नहीं करता है।^[3] एक ही वस्तु पर विचार करने के बाद भी किसी फलन और आरेख दोनों का उपयोग करने के लिए, वे इसे एक अलग दृष्टिकोण से देखने का संकेत देते हैं।

परिभाषा

एक मानचित्रण $f:X\to Y,$ दिया गया है। दूसरे शब्दों में कहे तो फलन $f$ में अनुक्षेत्र के साथ $X$ और उपअनुक्षेत्र $Y,$ मानचित्रण के आरेख है^[4]

समुच्चय

G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},

जो

X\times Y

उप समुच्चय है एक फलन की अमूर्त परिभाषा में,

G(f)

वास्तव में

f.

के बराबर है

यह देखा जा सकता है कि अगर, $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$ तो आरेख $G(f)$ , $\mathbb {R} ^{n+m}$ का उप समुच्चय है।

उदाहरण

एक चर के फलन

फ़ंक्शन का आरेख (गणित)

f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right).

$f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ फलन का आरेख जो

f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}

द्वारा परिभाषित होता है,

\{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}

समुच्चय का उप समुच्चय है जिसमे

G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.

अनुक्षेत्र

\{1,2,3\}

के आरेख में प्रत्येक युग्म के पहले घटक के समुच्चय के रूप में प्राप्त किया जाता है

\{1,2,3\}=\{x:\ \exists y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}

।

इसी तरह, फलन की सीमा को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है $\{a,c,d\}=\{y:\exists x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}$

उपअनुक्षेत्र $\{a,b,c,d\}$ , यद्यपि, एकल आरेख से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

वास्तविक रेखा पर त्रयी बहुपद का आरेख

f(x)=x^{3}-9x

होता है

\{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number }}\}.

यदि यह समुच्चय कार्टेशियन समतल पर दर्शाया जाता है, तो परिणाम एक वक्र आता है।

दो चर के कार्य

त्रिकोणमितीय फलन

f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})

का आरेख

\{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.

है।

यदि इस समुच्चय को तीन आयामों में एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली पर दर्शाया जाता है, तो परिणाम एक सतह होता है।

सामान्यतः यह आरेख, फलन के ढाल और कई स्तर के कमी के साथ दर्शाने के लिए सहायक होता है। स्तर के कमी को फलन की सतह पर चिन्हित किया जा सकता है या नीचे के समतलों पर प्रस्तुत किया जा सकता है। दूसरा आंकड़ा फलन के आरेख के ऐसे चित्रण को दर्शाता है:

f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}.

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Charles C Pinter (2014) [1971]. A Book of Set Theory. Dover Publications. p. 49. ISBN 978-0-486-79549-2.
↑ T. M. Apostol (1981). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. p. 35.
↑ P. R. Halmos (1982). A Hilbert Space Problem Book. Springer-Verlag. p. 31. ISBN 0-387-90685-1.
↑ D. S. Bridges (1991). Foundations of Real and Abstract Analysis. Springer. p. 285. ISBN 0-387-98239-6.

Zălinescu, Constantin (30 July 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – via Internet Archive.

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

[Pinter2014-1] Charles C Pinter (2014) [1971]. A Book of Set Theory. Dover Publications. p. 49. ISBN 978-0-486-79549-2.

[2] T. M. Apostol (1981). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. p. 35.

[3] P. R. Halmos (1982). A Hilbert Space Problem Book. Springer-Verlag. p. 31. ISBN 0-387-90685-1.

[4] D. S. Bridges (1991). Foundations of Real and Abstract Analysis. Springer. p. 285. ISBN 0-387-98239-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

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 == परिभाषा ==
-एक मानचित्रण दिया <math>f : X \to Y,</math> दूसरे शब्दों में एक फ़ंक्शन <math>f</math> साथ में इसके अनुक्षेत्र के साथ <math>X</math> और उपअनुक्षेत्र <math>Y,</math> मैपिंग का आरेख है<ref>{{cite book|author=D. S. Bridges|title=Foundations of Real and Abstract Analysis|url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-0-387-22620-0|year=1991|publisher=Springer|page=[https://archive.org/details/springer_10.1007-978-0-387-22620-0/page/n292 285]|isbn=0-387-98239-6}}</ref> समुच्चय
+एक मानचित्रण <math>f : X \to Y,</math> दिया गया है। दूसरे शब्दों में कहे तो फलन <math>f</math> में अनुक्षेत्र के साथ <math>X</math> और उपअनुक्षेत्र <math>Y,</math> मानचित्रण के आरेख है<ref>{{cite book|author=D. S. Bridges|title=Foundations of Real and Abstract Analysis|url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-0-387-22620-0|year=1991|publisher=Springer|page=[https://archive.org/details/springer_10.1007-978-0-387-22620-0/page/n292 285]|isbn=0-387-98239-6}}</ref>
-<math display=block>G(f) = \{(x,f(x)) : x \in X\},</math>
-जो एक सबसमुच्चय है <math>X\times Y</math>।एक फ़ंक्शन की अमूर्त परिभाषा में, <math>G(f)</math> वास्तव में बराबर है <math>f.</math>
+समुच्चय
-कोई देख सकता है कि, अगर, <math>f : \R^n \to \R^m,</math> फिर आरेख <math>G(f)</math> का एक सबसमुच्चय है <math>\R^{n+m}</math> (सख्ती से यह बोल रहा है <math>\R^n \times \R^m,</math> लेकिन कोई इसे प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म के साथ एम्बेड कर सकता है)।
+<math display="block">G(f) = \{(x,f(x)) : x \in X\},</math>
+जो <math>X\times Y</math> उप समुच्चय है एक फलन  की अमूर्त परिभाषा में, <math>G(f)</math> वास्तव में <math>f.</math> के बराबर है
+यह देखा जा सकता है कि अगर, <math>f : \R^n \to \R^m,</math> तो आरेख <math>G(f)</math> , <math>\R^{n+m}</math> का उप समुच्चय है।
 == उदाहरण ==
-=== एक चर के कार्य ===
+=== एक चर के फलन ===
-[[File:Three-dimensional graph.png|right|thumb|250px|फ़ंक्शन का आरेख (गणित) <math>f(x, y) = \sin\left(x^2\right) \cdot \cos\left(y^2\right).</math>]]फ़ंक्शन का आरेख <math>f : \{1,2,3\} \to \{a,b,c,d\}</math> द्वारा परिभाषित
+[[File:Three-dimensional graph.png|right|thumb|250px|फ़ंक्शन का आरेख (गणित) <math>f(x, y) = \sin\left(x^2\right) \cdot \cos\left(y^2\right).</math>]]<math>f : \{1,2,3\} \to \{a,b,c,d\}</math> फलन का आरेख जो
 <math display=block>f(x)=
          \begin{cases}
                a, & \text{if }x=1, \\ d, & \text{if }x=2, \\ c, & \text{if }x=3,
          \end{cases}
-   </math>
+   </math>द्वारा परिभाषित होता है,<math>\{1,2,3\} \times \{a,b,c,d\}</math> समुच्चय का उप समुच्चय है जिसमे <math display="block">G(f) = \{ (1,a), (2,d), (3,c) \}.</math>अनुक्षेत्र <math>\{1,2,3\}</math> के आरेख में प्रत्येक युग्म के पहले घटक के समुच्चय के रूप में प्राप्त किया जाता है <math>\{1,2,3\} = \{x :\ \exists y,\text{ such that }(x,y) \in G(f)\}</math>।
-समुच्चय का सबसमुच्चय है <math>\{1,2,3\} \times \{a,b,c,d\}</math>
-<math display=block>G(f) = \{ (1,a), (2,d), (3,c) \}.</math>
+इसी तरह, फलन की सीमा को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है <math>\{a,c,d\} = \{y : \exists x,\text{ such that }(x,y)\in G(f)\}</math>
-आरेख से, अनुक्षेत्र <math>\{1,2,3\}</math> आरेख में प्रत्येक जोड़ी के पहले घटक के समुच्चय के रूप में बरामद किया जाता है <math>\{1,2,3\} = \{x :\ \exists y,\text{ such that }(x,y) \in G(f)\}</math>।
-इसी तरह, एक फ़ंक्शन की सीमा को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है <math>\{a,c,d\} = \{y : \exists x,\text{ such that }(x,y)\in G(f)\}</math>।
+उपअनुक्षेत्र <math>\{a,b,c,d\}</math>, यद्यपि, एकल आरेख से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
-उपअनुक्षेत्र <math>\{a,b,c,d\}</math>, यद्यपि, अकेले आरेख से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
-[[वास्तविक रेखा]] पर क्यूबिक बहुपद का आरेख
+[[वास्तविक रेखा]] पर त्रयी बहुपद का आरेख
-<math display=block>f(x) = x^3 - 9x</math>
+<math display="block">f(x) = x^3 - 9x</math>होता है
-है
+<math display="block">\{ (x, x^3 - 9x) : x \text{ is a real number } \}.</math>
-<math display=block>\{ (x, x^3 - 9x) : x \text{ is a real number} \}.</math>
-यदि यह समुच्चय [[कार्टेशियन विमान]] पर प्लॉट किया जाता है, तो परिणाम एक वक्र है (चित्र देखें)।
-{{clear}}
+यदि यह समुच्चय [[कार्टेशियन विमान|कार्टेशियन समतल]] पर दर्शाया जाता है, तो परिणाम एक वक्र आता है।
 === दो चर के कार्य ===
+त्रिकोणमितीय फलन <math display="block">f(x,y) = \sin(x^2)\cos(y^2)</math>का आरेख<math display="block">\{ (x, y, \sin(x^2) \cos(y^2)) : x \text{ and } y \text{ are real numbers} \}.</math>है।
-फ़ाइल: f (x, y) = - ((cosx)^2 + (cozy)^2)^2.PNG|thumb|250px|के आरेख का प्लॉट <math>f(x, y) = - \left(\cos\left(x^2\right) + \cos\left(y^2\right)\right)^2,</math> इसके अलावा नीचे के विमान पर इसकी ढाल का अनुमान है।
-त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का आरेख
+यदि इस समुच्चय को तीन आयामों में एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली पर दर्शाया जाता है, तो परिणाम एक सतह होता है।
-<math display=block>f(x,y) = \sin(x^2)\cos(y^2)</math>
-है
-<math display=block>\{ (x, y, \sin(x^2) \cos(y^2)) : x \text{ and } y \text{ are real numbers} \}.</math>
-यदि इस समुच्चय को तीन आयामों में एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली#कार्टेशियन निर्देशांक पर प्लॉट किया जाता है, तो परिणाम एक सतह है (चित्र देखें)।
-सामान्यतः यह आरेख, फ़ंक्शन के ढाल और कई स्तर के घटता के साथ दिखाने के लिए सहायक होता है।स्तर के घटता को फ़ंक्शन की सतह पर मैप किया जा सकता है या नीचे के विमान पर पेश किया जा सकता है।दूसरा आंकड़ा फ़ंक्शन के आरेख के ऐसे ड्राइंग को दर्शाता है:
+सामान्यतः यह आरेख, फलन के ढाल और कई स्तर के कमी के साथ दर्शाने के लिए सहायक होता है। स्तर के कमी को फलन की सतह पर चिन्हित किया जा सकता है या नीचे के समतलों पर प्रस्तुत किया जा सकता है। दूसरा आंकड़ा फलन के आरेख के ऐसे चित्रण को दर्शाता है:
-<math display=block>f(x, y) = -(\cos(x^2) + \cos(y^2))^2.</math>
+<math display="block">f(x, y) = -(\cos(x^2) + \cos(y^2))^2.</math>

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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