शून्य भाजक: Difference between revisions

Revision as of 14:46, 11 February 2023

अमूर्त बीजगणित में, एक वलय (बीजगणित) $R$ के तत्व (गणित) $a$ को बायाँ शून्य भाजक कहा जाता है यदि $R$ मे कोई गैर-शून्य $x$ सम्मिलित है जैसे कि $ax = 0$ ,^[1] या समकक्ष यदि $R$ से $R$ का मानचित्र जो $x$ को $ax$ भेजता है, अंतःक्षेपक नहीं है।^{[lower-alpha 1]} इसी प्रकार, तत्व (गणित) $a$ को दायाँ शून्य भाजक कहा जाता है यदि $R$ एक शून्येतर $y$ सम्मिलित जैसे कि $ya = 0$ यह वलयों में विभाज्यता (वलय प्रमेय) की आंशिक स्थिति है। तत्व जो बाएँ या दाएँ शून्य भाजक है, उसे शून्य भाजक कहा जाता है।^[2] तत्व $a$ जो बाएँ और दाएँ शून्य भाजक दोनों का शून्य भाजक है, उसे द्विपक्षी शून्य भाजक कहा जाता है (गैर-शून्य $x$ ऐसा है कि $ax = 0$ गैर-शून्य $y$ से भिन्न हो सकता है जैसे कि $ya = 0$ ) यदि वलय क्रमविनिमेय है, तो बाएँ और दाएँ शून्य भाजक समान हैं।

वलय का एक तत्व जो बाएं शून्य विभाजक नहीं है, उसे बाएं सममित या बाएं रद्द करने योग्य कहा जाता है। इसी तरह, वलय का एक तत्व जो दायाँ शून्य विभाजक नहीं है, उसे दायाँ सममित या दायाँ रद्द करने योग्य कहा जाता है। वलय का एक तत्व जो बाएं और दाएं रद्द करने योग्य है, और इसलिए शून्य विभाजक नहीं है, सममित या रद्द करने योग्य या गैर-शून्य-भाजक कहा जाता है।^[3] शून्य भाजक जो गैर-शून्य है, उसे गैर-शून्य भाजक या एक असतहीय शून्य भाजक कहा जाता है। गैर-शून्य वलय जिसमें कोई असतहीय शून्य विभाजक नहीं है, एक प्रक्षेत्र (वलय प्रमेय) कहलाता है।

उदाहरण

मॉड्यूलर अंकगणित में | वलय $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ , अवशेष वर्ग ${\overline {2}}$ के बाद से एक शून्य विभाजक है ${\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}$ .
वलय का एकमात्र शून्य विभाजक $\mathbb {Z}$ का पूर्णांक है $0$ .
एक गैर-शून्य वलय का एक nilpotent तत्व हमेशा दो तरफा शून्य का भाजक होता है।
एक बेवकूफ तत्व (वलय प्रमेय) $e\neq 1$ एक वलय का हमेशा एक दो तरफा शून्य विभाजक होता है, क्योंकि $e(1-e)=0=(1-e)e$ .
मैट्रिक्स वलय | की वलय $n\times n$ एक क्षेत्र (गणित) पर मैट्रिसेस में गैर-शून्य शून्य विभाजक हैं यदि $n\geq 2$ . की वलय में शून्य विभाजक के उदाहरण $2\times 2$ मैट्रिसेस (किसी भी शून्य वलय पर) यहां दिखाए गए हैं: ${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},$ ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$
दो या दो से अधिक शून्य वलय के छल्लों के गुणनफल में हमेशा गैर-शून्य शून्य भाजक होते हैं। उदाहरण के लिए, में $R_{1}\times R_{2}$ प्रत्येक के साथ $R_{i}$ गैर-शून्य, $(1,0)(0,1)=(0,0)$ , इसलिए $(1,0)$ एक शून्य विभाजक है।
होने देना $K$ एक क्षेत्र बनें (गणित) और $G$ एक समूह (गणित) बनें। लगता है कि $G$ एक तत्व है $g$ परिमित आदेश (समूह सिद्धांत) $n>1$ . फिर समूह की वलय में $K[G]$ किसी के पास $(1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0$ , कोई भी कारक शून्य नहीं है, इसलिए $1-g$ में एक शून्येतर शून्य भाजक है $K[G]$ .

एक तरफा शून्य-भाजक

(औपचारिक) मैट्रिक्स की वलय पर विचार करें ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ साथ $x,z\in \mathbb {Z}$ और $y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ . तब ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}$ और ${\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}$ . यदि $x\neq 0\neq z$ , तब ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ एक बायाँ शून्य विभाजक है यदि और केवल यदि $x$ तब से सम है ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}$ , और यह एक सही शून्य भाजक है यदि और केवल यदि $z$ समान कारणों से भी है। यदि दोनों में से कोई $x,z$ है $0$ , तो यह दो तरफा शून्य-भाजक है।
यहां एक तत्व के साथ एक वलय का एक और उदाहरण है जो केवल एक तरफ शून्य विभाजक है। होने देना $S$ पूर्णांकों के सभी अनुक्रम (गणित) का समुच्चय हो $(a_{1},a_{2},a_{3},...)$ . वलय के लिए सभी योगात्मक नक्शा्स लें $S$ को $S$ , वलय ऑपरेशंस के रूप में बिंदुवार जोड़ और फलन संरचना के साथ। (अर्थात हमारी वलय है $\mathrm {End} (S)$ , योगात्मक समूह की एंडोमोर्फिज्म वलय $S$ ।) इस वलय के तत्वों के तीन उदाहरण सही बदलाव हैं $R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)$ , बाईं पारी $L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)$ , और पहले कारक पर प्रक्षेपण मानचित्र $P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)$ . ये तीनों योगात्मक मानचित्र शून्य नहीं हैं, बल्कि सम्मिश्र हैं $LP$ और $PR$ दोनों शून्य हैं, इसलिए $L$ एक बायां शून्य विभाजक है और $R$ योगात्मक नक्शों के वलय में एक दायाँ शून्य भाजक है $S$ को $S$ . हालाँकि, $L$ एक सही शून्य भाजक नहीं है और $R$ बायाँ शून्य भाजक नहीं है: समग्र $LR$ पहचान है। $RL$ चूंकि दो तरफा शून्य-भाजक है $RLP=0=PRL$ , जबकि $LR=1$ किसी दिशा में नहीं है।

गैर-उदाहरण

पूर्णांक मॉड्यूलर अंकगणित की वलय एक अभाज्य संख्या में कोई गैर-शून्य शून्य विभाजक नहीं है। चूँकि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व एक इकाई (वलय प्रमेय) है, यह वलय एक परिमित क्षेत्र है।
अधिक सामान्य रूप से, एक विभाजन वलय में शून्येतर शून्य भाजक नहीं होते हैं।
एक शून्य वलय क्रमविनिमेय वलय जिसका केवल शून्य भाजक 0 है, एक अभिन्न प्रक्षेत्र कहलाता है।

गुण

के घेरे में $n$ -द्वारा- $n$ एक क्षेत्र (गणित) पर आव्यूह, बाएँ और दाएँ शून्य विभाजक मेल खाते हैं; वे ठीक एकवचन मैट्रिक्स हैं। के घेरे में $n$ -द्वारा- $n$ एक अभिन्न प्रक्षेत्र पर मैट्रिक्स, शून्य विभाजक निश्चित रूप से निर्धारक 0 (संख्या) के साथ मैट्रिक्स हैं।
बाएँ या दाएँ शून्य विभाजक कभी भी इकाई (वलय प्रमेय) नहीं हो सकते, क्योंकि यदि $a$ उलटा है और $ax = 0$ कुछ गैर शून्य के लिए $x$ , तब $0 = a -1 0 = a -1 ax = x$ , एक विरोधाभास।
एक तत्व उस तरफ रद्दीकरण संपत्ति है जिस पर यह सममित है। अर्थात यदि $a$ बाएं सममित है, $ax = ay$ इसका आशय है $x = y$ , और इसी तरह सही सममित के लिए।

== शून्य एक शून्य भाजक == के रूप में

स्थिति के लिए एक अलग सम्मेलन की कोई आवश्यकता नहीं है $a = 0$ , क्योंकि परिभाषा इस स्थिति में भी लागू होती है:

यदि $R$ तब शून्य वलय के अलावा कोई वलय है $0$ एक (दो तरफा) शून्य विभाजक है, क्योंकि कोई भी गैर-शून्य तत्व $x$ संतुष्ट $0 x = 0 = x 0$ .
यदि $R$ शून्य वलय है, जिसमें $0 = 1$ , तब $0$ एक शून्य विभाजक नहीं है, क्योंकि कोई गैर-शून्य तत्व नहीं है, जब से गुणा किया जाता है $0$ पैदावार $0$ .

कुछ संदर्भों में सम्मिलित या बहिष्कृत हैं $0$ परिपाटी द्वारा सभी छल्लों में एक शून्य विभाजक के रूप में, लेकिन वे निम्नलिखित जैसे बयानों में अपवादों को पेश करने से पीड़ित हैं:

एक क्रमविनिमेय वलय में $R$ , गैर-शून्य-भाजक का समुच्चय एक गुणक समुच्चय है $R$ . (यह, बदले में, कुल भागफल वलय की परिभाषा के लिए महत्वपूर्ण है।) वही गैर-बाएँ-शून्य-भाजक के समुच्चय और गैर-दाएँ-शून्य-भाजक के समुच्चय के लिए एक मनमाना वलय, क्रमविनिमेय है। या नहीं।
क्रमविनिमेय नॉथेरियन वलय में $R$ , शून्य भाजक का समुच्चय संबंधित अभाज्य का संघ है $R$ .

== एक मॉड्यूल == पर शून्य भाजक होने देना $R$ क्रमविनिमेय वलय बनो, मान लीजिए $M$ सेम $R$ -मॉड्यूल (गणित), और चलो $a$ का एक तत्व हो $R$ . एक कहता है $a$ है $M$ -सममित यदि गुणा करके $a$ नक्शा $M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M$ अंतःक्षेपक है, और वह $a$ एक शून्य विभाजक है $M$ अन्यथा।^[4] के समुच्चय $M$ -सममित तत्व एक गुणक समुच्चय है $R$ .^[4]

की परिभाषा विशेषज्ञता $M$ -सममित और शून्य विभाजक चालू $M$ स्थिति के लिए $M = R$ इस आलेख में पहले दी गई सममित और शून्य विभाजक की परिभाषाओं को पुनर्प्राप्त करता है।

यह भी देखें

शून्य-उत्पाद संपत्ति
क्रमविनिमेय बीजगणित की शब्दावली (परिशुद्ध शून्य भाजक)
शून्य भाजक ग्राफ

संदर्भ

↑ N. Bourbaki (1989), Algebra I, Chapters 1–3, Springer-Verlag, p. 98
↑ Charles Lanski (2005), Concepts in Abstract Algebra, American Mathematical Soc., p. 342
↑ Nicolas Bourbaki (1998). Algebra I. Springer Science+Business Media. p. 15.
↑ ^4.0 ^4.1 Hideyuki Matsumura (1980), Commutative algebra, 2nd edition, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., p. 12

अग्रिम पठन

"Zero divisor", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Michiel Hazewinkel; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004), Algebras, rings and modules, vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
Weisstein, Eric W. "Zero Divisor". MathWorld.

[2] Since the map is not injective, we have $ax = ay$ , in which $x$ differs from $y$ , and thus $a (x - y) = 0$ .

[1] N. Bourbaki (1989), Algebra I, Chapters 1–3, Springer-Verlag, p. 98

[3] Charles Lanski (2005), Concepts in Abstract Algebra, American Mathematical Soc., p. 342

[4] Nicolas Bourbaki (1998). Algebra I. Springer Science+Business Media. p. 15.

[Matsumura-p12-5] 4.0 ^4.1 Hideyuki Matsumura (1980), Commutative algebra, 2nd edition, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., p. 12

[1]

[lower-alpha 1]

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 {{Short description|Ring element that can be multiplied by a non-zero element to equal 0}}
-{{Use American English|date = March 2019}}
+[[सार बीजगणित|अमूर्त बीजगणित]] में, एक   [[अंगूठी (बीजगणित)|वलय (बीजगणित)]] {{math|''R''}} के  [[तत्व (गणित)]] {{math|''a''}} को '''बायाँ शून्य भाजक''' कहा जाता है यदि {{math|''R''}} मे कोई गैर-शून्य {{math|''x''}} सम्मिलित है  जैसे कि {{math|1=''ax'' = 0}},<ref>{{citation |author= N. Bourbaki |author-link= N. Bourbaki |title=Algebra I, Chapters 1–3 |page=98 |publisher=Springer-Verlag |year=1989}}</ref> या समकक्ष यदि  {{math|''R''}} से {{math|''R''}} का मानचित्र जो {{math|''x''}} को {{math|''ax''}} भेजता है, अंतःक्षेपक नहीं है।{{efn|1=Since the map is not injective, we have {{math|1=''ax'' = ''ay''}}, in which {{math|''x''}} differs from {{math|''y''}}, and thus {{math|1=''a''(''x'' − ''y'') = 0}}.}} इसी प्रकार,  तत्व (गणित) {{math|''a''}} को '''दायाँ शून्य भाजक''' कहा जाता है यदि {{math|''R''}} एक शून्येतर {{math|''y''}} सम्मिलित जैसे कि {{math|1=''ya'' = 0}} यह वलयों में विभाज्यता (वलय प्रमेय) की आंशिक स्थिति है। तत्व जो बाएँ या दाएँ शून्य भाजक है, उसे '''शून्य भाजक''' कहा जाता है।<ref>{{citation |author= Charles Lanski |year=2005 |title=Concepts in Abstract Algebra |publisher=American Mathematical Soc. |page=342 }}</ref> तत्व {{math|''a''}} जो बाएँ और दाएँ शून्य भाजक दोनों का शून्य भाजक है, उसे '''द्विपक्षी शून्य भाजक''' कहा जाता है (गैर-शून्य {{math|''x''}} ऐसा है कि {{math|1=''ax'' = 0}} गैर-शून्य {{math|''y''}} से भिन्न हो सकता है  जैसे कि {{math|1=''ya'' = 0}}) यदि वलय क्रमविनिमेय है, तो बाएँ और दाएँ शून्य भाजक समान हैं।
-[[सार बीजगणित]] में, एक [[तत्व (गणित)]] {{math|''a''}} एक [[अंगूठी (बीजगणित)|वलय (बीजगणित)]] {{math|''R''}} यदि कोई अशून्य सम्मिलित है तो उसे बायाँ शून्य भाजक कहा जाता है {{math|''x''}} में {{math|''R''}} ऐसा है कि {{math|1=''ax'' = 0}},<ref>{{citation |author= N. Bourbaki |author-link= N. Bourbaki |title=Algebra I, Chapters 1–3 |page=98 |publisher=Springer-Verlag |year=1989}}</ref> या समकक्ष अगर नक्शा से {{math|''R''}} को {{math|''R''}} जो भेजता है {{math|''x''}} को {{math|''ax''}} [[इंजेक्शन]] नहीं है।{{efn|1=Since the map is not injective, we have {{math|1=''ax'' = ''ay''}}, in which {{math|''x''}} differs from {{math|''y''}}, and thus {{math|1=''a''(''x'' − ''y'') = 0}}.}} इसी प्रकार, एक तत्व (गणित) {{math|''a''}} एक गैर-शून्य सम्मिलित होने पर एक वलय को सही शून्य भाजक कहा जाता है {{math|''y''}} में {{math|''R''}} ऐसा है कि {{math|1=''ya'' = 0}}. यह वलयों में विभाज्यता (वलय प्रमेय) का आंशिक स्थिति है। एक तत्व जो बाएँ या दाएँ शून्य भाजक है, उसे शून्य भाजक कहा जाता है।<ref>{{citation |author= Charles Lanski |year=2005 |title=Concepts in Abstract Algebra |publisher=American Mathematical Soc. |page=342 }}</ref> तत्व{{math|''a''}} जो एक बाएँ और दाएँ शून्य भाजक दोनों को दो तरफा शून्य भाजक कहा जाता है (अशून्य {{math|''x''}} ऐसा है कि {{math|1=''ax'' = 0}} अशून्य से भिन्न हो सकता है {{math|''y''}} ऐसा है कि {{math|1=''ya'' = 0}}). यदि क्रमविनिमेय वलय है, तो बाएँ और दाएँ शून्य भाजक समान हैं।
-एक वलय का एक तत्व जो बाएं शून्य विभाजक नहीं है, उसे बाएं नियमित या बाएं रद्द करने योग्य कहा जाता है। इसी तरह, वलय का एक तत्व जो सही शून्य विभाजक नहीं है, उसे सही नियमित या सही रद्द करने योग्य कहा जाता है।
+वलय का एक तत्व जो बाएं शून्य विभाजक नहीं है, उसे '''बाएं  सममित''' या '''बाएं रद्द करने योग्य''' कहा जाता है। इसी तरह, वलय का एक तत्व जो दायाँ शून्य विभाजक नहीं है, उसे '''दायाँ''' '''सममित''' या '''दायाँ''' '''रद्द करने योग्य''' कहा जाता है। वलय का एक तत्व जो बाएं और दाएं रद्द करने योग्य है, और इसलिए शून्य विभाजक नहीं है, '''सममित''' या '''रद्द करने योग्य''' या '''गैर-शून्य-भाजक''' कहा जाता है।{{refn|{{cite book|author=Nicolas Bourbaki|year=1998|title=Algebra I|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|page=15}}}}  शून्य भाजक जो गैर-शून्य है, उसे गैर-शून्य  भाजक या एक  असतहीय शून्य भाजक कहा जाता है। गैर-शून्य वलय जिसमें कोई  असतहीय शून्य विभाजक नहीं है, एक [[डोमेन (रिंग थ्योरी)|प्रक्षेत्र (वलय प्रमेय)]] कहलाता है।
-वलय का एक तत्व जो बाएं और दाएं रद्द करने योग्य है, और इसलिए शून्य विभाजक नहीं है, नियमित या रद्द करने योग्य कहा जाता है,{{refn|{{cite book|author=Nicolas Bourbaki|year=1998|title=Algebra I|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|page=15}}}} या एक गैर-शून्य-भाजक। एक शून्य भाजक जो गैर-शून्य है, उसे गैर-शून्य शून्य भाजक या एक गैर-तुच्छ शून्य भाजक कहा जाता है। एक गैर-शून्य वलय जिसमें कोई गैर-तुच्छ शून्य विभाजक नहीं है, एक [[डोमेन (रिंग थ्योरी)|प्रक्षेत्र (वलय प्रमेय)]] कहलाता है।
 == उदाहरण ==
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 =\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.</math>
-*दो या दो से अधिक शून्य वलय के छल्लों के गुणनफल में हमेशा अशून्य शून्य भाजक होते हैं। उदाहरण के लिए, में <math>R_1 \times R_2</math> प्रत्येक के साथ <math>R_i</math> अशून्य, <math>(1,0)(0,1) = (0,0)</math>, इसलिए <math>(1,0)</math> एक शून्य विभाजक है।
+*दो या दो से अधिक शून्य वलय के छल्लों के गुणनफल में हमेशा गैर-शून्य शून्य भाजक होते हैं। उदाहरण के लिए, में <math>R_1 \times R_2</math> प्रत्येक के साथ <math>R_i</math> गैर-शून्य, <math>(1,0)(0,1) = (0,0)</math>, इसलिए <math>(1,0)</math> एक शून्य विभाजक है।
 *होने देना <math>K</math> एक क्षेत्र बनें (गणित) और <math>G</math> एक [[समूह (गणित)]] बनें। लगता है कि <math>G</math> एक तत्व है <math>g</math> परिमित [[आदेश (समूह सिद्धांत)]] <math>n>1</math>. फिर [[समूह की अंगूठी|समूह की वलय]] में <math>K[G]</math> किसी के पास <math>(1-g)(1+g+ \cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0</math>, कोई भी कारक शून्य नहीं है, इसलिए <math>1-g</math> में एक शून्येतर शून्य भाजक है <math>K[G]</math>.
 === एक तरफा शून्य-भाजक ===
-* (औपचारिक) मैट्रिक्स की वलय पर विचार करें <math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}</math> साथ <math>x,z\in\mathbb{Z}</math> और <math>y\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>. तब <math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}</math> और <math>\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}</math>. अगर <math>x\ne0\ne z</math>, तब <math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}</math> एक बायाँ शून्य विभाजक है यदि और केवल यदि <math>x</math> तब से सम है <math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}</math>, और यह एक सही शून्य भाजक है अगर और केवल अगर <math>z</math> समान कारणों से भी है। अगर दोनों में से कोई <math>x,z</math> है <math>0</math>, तो यह दो तरफा शून्य-भाजक है।
+* (औपचारिक) मैट्रिक्स की वलय पर विचार करें <math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}</math> साथ <math>x,z\in\mathbb{Z}</math> और <math>y\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>. तब <math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}</math> और <math>\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}</math>. यदि <math>x\ne0\ne z</math>, तब <math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}</math> एक बायाँ शून्य विभाजक है यदि और केवल यदि <math>x</math> तब से सम है <math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}</math>, और यह एक सही शून्य भाजक है यदि और केवल यदि <math>z</math> समान कारणों से भी है। यदि दोनों में से कोई <math>x,z</math> है <math>0</math>, तो यह दो तरफा शून्य-भाजक है।
 *यहां एक तत्व के साथ एक वलय का एक और उदाहरण है जो केवल एक तरफ शून्य विभाजक है। होने देना <math>S</math> पूर्णांकों के सभी [[अनुक्रम (गणित)]] का समुच्चय हो <math>(a_1,a_2,a_3,...)</math>. वलय के लिए सभी [[योगात्मक नक्शा]]्स लें <math>S</math> को <math>S</math>, वलय ऑपरेशंस के रूप में [[बिंदुवार]] जोड़ और फलन संरचना के साथ। (अर्थात हमारी वलय है <math>\mathrm{End}(S)</math>, योगात्मक समूह की [[एंडोमोर्फिज्म रिंग|एंडोमोर्फिज्म वलय]] <math>S</math>।) इस वलय के तत्वों के तीन उदाहरण सही बदलाव हैं <math>R(a_1,a_2,a_3,...)=(0,a_1,a_2,...)</math>, बाईं पारी <math>L(a_1,a_2,a_3,...)=(a_2,a_3,a_4,...)</math>, और पहले कारक पर प्रक्षेपण मानचित्र <math>P(a_1,a_2,a_3,...)=(a_1,0,0,...)</math>. ये तीनों योगात्मक मानचित्र शून्य नहीं हैं, बल्कि सम्मिश्र हैं <math>LP</math> और <math>PR</math> दोनों शून्य हैं, इसलिए <math>L</math> एक बायां शून्य विभाजक है और <math>R</math> योगात्मक नक्शों के वलय में एक दायाँ शून्य भाजक है <math>S</math> को <math>S</math>. हालाँकि, <math>L</math> एक सही शून्य भाजक नहीं है और <math>R</math> बायाँ शून्य भाजक नहीं है: समग्र <math>LR</math> पहचान है। <math>RL</math> चूंकि दो तरफा शून्य-भाजक है <math>RLP=0=PRL</math>, जबकि <math>LR=1</math> किसी दिशा में नहीं है।
 == गैर-उदाहरण ==
-* पूर्णांक [[मॉड्यूलर अंकगणित]] की वलय एक [[अभाज्य संख्या]] में कोई गैर-शून्य शून्य विभाजक नहीं है। चूँकि प्रत्येक अशून्य तत्व एक इकाई (वलय प्रमेय) है, यह वलय एक [[परिमित क्षेत्र]] है।
+* पूर्णांक [[मॉड्यूलर अंकगणित]] की वलय एक [[अभाज्य संख्या]] में कोई गैर-शून्य शून्य विभाजक नहीं है। चूँकि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व एक इकाई (वलय प्रमेय) है, यह वलय एक [[परिमित क्षेत्र]] है।
 * अधिक सामान्य रूप से, एक विभाजन वलय में शून्येतर शून्य भाजक नहीं होते हैं।
 * एक शून्य वलय क्रमविनिमेय वलय जिसका केवल शून्य भाजक 0 है, एक [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न प्रक्षेत्र]] कहलाता है।
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 * के घेरे में {{mvar|n}}-द्वारा-{{mvar|n}} एक क्षेत्र (गणित) पर आव्यूह, बाएँ और दाएँ शून्य विभाजक मेल खाते हैं; वे ठीक [[एकवचन मैट्रिक्स]] हैं। के घेरे में {{math|''n''}}-द्वारा-{{math|''n''}} एक अभिन्न प्रक्षेत्र पर मैट्रिक्स, शून्य विभाजक निश्चित रूप से निर्धारक [[0 (संख्या)]] के साथ मैट्रिक्स हैं।
 * बाएँ या दाएँ शून्य विभाजक कभी भी इकाई (वलय प्रमेय) नहीं हो सकते, क्योंकि यदि {{math|''a''}} उलटा है और {{math|1=''ax'' = 0}} कुछ गैर शून्य के लिए {{math|''x''}}, तब {{math|1=0 = ''a''<sup>−1</sup>0 = ''a''<sup>−1</sup>''ax'' = ''x''}}, एक विरोधाभास।
-* एक तत्व उस तरफ रद्दीकरण संपत्ति है जिस पर यह नियमित है। अर्थात अगर {{math|''a''}} बाएं नियमित है, {{math|1=''ax'' = ''ay''}} इसका आशय है {{math|1=''x'' = ''y''}}, और इसी तरह सही नियमित के लिए।
+* एक तत्व उस तरफ रद्दीकरण संपत्ति है जिस पर यह सममित है। अर्थात यदि {{math|''a''}} बाएं सममित है, {{math|1=''ax'' = ''ay''}} इसका आशय है {{math|1=''x'' = ''y''}}, और इसी तरह सही सममित के लिए।
 == शून्य एक शून्य भाजक == के रूप में
 स्थिति के लिए एक अलग सम्मेलन की कोई आवश्यकता नहीं है {{math|1=''a'' = 0}}, क्योंकि परिभाषा इस स्थिति में भी लागू होती है:
-* अगर {{math|''R''}} तब शून्य वलय के अलावा कोई वलय है {{math|0}} एक (दो तरफा) शून्य विभाजक है, क्योंकि कोई भी अशून्य तत्व {{mvar|x}} संतुष्ट {{math|1=0''x'' = 0 = ''x''0}}.
+* यदि {{math|''R''}} तब शून्य वलय के अलावा कोई वलय है {{math|0}} एक (दो तरफा) शून्य विभाजक है, क्योंकि कोई भी गैर-शून्य तत्व {{mvar|x}} संतुष्ट {{math|1=0''x'' = 0 = ''x''0}}.
-* अगर {{math|''R''}} शून्य वलय है, जिसमें {{math|1=0 = 1}}, तब {{math|0}} एक शून्य विभाजक नहीं है, क्योंकि कोई गैर-शून्य तत्व नहीं है, जब से गुणा किया जाता है {{math|0}} पैदावार {{math|0}}.
+* यदि {{math|''R''}} शून्य वलय है, जिसमें {{math|1=0 = 1}}, तब {{math|0}} एक शून्य विभाजक नहीं है, क्योंकि कोई गैर-शून्य तत्व नहीं है, जब से गुणा किया जाता है {{math|0}} पैदावार {{math|0}}.
 कुछ संदर्भों में सम्मिलित या बहिष्कृत हैं {{math|0}} परिपाटी द्वारा सभी छल्लों में एक शून्य विभाजक के रूप में, लेकिन वे निम्नलिखित जैसे बयानों में अपवादों को पेश करने से पीड़ित हैं:
@@ Line 45: / Line 43: @@
 == एक मॉड्यूल == पर शून्य भाजक
-होने देना {{mvar|R}} क्रमविनिमेय वलय बनो, मान लीजिए {{mvar|M}} सेम {{mvar|R}}-[[मॉड्यूल (गणित)]], और चलो {{mvar|a}} का एक तत्व हो {{mvar|R}}. एक कहता है {{mvar|a}} है{{mvar|M}}-नियमित अगर गुणा करके {{mvar|a}}नक्शा <math>M \,\stackrel{a}\to\, M</math> इंजेक्शन है, और वह {{mvar|a}} एक शून्य विभाजक है {{mvar|M}}अन्यथा।<ref name=Matsumura-p12>{{citation |author=Hideyuki Matsumura |author-link=Hideyuki Matsumura |year=1980 |title=Commutative algebra, 2nd edition |publisher=The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. |page=12}}</ref> के समुच्चय {{mvar|M}}-नियमित तत्व एक गुणक समुच्चय है {{mvar|R}}.<ref name=Matsumura-p12/>
+होने देना {{mvar|R}} क्रमविनिमेय वलय बनो, मान लीजिए {{mvar|M}} सेम {{mvar|R}}-[[मॉड्यूल (गणित)]], और चलो {{mvar|a}} का एक तत्व हो {{mvar|R}}. एक कहता है {{mvar|a}} है{{mvar|M}}-सममित यदि गुणा करके {{mvar|a}}नक्शा <math>M \,\stackrel{a}\to\, M</math> अंतःक्षेपक है, और वह {{mvar|a}} एक शून्य विभाजक है {{mvar|M}}अन्यथा।<ref name=Matsumura-p12>{{citation |author=Hideyuki Matsumura |author-link=Hideyuki Matsumura |year=1980 |title=Commutative algebra, 2nd edition |publisher=The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. |page=12}}</ref> के समुच्चय {{mvar|M}}-सममित तत्व एक गुणक समुच्चय है {{mvar|R}}.<ref name=Matsumura-p12/>
-की परिभाषा विशेषज्ञता{{mvar|M}}-नियमित और शून्य विभाजक चालू {{mvar|M}} स्थिति के लिए {{math|1=''M'' = ''R''}} इस आलेख में पहले दी गई नियमित और शून्य विभाजक की परिभाषाओं को पुनर्प्राप्त करता है।
+की परिभाषा विशेषज्ञता{{mvar|M}}-सममित और शून्य विभाजक चालू {{mvar|M}} स्थिति के लिए {{math|1=''M'' = ''R''}} इस आलेख में पहले दी गई सममित और शून्य विभाजक की परिभाषाओं को पुनर्प्राप्त करता है।
 == यह भी देखें ==
 * [[शून्य-उत्पाद संपत्ति]]
-* [[क्रमविनिमेय बीजगणित की शब्दावली]] (सटीक शून्य भाजक)
+* [[क्रमविनिमेय बीजगणित की शब्दावली]] (परिशुद्ध शून्य भाजक)
 * [[शून्य भाजक ग्राफ]]

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