बीजगणितीय समूह: Difference between revisions

Revision as of 07:23, 9 February 2023

गणित में, बीजगणितीय समूह समूह (गणित) संरचना के साथ संपन्न बीजगणितीय विविधता है जो बीजगणितीय विविधता के रूप में इसकी संरचना के अनुकूल है। इस प्रकार बीजगणितीय समूहों का अध्ययन बीजगणितीय ज्यामिति और समूह सिद्धांत दोनों के अंतर्गत आता है।

ज्यामितीय परिवर्तनों के कई समूह बीजगणितीय समूह हैं; उदाहरण के लिए, आयतीय समूह, सामान्य रैखिक समूह, प्रक्षेपी समूह, यूक्लिडियन समूह, आदि। कई आव्यूह समूह भी बीजगणितीय होते हैं। अन्य बीजगणितीय समूह स्वाभाविक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में होते हैं, जैसे अण्डाकार वक्र और जैकबियन विविधताें।

बीजगणितीय समूहों का महत्वपूर्ण वर्ग एफ़िन बीजगणितीय समूहों द्वारा दिया जाता है, जिनकी अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता एफ़िन विविधता है; वे बिल्कुल सामान्य रैखिक समूह के बीजगणितीय उपसमूह हैं, और इसलिए उन्हें 'रैखिक बीजगणितीय समूह' भी कहा जाता है।^[1] एबेलियन विविधता द्वारा एक अन्य वर्ग का गठन किया जाता है, जो कि बीजगणितीय समूह होते हैं जिनकी अंतर्निहित विविधता अनुमानित विविधता है। शेवाली की संरचना प्रमेय में कहा गया है कि उन दो परिवारों में समूहों से प्रत्येक बीजगणितीय समूह का निर्माण किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

औपचारिक रूप से, क्षेत्र $k$ पर बीजगणितीय समूह एक बीजगणितीय विविधता है $\mathrm {G}$ ओवर $k$ , एक साथ एक विशिष्ट तत्व $e\in \mathrm {G} (k)$ (तटस्थ तत्व), और नियमित मानचित्र (बीजीय ज्यामिति) $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G}$ (गुणन संक्रिया) और $\mathrm {G} \to \mathrm {G}$ ( प्रतिलोमन ऑपरेशन) के साथ जो समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।^[2]

उदाहरण

योजक समूह: एफ़िन लाइन $\mathbb {A} ^{1}$ समूह संचालन के रूप में जोड़ और विपरीत के साथ संपन्न बीजगणितीय समूह है। इसे योज्य समूह कहा जाता है (क्योंकि इसका $k$ -बिंदु k के योगात्मक समूह के समूह के रूप में समरूपी होते हैं), और आमतौर पर $\mathrm {G} _{a}$ द्वारा निरूपित किया जाता है .
गुणक समूह: $\mathrm {G} _{m}$ को एफिन प्लेन $\mathbb {A} ^{2}$ में समीकर $xy=1$ द्वारा परिभाषित एफ़िन विविधता मान लीजिए। कार्य $((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')$ और $(x,y)\mapsto (x^{-1},y^{-1})$ नियमित हैं $\mathrm {G} _{m}$ , और वे समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं (तटस्थ तत्व के साथ $(1,1)$ ). बीजगणितीय समूह $\mathrm {G} _{m}$ गुणक समूह कहा जाता है, क्योंकि इसके $k$ -बिंदु क्षेत्र के गुणात्मक समूह के लिए समरूप हैं $k$ (एक समरूपता द्वारा दिया जाता है $x\mapsto (x,x^{-1})$ ; ध्यान दें कि व्युत्क्रमणीय तत्वों का सबसेट बीजगणितीय उप-वर्ग को परिभाषित नहीं करता है $\mathbb {A} ^{1}$ ).
विशेष रैखिक समूह $\mathrm {SL} _{n}$ एक बीजगणितीय समूह है: यह बीजगणितीय समीकरण द्वारा दिया जाता है $\det(g)=1$ एफ़िन स्पेस में $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ (की जगह के साथ पहचाना गया $n$ -द्वारा- $n$ मैट्रिसेस), मेट्रिसेस का गुणन नियमित है और सहायक मैट्रिक्स के संदर्भ में व्युत्क्रम के लिए सूत्र दर्शाता है कि व्युत्क्रम नियमित है और साथ ही निर्धारक 1 के साथ मैट्रिसेस पर भी है।
सामान्य रैखिक समूह $\mathrm {GL} _{n}$ एक क्षेत्र पर उलटा मेट्रिसेस की $k$ एक बीजगणितीय समूह है। में एक उप-विविधता के रूप में महसूस किया जा सकता है $\mathbb {A} ^{n^{2}+1}$ पिछले उदाहरण में गुणात्मक समूह के समान ही।^[3] * प्रक्षेपी तल में एक गैर-एकवचन घन वक्र $\mathbb {P} ^{2}$ एक ज्यामितीय रूप से परिभाषित समूह कानून के साथ संपन्न किया जा सकता है जो इसे एक बीजगणितीय समूह बनाता है (दीर्घवृत्तीय वक्र देखें)।

एक बीजगणितीय समूह का झूठा बीजगणित

इसी तरह लाई समूह-लाई बीजगणित पत्राचार, एक क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह के लिए $k$ एक झूठ बीजगणित ऊपर जुड़ा हुआ है $k$ . सदिश स्थान के रूप में लाई बीजगणित पहचान तत्व पर स्पर्शरेखा स्थान के लिए आइसोमोर्फिक है। व्युत्पत्तियों के स्थान के रूप में इसकी व्याख्या से लाइ ब्रैकेट का निर्माण किया जा सकता है।^[6]

वैकल्पिक परिभाषाएं

एक क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह की अधिक परिष्कृत परिभाषा $k$ यह है कि यह एक समूह योजना खत्म हो गई है $k$ (समूह योजनाओं को आम तौर पर क्रमविनिमेय अंगूठीों पर परिभाषित किया जा सकता है)।

फिर भी अवधारणा की एक और परिभाषा यह है कि एक बीजगणितीय समूह खत्म हो गया है $k$ बीजगणितीय विविधता की श्रेणी (गणित) में एक समूह वस्तु है $k$ .

एफ़िन बीजगणितीय समूह

एक बीजगणितीय समूह को एफ़ाइन कहा जाता है यदि इसकी अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता एक एफ़िन विविधता है। योगात्मक, गुणात्मक समूहों और सामान्य और विशेष रैखिक समूहों के ऊपर के उदाहरणों में संबंध हैं। अपनी समन्वय अंगूठी पर एक एफ़िन बीजगणितीय समूह की क्रिया का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक एफ़िन बीजगणितीय समूह एक रैखिक (या मैट्रिक्स समूह) है, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रैखिक समूह के बीजगणितीय उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है।

उदाहरण के लिए योजक समूह को एम्बेड किया जा सकता है $\mathrm {GL} _{2}$ रूपवाद द्वारा $x\mapsto \left({\begin{smallmatrix}1&x\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ .

ऐसे समूहों के कई उदाहरण हैं जो पहले दिए गए से परे हैं:

ऑर्थोगोनल और सिम्प्लेक्टिक समूह एफ़ाइन बीजगणितीय समूह हैं।
एकाकी समूह।
बीजगणितीय टोरस।
कुछ अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद,^[7] उदाहरण के लिए जेट समूह, या कुछ हल करने योग्य समूह जैसे उलटा त्रिकोणीय मैट्रिक्स।

रैखिक बीजगणितीय समूहों को एक निश्चित सीमा तक वर्गीकृत किया जा सकता है। लेवी के प्रमेय में कहा गया है कि ऐसा प्रत्येक (अनिवार्य रूप से) एक अपचायक समूह के साथ एक एकशक्तिहीन समूह (इसके एकशक्तिहीन मूलक) का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है। बदले में रिडक्टिव समूह एक अर्ध-सरल समूह के साथ (फिर से अनिवार्य रूप से) उनके केंद्र (एक बीजगणितीय टोरस) के एक उत्पाद के रूप में विघटित हो जाते हैं। उत्तरार्द्ध को बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में उनके सेमीसिंपल लाई बीजगणित # वर्गीकरण के माध्यम से वर्गीकृत किया गया है।^[8] मनमानी क्षेत्रों पर वर्गीकरण अधिक शामिल है लेकिन अभी भी अच्छी तरह से समझा जाता है।^[9] यदि कुछ मामलों में बहुत स्पष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए वास्तविक या पी-जगह क्षेत्रों पर, और इस प्रकार स्थानीय-वैश्विक सिद्धांतों के माध्यम से संख्या क्षेत्रों पर।

एबेलियन विविधताें

एबेलियन विविधताें प्रक्षेपी बीजगणितीय समूहों से जुड़ी हैं, उदाहरण के लिए अण्डाकार वक्र। वे सदैव क्रमविनिमेय होते हैं। वे बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में विभिन्न स्थितियों में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए वक्र की जैकोबियन विविधता के रूप में।

सामान्य बीजगणितीय समूहों के लिए संरचना प्रमेय

सभी बीजगणितीय समूह रेखीय समूह या एबेलियन विविधताें नहीं हैं, उदाहरण के लिए अंकगणितीय ज्यामिति में स्वाभाविक रूप से होने वाली कुछ समूह योजनाएं न तो हैं।^[10] शेवेलली की संरचना प्रमेय का दावा है कि प्रत्येक जुड़ा बीजगणितीय समूह एक रेखीय बीजगणितीय समूह द्वारा एक एबेलियन विविधता का विस्तार है। अधिक सटीक रूप से, यदि K एक पूर्ण क्षेत्र है, और G K के ऊपर एक जुड़ा हुआ बीजगणितीय समूह है, तो G में एक अद्वितीय सामान्य बंद उपसमूह H मौजूद है, जैसे कि H एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह है और G/H एक एबेलियन विविधता है।

जुड़ाव

बीजगणितीय विविधता के रूप में $\mathrm {G}$ जरिस्की टोपोलॉजी वहन करती है। यह सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल समूह नहीं है, अर्थात इस टोपोलॉजी के लिए समूह संचालन निरंतर नहीं हो सकता है (क्योंकि उत्पाद पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी कारकों पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी का उत्पाद नहीं है^[11]).

एक बीजगणितीय समूह को जुड़ा हुआ कहा जाता है यदि अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता ज़रिस्की टोपोलॉजी के लिए जुड़ा हुआ है। एक बीजगणितीय समूह के लिए इसका मतलब है कि यह दो उचित बीजगणितीय उपसमुच्चयों का मिलन नहीं है।^[12] ऐसे समूहों के उदाहरण जो जुड़े नहीं हैं बीजगणितीय उपसमूह द्वारा दिए गए हैं $n$ गुणक समूह में एकता की वें जड़ें $\mathrm {G} _{m}$ (प्रत्येक बिंदु एक ज़रिस्की-बंद उपसमुच्चय है, इसलिए यह जुड़ा नहीं है $n\geq 1$ ). इस समूह को आम तौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $\mu _{n}$ . एक अन्य गैर-जुड़े समूह सम आयाम में ओर्थोगोनल समूह हैं (निर्धारक एक विशेषण आकृतिवाद देता है $\mu _{2}$ ).

अधिक आम तौर पर प्रत्येक परिमित समूह एक बीजगणितीय समूह होता है (इसे परिमित के रूप में महसूस किया जा सकता है, इसलिए ज़रिस्की-बंद, कुछ का उपसमूह $\mathrm {GL} _{n}$ केली के प्रमेय द्वारा)। इसके अलावा यह आत्मीय और प्रक्षेपी दोनों है। इस प्रकार, विशेष रूप से वर्गीकरण उद्देश्यों के लिए, बयानों को संबंधित बीजगणितीय समूह तक सीमित करना स्वाभाविक है।

स्थानीय क्षेत्रों पर बीजगणितीय समूह और झूठ समूह

यदि मैदान $k$ एक स्थानीय क्षेत्र है (उदाहरण के लिए वास्तविक या जटिल संख्याएं, या पी-एडिक फ़ील्ड) और $\mathrm {G}$ एक है $k$ -ग्रुप फिर ग्रुप $\mathrm {G} (k)$ प्रोजेक्टिव स्पेस में किसी भी एम्बेडिंग से आने वाली विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी से संपन्न है $\mathbb {P} ^{n}(k)$ एक अर्ध-प्रोजेक्टिव विविधता के रूप में। यह एक समूह टोपोलॉजी है, और यह बनाता है $\mathrm {G} (k)$ एक सामयिक समूह में। टोपोलॉजिकल समूहों के सामान्य सिद्धांत में ऐसे समूह महत्वपूर्ण उदाहरण हैं।

अगर $k=\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$ तो यह बनाता है $\mathrm {G} (k)$ एक झूठ समूह में। इस प्रक्रिया के माध्यम से सभी झूठ समूह प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए SL2(R)|SL का सार्वभौमिक आवरण₂(आर), या एक अनंत सामान्य असतत उपसमूह द्वारा हाइजेनबर्ग समूह का भागफल।^[13] वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक बीजगणितीय समूह में बंद उपसमूह हो सकते हैं (विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी में) जिनके पास बीजगणितीय उपसमूह के रूप में पहचान के समान जुड़े घटक नहीं होते हैं।

कॉक्सेटर समूह और बीजगणितीय समूह

बीजगणितीय समूहों और कॉक्सेटर समूहों के बीच कई समान परिणाम हैं - उदाहरण के लिए, सममित समूह के तत्वों की संख्या है $n!$ , और एक परिमित क्षेत्र में सामान्य रैखिक समूह के तत्वों की संख्या q-फैक्टोरियल|q-फैक्टोरियल है $[n]_{q}!$ ; इस प्रकार सममित समूह व्यवहार करता है जैसे कि यह एक तत्व के साथ क्षेत्र पर एक रैखिक समूह था। यह क्षेत्र द्वारा एक तत्व के साथ औपचारिक रूप से किया जाता है, जो कॉक्सेटर समूह को एक तत्व के साथ क्षेत्र पर सरल बीजगणितीय समूह मानता है।

यह भी देखें

वर्ण विविधता
बोरेल उपसमूह
वश में समूह
मॉर्ले रैंक
चेर्लिन-ज़िल्बर अनुमान
एडेलिक बीजगणितीय समूह
छद्म-अपचायक समूह

संदर्भ

↑ Borel 1991, p.54.
↑ Borel 1991, p. 46.
↑ Borel 1991, 1.6(2), p. 49.
↑ Borel 1991, Corollary 1.4, p. 47.
↑ Borel 1991, Theorem 6.8, p. 98.
↑ Borel 1991, 3.5, p. 65.
↑ Borel 1991, pp. 55-56.
↑ Borel 1991, 24.1.
↑ Borel 1991, 24.2.
↑ Conrad, Brian (2002). "A modern proof of Chevalley's theorem on algebraic groups". J. Ramanujan Math. Soc. 17 (1): 1–18. Zbl 1007.14005.
↑ Borel 1991, p. 16.
↑ Borel 1991, p. 47.
↑ "Non-linear Lie group". MathOverflow. Retrieved May 13, 2022.

Chevalley, Claude, ed. (1958), Séminaire C. Chevalley, 1956--1958. Classification des groupes de Lie algébriques, 2 vols, Paris: Secrétariat Mathématique, MR 0106966, Reprinted as volume 3 of Chevalley's collected works., archived from the original on 2014-11-04, retrieved 2012-06-25
Borel, Armand (1991). Linear algebraic groups. 2nd enlarged ed. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. pp. x+288. Zbl 0726.20030.
Humphreys, James E. (1972), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 21, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
Lang, Serge (1983), Abelian varieties, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90875-5
Milne, J. S., एफ़िन Group Schemes; Lie Algebras; Lie Groups; Reductive Groups; Arithmetic Subgroups
Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290
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Waterhouse, William C. (1979), Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90421-4
Weil, André (1971), Courbes algébriques et variétés abéliennes, Paris: Hermann, OCLC 322901

आगे की पढाई

Algebraic groups and their Lie algebras by Daniel Miller

[FOOTNOTEBorel1991p.54-1] Borel 1991, p.54.

[FOOTNOTEBorel1991p._46-2] Borel 1991, p. 46.

[FOOTNOTEBorel19911.6(2),_p._49-3] Borel 1991, 1.6(2), p. 49.

[FOOTNOTEBorel1991Corollary_1.4,_p._47-4] Borel 1991, Corollary 1.4, p. 47.

[FOOTNOTEBorel1991Theorem_6.8,_p._98-5] Borel 1991, Theorem 6.8, p. 98.

[FOOTNOTEBorel19913.5,_p._65-6] Borel 1991, 3.5, p. 65.

[FOOTNOTEBorel1991pp._55-56-7] Borel 1991, pp. 55-56.

[FOOTNOTEBorel199124.1-8] Borel 1991, 24.1.

[FOOTNOTEBorel199124.2-9] Borel 1991, 24.2.

[10] Conrad, Brian (2002). "A modern proof of Chevalley's theorem on algebraic groups". J. Ramanujan Math. Soc. 17 (1): 1–18. Zbl 1007.14005.

[FOOTNOTEBorel1991p._16-11] Borel 1991, p. 16.

[FOOTNOTEBorel1991p._47-12] Borel 1991, p. 47.

[13] "Non-linear Lie group". MathOverflow. Retrieved May 13, 2022.

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 {{Short description|Algebraic variety with a group structure}}
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-[[गणित]] में, एक बीजगणितीय समूह एक [[समूह (गणित)]] संरचना के साथ संपन्न एक बीजगणितीय विविधता है जो एक बीजगणितीय विविधता के रूप में इसकी संरचना के अनुकूल है। इस प्रकार बीजगणितीय समूहों का अध्ययन [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[समूह सिद्धांत]] दोनों के अंतर्गत आता है।
+[[गणित]] में, बीजगणितीय समूह [[समूह (गणित)]] संरचना के साथ संपन्न बीजगणितीय विविधता है जो बीजगणितीय विविधता के रूप में इसकी संरचना के अनुकूल है। इस प्रकार बीजगणितीय समूहों का अध्ययन [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[समूह सिद्धांत]] दोनों के अंतर्गत आता है।
-[[ज्यामितीय परिवर्तन]]ों के कई समूह बीजगणितीय समूह हैं; उदाहरण के लिए, ओर्थोगोनल समूह, [[सामान्य रैखिक समूह]], [[प्रक्षेपी रैखिक समूह]], [[यूक्लिडियन समूह]], आदि। कई [[मैट्रिक्स समूह]] भी बीजगणितीय होते हैं। अन्य बीजगणितीय समूह स्वाभाविक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में होते हैं, जैसे [[अण्डाकार वक्र]] और [[जैकबियन किस्में]]।
+[[ज्यामितीय परिवर्तन|ज्यामितीय परिवर्तनों]] के कई समूह बीजगणितीय समूह हैं; उदाहरण के लिए, आयतीय समूह, [[सामान्य रैखिक समूह]], [[प्रक्षेपी रैखिक समूह|प्रक्षेपी समूह]], [[यूक्लिडियन समूह]], आदि। कई [[मैट्रिक्स समूह|आव्यूह समूह]] भी बीजगणितीय होते हैं। अन्य बीजगणितीय समूह स्वाभाविक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में होते हैं, जैसे [[अण्डाकार वक्र]] और [[जैकबियन किस्में|जैकबियन विविधताें]]।
-बीजगणितीय समूहों का एक महत्वपूर्ण वर्ग [[affine बीजगणितीय समूह]]ों द्वारा दिया जाता है, जिनकी अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता एक affine विविधता है; वे बिल्कुल सामान्य रैखिक समूह के बीजगणितीय उपसमूह हैं, और इसलिए उन्हें 'रैखिक बीजगणितीय समूह' भी कहा जाता है।{{sfn|Borel|1991|loc=p.54}} एबेलियन किस्मों द्वारा एक अन्य वर्ग का गठन किया जाता है, जो कि बीजगणितीय समूह होते हैं जिनकी अंतर्निहित विविधता एक अनुमानित विविधता है। शेवाली की संरचना प्रमेय में कहा गया है कि उन दो परिवारों में समूहों से प्रत्येक बीजगणितीय समूह का निर्माण किया जा सकता है।
+बीजगणितीय समूहों का महत्वपूर्ण वर्ग [[affine बीजगणितीय समूह|एफ़िन बीजगणितीय समूहों]] द्वारा दिया जाता है, जिनकी अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता एफ़िन विविधता है; वे बिल्कुल सामान्य रैखिक समूह के बीजगणितीय उपसमूह हैं, और इसलिए उन्हें 'रैखिक बीजगणितीय समूह' भी कहा जाता है।{{sfn|Borel|1991|loc=p.54}} एबेलियन विविधता द्वारा एक अन्य वर्ग का गठन किया जाता है, जो कि बीजगणितीय समूह होते हैं जिनकी अंतर्निहित विविधता अनुमानित विविधता है। शेवाली की संरचना प्रमेय में कहा गया है कि उन दो परिवारों में समूहों से प्रत्येक बीजगणितीय समूह का निर्माण किया जा सकता है।
 == परिभाषाएँ ==
-औपचारिक रूप से, एक क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह <math>k</math> एक बीजगणितीय किस्म है <math>\mathrm G</math> ऊपर <math>k</math>, एक साथ एक विशिष्ट तत्व के साथ <math>e \in \mathrm G(k)</math> ([[तटस्थ तत्व]]), और नियमित मानचित्र (बीजीय ज्यामिति) एस <math>\mathrm G \times \mathrm G \to \mathrm G</math> (गुणन संक्रिया) और <math>\mathrm G \to \mathrm G</math> (उलटा ऑपरेशन) जो समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।{{sfn|Borel|1991|loc=p. 46}}
+औपचारिक रूप से, क्षेत्र <math>k</math> पर बीजगणितीय समूह एक बीजगणितीय विविधता है <math>\mathrm G</math> ओवर <math>k</math>, एक साथ एक विशिष्ट तत्व <math>e \in \mathrm G(k)</math> ([[तटस्थ तत्व]]), और नियमित मानचित्र (बीजीय ज्यामिति)  <math>\mathrm G \times \mathrm G \to \mathrm G</math> (गुणन संक्रिया) और <math>\mathrm G \to \mathrm G</math> ( प्रतिलोमन ऑपरेशन) के साथ जो समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।{{sfn|Borel|1991|loc=p. 46}}
 === उदाहरण ===
-* योज्य समूह: [[एफ़िन लाइन]] <math>\mathbb A^1</math> समूह संचालन के रूप में जोड़ और विपरीत के साथ संपन्न एक बीजगणितीय समूह है। इसे योज्य समूह कहा जाता है (क्योंकि इसका <math>k</math>-पॉइंट्स के योगात्मक समूह के समूह के रूप में आइसोमोर्फिक हैं <math>k</math>), और आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mathrm G_a</math>.
+* योजक समूह: [[एफ़िन लाइन]] <math>\mathbb A^1</math> समूह संचालन के रूप में जोड़ और विपरीत के साथ संपन्न बीजगणितीय समूह है। इसे योज्य समूह कहा जाता है (क्योंकि इसका <math>k</math>-बिंदु k के योगात्मक समूह के समूह के रूप में समरूपी होते हैं), और आमतौर पर <math>\mathrm G_a</math> द्वारा निरूपित किया जाता है .
-* गुणक समूह: चलो <math>\mathrm G_m</math> समीकरण द्वारा परिभाषित affine किस्म हो <math>xy = 1</math> affine विमान में <math>\mathbb A^2</math>. कार्य <math>((x, y), (x', y')) \mapsto (xx', yy')</math> और <math>(x, y) \mapsto (x^{-1}, y^{-1})</math> नियमित हैं <math>\mathrm G_m</math>, और वे समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं (तटस्थ तत्व के साथ <math>(1, 1)</math>). बीजगणितीय समूह <math>\mathrm G_m</math> गुणक समूह कहा जाता है, क्योंकि इसके <math>k</math>-बिंदु क्षेत्र के गुणात्मक समूह के लिए समरूप हैं <math>k</math> (एक समरूपता द्वारा दिया जाता है <math>x \mapsto (x, x^{-1})</math> ; ध्यान दें कि व्युत्क्रमणीय तत्वों का सबसेट बीजगणितीय उप-वर्ग को परिभाषित नहीं करता है <math>\mathbb A^1</math>).
+* गुणक समूह: <math>\mathrm G_m</math> को एफिन प्लेन <math>\mathbb A^2</math> में समीकर<math>xy = 1</math> द्वारा परिभाषित एफ़िन विविधता मान लीजिए। कार्य <math>((x, y), (x', y')) \mapsto (xx', yy')</math> और <math>(x, y) \mapsto (x^{-1}, y^{-1})</math> नियमित हैं <math>\mathrm G_m</math>, और वे समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं (तटस्थ तत्व के साथ <math>(1, 1)</math>). बीजगणितीय समूह <math>\mathrm G_m</math> गुणक समूह कहा जाता है, क्योंकि इसके <math>k</math>-बिंदु क्षेत्र के गुणात्मक समूह के लिए समरूप हैं <math>k</math> (एक समरूपता द्वारा दिया जाता है <math>x \mapsto (x, x^{-1})</math> ; ध्यान दें कि व्युत्क्रमणीय तत्वों का सबसेट बीजगणितीय उप-वर्ग को परिभाषित नहीं करता है <math>\mathbb A^1</math>).
 * [[विशेष रैखिक समूह]] <math>\mathrm{SL}_n</math> एक बीजगणितीय समूह है: यह बीजगणितीय समीकरण द्वारा दिया जाता है <math>\det(g)=1</math> एफ़िन स्पेस में <math>\mathbb A^{n^2}</math> (की जगह के साथ पहचाना गया <math>n</math>-द्वारा-<math>n</math> मैट्रिसेस), मेट्रिसेस का गुणन नियमित है और [[सहायक मैट्रिक्स]] के संदर्भ में व्युत्क्रम के लिए सूत्र दर्शाता है कि व्युत्क्रम नियमित है और साथ ही निर्धारक 1 के साथ मैट्रिसेस पर भी है।
-* सामान्य रैखिक समूह <math>\mathrm{GL}_n</math> एक क्षेत्र पर उलटा मेट्रिसेस की <math>k</math> एक बीजगणितीय समूह है। में एक उप-किस्म के रूप में महसूस किया जा सकता है <math>\mathbb A^{n^2+1}</math> पिछले उदाहरण में गुणात्मक समूह के समान ही।{{sfn|Borel|1991|loc=1.6(2), p. 49}} * प्रक्षेपी तल में एक गैर-एकवचन [[घन वक्र]] <math>\mathbb P^2</math> एक ज्यामितीय रूप से परिभाषित समूह कानून के साथ संपन्न किया जा सकता है जो इसे एक बीजगणितीय समूह बनाता है (दीर्घवृत्तीय वक्र देखें)।
+* सामान्य रैखिक समूह <math>\mathrm{GL}_n</math> एक क्षेत्र पर उलटा मेट्रिसेस की <math>k</math> एक बीजगणितीय समूह है। में एक उप-विविधता के रूप में महसूस किया जा सकता है <math>\mathbb A^{n^2+1}</math> पिछले उदाहरण में गुणात्मक समूह के समान ही।{{sfn|Borel|1991|loc=1.6(2), p. 49}} * प्रक्षेपी तल में एक गैर-एकवचन [[घन वक्र]] <math>\mathbb P^2</math> एक ज्यामितीय रूप से परिभाषित समूह कानून के साथ संपन्न किया जा सकता है जो इसे एक बीजगणितीय समूह बनाता है (दीर्घवृत्तीय वक्र देखें)।
 ===संबंधित परिभाषाएं===
-एक बीजगणितीय समूह का एक बीजगणितीय उपसमूह <math>\mathrm G</math> एक बीजगणितीय किस्म#सबवैराइटी है <math>\mathrm H</math> का <math>\mathrm G</math> जो कि एक उपसमूह भी है <math>\mathrm G</math> (यानी, नक्शे <math>\mathrm G \times \mathrm G \to \mathrm G</math> और <math>\mathrm G \to \mathrm G</math> समूह संरचना मानचित्र को परिभाषित करना <math>\mathrm H \times \mathrm H</math> और <math>\mathrm H</math>, क्रमशः, में <math>\mathrm H</math>).
+एक बीजगणितीय समूह का एक बीजगणितीय उपसमूह <math>\mathrm G</math> एक बीजगणितीय विविधता#सबवैराइटी है <math>\mathrm H</math> का <math>\mathrm G</math> जो कि एक उपसमूह भी है <math>\mathrm G</math> (यानी, नक्शे <math>\mathrm G \times \mathrm G \to \mathrm G</math> और <math>\mathrm G \to \mathrm G</math> समूह संरचना मानचित्र को परिभाषित करना <math>\mathrm H \times \mathrm H</math> और <math>\mathrm H</math>, क्रमशः, में <math>\mathrm H</math>).
 दो बीजगणितीय समूहों के बीच एक आकृतिवाद <math>\mathrm G, \mathrm G'</math>नियमित नक्शा है <math>\mathrm G \to \mathrm G'</math> जो एक समूह रूपवाद भी है। इसकी गुठली का एक बीजगणितीय समूह है <math>\mathrm G</math>, इसकी छवि एक बीजगणितीय उपसमूह है <math>\mathrm G'</math>.{{sfn|Borel|1991|loc=Corollary 1.4, p. 47}}
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 एक क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह की अधिक परिष्कृत परिभाषा <math>k</math> यह है कि यह एक [[समूह योजना]] खत्म हो गई है <math>k</math> (समूह योजनाओं को आम तौर पर [[क्रमविनिमेय अंगूठी]]ों पर परिभाषित किया जा सकता है)।
-फिर भी अवधारणा की एक और परिभाषा यह है कि एक बीजगणितीय समूह खत्म हो गया है <math>k</math> बीजगणितीय किस्मों की [[श्रेणी (गणित)]] में एक [[समूह वस्तु]] है <math>k</math>.
+फिर भी अवधारणा की एक और परिभाषा यह है कि एक बीजगणितीय समूह खत्म हो गया है <math>k</math> बीजगणितीय विविधता की [[श्रेणी (गणित)]] में एक [[समूह वस्तु]] है <math>k</math>.
-== Affine बीजगणितीय समूह ==
+== एफ़िन बीजगणितीय समूह ==
-{{Main|Linear algebraic group}}
+एक बीजगणितीय समूह को एफ़ाइन कहा जाता है यदि इसकी अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता एक एफ़िन विविधता है। योगात्मक, गुणात्मक समूहों और सामान्य और विशेष रैखिक समूहों के ऊपर के उदाहरणों में संबंध हैं। अपनी समन्वय अंगूठी पर एक एफ़िन बीजगणितीय समूह की क्रिया का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक एफ़िन बीजगणितीय समूह एक रैखिक (या मैट्रिक्स समूह) है, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रैखिक समूह के बीजगणितीय उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है।
-एक बीजगणितीय समूह को एफ़ाइन कहा जाता है यदि इसकी अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता एक एफ़िन किस्म है। योगात्मक, गुणात्मक समूहों और सामान्य और विशेष रैखिक समूहों के ऊपर के उदाहरणों में संबंध हैं। अपनी समन्वय अंगूठी पर एक एफ़िन बीजगणितीय समूह की क्रिया का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक एफ़िन बीजगणितीय समूह एक रैखिक (या मैट्रिक्स समूह) है, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रैखिक समूह के बीजगणितीय उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है।
 उदाहरण के लिए योजक समूह को एम्बेड किया जा सकता है <math>\mathrm{GL}_2</math> रूपवाद द्वारा <math>x \mapsto \left(\begin{smallmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)</math>.
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 रैखिक बीजगणितीय समूहों को एक निश्चित सीमा तक वर्गीकृत किया जा सकता है। लेवी के प्रमेय में कहा गया है कि ऐसा प्रत्येक (अनिवार्य रूप से) एक अपचायक समूह के साथ एक एकशक्तिहीन समूह (इसके एकशक्तिहीन मूलक) का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है। बदले में रिडक्टिव समूह एक अर्ध-सरल समूह के साथ (फिर से अनिवार्य रूप से) उनके केंद्र (एक बीजगणितीय टोरस) के एक उत्पाद के रूप में विघटित हो जाते हैं। उत्तरार्द्ध को बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में उनके सेमीसिंपल लाई बीजगणित # वर्गीकरण के माध्यम से वर्गीकृत किया गया है।{{sfn|Borel|1991|loc=24.1}} मनमानी क्षेत्रों पर वर्गीकरण अधिक शामिल है लेकिन अभी भी अच्छी तरह से समझा जाता है।{{sfn|Borel|1991|loc=24.2}} यदि कुछ मामलों में बहुत स्पष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए वास्तविक या [[पी-जगह]] क्षेत्रों पर, और इस प्रकार [[स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत]]ों के माध्यम से [[संख्या क्षेत्र]]ों पर।
-== एबेलियन किस्में ==
+== एबेलियन विविधताें ==
-{{Main|Abelian variety}}
+एबेलियन विविधताें प्रक्षेपी बीजगणितीय समूहों से जुड़ी हैं, उदाहरण के लिए अण्डाकार वक्र। वे सदैव क्रमविनिमेय होते हैं। वे बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में विभिन्न स्थितियों में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए वक्र की जैकोबियन विविधता के रूप में।
-एबेलियन किस्में प्रक्षेपी बीजगणितीय समूहों से जुड़ी हैं, उदाहरण के लिए अण्डाकार वक्र। वे सदैव क्रमविनिमेय होते हैं। वे बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में विभिन्न स्थितियों में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए वक्र की जैकोबियन विविधता के रूप में।
 == सामान्य बीजगणितीय समूहों के लिए संरचना प्रमेय ==
-सभी बीजगणितीय समूह रेखीय समूह या एबेलियन किस्में नहीं हैं, उदाहरण के लिए अंकगणितीय ज्यामिति में स्वाभाविक रूप से होने वाली कुछ समूह योजनाएं न तो हैं।<ref>{{ cite journal |  title=A modern proof of Chevalley’s theorem on algebraic groups | zbl=1007.14005 | journal=J. Ramanujan Math. Soc. | volume=17 | number=1 | pages=1–18 | year=2002 | first=Brian | last=Conrad }}</ref> शेवेलली की संरचना प्रमेय का दावा है कि प्रत्येक जुड़ा बीजगणितीय समूह एक रेखीय बीजगणितीय समूह द्वारा एक [[एबेलियन किस्म]] का विस्तार है। अधिक सटीक रूप से, यदि K एक पूर्ण क्षेत्र है, और G K के ऊपर एक जुड़ा हुआ बीजगणितीय समूह है, तो G में एक अद्वितीय सामान्य बंद उपसमूह H मौजूद है, जैसे कि H एक जुड़ा हुआ [[रैखिक बीजगणितीय समूह]] है और G/H एक एबेलियन किस्म है।
+सभी बीजगणितीय समूह रेखीय समूह या एबेलियन विविधताें नहीं हैं, उदाहरण के लिए अंकगणितीय ज्यामिति में स्वाभाविक रूप से होने वाली कुछ समूह योजनाएं न तो हैं।<ref>{{ cite journal |  title=A modern proof of Chevalley’s theorem on algebraic groups | zbl=1007.14005 | journal=J. Ramanujan Math. Soc. | volume=17 | number=1 | pages=1–18 | year=2002 | first=Brian | last=Conrad }}</ref> शेवेलली की संरचना प्रमेय का दावा है कि प्रत्येक जुड़ा बीजगणितीय समूह एक रेखीय बीजगणितीय समूह द्वारा एक [[एबेलियन किस्म|एबेलियन विविधता]] का विस्तार है। अधिक सटीक रूप से, यदि K एक पूर्ण क्षेत्र है, और G K के ऊपर एक जुड़ा हुआ बीजगणितीय समूह है, तो G में एक अद्वितीय सामान्य बंद उपसमूह H मौजूद है, जैसे कि H एक जुड़ा हुआ [[रैखिक बीजगणितीय समूह]] है और G/H एक एबेलियन विविधता है।
 == जुड़ाव ==
-बीजगणितीय किस्म के रूप में <math>\mathrm G</math> [[जरिस्की टोपोलॉजी]] वहन करती है। यह सामान्य रूप से एक [[टोपोलॉजिकल समूह]] नहीं है, अर्थात इस टोपोलॉजी के लिए समूह संचालन निरंतर नहीं हो सकता है (क्योंकि उत्पाद पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी कारकों पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी का उत्पाद नहीं है{{sfn|Borel|1991|loc=p. 16}}).
+बीजगणितीय विविधता के रूप में <math>\mathrm G</math> [[जरिस्की टोपोलॉजी]] वहन करती है। यह सामान्य रूप से एक [[टोपोलॉजिकल समूह]] नहीं है, अर्थात इस टोपोलॉजी के लिए समूह संचालन निरंतर नहीं हो सकता है (क्योंकि उत्पाद पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी कारकों पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी का उत्पाद नहीं है{{sfn|Borel|1991|loc=p. 16}}).
-एक बीजगणितीय समूह को जुड़ा हुआ कहा जाता है यदि अंतर्निहित बीजगणितीय किस्म ज़रिस्की टोपोलॉजी के लिए जुड़ा हुआ है। एक बीजगणितीय समूह के लिए इसका मतलब है कि यह दो उचित बीजगणितीय उपसमुच्चयों का मिलन नहीं है।{{sfn|Borel|1991|loc=p. 47}}
+एक बीजगणितीय समूह को जुड़ा हुआ कहा जाता है यदि अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता ज़रिस्की टोपोलॉजी के लिए जुड़ा हुआ है। एक बीजगणितीय समूह के लिए इसका मतलब है कि यह दो उचित बीजगणितीय उपसमुच्चयों का मिलन नहीं है।{{sfn|Borel|1991|loc=p. 47}}
 ऐसे समूहों के उदाहरण जो जुड़े नहीं हैं बीजगणितीय उपसमूह द्वारा दिए गए हैं <math>n</math>गुणक समूह में एकता की वें जड़ें <math>\mathrm G_m</math> (प्रत्येक बिंदु एक ज़रिस्की-बंद उपसमुच्चय है, इसलिए यह जुड़ा नहीं है <math>n \ge 1</math>). इस समूह को आम तौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mu_n</math>. एक अन्य गैर-जुड़े समूह सम आयाम में ओर्थोगोनल समूह हैं (निर्धारक एक विशेषण आकृतिवाद देता है <math>\mu_2</math>).
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 == स्थानीय क्षेत्रों पर बीजगणितीय समूह और झूठ समूह ==
-यदि मैदान <math>k</math> एक [[स्थानीय क्षेत्र]] है (उदाहरण के लिए वास्तविक या जटिल संख्याएं, या पी-एडिक फ़ील्ड) और <math>\mathrm G</math> एक है <math>k</math>-ग्रुप फिर ग्रुप <math>\mathrm G(k)</math> प्रोजेक्टिव स्पेस में किसी भी एम्बेडिंग से आने वाली विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी से संपन्न है <math>\mathbb P^n(k)</math> एक अर्ध-प्रोजेक्टिव किस्म के रूप में। यह एक समूह टोपोलॉजी है, और यह बनाता है <math>\mathrm G(k)</math> एक सामयिक समूह में। टोपोलॉजिकल समूहों के सामान्य सिद्धांत में ऐसे समूह महत्वपूर्ण उदाहरण हैं।
+यदि मैदान <math>k</math> एक [[स्थानीय क्षेत्र]] है (उदाहरण के लिए वास्तविक या जटिल संख्याएं, या पी-एडिक फ़ील्ड) और <math>\mathrm G</math> एक है <math>k</math>-ग्रुप फिर ग्रुप <math>\mathrm G(k)</math> प्रोजेक्टिव स्पेस में किसी भी एम्बेडिंग से आने वाली विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी से संपन्न है <math>\mathbb P^n(k)</math> एक अर्ध-प्रोजेक्टिव विविधता के रूप में। यह एक समूह टोपोलॉजी है, और यह बनाता है <math>\mathrm G(k)</math> एक सामयिक समूह में। टोपोलॉजिकल समूहों के सामान्य सिद्धांत में ऐसे समूह महत्वपूर्ण उदाहरण हैं।
 अगर <math>k = \mathbb R</math> या <math>\mathbb C</math> तो यह बनाता है <math>\mathrm G(k)</math> एक [[झूठ समूह]] में। इस प्रक्रिया के माध्यम से सभी झूठ समूह प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए SL2(R)|SL का सार्वभौमिक आवरण<sub>2</sub>(आर), या एक अनंत सामान्य असतत उपसमूह द्वारा [[हाइजेनबर्ग समूह]] का भागफल।<ref>{{cite web | url=https://mathoverflow.net/questions/91789/non-linear-lie-group |title=Non-linear Lie group |website=MathOverflow  |access-date=May 13, 2022}}</ref> वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक बीजगणितीय समूह में बंद उपसमूह हो सकते हैं (विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी में) जिनके पास बीजगणितीय उपसमूह के रूप में पहचान के समान जुड़े घटक नहीं होते हैं।
 == कॉक्सेटर समूह और बीजगणितीय समूह ==
-{{further|Field with one element}}
 बीजगणितीय समूहों और [[कॉक्सेटर समूह]]ों के बीच कई समान परिणाम हैं - उदाहरण के लिए, सममित समूह के तत्वों की संख्या है <math>n!</math>, और एक परिमित क्षेत्र में सामान्य रैखिक समूह के तत्वों की संख्या q-फैक्टोरियल|q-फैक्टोरियल है <math>[n]_q!</math>; इस प्रकार सममित समूह व्यवहार करता है जैसे कि यह [[एक तत्व के साथ क्षेत्र]] पर एक रैखिक समूह था। यह क्षेत्र द्वारा एक तत्व के साथ औपचारिक रूप से किया जाता है, जो कॉक्सेटर समूह को एक तत्व के साथ क्षेत्र पर सरल बीजगणितीय समूह मानता है।
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 * {{Citation | last1=Humphreys | first1=James E. | title=Linear Algebraic Groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | isbn=978-0-387-90108-4 | mr=0396773 | year=1972 | volume=21}}
 * {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Abelian varieties | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90875-5 | year=1983}}
-* Milne, J. S., ''[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ala.html Affine Group Schemes; Lie Algebras; Lie Groups; Reductive Groups; Arithmetic Subgroups]''
+* Milne, J. S., ''[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ala.html एफ़िन Group Schemes; Lie Algebras; Lie Groups; Reductive Groups; Arithmetic Subgroups]''
 * {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | title=Abelian varieties | publisher=[[Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-560528-0 | oclc=138290 | year=1970}}
 * {{Citation | last1=Springer | first1=Tonny A. | title=Linear algebraic groups | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | edition=2nd | series=Progress in Mathematics | isbn=978-0-8176-4021-7 | mr=1642713 | year=1998 | volume=9}}

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