सह परिमितता

Not to be confused with cofinality.

गणित में, एक सेट का एक cofinite सबसेट $X$ एक सबसेट है $A$ जिसका पूरक (सेट थ्योरी) में $X$ एक परिमित सेट है।दूसरे शब्दों में, $A$ सभी के सभी तत्व शामिल हैं $X.$ यदि पूरक परिमित नहीं है, लेकिन यह गिनती योग्य है, तो एक कहता है कि सेट कूड़े के योग्य है।

ये स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब परिमित सेटों पर संरचनाओं को सामान्य करने के लिए अनंत सेटों पर, विशेष रूप से अनंत उत्पादों पर, जैसा कि #Product टोपोलॉजी या #Direct Sum में होता है।

उपसर्ग का यह उपयोगcoएक सेट के पूरक (सेट सिद्धांत) के पास एक संपत्ति का वर्णन करने के लिए |coकार्यान्वयन अन्य शब्दों में इसके उपयोग के अनुरूप है जैसे कि तुलना सेट |coअल्प सेट।

बूलियन बीजगणित

के सभी सबसेट का सेट $X$ यह या तो परिमित या कोफिनाइट एक बूलियन बीजगणित (संरचना) बनाता है, जिसका अर्थ है कि यह संघ (गणित), चौराहे और पूरक के संचालन के तहत बंद है।यह बूलियन बीजगणित हैfinite–cofinite algebraपर $X.$ एक बूलियन बीजगणित $A$ एक अद्वितीय गैर-व्यावहारिक अल्ट्राफिल्टर है (यानी, बीजगणित के एक तत्व द्वारा उत्पन्न एक अधिकतम फ़िल्टर नहीं है) यदि और केवल अगर कोई अनंत सेट मौजूद है $X$ ऐसा है कि $A$ परिमित -कोफिनाइट बीजगणित पर आइसोमोर्फिक है $X.$ इस मामले में, गैर-प्रिन्किपल अल्ट्राफिल्टर सभी कोफिनाइट सेट का सेट है।

कोफिनाइट टोपोलॉजी

कोफिनाइट टोपोलॉजी (कभी -कभी परिमित पूरक टोपोलॉजी कहा जाता है) एक सामयिक स्थान है जिसे हर सेट पर परिभाषित किया जा सकता है $X.$ यह ठीक से खाली सेट और सभी cofinite सबसेट है $X$ खुले सेट के रूप में।परिणामस्वरूप, कोफिनाइट टोपोलॉजी में, केवल बंद सबसेट परिमित सेट हैं, या पूरे पूरे $X.$ प्रतीकात्मक रूप से, एक टोपोलॉजी के रूप में लिखता है

$${\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}.$$

यह टोपोलॉजी ज़ारिस्की टोपोलॉजी के संदर्भ में स्वाभाविक रूप से होती है।चूंकि एक क्षेत्र (गणित) पर एक चर में बहुपद $K$ परिमित सेटों पर शून्य हैं, या पूरे $K,$ ज़ारिस्की टोपोलॉजी ऑन $K$ (Affine लाइन के रूप में माना जाता है) कोफिनाइट टोपोलॉजी है।किसी भी Irreducible घटक बीजगणितीय वक्र के लिए भी यही सच है;यह सच नहीं है, उदाहरण के लिए, के लिए $XY=0$ प्लेन में।

गुण

• सबस्पेस: कोफिनाइट टोपोलॉजी का प्रत्येक उप -समूह टोपोलॉजी भी एक कोफिनाइट टोपोलॉजी है।
• कॉम्पैक्टनेस: चूंकि हर खुला सेट में सभी लेकिन बारीक रूप से कई बिंदु होते हैं $X,$ अंतरिक्ष $X$ कॉम्पैक्ट सेट और क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट है।
• पृथक्करण: कोफिनाइट टोपोलॉजी T1 स्पेस को संतुष्ट करने वाले टोपोलॉजी की तुलना है। टी। टी। टी।₁ स्वयंसिद्ध;यही है, यह सबसे छोटी टोपोलॉजी है जिसके लिए प्रत्येक सिंगलटन सेट बंद है।वास्तव में, एक मनमानी टोपोलॉजी पर $X$ टी को संतुष्ट करता है₁ Axiom यदि और केवल अगर इसमें कोफिनाइट टोपोलॉजी शामिल है।अगर $X$ परिमित है तो कोफिनाइट टोपोलॉजी केवल असतत स्थान है।अगर $X$ परिमित नहीं है तो यह टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ स्पेस नहीं है | हॉसडॉर्फ (टी (टी)₂), नियमित स्थान या सामान्य स्थान क्योंकि कोई भी दो गैर -खुले खुले सेट असंतुष्ट नहीं हैं (यानी, यह हाइपरकोनेक्टेड स्पेस है)।

डबल-पॉइंटेड कोफिनाइट टोपोलॉजी

डबल-पॉइंटेड कोफिनाइट टोपोलॉजी कोफिनाइट टोपोलॉजी है जिसमें हर बिंदु दोगुना हो गया है;यही है, यह दो-तत्व सेट पर अंधाधुंध टोपोलॉजी के साथ कोफिनाइट टोपोलॉजी का टोपोलॉजिकल उत्पाद है।यह t0 स्थान नहीं है | t₀या t1 अंतरिक्ष | t₁, चूंकि डबल के अंक टोपोलॉजिकल रूप से अप्रभेद्य हैं।यह, हालांकि, r0 स्थान है | r₀चूंकि टोपोलॉजिकल रूप से अलग -अलग बिंदु अलग -अलग हैं।

एक गिनती योग्य डबल-पॉइंटेड कोफिनाइट टोपोलॉजी का एक उदाहरण सम और विषम पूर्णांक का सेट है, एक टोपोलॉजी के साथ जो उन्हें एक साथ समूहित करता है।होने देना $X$ पूर्णांक का सेट हो, और चलो $O_{A}$ पूर्णांक का एक सबसेट बनें जिसका पूरक सेट है $A.$ खुले सेटों के एक सब बेस को परिभाषित करें $G_{x}$ किसी भी पूर्णांक के लिए $x$ होना $G_{x}=O_{x,x+1}$ अगर $x$ एक समान संख्या है, और $G_{x}=O_{x-1,x}$ अगर $x$ अजीब है।फिर आधार (टोपोलॉजी) सेट $X$ परिमित चौराहों द्वारा उत्पन्न होते हैं, अर्थात् परिमित के लिए $A,$ टोपोलॉजी के खुले सेट हैं

$$U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}$$

परिणामी स्थान टी नहीं है₀ (और इसलिए टी नहीं₁), क्योंकि अंक $x$ और $x+1$ (के लिए $x$ यहां तक कि) टोपोलॉजिकल रूप से अप्रभेद्य हैं।हालांकि, अंतरिक्ष एक कॉम्पैक्ट स्पेस है, प्रत्येक के बाद से $U_{A}$ सभी लेकिन बारीक रूप से कई बिंदु शामिल हैं।

अन्य उदाहरण

उत्पाद टोपोलॉजी

टोपोलॉजिकल स्पेस के उत्पाद पर उत्पाद टोपोलॉजी $\prod X_{i}$ आधार (टोपोलॉजी) है $\prod U_{i}$ कहाँ $U_{i}\subseteq X_{i}$ खुला है, और बहुत से लोग हैं $U_{i}=X_{i}.$ एनालॉग (आवश्यकता के बिना कि cofinitely कई पूरे स्थान हैं) बॉक्स टोपोलॉजी है।

प्रत्यक्ष योग

मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के तत्व $\bigoplus M_{i}$ अनुक्रम हैं $\alpha _{i}\in M_{i}$ जहां बहुत से लोग $\alpha _{i}=0.$ एनालॉग (आवश्यकता के बिना कि cofinitely कई शून्य हैं) प्रत्यक्ष उत्पाद है।

यह भी देखें

• Comeagre set
• Fréchet filter
• List of topologies

संदर्भ

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (See example 18)