एकीकृत संवृत प्रभाव क्षेत्र: Difference between revisions

Revision as of 07:47, 16 February 2023

क्रमविनिमेय बीजगणित में, एक अभिन्न रूप से बंद डोमेन A एक अभिन्न डोमेन है जिसका अंशों के क्षेत्र में अभिन्न तत्व बंद होना स्वयं A है। स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि यदि X A के अंशों के क्षेत्र का एक तत्व है जो A में गुणांक वाले एक मोनिक बहुपद की जड़ है, तो X स्वयं A का एक तत्व है। कई अच्छी तरह से अध्ययन किए गए डोमेन अभिन्न रूप से बंद क्षेत्र हैं पूर्णांक Z का वलय, अद्वितीय गुणनखंड डोमेन और नियमित स्थानीय वलय सभी अभिन्न रूप से बंद हैं।

ध्यान दें कि एकीकृत रूप से बंद डोमेन उपवर्ग (सेट सिद्धांत) की निम्नलिखित श्रृंखला में दिखाई देते हैं:

rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields

मूल गुण

मान लीजिए कि A अंश K के क्षेत्र के साथ एक अभिन्न रूप से बंद डोमेन है और L को K का एक क्षेत्र विस्तार होने दें। फिर x∈L A पर अभिन्न तत्व है अगर और केवल अगर यह के पर बीजगणितीय तत्व है और K पर इसका न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) A में गुणांक हैं।^[1] विशेष रूप से, इसका मतलब यह है कि A पर L अभिन्न का कोई भी तत्व A [X] में मोनिक बहुपद का मूल है जो कि K [X] में अपरिवर्तनीय बहुपद है।

यदि A क्षेत्र K में समाहित डोमेन है, तो हम K में A के अभिन्न समापन पर विचार कर सकते हैं (अर्थात K के सभी तत्वों का सेट जो A पर अभिन्न हैं)। यह अभिन्न बंद अभिन्न रूप से बंद डोमेन है।

एकीकृत रूप से बंद डोमेन गोइंग-डाउन प्रमेय की परिकल्पना में भी भूमिका निभाते हैं। प्रमेय कहता है कि यदि A⊆B डोमेन का अभिन्न विस्तार है और A अभिन्न रूप से बंद डोमेन है, तो ऊपर और नीचे जाने वाली संपत्ति A⊆B विस्तार के लिए होती है।

उदाहरण

निम्नलिखित अभिन्न रूप से बंद डोमेन हैं।

प्रमुख आदर्श डोमेन (विशेष रूप से: पूर्णांक और कोई भी क्षेत्र)।
अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन (विशेष रूप से, किसी फ़ील्ड पर, पूर्णांकों पर, या किसी अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन पर कोई बहुपद वलय)।
जीसीडी डोमेन (विशेष रूप से, कोई बेज़ाउट डोमेन या मूल्यांकन डोमेन)।
डेडेकिंड डोमेन।
क्षेत्र पर सममित बीजगणित (चूंकि प्रत्येक सममित बीजगणित क्षेत्र में कई चर में बहुपद वलय के लिए आइसोमोर्फिक है)।
मान लीजिये $k$ विशेषता का क्षेत्र हो न कि 2 और $S=k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ इसके ऊपर बहुपद की वलय। अगर $f$ वर्ग-मुक्त बहुपद है। वर्ग-मुक्त गैर-स्थिर $S$ बहुपद है, तब $S[y]/(y^{2}-f)$ अभिन्न रूप से बंद डोमेन है।^[2] विशेष रूप से, $k[x_{0},\dots ,x_{r}]/(x_{0}^{2}+\dots +x_{r}^{2})$ अभिन्न रूप से बंद डोमेन है अगर $r\geq 2$ .^[3]

गैर-उदाहरण देने के लिए,^[4] मान लीजिए कि k एक क्षेत्र है और $A=k[t^{2},t^{3}]\subset k[t]$ (A t² और t³ द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित है।) A अभिन्न रूप से बंद नहीं है: इसमें $k(t)$ अंशों का क्षेत्र है, और मोनिक बहुपद $X^{2}-t^{2}$ चर X में मूल t है जो अंशों के क्षेत्र में है लेकिन A में नहीं है। यह इस तथ्य से संबंधित है कि समतल वक्र $Y^{2}=X^{3}$ मूल में वक्र का विलक्षण बिंदु है।

अन्य डोमेन जो पूर्ण रूप से बंद नहीं है वह है $A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]$ ; इसमें ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ तत्व नहीं है, इसके अंशों के क्षेत्र में, जो मोनिक बहुपद को संतुष्ट करता है $X^{2}-X-1=0$ .

नोथेरियन अभिन्न रूप से बंद डोमेन

आयाम के नोथेरियन स्थानीय डोमेन A के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं।

A पूरी तरह से बंद है।
A की उच्चिष्ठ गुणजावली मूलधन है।
A असतत मूल्यांकन वलय है (समतुल्य A डेडेकाइंड है।)
A नियमित स्थानीय वलय है।

मान लीजिए A नोथेरियन अभिन्न डोमेन है। तब A अभिन्न रूप से बंद होता है यदि और केवल यदि (i) A सभी स्थानीयकरणों का प्रतिच्छेदन है, $A_{\mathfrak {p}}$ प्रमुख आदर्शों पर ${\mathfrak {p}}$ ऊंचाई 1 और (ii) स्थानीयकरण $A_{\mathfrak {p}}$ प्रमुख आदर्श पर ${\mathfrak {p}}$ ऊँचाई 1 असतत मूल्यांकन वलय है।

नोथेरियन वलय क्रुल डोमेन है अगर और केवल अगर यह अभिन्न रूप से बंद डोमेन है।

गैर-नोईथेरियन सेटिंग में, निम्नलिखित में से है: अभिन्न डोमेन पूरी तरह से बंद है अगर और केवल अगर यह सभी मूल्यांकन की वलयों का प्रतिच्छेदन है जिसमें यह शामिल है।

सामान्य वलय

जीन पियरे सेरे, अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक, और मात्सुमुरा सहित लेखक सामान्य वलय को वलय के रूप में परिभाषित करते हैं जिसका स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) प्रमुख आदर्शों पर अभिन्न रूप से बंद डोमेन हैं। ऐसी वलय अनिवार्य रूप से छोटी वलय है,^[5] और इसे कभी-कभी परिभाषा में शामिल किया जाता है। सामान्य तौर पर, यदि A नोथेरियन वलय वलय है, जिसके अधिकतम आदर्शों पर स्थानीयकरण सभी डोमेन हैं, तो A डोमेन का परिमित उत्पाद है।^[6] विशेष रूप से यदि A नोथेरियन, सामान्य वलय है, तो उत्पाद में डोमेन अभिन्न रूप से बंद डोमेन हैं।^[7] इसके विपरीत, अभिन्न रूप से बंद डोमेन का कोई परिमित उत्पाद सामान्य है। विशेष रूप से, अगर $\operatorname {Spec} (A)$ नोथेरियन, सामान्य और जुड़ा हुआ है, तो A पूर्ण रूप से बंद डोमेन है। (cf. चिकनी किस्म)

बता दें कि A नोथेरियन वलय है। तब (सामान्यता पर सेरे की कसौटी) A सामान्य है अगर और केवल अगर यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है: किसी भी प्रमुख आदर्श ${\mathfrak {p}}$ के लिए,

अगर

{\mathfrak {p}}

की ऊंचाई

\leq 1

हैं, तब

A_{\mathfrak {p}}

नियमित स्थानीय वलय है (यानी,

A_{\mathfrak {p}}

असतत मूल्यांकन वलय है।)

अगर

{\mathfrak {p}}

की ऊंचाई

\geq 2

है, तब

A_{\mathfrak {p}}

गहराई है

\geq 2

.^[8] मंद (i) को अक्सर सहआयाम 1 में नियमित रूप से व्यक्त किया जाता है। नोट (i) का तात्पर्य है कि संबंधित प्राइम्स का सेट

Ass(A)

कोई एम्बेडेड अभाज्य संख्या नहीं है, और, जब (i) मामला है, (ii) का अर्थ है

Ass(A/fA)

किसी भी गैर-ज़ीरोडिवाइज़र f के लिए कोई एम्बेडेड प्राइम नहीं है। विशेष रूप से, कोहेन-मैकाले वलय वलय (ii) को संतुष्ट करती है। ज्यामितीय रूप से, हमारे पास निम्नलिखित हैं: यदि X गैर-एकवचन विविधता में स्थानीय पूर्ण चौराहा है;^[9] जैसे, X स्वयं निरर्थक है, तो X कोहेन-मैकाले है; यानी, डंठल

{\mathcal {O}}_{p}

संरचना शीफ के सभी प्रमुख आदर्शों के लिए P कोहेन-मैकाले हैं। तब हम कह सकते हैं: X सामान्य योजना है (अर्थात्, इसकी संरचना के डंठल सभी सामान्य हैं) यदि और केवल यदि यह सहआयाम 1 में नियमित है।

पूरी तरह से अभिन्न रूप से बंद डोमेन

मान लीजिए कि A एक प्रांत है और K इसके अंशों का क्षेत्र है। K में एक तत्व x को A पर लगभग अभिन्न कहा जाता है यदि A और x द्वारा उत्पन्न K का सबरिंग A [x] A का एक भिन्नात्मक आदर्श है; अर्थात्, यदि कोई

d\neq 0

जैसे कि

dx^{n}\in A

सभी

n\geq 0

के लिए. तब A को 'पूरी तरह से बंद' कहा जाता है कि A को पूरी तरह से बंद कर दिया गया है यदि K का लगभग हर अभिन्न तत्व A में समाहित है। एक पूरी तरह से बंद डोमेन पूरी तरह से बंद है। इसके विपरीत, एक नोथेरियन अभिन्न रूप से बंद डोमेन पूरी तरह से एकीकृत रूप से बंद है।

मान लें कि A पूरी तरह से बंद है। फिर औपचारिक शक्ति श्रृंखला की वलय $A[[X]]$ पूरी तरह से बंद है।^[10] यह महत्वपूर्ण है क्योंकि एनालॉग अभिन्न रूप से बंद डोमेन के लिए झूठा है: R को कम से कम 2 ऊंचाई का वैल्यूएशन डोमेन होने दें (जो एकीकृत रूप से बंद है।) $R[[X]]$ पूरी तरह से बंद नहीं है।^[11] L को K का क्षेत्र विस्तार होने दें। फिर L में A का अभिन्न संवरण पूरी तरह से अभिन्न रूप से बंद है।^[12]
अभिन्न डोमेन पूरी तरह से पूरी तरह से बंद है अगर और केवल अगर A के विभाजकों का समूह है।^[13] इन्हें भी देखें: क्रुल डोमेन।

निर्माण के तहत एकीकृत रूप से बंद

निम्नलिखित शर्तें अभिन्न डोमेन A के बराबर हैं:

A पूरी तरह से बंद है;
A_p (P के संबंध में A का स्थानीयकरण) प्रत्येक प्रमुख आदर्श P के लिए अभिन्न रूप से बंद है;
A_m प्रत्येक अधिकतम आदर्श m के लिए अभिन्न रूप से बंद है।

स्थानीयकरण के तहत अभिन्न क्लोजर के संरक्षण से तुरंत 1 → 2 परिणाम; 2 → 3 तुच्छ है; स्थानीयकरण के तहत अभिन्न क्लोजर के संरक्षण से 3 → 1 परिणाम, स्थानीयकरण की सटीकता, और A-मॉड्यूल M की गुण शून्य है अगर और केवल तभी जब प्रत्येक अधिकतम आदर्श के संबंध में इसका स्थानीयकरण शून्य है।

इसके विपरीत, 'Z'[t]/(t²+4) पूरी तरह से बंद नहीं है।

पूरी तरह से अभिन्न रूप से बंद डोमेन के स्थानीयकरण को पूरी तरह से बंद करने की आवश्यकता नहीं है।^[14] अभिन्न रूप से बंद डोमेन की सीधी सीमा अभिन्न रूप से बंद डोमेन है।

अभिन्न रूप से बंद डोमेन पर मॉड्यूल

मान लीजिए A नोथेरियन अभिन्न रूप से बंद डोमेन है।

A का आदर्श विभाजक अंश आदर्श है यदि और केवल यदि A/I के प्रत्येक संबद्ध प्रधान की ऊंचाई है।^[15] बता दें कि P ऊंचाई के A में सभी प्रमुख आदर्शों के सेट को निरूपित करता है। यदि T अंतिम रूप से उत्पन्न मरोड़ वाला मॉड्यूल है, तो डालता है:

\chi (T)=\sum _{p\in P}\operatorname {length} _{p}(T)p

,

जो औपचारिक योग के रूप में समझ में आता है; यानी, भाजक। हम d के भाजक वर्ग के लिए $c(d)$ लिखते है। अगर $F,F'$ M के अधिकतम सबमॉड्यूल हैं, फिर $c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))$ ^[16] और $c(\chi (M/F))$ द्वारा (बोरबाकी में) निरूपित किया जाता है $c(M)$ .

यह भी देखें

यूनिब्रांच लोकल वलय

उद्धरण

↑ Matsumura, Theorem 9.2
↑ Hartshorne 1977, Ch. II, Exercise 6.4.
↑ Hartshorne 1977, Ch. II, Exercise 6.5. (a)
↑ Taken from Matsumura
↑ If all localizations at maximal ideals of a commutative ring R are reduced rings (e.g. domains), then R is reduced. Proof: Suppose x is nonzero in R and x²=0. The annihilator ann(x) is contained in some maximal ideal ${\mathfrak {m}}$ . Now, the image of x is nonzero in the localization of R at ${\mathfrak {m}}$ since $x=0$ at ${\mathfrak {m}}$ means $xs=0$ for some $s\not \in {\mathfrak {m}}$ but then $s$ is in the annihilator of x, contradiction. This shows that R localized at ${\mathfrak {m}}$ is not reduced.
↑ Kaplansky, Theorem 168, pg 119.
↑ Matsumura 1989, p. 64
↑ Matsumura, Commutative algebra, pg. 125. For a domain, the theorem is due to Krull (1931). The general case is due to Serre.
↑ over an algebraically closed field
↑ An exercise in Matsumura.
↑ Matsumura, Exercise 10.4
↑ An exercise in Bourbaki.
↑ Bourbaki 1972, Ch. VII, § 1, n. 2, Theorem 1
↑ An exercise in Bourbaki.
↑ Bourbaki 1972, Ch. VII, § 1, n. 6. Proposition 10.
↑ Bourbaki 1972, Ch. VII, § 4, n. 7

संदर्भ

Bourbaki, Nicolas (1972). Commutative Algebra. Paris: Hermann.
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Kaplansky, Irving (September 1974). Commutative Rings. Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-42454-5.
Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6.
Matsumura, Hideyuki (1970). Commutative Algebra. ISBN 0-8053-7026-9.

[1] Matsumura, Theorem 9.2

[2] Hartshorne 1977, Ch. II, Exercise 6.4.

[3] Hartshorne 1977, Ch. II, Exercise 6.5. (a)

[4] Taken from Matsumura

[5] If all localizations at maximal ideals of a commutative ring R are reduced rings (e.g. domains), then R is reduced. Proof: Suppose x is nonzero in R and x²=0. The annihilator ann(x) is contained in some maximal ideal ${\mathfrak {m}}$ . Now, the image of x is nonzero in the localization of R at ${\mathfrak {m}}$ since $x=0$ at ${\mathfrak {m}}$ means $xs=0$ for some $s\not \in {\mathfrak {m}}$ but then $s$ is in the annihilator of x, contradiction. This shows that R localized at ${\mathfrak {m}}$ is not reduced.

[6] Kaplansky, Theorem 168, pg 119.

[7] Matsumura 1989, p. 64

[8] Matsumura, Commutative algebra, pg. 125. For a domain, the theorem is due to Krull (1931). The general case is due to Serre.

[9] ver an algebraically closed field

[10] An exercise in Matsumura.

[11] Matsumura, Exercise 10.4

[12] An exercise in Bourbaki.

[13] Bourbaki 1972, Ch. VII, § 1, n. 2, Theorem 1

[14] An exercise in Bourbaki.

[15] Bourbaki 1972, Ch. VII, § 1, n. 6. Proposition 10.

[16] Bourbaki 1972, Ch. VII, § 4, n. 7

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 {{Algebraic structures |Ring}}
-[[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में, एक अभिन्न रूप से बंद डोमेन A एक [[अभिन्न डोमेन]] है जिसका अंशों के क्षेत्र में [[अभिन्न तत्व]] बंद होना स्वयं A है। स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि यदि एक्स A के अंशों के क्षेत्र का एक तत्व है जो A में गुणांक वाले एक [[मोनिक बहुपद]] की जड़ है, तो एक्स स्वयं A का एक तत्व है। कई अच्छी तरह से अध्ययन किए गए डोमेन अभिन्न रूप से बंद क्षेत्र हैं पूर्णांक Z का वलय, अद्वितीय गुणनखंड डोमेन और नियमित स्थानीय वलय सभी अभिन्न रूप से बंद हैं।
+[[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में, एक अभिन्न रूप से बंद डोमेन A एक [[अभिन्न डोमेन]] है जिसका अंशों के क्षेत्र में [[अभिन्न तत्व]] बंद होना स्वयं A है। स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि यदि X A के अंशों के क्षेत्र का एक तत्व है जो A में गुणांक वाले एक [[मोनिक बहुपद]] की जड़ है, तो X स्वयं A का एक तत्व है। कई अच्छी तरह से अध्ययन किए गए डोमेन अभिन्न रूप से बंद क्षेत्र हैं पूर्णांक Z का वलय, अद्वितीय गुणनखंड डोमेन और नियमित स्थानीय वलय सभी अभिन्न रूप से बंद हैं।
 ध्यान दें कि एकीकृत रूप से बंद डोमेन [[उपवर्ग (सेट सिद्धांत)]] की निम्नलिखित श्रृंखला में दिखाई देते हैं:{{Commutative ring classes}}
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 गैर-उदाहरण देने के लिए,<ref>Taken from Matsumura</ref> मान लीजिए कि k एक क्षेत्र है और <math>A = k[t^2, t^3] \subset k[t]</math> (A t<sup>2</sup> और t<sup>3</sup> द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित है।) A अभिन्न रूप से बंद नहीं है: इसमें <math>k(t)</math> अंशों का क्षेत्र है, और मोनिक बहुपद <math>X^2 - t^2</math> चर X में मूल t है जो अंशों के क्षेत्र में है लेकिन A में नहीं है। यह इस तथ्य से संबंधित है कि समतल वक्र <math>Y^2 = X^3</math> मूल में वक्र का विलक्षण बिंदु है।
-अन्य डोमेन जो पूर्ण रूप से बंद नहीं है वह है <math>A = \mathbb{Z}[\sqrt{5}]</math>; इसमें तत्व नहीं है <math>\frac{\sqrt{5}+1}{2}</math> इसके अंशों के क्षेत्र में, जो मोनिक बहुपद को संतुष्ट करता है <math>X^2-X-1 = 0</math>.
+अन्य डोमेन जो पूर्ण रूप से बंद नहीं है वह है <math>A = \mathbb{Z}[\sqrt{5}]</math>; इसमें <math>\frac{\sqrt{5}+1}{2}</math> तत्व नहीं है, इसके अंशों के क्षेत्र में, जो मोनिक बहुपद को संतुष्ट करता है <math>X^2-X-1 = 0</math>.
 == नोथेरियन अभिन्न रूप से बंद डोमेन ==
-आयाम के नोथेरियन स्थानीय डोमेन ए के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं।
+आयाम के नोथेरियन स्थानीय डोमेन A के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं।
-*ए पूरी तरह से बंद है।
+*A पूरी तरह से बंद है।
 *A की उच्चिष्ठ गुणजावली मूलधन है।
-*A [[असतत मूल्यांकन अंगूठी|असतत मूल्यांकन वलय]] है (समतुल्य ए डेडेकाइंड है।)
+*A [[असतत मूल्यांकन अंगूठी|असतत मूल्यांकन वलय]] है (समतुल्य A डेडेकाइंड है।)
 * A नियमित स्थानीय वलय है।
-मान लीजिए A नोथेरियन अभिन्न डोमेन है। तब A अभिन्न रूप से बंद होता है यदि और केवल यदि (i) A सभी स्थानीयकरणों का प्रतिच्छेदन है <math>A_\mathfrak{p}</math> प्रमुख आदर्शों पर <math>\mathfrak{p}</math> ऊंचाई 1 और (ii) स्थानीयकरण <math>A_\mathfrak{p}</math> प्रमुख आदर्श पर <math>\mathfrak{p}</math> ऊँचाई 1 असतत मूल्यांकन वलय है।
+मान लीजिए A नोथेरियन अभिन्न डोमेन है। तब A अभिन्न रूप से बंद होता है यदि और केवल यदि (i) A सभी स्थानीयकरणों का प्रतिच्छेदन है, <math>A_\mathfrak{p}</math> प्रमुख आदर्शों पर <math>\mathfrak{p}</math> ऊंचाई 1 और (ii) स्थानीयकरण <math>A_\mathfrak{p}</math> प्रमुख आदर्श पर <math>\mathfrak{p}</math> ऊँचाई 1 असतत मूल्यांकन वलय है।
 नोथेरियन वलय [[क्रुल डोमेन]] है अगर और केवल अगर यह अभिन्न रूप से बंद डोमेन है।
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 == सामान्य वलय ==
 {{See also|सामान्य प्रकार}}
-[[जीन पियरे सेरे]], [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]], और मात्सुमुरा सहित लेखक सामान्य वलय को वलय के रूप में परिभाषित करते हैं जिसका [[स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)]] प्रमुख आदर्शों पर अभिन्न रूप से बंद डोमेन हैं। ऐसी वलय अनिवार्य रूप से छोटी वलय है,<ref>If all localizations at maximal ideals of a commutative ring ''R'' are reduced rings (e.g. domains), then ''R'' is reduced. ''Proof'': Suppose ''x'' is nonzero in ''R'' and ''x''<sup>2</sup>=0. The [[annihilator (ring theory)|annihilator]] ann(''x'') is contained in some maximal ideal <math>\mathfrak{m}</math>. Now, the image of ''x'' is nonzero in the localization of ''R'' at <math>\mathfrak{m}</math> since <math>x = 0</math> at <math>\mathfrak{m}</math> means <math>xs = 0</math> for some <math>s \not\in \mathfrak{m}</math> but then <math>s</math> is in the annihilator of ''x'', contradiction. This shows that ''R'' localized at <math>\mathfrak{m}</math> is not reduced.</ref> और इसे कभी-कभी परिभाषा में शामिल किया जाता है। सामान्य तौर पर, यदि A नोथेरियन वलय वलय है, जिसके अधिकतम आदर्शों पर स्थानीयकरण सभी डोमेन हैं, तो A डोमेन का परिमित उत्पाद है।<ref>Kaplansky, Theorem 168, pg 119.</ref> विशेष रूप से यदि A नोथेरियन, सामान्य वलय है, तो उत्पाद में डोमेन अभिन्न रूप से बंद डोमेन हैं।<ref>Matsumura 1989, p. 64</ref> इसके विपरीत, अभिन्न रूप से बंद डोमेन का कोई परिमित उत्पाद सामान्य है। विशेष रूप से, अगर <math>\operatorname{Spec}(A)</math> नोथेरियन, सामान्य और जुड़ा हुआ है, तो ए पूर्ण रूप से बंद डोमेन है। (cf. [[चिकनी किस्म]])
+[[जीन पियरे सेरे]], [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]], और मात्सुमुरा सहित लेखक सामान्य वलय को वलय के रूप में परिभाषित करते हैं जिसका [[स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)]] प्रमुख आदर्शों पर अभिन्न रूप से बंद डोमेन हैं। ऐसी वलय अनिवार्य रूप से छोटी वलय है,<ref>If all localizations at maximal ideals of a commutative ring ''R'' are reduced rings (e.g. domains), then ''R'' is reduced. ''Proof'': Suppose ''x'' is nonzero in ''R'' and ''x''<sup>2</sup>=0. The [[annihilator (ring theory)|annihilator]] ann(''x'') is contained in some maximal ideal <math>\mathfrak{m}</math>. Now, the image of ''x'' is nonzero in the localization of ''R'' at <math>\mathfrak{m}</math> since <math>x = 0</math> at <math>\mathfrak{m}</math> means <math>xs = 0</math> for some <math>s \not\in \mathfrak{m}</math> but then <math>s</math> is in the annihilator of ''x'', contradiction. This shows that ''R'' localized at <math>\mathfrak{m}</math> is not reduced.</ref> और इसे कभी-कभी परिभाषा में शामिल किया जाता है। सामान्य तौर पर, यदि A नोथेरियन वलय वलय है, जिसके अधिकतम आदर्शों पर स्थानीयकरण सभी डोमेन हैं, तो A डोमेन का परिमित उत्पाद है।<ref>Kaplansky, Theorem 168, pg 119.</ref> विशेष रूप से यदि A नोथेरियन, सामान्य वलय है, तो उत्पाद में डोमेन अभिन्न रूप से बंद डोमेन हैं।<ref>Matsumura 1989, p. 64</ref> इसके विपरीत, अभिन्न रूप से बंद डोमेन का कोई परिमित उत्पाद सामान्य है। विशेष रूप से, अगर <math>\operatorname{Spec}(A)</math> नोथेरियन, सामान्य और जुड़ा हुआ है, तो A पूर्ण रूप से बंद डोमेन है। (cf. [[चिकनी किस्म]])
-बता दें कि A नोथेरियन वलय है। तब (सामान्यता पर सेरे की कसौटी | सेरे की कसौटी) ए सामान्य है अगर और केवल अगर यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है: किसी भी प्रमुख आदर्श <math>\mathfrak{p}</math> के लिए,
+बता दें कि A नोथेरियन वलय है। तब (सामान्यता पर सेरे की कसौटी) A सामान्य है अगर और केवल अगर यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है: किसी भी प्रमुख आदर्श <math>\mathfrak{p}</math> के लिए,
 <li>अगर <math>\mathfrak{p}</math> की ऊंचाई <math>\le 1</math> हैं, तब <math>A_\mathfrak{p}</math> नियमित स्थानीय वलय है (यानी, <math>A_\mathfrak{p}</math> असतत मूल्यांकन वलय है।)</li>
 <li>अगर <math>\mathfrak{p}</math> की ऊंचाई <math>\ge 2</math> है, तब <math>A_\mathfrak{p}</math> गहराई है <math>\ge 2</math>.<ref>Matsumura, Commutative algebra, pg. 125. For a domain, the theorem is due to Krull (1931). The general case is due to Serre.</ref>                                                                                                                                                 मंद (i) को अक्सर सहआयाम 1 में नियमित रूप से व्यक्त किया जाता है। नोट (i) का तात्पर्य है कि संबंधित प्राइम्स का सेट <math>Ass(A)</math> कोई एम्बेडेड अभाज्य संख्या नहीं है, और, जब (i) मामला है, (ii) का अर्थ है <math>Ass(A/fA)</math> किसी भी गैर-ज़ीरोडिवाइज़र f के लिए कोई एम्बेडेड प्राइम नहीं है। विशेष रूप से, [[कोहेन-मैकाले रिंग|कोहेन-मैकाले वलय]] वलय (ii) को संतुष्ट करती है। ज्यामितीय रूप से, हमारे पास निम्नलिखित हैं: यदि X गैर-एकवचन विविधता में [[स्थानीय पूर्ण चौराहा]] है;<ref>over an algebraically closed field</ref> जैसे, X स्वयं निरर्थक है, तो X कोहेन-मैकाले है; यानी, डंठल <math>\mathcal{O}_p</math> संरचना शीफ के सभी प्रमुख आदर्शों के लिए P कोहेन-मैकाले हैं। तब हम कह सकते हैं: X [[सामान्य योजना]] है (अर्थात्, इसकी संरचना के डंठल सभी सामान्य हैं) यदि और केवल यदि यह सहआयाम 1 में नियमित है।
 == पूरी तरह से अभिन्न रूप से बंद डोमेन ==
-मान लीजिए कि A प्रांत है और K इसके अंशों का क्षेत्र है। K में अवयव x को 'A पर लगभग अभिन्न' कहा जाता है यदि A और x द्वारा उत्पन्न K का अवयव A[x] A का भिन्नात्मक आदर्श है; यानी अगर कोई है <math>d \ne 0</math> ऐसा है कि <math>d x^n \in A</math> सभी के लिए <math>n \ge 0</math>. तब A को 'पूरी तरह से बंद' कहा जाता है यदि K का प्रत्येक लगभग अभिन्न तत्व A में समाहित है। पूरी तरह से अभिन्न रूप से बंद डोमेन अभिन्न रूप से बंद है। इसके विपरीत, नोथेरियन अभिन्न रूप से बंद डोमेन पूरी तरह से एकीकृत रूप से बंद है।
+<li>मान लीजिए कि A एक प्रांत है और K इसके अंशों का क्षेत्र है। K में एक तत्व x को A पर लगभग अभिन्न कहा जाता है यदि A और x द्वारा उत्पन्न K का सबरिंग A [x] A का एक भिन्नात्मक आदर्श है; अर्थात्, यदि कोई <math>d \ne 0</math> जैसे कि <math>d x^n \in A</math> सभी <math>n \ge 0</math> के लिए. तब A को 'पूरी तरह से बंद' कहा जाता है कि A को पूरी तरह से बंद कर दिया गया है यदि K का लगभग हर अभिन्न तत्व A में समाहित है। एक पूरी तरह से बंद डोमेन पूरी तरह से बंद है। इसके विपरीत, एक नोथेरियन अभिन्न रूप से बंद डोमेन पूरी तरह से एकीकृत रूप से बंद है।
+* मान लें कि A पूरी तरह से बंद है। फिर औपचारिक शक्ति श्रृंखला की वलय <math>A[[X]]</math> पूरी तरह से बंद है।<ref>An exercise in Matsumura.</ref> यह महत्वपूर्ण है क्योंकि एनालॉग अभिन्न रूप से बंद डोमेन के लिए झूठा है: R को कम से कम 2 ऊंचाई का वैल्यूएशन डोमेन होने दें (जो एकीकृत रूप से बंद है।) <math>R[[X]]</math> पूरी तरह से बंद नहीं है।<ref>Matsumura, Exercise 10.4</ref> L को K का क्षेत्र विस्तार होने दें। फिर L में A का अभिन्न संवरण पूरी तरह से अभिन्न रूप से बंद है।<ref>An exercise in Bourbaki.</ref>
-मान लें कि ए पूरी तरह से बंद है। फिर औपचारिक शक्ति श्रृंखला की वलय <math>A[[X]]</math> पूरी तरह से बंद है।<ref>An exercise in Matsumura.</ref> यह महत्वपूर्ण है क्योंकि एनालॉग अभिन्न रूप से बंद डोमेन के लिए झूठा है: R को कम से कम 2 ऊंचाई का वैल्यूएशन डोमेन होने दें (जो एकीकृत रूप से बंद है।) <math>R[[X]]</math> पूरी तरह से बंद नहीं है।<ref>Matsumura, Exercise 10.4</ref> L को K का क्षेत्र विस्तार होने दें। फिर L में A का अभिन्न संवरण पूरी तरह से अभिन्न रूप से बंद है।<ref>An exercise in Bourbaki.</ref>
+* अभिन्न डोमेन पूरी तरह से पूरी तरह से बंद है अगर और केवल अगर A के विभाजकों का समूह है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1972|loc=Ch. VII, § 1, n. 2, Theorem 1}}</ref>                                                                           इन्हें भी देखें: क्रुल डोमेन।
-अभिन्न डोमेन पूरी तरह से पूरी तरह से बंद है अगर और केवल अगर ए के विभाजकों का समूह है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1972|loc=Ch. VII, § 1, n. 2, Theorem 1}}</ref>
-इन्हें भी देखें: क्रुल डोमेन।
 == निर्माण के तहत एकीकृत रूप से बंद ==
-निम्नलिखित शर्तें अभिन्न डोमेन ए के बराबर हैं:
+निम्नलिखित शर्तें अभिन्न डोमेन A के बराबर हैं:
-# ए पूरी तरह से बंद है;
+# A पूरी तरह से बंद है;
-# ए<sub>''p''</sub> (पी के संबंध में ए का स्थानीयकरण) प्रत्येक प्रमुख आदर्श पी के लिए अभिन्न रूप से बंद है;
+# A<sub>''p''</sub> (P के संबंध में A का स्थानीयकरण) प्रत्येक प्रमुख आदर्श P के लिए अभिन्न रूप से बंद है;
-# ए<sub>''m''</sub> प्रत्येक [[अधिकतम आदर्श]] m के लिए अभिन्न रूप से बंद है।
+# A<sub>''m''</sub> प्रत्येक [[अधिकतम आदर्श]] m के लिए अभिन्न रूप से बंद है।
-स्थानीयकरण के तहत अभिन्न क्लोजर के संरक्षण से तुरंत 1 → 2 परिणाम; 2 → 3 तुच्छ है; 3 → 1 स्थानीयकरण के तहत अभिन्न क्लोजर के संरक्षण से परिणाम, मॉड्यूल # फ्लैटनेस का स्थानीयकरण, और ए-मॉड्यूल एम की संपत्ति शून्य है अगर और केवल अगर इसका स्थानीयकरण प्रत्येक अधिकतम आदर्श के संबंध में शून्य है।
+स्थानीयकरण के तहत अभिन्न क्लोजर के संरक्षण से तुरंत 1 → 2 परिणाम; 2 → 3 तुच्छ है; स्थानीयकरण के तहत अभिन्न क्लोजर के संरक्षण से 3 → 1 परिणाम, स्थानीयकरण की सटीकता, और A-मॉड्यूल M की गुण शून्य है अगर और केवल तभी जब प्रत्येक अधिकतम आदर्श के संबंध में इसका स्थानीयकरण शून्य है।
 इसके विपरीत, 'Z'[t]/(t<sup>2</sup>+4) पूरी तरह से बंद नहीं है।
-पूरी तरह से अभिन्न रूप से बंद डोमेन के स्थानीयकरण को पूरी तरह से बंद करने की आवश्यकता नहीं है।<ref>An exercise in Bourbaki.</ref>
+पूरी तरह से अभिन्न रूप से बंद डोमेन के स्थानीयकरण को पूरी तरह से बंद करने की आवश्यकता नहीं है।<ref>An exercise in Bourbaki.</ref>                                                                       अभिन्न रूप से बंद डोमेन की सीधी सीमा अभिन्न रूप से बंद डोमेन है।
-अभिन्न रूप से बंद डोमेन की सीधी सीमा अभिन्न रूप से बंद डोमेन है।
+'''अभिन्न रूप से बंद डोमेन पर मॉड्यूल'''
-== अभिन्न रूप से बंद डोमेन == पर मॉड्यूल
-{{expand section|date=February 2013}}
 मान लीजिए A नोथेरियन अभिन्न रूप से बंद डोमेन है।
-A का आदर्श I [[विभाजक अंश आदर्श]] है यदि और केवल यदि A/I के प्रत्येक संबद्ध प्रधान की ऊंचाई है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1972|loc=Ch. VII, § 1, n. 6. Proposition 10.}}</ref>
+A का आदर्श [[विभाजक अंश आदर्श]] है यदि और केवल यदि A/I के प्रत्येक संबद्ध प्रधान की ऊंचाई है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1972|loc=Ch. VII, § 1, n. 6. Proposition 10.}}</ref>                                                                                   बता दें कि P ऊंचाई के A में सभी प्रमुख आदर्शों के सेट को निरूपित करता है। यदि T अंतिम रूप से उत्पन्न मरोड़ वाला मॉड्यूल है, तो डालता है:
-बता दें कि पी ऊंचाई के ए में सभी प्रमुख आदर्शों के सेट को निरूपित करता है। यदि T अंतिम रूप से उत्पन्न मरोड़ वाला मॉड्यूल है, तो डालता है:
 :<math>\chi(T) = \sum_{p \in P} \operatorname{length}_p(T) p</math>,
-जो औपचारिक योग के रूप में समझ में आता है; यानी, भाजक। हम लिखते हैं <math>c(d)</math> डी के भाजक वर्ग के लिए। अगर <math>F, F'</math> एम के अधिकतम सबमॉड्यूल हैं, फिर <math>c(\chi(M/F)) = c(\chi(M/F'))</math><ref>{{harvnb|Bourbaki|1972|loc=Ch. VII, § 4, n. 7}}</ref> और <math>c(\chi(M/F))</math> द्वारा (बोरबाकी में) निरूपित किया जाता है <math>c(M)</math>.
+जो औपचारिक योग के रूप में समझ में आता है; यानी, भाजक। हम d के भाजक वर्ग के लिए <math>c(d)</math> लिखते है। अगर <math>F, F'</math> M के अधिकतम सबमॉड्यूल हैं, फिर <math>c(\chi(M/F)) = c(\chi(M/F'))</math><ref>{{harvnb|Bourbaki|1972|loc=Ch. VII, § 4, n. 7}}</ref> और <math>c(\chi(M/F))</math> द्वारा (बोरबाकी में) निरूपित किया जाता है <math>c(M)</math>.
 == यह भी देखें ==
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 {{refend}}
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