कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन: Difference between revisions

Revision as of 12:53, 16 February 2023

गणितीय तर्क में, एक कंजरवेटिव विस्तार एक सिद्धांत का एक सुपर थ्योरी है जो प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए अक्सर सुविधाजनक होता है लेकिन मूल विचार की भाषा के बारे में कोई नया प्रमेय साबित नहीं करता है। इसी तरह, एक नॉन-कंजरवेटिव विस्तार एक सुपर सिद्धांत है जो कंजरवेटिव नहीं है और मूल से अधिक प्रमेयों को सिद्ध कर सकता है।

अधिक औपचारिक रूप से कहा गया है, सिद्धांत $T_{2}$ सिद्धांत $T_{1}$ का एक (प्रमाणिक) कंजरवेटिव विस्तार है यदि $T_{1}$ का प्रत्येक प्रमेय $T_{2}$ का एक प्रमेय है, और $T_{2}$ का कोई प्रमेय $T_{1}$ की भाषा में पहले से ही $T_{1}$ का एक प्रमेय है।

अधिक आम तौर पर, यदि $\Gamma$ $T_{1}$ और $T_{2}$ की सामान्य भाषा में सूत्रों का एक सेट है, तो $T_{2}$ $\Gamma$ - $T_{1}$ पर कंजरवेटिव है यदि $\Gamma$ से $T_{2}$ में सिद्ध होने वाला प्रत्येक सूत्र $T_{1}$ में भी सिद्ध है।

ध्यान दें कि एक संगत सिद्धांत का एक कंजरवेटिव विस्तार संगत है। यदि ऐसा नहीं होता, तो विस्फोट के सिद्धांत से $T_{2}$ की भाषा में हर सूत्र $T_{2}$ की एक प्रमेय होगी, इसलिए $T_{1}$ की भाषा में हर सूत्र होगा $T_{1}$ का प्रमेय हो, इसलिए $T_{1}$ संगत नहीं होगा। इसलिए, कंजरवेटिव विस्तार नई विसंगतियों को पेश करने का जोखिम नहीं उठाते हैं। इसे बड़े सिद्धांतों को लिखने और संरचित करने के लिए एक पद्धति के रूप में भी देखा जा सकता है: एक अभिगृहीत, $T_{0}$ के साथ प्रारंभ करें, जो संगत होने के लिए जाना जाता है (या माना जाता है), और क्रमिक रूप से इसका कंजरवेटिव विस्तार $T_{1}$ , $T_{2}$ , ... बनाते हैं।

हाल ही में, ओन्टोलॉजी (कंप्यूटर साइंस) के लिए ऑन्कोलॉजी मॉड्यूलराइजेशन की धारणा को परिभाषित करने के लिए कंजरवेटिव एक्सटेंशन का उपयोग किया गया है: यदि एक ऑन्कोलॉजी को एक तार्किक सिद्धांत के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है, तो एक सबथ्योरी एक मॉड्यूल है यदि संपूर्ण ऑन्कोलॉजी सबथ्योरी का एक कंजरवेटिव विस्तार है।

एक विस्तार जो कंजरवेटिव नहीं है उसे उचित विस्तार कहा जा सकता है।

उदाहरण

ACA₀ रिवर्स गणित में अध्ययन किए गए दूसरे क्रम के अंकगणित का एक उपतंत्र है, जो पहले क्रम के पियानो अंकगणित का एक कंजरवेटिव विस्तार है।
वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी (एनबीजी) पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी का एक कंजरवेटिव विस्तार है।
आंतरिक सेट सिद्धांत पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का एक कंजरवेटिव विस्तार है।
परिभाषाओं द्वारा विस्तार कंजरवेटिव हैं।
अप्रतिबंधित विधेय या कार्य प्रतीकों द्वारा विस्तार कंजरवेटिव हैं।
IΣ₁ (केवल Σ⁰₁-सूत्रों के लिए प्रेरण के साथ पीनो अंकगणित का एक उपतंत्र) आदिम पुनरावर्ती अंकगणित (पीआरए) का Π⁰₂-कंजरवेटिव विस्तार है।^[1]
जेडएफ़सी शोएनफ़ील्ड के निरपेक्षता प्रमेय द्वारा ज़ेडएफ़ का Σ¹₃-कंजरवेटिव विस्तार है।
निरंतर परिकल्पना के साथ जेडएफसी, जेडएफसी का Π²₁-कंजरवेटिव विस्तार है।

मॉडल-सिद्धांत संबंधी कंजरवेटिव विस्तार

मॉडल-सैद्धांतिक साधनों के साथ, एक मजबूत धारणा प्राप्त होती है: सिद्धांत $T_{1}$ का एक विस्तार $T_{2}$ मॉडल-सैद्धांतिक रूप से कंजरवेटिव है यदि $T_{1}\subseteq T_{2}$ और $T_{1}$ के प्रत्येक मॉडल को $T_{2}$ के मॉडल में विस्तारित किया जा सकता है। उपरोक्त अर्थ में प्रत्येक मॉडल-सैद्धांतिक कंजरवेटिव विस्तार भी एक (सबूत-सैद्धांतिक) कंजरवेटिव विस्तार है।^[2] मॉडल-सैद्धांतिक धारणा का प्रमाण-सैद्धांतिक पर लाभ है कि यह भाषा पर इतना अधिक निर्भर नहीं करता है; दूसरी ओर, मॉडल-सैद्धांतिक कंजरवेटिव स्थापित करना आमतौर पर कठिन होता है।

यह भी देखें

परिभाषाओं द्वारा विस्तार
नए स्थिरांक और फ़ंक्शन नामों द्वारा विस्तार

संदर्भ

↑ Fernando Ferreira, A Simple Proof of Parsons' Theorem. Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol.46, No.1, 2005.
↑ Hodges, Wilfrid (1997). A shorter model theory. Cambridge: Cambridge University Press. p. 58 exercise 8. ISBN 978-0-521-58713-6.

बाहरी संबंध

The importance of conservative extensions for the foundations of mathematics

[1] Fernando Ferreira, A Simple Proof of Parsons' Theorem. Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol.46, No.1, 2005.

[2] Hodges, Wilfrid (1997). A shorter model theory. Cambridge: Cambridge University Press. p. 58 exercise 8. ISBN 978-0-521-58713-6.

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-[[गणितीय तर्क]] में, एक रूढ़िवादी विस्तार एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)]] # उप सिद्धांत और एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) का विस्तार है जो अक्सर [[प्रमेय]]ों को साबित करने के लिए सुविधाजनक होता है, लेकिन मूल सिद्धांत की भाषा के बारे में कोई नया प्रमेय साबित नहीं करता है। इसी तरह, एक गैर-रूढ़िवादी विस्तार एक सुपरथ्योरी है जो रूढ़िवादी नहीं है, और मूल से अधिक प्रमेय साबित कर सकता है।
+[[गणितीय तर्क]] में, एक कंजरवेटिव विस्तार एक [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)|सिद्धांत]] का एक सुपर थ्योरी है जो प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए अक्सर सुविधाजनक होता है लेकिन मूल विचार की भाषा के बारे में कोई नया प्रमेय साबित नहीं करता है। इसी तरह, एक नॉन-कंजरवेटिव विस्तार एक सुपर सिद्धांत है जो कंजरवेटिव नहीं है और मूल से अधिक प्रमेयों को सिद्ध कर सकता है।
-अधिक औपचारिक रूप से कहा गया है, एक सिद्धांत <math>T_2</math> एक सिद्धांत का एक (प्रमाण सिद्धांत) रूढ़िवादी विस्तार है <math>T_1</math> अगर हर प्रमेय <math>T_1</math> का प्रमेय है <math>T_2</math>, और कोई भी प्रमेय <math>T_2</math> की भाषा में <math>T_1</math> का एक प्रमेय पहले से ही है <math>T_1</math>.
+अधिक औपचारिक रूप से कहा गया है, सिद्धांत <math>T_2</math> सिद्धांत <math>T_1</math> का एक (प्रमाणिक) कंजरवेटिव विस्तार है यदि <math>T_1</math> का प्रत्येक प्रमेय <math>T_2</math> का एक प्रमेय है, और <math>T_2</math> का कोई प्रमेय <math>T_1</math>की भाषा में पहले से ही <math>T_1</math>का एक प्रमेय है।
-अधिक सामान्यतः, यदि <math>\Gamma</math> की आम भाषा में सुनिर्मित सूत्र का समुच्चय है <math>T_1</math> और <math>T_2</math>, तब <math>T_2</math> है <math>\Gamma</math>-रूढ़िवादी खत्म <math>T_1</math> अगर हर सूत्र से <math>\Gamma</math> में सिद्ध <math>T_2</math> में भी सिद्ध होता है <math>T_1</math>.
+अधिक आम तौर पर, यदि <math>\Gamma</math> <math>T_1</math> और <math>T_2</math> की सामान्य भाषा में सूत्रों का एक सेट है, तो <math>T_2</math> <math>\Gamma</math> - <math>T_1</math>पर कंजरवेटिव है यदि <math>\Gamma</math> से <math>T_2</math> में सिद्ध होने वाला प्रत्येक सूत्र <math>T_1</math> में भी सिद्ध है।
-ध्यान दें कि एक सुसंगत सिद्धांत का एक रूढ़िवादी विस्तार सुसंगत है। यदि ऐसा नहीं होता तो विस्फोट के सिद्धांत से हर सूत्र की भाषा में <math>T_2</math> का एक प्रमेय होगा <math>T_2</math>, तो हर सूत्र की भाषा में <math>T_1</math> का एक प्रमेय होगा <math>T_1</math>, इसलिए <math>T_1</math> सुसंगत नहीं होगा। इसलिए, रूढ़िवादी विस्तार नई विसंगतियों को पेश करने का जोखिम नहीं उठाते हैं। इसे बड़े सिद्धांतों को लिखने और संरचित करने की एक पद्धति के रूप में भी देखा जा सकता है: एक सिद्धांत से शुरू करें, <math>T_0</math>, जिसे सुसंगत होना जाना जाता है (या माना जाता है), और क्रमिक रूप से रूढ़िवादी विस्तार का निर्माण करता है <math>T_1</math>, <math>T_2</math>, ... इसका।
+ध्यान दें कि एक संगत सिद्धांत का एक कंजरवेटिव विस्तार संगत है। यदि ऐसा नहीं होता, तो विस्फोट के सिद्धांत से <math>T_2</math> की भाषा में हर सूत्र <math>T_2</math> की एक प्रमेय होगी, इसलिए <math>T_1</math> की भाषा में हर सूत्र होगा <math>T_1</math> का प्रमेय हो, इसलिए <math>T_1</math>संगत नहीं होगा। इसलिए, कंजरवेटिव विस्तार नई विसंगतियों को पेश करने का जोखिम नहीं उठाते हैं। इसे बड़े सिद्धांतों को लिखने और संरचित करने के लिए एक पद्धति के रूप में भी देखा जा सकता है: एक अभिगृहीत, <math>T_0</math> के साथ प्रारंभ करें, जो संगत होने के लिए जाना जाता है (या माना जाता है), और क्रमिक रूप से इसका कंजरवेटिव विस्तार <math>T_1</math>, <math>T_2</math>, ... बनाते हैं।
-हाल ही में, ओन्टोलॉजी (कंप्यूटर साइंस) के लिए [[ऑन्कोलॉजी मॉड्यूलराइजेशन]] की धारणा को परिभाषित करने के लिए रूढ़िवादी एक्सटेंशन का उपयोग किया गया है: यदि एक ऑन्कोलॉजी को एक तार्किक सिद्धांत के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है, तो एक सबथ्योरी एक मॉड्यूल है यदि संपूर्ण ऑन्कोलॉजी सबथ्योरी का एक रूढ़िवादी विस्तार है।
+हाल ही में, ओन्टोलॉजी (कंप्यूटर साइंस) के लिए [[ऑन्कोलॉजी मॉड्यूलराइजेशन]] की धारणा को परिभाषित करने के लिए कंजरवेटिव एक्सटेंशन का उपयोग किया गया है: यदि एक ऑन्कोलॉजी को एक तार्किक सिद्धांत के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है, तो एक सबथ्योरी एक मॉड्यूल है यदि संपूर्ण ऑन्कोलॉजी सबथ्योरी का एक कंजरवेटिव विस्तार है।
-एक विस्तार जो रूढ़िवादी नहीं है उसे उचित विस्तार कहा जा सकता है।
+एक विस्तार जो कंजरवेटिव नहीं है उसे उचित विस्तार कहा जा सकता है।
 == उदाहरण ==
-* एसीए<sub>0</sub>, रिवर्स गणित में अध्ययन किए गए दूसरे क्रम के अंकगणित का एक उपतंत्र, पहले क्रम के [[पियानो अंकगणित]] का एक रूढ़िवादी विस्तार है।
+* ACA<sub>0</sub> रिवर्स गणित में अध्ययन किए गए दूसरे क्रम के अंकगणित का एक उपतंत्र है, जो पहले क्रम के [[पियानो अंकगणित]] का एक कंजरवेटिव विस्तार है।
-* वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी (एनबीजी) ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी का एक रूढ़िवादी विस्तार है जिसमें [[पसंद का स्वयंसिद्ध]] (जेडएफसी) है।
+* वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी (एनबीजी) पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी का एक कंजरवेटिव विस्तार है।
-* आंतरिक समुच्चय सिद्धांत जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत का पसंद के स्वयंसिद्ध (ZFC) के साथ एक रूढ़िवादी विस्तार है।
+* आंतरिक सेट सिद्धांत पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का एक कंजरवेटिव विस्तार है।
-* [[परिभाषाओं द्वारा विस्तार]] रूढ़िवादी हैं।
+* [[परिभाषाओं द्वारा विस्तार]] कंजरवेटिव हैं।
-* अप्रतिबंधित विधेय या कार्य प्रतीकों द्वारा विस्तार रूढ़िवादी हैं।
+* अप्रतिबंधित विधेय या कार्य प्रतीकों द्वारा विस्तार कंजरवेटिव हैं।
-* मैं<sub>1</sub> (अंकगणितीय पदानुक्रम के लिए केवल प्रेरण के साथ पीनो अंकगणितीय का एक उपप्रणाली। Σ<sup>0</sup><उप शैली = हाशिये-बाएँ:-0.65em >1</उप>-सूत्र) एक Π है<sup>0</sup><sub style= margin-left:-0.65em >2</sub>- [[आदिम पुनरावर्ती अंकगणित]] (PRA) का रूढ़िवादी विस्तार।<ref>[https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ndjfl/1107220675A Fernando Ferreira, A Simple Proof of Parsons' Theorem. Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol.46, No.1, 2005.]</ref>
+* IΣ<sub>1</sub> (केवल Σ<sup>0</sup><sub>1</sub>-सूत्रों के लिए प्रेरण के साथ पीनो अंकगणित का एक उपतंत्र) आदिम पुनरावर्ती अंकगणित (पीआरए) का Π<sup>0</sup><sub>2</sub>-कंजरवेटिव विस्तार है।<ref>[https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ndjfl/1107220675A Fernando Ferreira, A Simple Proof of Parsons' Theorem. Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol.46, No.1, 2005.]</ref>
-* ZFC एक विश्लेषणात्मक पदानुक्रम है|Σ<sup>1</sup><sub style= margin-left:-0.65em >3</sub>-निरपेक्षता (गणितीय तर्क) द्वारा ZF का रूढ़िवादी विस्तार| शोएनफील्ड की निरपेक्षता प्रमेय।
+* जेडएफ़सी शोएनफ़ील्ड के निरपेक्षता प्रमेय द्वारा ज़ेडएफ़ का Σ<sup>1</sup><sub>3</sub>-कंजरवेटिव विस्तार है।
-* सातत्य परिकल्पना के साथ ZFC एक Π है<sup>2</sup><उप शैली = मार्जिन-बाएं: -0.65em> 1</उप> - ZFC का रूढ़िवादी विस्तार।{{Citation needed|date=March 2021}}
+* निरंतर परिकल्पना के साथ जेडएफसी, जेडएफसी का Π<sup>2</sup><sub>1</sub>-कंजरवेटिव विस्तार है।
+== मॉडल-सिद्धांत संबंधी कंजरवेटिव विस्तार ==
+मॉडल-सैद्धांतिक साधनों के साथ, एक मजबूत धारणा प्राप्त होती है: सिद्धांत <math>T_1</math> का एक विस्तार <math>T_2</math> मॉडल-सैद्धांतिक रूप से कंजरवेटिव है यदि <math>T_1 \subseteq T_2</math>और <math>T_1</math> के प्रत्येक मॉडल को <math>T_2</math> के मॉडल में विस्तारित किया जा सकता है। उपरोक्त अर्थ में प्रत्येक मॉडल-सैद्धांतिक कंजरवेटिव विस्तार भी एक (सबूत-सैद्धांतिक) कंजरवेटिव विस्तार है।<ref>{{Cite book | last1=Hodges | first1=Wilfrid | author1-link=Wilfrid Hodges | title=A shorter model theory | publisher= [[Cambridge University Press]]| location=Cambridge | isbn=978-0-521-58713-6 | year=1997 | postscript=<!--None--> | page=58 exercise 8}}</ref> मॉडल-सैद्धांतिक धारणा का प्रमाण-सैद्धांतिक पर लाभ है कि यह भाषा पर इतना अधिक निर्भर नहीं करता है; दूसरी ओर, मॉडल-सैद्धांतिक कंजरवेटिव स्थापित करना आमतौर पर कठिन होता है।
-== मॉडल-सैद्धांतिक रूढ़िवादी विस्तार ==
-[[मॉडल सिद्धांत]] | मॉडल-सैद्धांतिक साधनों के साथ, एक मजबूत धारणा प्राप्त होती है: एक विस्तार <math>T_2</math> एक सिद्धांत का <math>T_1</math> मॉडल-सैद्धांतिक रूप से रूढ़िवादी है अगर <math>T_1 \subseteq T_2</math> और का हर मॉडल <math>T_1</math> के मॉडल में विस्तारित किया जा सकता है <math>T_2</math>. उपरोक्त अर्थ में प्रत्येक मॉडल-सैद्धांतिक रूढ़िवादी विस्तार भी एक (सबूत-सैद्धांतिक) रूढ़िवादी विस्तार है।<ref>{{Cite book | last1=Hodges | first1=Wilfrid | author1-link=Wilfrid Hodges | title=A shorter model theory | publisher= [[Cambridge University Press]]| location=Cambridge | isbn=978-0-521-58713-6 | year=1997 | postscript=<!--None--> | page=58 exercise 8}}</ref> प्रूफ थ्योरिटिक की तुलना में मॉडल थ्योरिटिक धारणा का यह फायदा है कि यह हाथ में ली गई भाषा पर इतना अधिक निर्भर नहीं करती है; दूसरी ओर, आमतौर पर मॉडल सैद्धांतिक रूढ़िवाद स्थापित करना कठिन होता है।
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