कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन

गणितीय तर्क में, कंजरवेटिव विस्तार सिद्धांत का एक उत्तम सिद्धांत है जो प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए प्रायः सुविधाजनक होता है लेकिन मूल विचार की भाषा के बारे में कोई नया प्रमेय साबित नहीं करता है। इसी तरह, नॉन-कंजरवेटिव विस्तार एक उत्तम सिद्धांत है जो कंजरवेटिव नहीं है और मूल से अधिक प्रमेयों को सिद्ध कर सकता है।

अधिक औपचारिक रूप से कहा गया है, सिद्धांत $T_{2}$ सिद्धांत $T_{1}$ का (प्रमाणिक) कंजरवेटिव विस्तार है यदि $T_{1}$ का प्रत्येक प्रमेय $T_{2}$ का प्रमेय है, और $T_{2}$ का कोई प्रमेय $T_{1}$की भाषा में पहले से ही $T_{1}$का एक प्रमेय है।

अधिक सामान्यतः, यदि $\Gamma$ $T_{1}$ और $T_{2}$ की सामान्य भाषा में सूत्रों का एक सेट है, तो $T_{2}$ $\Gamma$ - $T_{1}$पर कंजरवेटिव है यदि $\Gamma$ से $T_{2}$ में सिद्ध होने वाला प्रत्येक सूत्र $T_{1}$ में भी सिद्ध है।

ध्यान दें कि संगत सिद्धांत का एक कंजरवेटिव विस्तार संगत है। यदि ऐसा नहीं होता, तो विस्फोट के सिद्धांत से $T_{2}$ की भाषा में हर सूत्र $T_{2}$ की प्रमेय होगी, इसलिए $T_{1}$ की भाषा में हर सूत्र होगा $T_{1}$ का प्रमेय हो, इसलिए $T_{1}$संगत नहीं होगा। इसलिए, कंजरवेटिव विस्तार नई विसंगतियों को पेश करने का जोखिम नहीं उठाते हैं। इसे बड़े सिद्धांतों को लिखने और संरचित करने के लिए एक पद्धति के रूप में भी देखा जा सकता है: एक अभिगृहीत, $T_{0}$ के साथ प्रारंभ करें, जो संगत होने के लिए जाना जाता है (या माना जाता है), और क्रमिक रूप से इसका कंजरवेटिव विस्तार $T_{1}$, $T_{2}$, ... बनाते हैं।

हाल ही में, ओन्टोलॉजी (कंप्यूटर साइंस) के लिए ऑन्कोलॉजी मॉड्यूलराइजेशन की धारणा को परिभाषित करने के लिए कंजरवेटिव एक्सटेंशन का उपयोग किया गया है: यदि ऑन्कोलॉजी को तार्किक सिद्धांत के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है, तो सबथ्योरी एक मॉड्यूल है यदि संपूर्ण ऑन्कोलॉजी सबथ्योरी का कंजरवेटिव विस्तार है।

विस्तार जो कंजरवेटिव नहीं है उसे उचित विस्तार कहा जा सकता है।

उदाहरण

• ACA₀ रिवर्स गणित में अध्ययन किए गए दूसरे क्रम के अंकगणित का उपतंत्र है, जो पहले क्रम के पियानो अंकगणित का कंजरवेटिव विस्तार है।
• वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी (एनबीजी) पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी का एक कंजरवेटिव विस्तार है।
• आंतरिक सेट सिद्धांत पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का कंजरवेटिव विस्तार है।
• परिभाषाओं द्वारा विस्तार कंजरवेटिव हैं।
• अप्रतिबंधित विधेय या कार्य प्रतीकों द्वारा विस्तार कंजरवेटिव हैं।
• IΣ₁ (केवल Σ⁰₁-सूत्रों के लिए प्रेरण के साथ पीनो अंकगणित का एक उपतंत्र) आदिम पुनरावर्ती अंकगणित (पीआरए) का Π⁰₂-कंजरवेटिव विस्तार है।
• जेडएफ़सी शोएनफ़ील्ड के निरपेक्षता प्रमेय द्वारा ज़ेडएफ़ का Σ¹₃-कंजरवेटिव विस्तार है।
• निरंतर परिकल्पना के साथ जेडएफसी, जेडएफसी का Π²₁-कंजरवेटिव विस्तार है।

मॉडल-सिद्धांत संबंधी कंजरवेटिव विस्तार

मॉडल-सैद्धांतिक साधनों के साथ, मजबूत धारणा प्राप्त होती है: सिद्धांत $T_{1}$ का विस्तार $T_{2}$ मॉडल-सैद्धांतिक रूप से कंजरवेटिव है यदि $T_{1}\subseteq T_{2}$और $T_{1}$ के प्रत्येक मॉडल को $T_{2}$ के मॉडल में विस्तारित किया जा सकता है। उपरोक्त अर्थ में प्रत्येक मॉडल-सैद्धांतिक कंजरवेटिव विस्तार भी एक (सबूत-सैद्धांतिक) कंजरवेटिव विस्तार है। मॉडल-सैद्धांतिक धारणा का प्रमाण-सैद्धांतिक पर लाभ है कि यह भाषा पर इतना अधिक निर्भर नहीं करता है; दूसरी ओर, मॉडल-सैद्धांतिक कंजरवेटिव स्थापित करना सामान्यतः कठिन होता है।

यह भी देखें

• परिभाषाओं द्वारा विस्तार
• नए स्थिरांक और फ़ंक्शन नामों द्वारा विस्तार

बाहरी संबंध

• The importance of conservative extensions for the foundations of mathematics