विशिष्टता की अवलम्बित स्कीमा

"Axiom of separation" redirects here. For the separation axioms in topology, see separation axiom.

स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के कई लोकप्रिय संस्करणों में, विनिर्देश की स्वयंसिद्ध स्कीमा, जिसे पृथक्करण की स्वयंसिद्ध स्कीमा, सबसेट स्वयंसिद्ध योजना या प्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा के रूप में भी जाना जाता है, एक स्वयंसिद्ध स्कीमा है। अनिवार्य रूप से, यह कहता है कि किसी सेट का कोई निश्चित उपवर्ग (सेट सिद्धांत) एक सेट है।

कुछ गणितज्ञ इसे समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा कहते हैं, हालांकि अन्य उस शब्द का उपयोग अप्रतिबंधित समझ के लिए करते हैं, जिसकी चर्चा नीचे की गई है।

क्योंकि समझ को सीमित करने से रसेल के विरोधाभास से बचा गया, ज़र्मेलो, अब्राहम फ्रेंकेल और गोडेल समेत कई गणितज्ञों ने इसे सेट सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण स्वयंसिद्ध माना।

कथन

स्कीमा का एक उदाहरण x, w के बीच मुक्त चर के साथ सेट सिद्धांत की भाषा में प्रत्येक अच्छी तरह से गठित सूत्र φ के लिए शामिल है₁, ..., में_n, ए। तो बी φ में मुक्त नहीं होता है। समुच्चय सिद्धांत की औपचारिक भाषा में, स्वयंसिद्ध स्कीमा है:

$\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])$

या शब्दों में:

किसी भी सेट (गणित) ए को देखते हुए, अस्तित्वगत परिमाणीकरण एक सेट बी (ए का एक उपसमुच्चय) ऐसा है कि, किसी भी सेट एक्स को दिया गया है, एक्स बी का सदस्य है अगर और केवल अगर एक्स एक तार्किक संयोजन का सदस्य है, तो एक्स के लिए धारण करता है .

ध्यान दें कि ऐसे प्रत्येक विधेय (गणित) के लिए एक अभिगृहीत है φ; इस प्रकार, यह एक स्वयंसिद्ध स्कीमा है।

इस स्वयंसिद्ध स्कीमा को समझने के लिए, ध्यान दें कि सेट बी को ए का सबसेट होना चाहिए। इस प्रकार, स्वयंसिद्ध स्कीमा वास्तव में क्या कह रहा है, एक सेट ए और एक विधेय पी दिया गया है, हम ए का एक सबसेट बी पा सकते हैं जिसके सदस्य हैं ठीक A के सदस्य जो P को संतुष्ट करते हैं। विस्तार के स्वयंसिद्ध द्वारा यह सेट अद्वितीय है। हम आमतौर पर इस सेट को सेट-बिल्डर नोटेशन का उपयोग करके {C ∈ A : P(C)} के रूप में निरूपित करते हैं। इस प्रकार स्वयंसिद्ध का सार है:

समुच्चय का प्रत्येक उपवर्ग (समुच्चय सिद्धांत) जो एक विधेय द्वारा परिभाषित होता है, स्वयं एक समुच्चय होता है।

विनिर्देश की स्वयंसिद्ध स्कीमा सामान्य सेट सिद्धांत ZFC से संबंधित स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत की प्रणालियों की विशेषता है, लेकिन आमतौर पर [[वैकल्पिक सेट सिद्धांत]] की मौलिक रूप से भिन्न प्रणालियों में प्रकट नहीं होती है। उदाहरण के लिए, नई नींव और सकारात्मक सेट सिद्धांत भोले सेट थ्योरी की #अप्रतिबंधित समझ के विभिन्न प्रतिबंधों का उपयोग करते हैं। वोपेनका का वैकल्पिक सेट सिद्धांत सेट के उचित उपवर्गों की अनुमति देने का एक विशिष्ट बिंदु बनाता है, जिसे semiset कहा जाता है। ZFC से संबंधित प्रणालियों में भी, यह योजना कभी-कभी बंधे हुए क्वांटिफायर वाले फ़ार्मुलों तक सीमित होती है, जैसा कि क्रिपके-प्लेटक सेट थ्योरी विथ यूरेलेमेंट्स में होता है।

प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमा से संबंध

अलगाव की स्वयंसिद्ध योजना लगभग प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध योजना से प्राप्त की जा सकती है।

सबसे पहले, इस स्वयंसिद्ध स्कीमा को याद करें:

$\forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\iff \exists D\,[D\in A\land C=F(D)])$

किसी भी कार्यात्मक विधेय के लिए F एक चर (गणित) में है जो प्रतीकों A, B, C या D का उपयोग नहीं करता है। विशिष्टता के अभिगृहीत के लिए उपयुक्त विधेय P को देखते हुए, मानचित्रण F को F(D) = D द्वारा परिभाषित करें यदि P(D) सत्य है और F(D) = E यदि P(D) असत्य है, जहाँ E का कोई सदस्य है A ऐसा है कि P(E) सत्य है। फिर प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध द्वारा गारंटीकृत सेट B विनिर्देश के स्वयंसिद्ध के लिए आवश्यक सेट B है। एकमात्र समस्या यह है कि ऐसा कोई ई मौजूद नहीं है। लेकिन इस मामले में, अलगाव के स्वयंसिद्ध के लिए आवश्यक सेट बी खाली सेट है, इसलिए अलगाव का स्वयंसिद्ध प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध से एक साथ खाली सेट के स्वयंसिद्ध के साथ आता है।

इस कारण से, विशिष्टता के स्वयंसिद्ध स्कीमा को अक्सर ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों की आधुनिक सूची से बाहर रखा जाता है। हालांकि, यह अभी भी ऐतिहासिक विचारों के लिए महत्वपूर्ण है, और सेट सिद्धांत के वैकल्पिक स्वयंसिद्धों के साथ तुलना के लिए, जैसा कि निम्नलिखित अनुभागों में उदाहरण के लिए देखा जा सकता है।

अप्रतिबंधित समझ

See also: Basic Law V

अप्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा पढ़ता है:

$$\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))$$

वह है:

There exists a set B whose members are precisely those objects that satisfy the predicate φ.

यह सेट B फिर से अनूठा है, और आमतौर पर इसे के रूप में दर्शाया जाता है {x : φ(x, w₁, ..., w_b)}. एक सख्त स्वयंसिद्धता को अपनाने से पहले, इस स्वयंसिद्ध स्कीमा का उपयोग भोले-भाले सेट सिद्धांत के शुरुआती दिनों में मौन रूप से किया गया था। दुर्भाग्य से, यह लेने से सीधे रसेल के विरोधाभास की ओर जाता है φ(x) होना ¬(x ∈ x) (यानी, संपत्ति जो सेट करती है x स्वयं का सदस्य नहीं है)। इसलिए, समुच्चय सिद्धांत का कोई उपयोगी स्वसिद्धीकरण अप्रतिबंधित समझ का उपयोग नहीं कर सकता है। शास्त्रीय तर्क से अंतर्ज्ञानवादी तर्क में जाने से मदद नहीं मिलती है, क्योंकि रसेल के विरोधाभास का प्रमाण इंट्यूशनिस्टिक रूप से मान्य है।

विनिर्देश के केवल स्वयंसिद्ध स्कीमा को स्वीकार करना स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की शुरुआत थी। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल के अधिकांश अन्य अभिगृहीत (लेकिन विस्तार का अभिगृहीत नहीं, नियमितता का अभिगृहीत, या पसंद का अभिगृहीत नहीं) तब समझ के अभिगृहीत स्कीमा को अभिगृहीत स्कीमा में बदलकर जो कुछ खो गया था उसकी भरपाई करना आवश्यक हो गया। विशिष्टताओं का - इनमें से प्रत्येक अभिगृहीत बताता है कि एक निश्चित समुच्चय मौजूद है, और उस समुच्चय को उसके सदस्यों को संतुष्ट करने के लिए एक विधेय देकर परिभाषित करता है, अर्थात यह समझ के स्वयंसिद्ध स्कीमा का एक विशेष मामला है।

स्कीमा को असंगत होने से रोकने के लिए यह भी संभव है कि इसे किन फ़ार्मुलों पर लागू किया जा सकता है, जैसे कि न्यू फ़ाउंडेशन में केवल स्तरीकरण (गणित) फ़ार्मुलों (नीचे देखें) या केवल सकारात्मक फ़ार्मुलों (केवल संयोजन, संयोजन, मात्रा और मात्रा के साथ सूत्र) परमाणु सूत्र) सकारात्मक सेट सिद्धांत में। हालाँकि, सकारात्मक सूत्र आमतौर पर कुछ ऐसी चीजों को व्यक्त करने में असमर्थ होते हैं जो अधिकांश सिद्धांत कर सकते हैं; उदाहरण के लिए, सकारात्मक सेट सिद्धांत में कोई पूरक (सेट सिद्धांत) या सापेक्ष पूरक नहीं है।

एनबीजी वर्ग सिद्धांत में

वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत में, सेट और क्लास (सेट सिद्धांत) के बीच एक भेद किया जाता है। एक वर्ग C एक सेट है अगर और केवल अगर यह किसी वर्ग से संबंधित है E. इस सिद्धांत में, एक प्रमेय स्कीमा है जो पढ़ता है

$$\exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,$$

वह है,

There is a class D such that any class C is a member of D if and only if C is a set that satisfies P.

बशर्ते कि विधेय में परिमाणक हों P सेट तक ही सीमित हैं।

यह प्रमेय स्कीमा अपने आप में समझ का एक प्रतिबंधित रूप है, जो आवश्यकता के कारण रसेल के विरोधाभास से बचा जाता है C एक सेट हो। फिर सेट के लिए विनिर्देश स्वयं को एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिखा जा सकता है

$$\forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,$$

वह है,

Given any class D and any set A, there is a set B whose members are precisely those classes that are members of both A and D.

या और भी सरलता से

The intersection of a class D and a set A is itself a set B.

इस स्वयंसिद्ध में, विधेय P वर्ग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है D, जिसकी मात्रा निर्धारित की जा सकती है। एक और सरल स्वयंसिद्ध है जो समान प्रभाव प्राप्त करता है

$$\forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,$$

वह है,

A subclass of a set is a set.

उच्च-क्रम सेटिंग्स में

एक प्रकार की सिद्धांत भाषा में जहां हम विधेय पर मात्रा निर्धारित कर सकते हैं, विनिर्देशन का स्वयंसिद्ध स्कीमा एक सरल स्वयंसिद्ध बन जाता है। यह काफी हद तक वैसी ही तरकीब है जैसा कि पिछले खंड के एनबीजी स्वयंसिद्धों में इस्तेमाल किया गया था, जहां विधेय को एक वर्ग द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जिसे बाद में परिमाणित किया गया था।

दूसरे क्रम के तर्क और उच्च क्रम के तर्क में उच्च क्रम के शब्दार्थ के साथ, विनिर्देश का स्वयंसिद्ध एक तार्किक वैधता है और इसे सिद्धांत में स्पष्ट रूप से शामिल करने की आवश्यकता नहीं है।

क्वीन की नई नींव में

W.V.O. Quine द्वारा प्रतिपादित सिद्धांत सेट करने के लिए नई नींव के दृष्टिकोण में, किसी दिए गए विधेय के लिए समझ का स्वयंसिद्ध अप्रतिबंधित रूप लेता है, लेकिन स्कीमा में उपयोग किए जाने वाले विधेय स्वयं प्रतिबंधित हैं। विधेय (C इसमें नहीं है C) वर्जित है, क्योंकि वही प्रतीक है C सदस्यता प्रतीक के दोनों तरफ दिखाई देता है (और इसलिए विभिन्न सापेक्ष प्रकारों पर); इस प्रकार, रसेल के विरोधाभास से बचा जाता है। हालांकि, लेने से P(C) होना (C = C), जिसकी अनुमति है, हम सभी सेटों का एक सेट बना सकते हैं। विवरण के लिए, स्तरीकरण (गणित) देखें।

संदर्भ

• Crossley, J.bN.; Ash, C. J.; Brickhill, C. J.; Stillwell, J. C.; Williams, N. H. (1972). What is mathematical logic?. London-Oxford-New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-888087-1. Zbl 0251.02001.
• Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, New Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.