गुणनखंड प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 23:42, 15 March 2023

बीजगणित में, कारक प्रमेय बहुपद के फंक्शन के कारकों और शून्य को आपस में संयोजित करने वाली प्रमेय है। यह बहुपद शेष प्रमेय की विशेष स्थिति पर निर्भर करती है।^[1]

कारक प्रमेय यह बताती है कि बहुपद $f(x)$ $(x-\alpha )$ का कारक है जिसके लिए $f(\alpha )=0$ (अर्थात। $\alpha$ जड़ है) होना आवश्यक हैं।^[2]

बहुपदों का गुणनखंड

दो समस्याएँ यहाँ ऐसी हैं जिसमें गुणनखंडों के लिए उपयुक्त प्रमेय को सामान्य रूप से लागू किया जाता है, जिसमें मुख्य रूप से बहुपद का गुणनखण्ड और बहुपद समीकरण के मूल को ज्ञात करना आवश्यक होता हैं। इस प्रकार से इस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम प्राप्त होता है जिससे ये समस्याएं अनिवार्य रूप से समतुल्य हो जाती हैं।

कारक प्रमेय का उपयोग सभी अज्ञात शून्यों को उपयोग करते हुए बहुपद से ज्ञात होने वाले शून्य मानों को हटाने के लिए भी किया जाता है, इस प्रकार निम्न डिग्री बहुपद का उत्पादन होता है जिसका शून्य खोजना सरल होता है। संक्षेप में यह विधि इस प्रकार है:^[3]

शून्य के उम्मीदवार को $a$ बहुपद के लिए $f$ द्वारा इसके प्रमुख गुणांक $a_{n}$ और निरंतर अवधि $a_{0}$ से पृथक किया जाता हैं(तर्कसंगत मूल प्रमेय देखें।)
निष्कर्ष निकालने के लिए कारक प्रमेय का प्रयोग करें, जहाँ पर $(x-a)$ , $f(x)$ का कारक है।
बहुपद ${\textstyle g(x)={\frac {f(x)}{(x-a)}}}$ की गणना करें, उदाहरण के लिए बहुपद लंबे विभाजन या सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करना आवश्यक होता हैं।
निष्कर्ष निकालें कि कोई रूट $x\neq a$ का $f(x)=0$ का आधार $g(x)=0$ है, चूंकि बहुपद की डिग्री $g$ मुख्य रूप से $f$ से कम होती है, इसका अध्ययन करके शेष शून्यों को $g$ द्वारा खोजना सरल होता है।

बहुपद $f$ को प्रक्रिया द्वारा जारी रखना पूर्ण रूप से कारक पर निर्भर करता है, जिस पर इसके सभी कारक $\mathbb {R} [x]$ या $\mathbb {C} [x]$ अप्रासंगिक रूप से प्रयोग में लाए जाते हैं।

उदाहरण

$x^{3}+7x^{2}+8x+2.$ के कारक ज्ञात कीजिए, उपरोक्त बहुपद $p(x)$ का हल:

निरंतर पद = 2

गुणांक

x^{3}=1

2 के सभी संभावित कारक हैं $\pm 1$ और $\pm 2$ . स्थानापन्न $x=-1$ , जहाँ हम पाते हैं:

(-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=0

इसलिए, $(x-(-1))$ , अर्थात $(x+1)$ का कारक $p(x)$ है, इसे बांटने पर $p(x)$ द्वारा $(x+1)$ का मान प्राप्त होता हैं

भागफल =

x^{2}+6x+2

इस प्रकार $p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)$

इनमें से द्विघात कारक को द्विघात सूत्र का उपयोग करके और गुणनखण्ड द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो द्विघात आधार $-3\pm {\sqrt {7}}.$ के रूप में देता है, इस प्रकार मूल बहुपद के तीन बहुपद गुणनखंड $x+1,$ $x-(-3+{\sqrt {7}}),$ और $x-(-3-{\sqrt {7}}).$ होते हैं।

संदर्भ

↑ Sullivan, Michael (1996), Algebra and Trigonometry, Prentice Hall, p. 381, ISBN 0-13-370149-2.
↑ Sehgal, V K; Gupta, Sonal, Longman ICSE Mathematics Class 10, Dorling Kindersley (India), p. 119, ISBN 978-81-317-2816-1.
↑ Bansal, R. K., Comprehensive Mathematics IX, Laxmi Publications, p. 142, ISBN 81-7008-629-9.

[1] Sullivan, Michael (1996), Algebra and Trigonometry, Prentice Hall, p. 381, ISBN 0-13-370149-2.

[2] Sehgal, V K; Gupta, Sonal, Longman ICSE Mathematics Class 10, Dorling Kindersley (India), p. 119, ISBN 978-81-317-2816-1.

[3] Bansal, R. K., Comprehensive Mathematics IX, Laxmi Publications, p. 142, ISBN 81-7008-629-9.

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Polynomial has a factor (x-k) if and only if k is a root}}
-[[बीजगणित]] में, कारक [[प्रमेय]] [[बहुपद]] के समारोह के कारकों और शून्य को जोड़ने वाला प्रमेय है। यह [[बहुपद शेष प्रमेय]] का [[विशेष मामला]] है।<ref>{{citation|first=Michael|last=Sullivan|title=Algebra and Trigonometry|page=381|publisher=Prentice Hall|year=1996|isbn=0-13-370149-2}}.</ref>
+[[बीजगणित]] में, कारक [[प्रमेय]] [[बहुपद]] के फंक्शन के कारकों और शून्य को आपस में संयोजित करने वाली प्रमेय है। यह [[बहुपद शेष प्रमेय]] की [[विशेष मामला|विशेष स्थिति]] पर निर्भर करती है।<ref>{{citation|first=Michael|last=Sullivan|title=Algebra and Trigonometry|page=381|publisher=Prentice Hall|year=1996|isbn=0-13-370149-2}}.</ref>
-कारक प्रमेय बताता है कि बहुपद <math>f(x)</math> कारक है <math>(x - \alpha)</math> [[अगर और केवल अगर]] <math>f(\alpha)=0</math> (अर्थात। <math>\alpha</math> जड़ है)।<ref>{{citation|first1=V K|last1=Sehgal|first2=Sonal|last2=Gupta|title=Longman ICSE Mathematics Class 10|page=119|publisher=Dorling Kindersley (India)|isbn=978-81-317-2816-1}}.</ref>
+कारक प्रमेय यह बताती है कि बहुपद <math>f(x)</math> <math>(x - \alpha)</math> का कारक है जिसके लिए <math>f(\alpha)=0</math> (अर्थात। <math>\alpha</math> जड़ है) होना आवश्यक हैं।<ref>{{citation|first1=V K|last1=Sehgal|first2=Sonal|last2=Gupta|title=Longman ICSE Mathematics Class 10|page=119|publisher=Dorling Kindersley (India)|isbn=978-81-317-2816-1}}.</ref>
 == बहुपदों का गुणनखंड ==
-{{Main|Factorization of polynomials}}
+{{Main|बहुपदों का गुणनखंडन}}
-दो समस्याएँ जहाँ गुणनखंड प्रमेय सामान्यतः लागू होता है, बहुपद का गुणनखण्ड करना और बहुपद समीकरण के मूल ज्ञात करना; यह प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है कि ये समस्याएं अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं।
-कारक प्रमेय का उपयोग सभी अज्ञात शून्यों को बरकरार रखते हुए बहुपद से ज्ञात शून्य को हटाने के लिए भी किया जाता है, इस प्रकार निम्न डिग्री बहुपद का उत्पादन होता है जिसका शून्य खोजना आसान हो सकता है। संक्षेप में, विधि इस प्रकार है:<ref>{{citation|first=R. K.|last=Bansal|title=Comprehensive Mathematics IX|page=142|publisher=Laxmi Publications|isbn=81-7008-629-9}}.</ref>
+दो समस्याएँ यहाँ ऐसी हैं जिसमें गुणनखंडों के लिए उपयुक्त प्रमेय को सामान्य रूप से लागू किया जाता है, जिसमें मुख्य रूप से बहुपद का गुणनखण्ड और बहुपद समीकरण के मूल को ज्ञात करना आवश्यक होता हैं। इस प्रकार से इस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम प्राप्त होता है जिससे ये समस्याएं अनिवार्य रूप से समतुल्य हो जाती हैं।
-# शून्य के उम्मीदवार को घटाएं <math>a</math> बहुपद का <math>f</math> इसके प्रमुख गुणांक से <math>a_n</math> और निरंतर अवधि <math>a_0</math>. (तर्कसंगत मूल प्रमेय देखें।)
-# निष्कर्ष निकालने के लिए कारक प्रमेय का प्रयोग करें <math>(x-a)</math> का कारक है <math>f(x)</math>.
+कारक प्रमेय का उपयोग सभी अज्ञात शून्यों को उपयोग करते हुए बहुपद से ज्ञात होने वाले शून्य मानों को हटाने के लिए भी किया जाता है, इस प्रकार निम्न डिग्री बहुपद का उत्पादन होता है जिसका शून्य खोजना सरल होता है। संक्षेप में यह विधि इस प्रकार है:<ref>{{citation|first=R. K.|last=Bansal|title=Comprehensive Mathematics IX|page=142|publisher=Laxmi Publications|isbn=81-7008-629-9}}.</ref>
-# बहुपद की गणना करें <math display="inline"> g(x) = \frac{f(x)}{(x-a)} </math>, उदाहरण के लिए बहुपद लंबे विभाजन या [[सिंथेटिक विभाजन]] का उपयोग करना।
+# शून्य के उम्मीदवार को <math>a</math> बहुपद के लिए <math>f</math> द्वारा इसके प्रमुख गुणांक <math>a_n</math> और निरंतर अवधि <math>a_0</math> से पृथक किया जाता हैं(तर्कसंगत मूल प्रमेय देखें।)
-# निष्कर्ष निकालें कि कोई रूट <math>x \neq a</math> का <math>f(x)=0</math> की जड़ है <math>g(x)=0</math>. चूंकि बहुपद की डिग्री <math>g</math> से कम है <math>f</math>, अध्ययन करके शेष शून्यों को खोजना आसान है <math>g</math>.
+# निष्कर्ष निकालने के लिए कारक प्रमेय का प्रयोग करें, जहाँ पर <math>(x-a)</math>, <math>f(x)</math> का कारक है।
-बहुपद तक प्रक्रिया को जारी रखना <math>f</math> पूरी तरह से कारक है, जिस पर इसके सभी कारक अप्रासंगिक हैं <math>\mathbb{R}[x]</math> या <math>\mathbb{C}[x]</math>.
+# बहुपद <math display="inline"> g(x) = \frac{f(x)}{(x-a)} </math> की गणना करें, उदाहरण के लिए बहुपद लंबे विभाजन या [[सिंथेटिक विभाजन]] का उपयोग करना आवश्यक होता हैं।
+# निष्कर्ष निकालें कि कोई रूट <math>x \neq a</math> का <math>f(x)=0</math> का आधार <math>g(x)=0</math> है, चूंकि बहुपद की डिग्री <math>g</math> मुख्य रूप से <math>f</math> से कम होती है, इसका अध्ययन करके शेष शून्यों को <math>g</math> द्वारा खोजना सरल होता है।
+बहुपद <math>f</math> को प्रक्रिया द्वारा जारी रखना पूर्ण रूप से कारक पर निर्भर करता है, जिस पर इसके सभी कारक <math>\mathbb{R}[x]</math> या <math>\mathbb{C}[x]</math> अप्रासंगिक रूप से प्रयोग में लाए जाते हैं।
 === उदाहरण ===
-के कारक ज्ञात कीजिए <math>x^3 + 7x^2 + 8x + 2.</math>
+<math>x^3 + 7x^2 + 8x + 2.</math> के कारक ज्ञात कीजिए, उपरोक्त बहुपद <math>p(x)</math> का हल:
-हल: चलो <math>p(x)</math> उपरोक्त बहुपद हो
 :निरंतर पद = 2
-: का गुणांक <math>x^3=1 </math>
+: गुणांक <math>x^3=1 </math>
-के सभी संभावित कारक हैं <math>\pm 1</math> और <math>\pm 2 </math>. स्थानापन्न <math>x=-1</math>, हम पाते हैं:
+के सभी संभावित कारक हैं <math>\pm 1</math> और <math>\pm 2 </math>. स्थानापन्न <math>x=-1</math>, जहाँ हम पाते हैं:
 :<math>(-1)^3 + 7(-1)^2 + 8(-1) + 2 = 0</math>
-इसलिए, <math>(x-(-1))</math>, अर्थात। <math>(x+1)</math> का कारक है <math>p(x)</math>. बांटने पर <math>p(x)</math> द्वारा <math>(x+1)</math>, हम पाते हैं
+इसलिए, <math>(x-(-1))</math>, अर्थात <math>(x+1)</math> का कारक <math>p(x)</math> है, इसे बांटने पर <math>p(x)</math> द्वारा <math>(x+1)</math> का मान प्राप्त होता हैं
 : भागफल = <math>x^2 + 6x + 2</math>
-इस तरह, <math>p(x)=(x^2 + 6x + 2)(x+1)</math>
+इस प्रकार  <math>p(x)=(x^2 + 6x + 2)(x+1)</math>
-इनमें से, द्विघात कारक को [[द्विघात सूत्र]] का उपयोग करके और गुणनखण्ड किया जा सकता है, जो द्विघात की जड़ों के रूप में देता है <math>-3\pm \sqrt{7}.</math> इस प्रकार मूल बहुपद के तीन बहुपद गुणनखंड हैं <math>x+1, </math> <math>x-(-3+\sqrt{7}),</math> और <math>x-(-3-\sqrt{7}).</math>
+इनमें से द्विघात कारक को [[द्विघात सूत्र]] का उपयोग करके और गुणनखण्ड द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो द्विघात आधार <math>-3\pm \sqrt{7}.</math> के रूप में देता है, इस प्रकार मूल बहुपद के तीन बहुपद गुणनखंड <math>x+1, </math> <math>x-(-3+\sqrt{7}),</math> और <math>x-(-3-\sqrt{7}).</math> होते हैं।
 ==संदर्भ==
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