रिकाटी समीकरण

गणित में, सबसे संकीर्ण अर्थ में एक रिकाटी समीकरण किसी भी प्रथम-क्रम का सामान्य अवकल समीकरण है जो अज्ञात फलन में द्विघात फलन है। दूसरे शब्दों में, यह रूप का एक समीकरण है

$y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y(x)+q_{2}(x)\,y^{2}(x)$

कहाँ $q_{0}(x)\neq 0$ और $q_{2}(x)\neq 0$. अगर $q_{0}(x)=0$ समीकरण बरनौली अवकल समीकरण में बदल जाता है, जबकि अगर $q_{2}(x)=0$ समीकरण प्रथम कोटि का रैखिक साधारण अवकल समीकरण बन जाता है।

समीकरण का नाम याकूब रिकाती (1676-1754) के नाम पर रखा गया है। अधिक आम तौर पर, रिकाटी समीकरण शब्द का उपयोग मैट्रिक्स अंतर समीकरण#नॉनलाइनियर मैट्रिक्स अंतर समीकरणों को संदर्भित करने के लिए किया जाता है: एक अनुरूप द्विघात शब्द के साथ रिकाटी समीकरण, जो निरंतर-समय और असतत-समय रैखिक-द्विघात-गॉसियन नियंत्रण दोनों में होते हैं। इनके स्थिर-अवस्था (गैर-गतिशील) संस्करण को बीजगणितीय रिकाटी समीकरण कहा जाता है।

दूसरे क्रम के रैखिक समीकरण में रूपांतरण

गैर-रैखिक रिकाटी समीकरण को हमेशा दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अंतर समीकरण (ODE) में परिवर्तित किया जा सकता है: अगर

$y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!$

फिर, कहीं भी $q_{2}$ शून्येतर और अवकलनीय है, $v=yq_{2}$ रूप के रिकाटी समीकरण को संतुष्ट करता है

$v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!$

कहाँ $S=q_{2}q_{0}$ और $R=q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}$, क्योंकि

$v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!$

स्थानापन्न $v=-u'/u$, यह इस प्रकार है कि $u$ रैखिक द्वितीय क्रम ODE को संतुष्ट करता है

$u''-R(x)u'+S(x)u=0\!$

तब से

$v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!$

ताकि

$u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!$

और इसलिए

$u''-Ru'+Su=0.\!$

इस समीकरण के हल से समाधान निकलेगा $y=-u'/(q_{2}u)$ मूल रिकाटी समीकरण का।

श्वार्जियन समीकरण के लिए आवेदन

  रिकाटी समीकरण का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग तीसरे क्रम के श्वार्जियन व्युत्पन्न  के लिए है

$S(w):=(w''/w')'-(w''/w')^{2}/2=f$

जो अनुरूप मानचित्रण और असमान कार्य के सिद्धांत में होता है। इस मामले में ओडीई जटिल डोमेन में हैं और भेदभाव एक जटिल चर के संबंध में है। (श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न $S(w)$ उल्लेखनीय संपत्ति है कि यह मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन के तहत अपरिवर्तनीय है, यानी $S((aw+b)/(cw+d))=S(w)$ जब कभी भी $ad-bc$ गैर-शून्य है।) कार्य $y=w''/w'$ रिकाटी समीकरण को संतुष्ट करता है

$y'=y^{2}/2+f.$

उपरोक्त द्वारा $y=-2u'/u$ कहाँ $u$ रैखिक ODE का एक समाधान है

$u''+(1/2)fu=0.$

तब से $w''/w'=-2u'/u$, एकीकरण देता है $w'=C/u^{2}$ कुछ स्थिर के लिए $C$. दूसरी ओर कोई अन्य स्वतंत्र समाधान $U$ रैखिक ODE का निरंतर गैर-शून्य व्रोनस्कियन है $U'u-Uu'$ जिसे माना जा सकता है $C$ स्केलिंग के बाद। इस प्रकार

$w'=(U'u-Uu')/u^{2}=(U/u)'$

ताकि श्वार्जियन समीकरण का हल हो $w=U/u.$

चतुर्भुज द्वारा समाधान प्राप्त करना

रिकाटी समीकरणों और दूसरे क्रम के रैखिक ODEs के बीच पत्राचार के अन्य परिणाम हैं। उदाहरण के लिए, यदि दूसरे क्रम के ODE का एक समाधान ज्ञात है, तो यह ज्ञात है कि एक अन्य समाधान चतुर्भुज, यानी एक साधारण एकीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। रिकाटी समीकरण के लिए भी यही सच है। वास्तव में, यदि एक विशेष समाधान $y_{1}$ पाया जा सकता है, सामान्य समाधान के रूप में प्राप्त किया जाता है

$y=y_{1}+u$

स्थानापन्न

$y_{1}+u$

रिकाटी समीकरण में पैदावार होती है

$y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},$

और तबसे

$y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2},$

यह इस प्रकार है कि

$u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}$

या

$u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},$

जो एक बरनौली अवकल समीकरण है। इस बरनौली समीकरण को हल करने के लिए आवश्यक प्रतिस्थापन है

$z={\frac {1}{u}}$

स्थानापन्न

$y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$

सीधे रिकाटी समीकरण में रैखिक समीकरण प्राप्त होता है

$z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}$

रिकाटी समीकरण के समाधान का एक सेट इसके द्वारा दिया गया है

$y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$

जहाँ z पूर्वोक्त रैखिक समीकरण का सामान्य हल है।

यह भी देखें

• रैखिक-द्विघात नियामक
• बीजगणितीय रिकाटी समीकरण
• रेखीय-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण#समस्या और समाधान का गणितीय विवरण|रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण

अग्रिम पठन

• Hille, Einar (1997) [1976], Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0
• Nehari, Zeev (1975) [1952], Conformal Mapping, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61137-X
• Polyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003), Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd ed.), Boca Raton, Fla.: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-297-2
• Zelikin, Mikhail I. (2000), Homogeneous Spaces and the Riccati Equation in the Calculus of Variations, Berlin: Springer-Verlag
• Reid, William T. (1972), Riccati Differential Equations, London: Academic Press

बाहरी संबंध

• "Riccati equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Riccati Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Riccati Differential Equation at Mathworld
• MATLAB function for solving continuous-time algebraic Riccati equation.
• SciPy has functions for solving the continuous algebraic Riccati equation and the discrete algebraic Riccati equation.