सामान्य बंद (समूह सिद्धांत): Difference between revisions

Revision as of 22:52, 14 February 2023

समूह सिद्धांत में, एक सबसेट का सामान्य बंद होना $S$ एक समूह की (गणित) $G$ का सबसे छोटा सामान्य उपसमूह है $G$ युक्त $S.$

गुण और विवरण

औपचारिक रूप से, यदि $G$ समूह है और $S$ का उपसमुच्चय है $G,$ सामान्य बंद $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ का $S$ के सभी सामान्य उपसमूहों का प्रतिच्छेदन है $G$ युक्त $S$ :^[1]

\operatorname {ncl} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.

सामान्य बंद

\operatorname {ncl} _{G}(S)

का सबसे छोटा सामान्य उपसमूह है

G

युक्त

S,

^[1]इस अर्थ में कि

\operatorname {ncl} _{G}(S)

के प्रत्येक सामान्य उपसमूह का उपसमुच्चय है

G

उसमें सम्मिलित है

S.

उपसमूह $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ सेट के माध्यम से समूह का सेट उत्पन्न कर रहा है $S^{G}=\{s^{g}:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}$ के तत्वों के सभी संयुग्मन वर्ग की $S$ में $G.$

इसलिए कोई भी लिख सकता है

\operatorname {ncl} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\dots g_{n}^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i}\in G\}.

कोई भी सामान्य उपसमूह उसके सामान्य बंद होने के बराबर है। खाली सेट का संयुग्म बंद होना

\varnothing

तुच्छ उपसमूह है।^[2] साहित्य में सामान्य बंद करने के लिए कई अन्य नोटेशन का उपयोग किया जाता है, जिनमें सम्मलित हैं

\langle S^{G}\rangle ,

\langle S\rangle ^{G},

\langle \langle S\rangle \rangle _{G},

और

\langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.

सामान्य बंद की अवधारणा के लिए दोहरी है सामान्य इंटीरियर या सामान्य कोर, इसमें निहित सभी सामान्य उपसमूहों के सम्मलित होने के रूप में परिभाषित किया गया है $S.$ ^[3]

समूह प्रस्तुतियाँ

एक समूह के लिए $G$ एक समूह की प्रस्तुति के माध्यम से दिया गया $G=\langle S\mid R\rangle$ जनरेटर के साथ $S$ और रिपोर्टर्स को परिभाषित करना $R,$ प्रेजेंटेशन नोटेशन का अर्थ है कि $G$ भागफल समूह है $G=F(S)/\operatorname {ncl} _{F(S)}(R),$ कहाँ $F(S)$ पर एक निःशुल्क समूह है $S.$ ^[4]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Derek F. Holt; Bettina Eick; Eamonn A. O'Brien (2005). Handbook of Computational Group Theory. CRC Press. p. 14. ISBN 1-58488-372-3.
↑ Rotman, Joseph J. (1995). An introduction to the theory of groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 148 (Fourth ed.). New York: Springer-Verlag. p. 32. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 0-387-94285-8. MR 1307623.
↑ Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 80 (2nd ed.). Springer-Verlag. p. 16. ISBN 0-387-94461-3. Zbl 0836.20001.
↑ Lyndon, Roger C.; Schupp, Paul E. (2001). Combinatorial group theory. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin. p. 87. ISBN 3-540-41158-5. MR 1812024.

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[HEOB-1] 1.0 ^1.1 Derek F. Holt; Bettina Eick; Eamonn A. O'Brien (2005). Handbook of Computational Group Theory. CRC Press. p. 14. ISBN 1-58488-372-3.

[2] Rotman, Joseph J. (1995). An introduction to the theory of groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 148 (Fourth ed.). New York: Springer-Verlag. p. 32. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 0-387-94285-8. MR 1307623.

[3] Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 80 (2nd ed.). Springer-Verlag. p. 16. ISBN 0-387-94461-3. Zbl 0836.20001.

[4] Lyndon, Roger C.; Schupp, Paul E. (2001). Combinatorial group theory. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin. p. 87. ISBN 3-540-41158-5. MR 1812024.

[1]

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[3]

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 {{short description|Smallest normal group containing a set}}
-{{About|the normal closure of a subset of a group|the normal closure of a field extension|Normal closure (field theory)}}
+{{About|एक समूह के एक सबसेट का सामान्य बंद होना|एक क्षेत्र विस्तार का सामान्य बंद होना|सामान्य बंद (क्षेत्र सिद्धांत)}}
 {{Group theory sidebar}}
 [[समूह सिद्धांत]] में, एक [[सबसेट]] का सामान्य बंद होना <math>S</math> एक समूह की (गणित) <math>G</math> का सबसे छोटा [[सामान्य उपसमूह]] है <math>G</math> युक्त <math>S.</math>
@@ Line 7: / Line 7: @@
 == गुण और विवरण ==
-औपचारिक रूप से, यदि <math>G</math> एक समूह है और <math>S</math> का उपसमुच्चय है <math>G,</math> सामान्य बंद <math>\operatorname{ncl}_G(S)</math> का <math>S</math> के सभी सामान्य उपसमूहों का प्रतिच्छेदन है <math>G</math> युक्त <math>S</math>:<ref name=HEOB>{{cite book|title=Handbook of Computational Group Theory|author=Derek F. Holt|author2=Bettina Eick|author3=Eamonn A. O'Brien|publisher=CRC Press|year=2005|isbn=1-58488-372-3|page=[https://archive.org/details/handbookofcomput0000holt/page/14 14]|url=https://archive.org/details/handbookofcomput0000holt/page/14}}</ref>
+औपचारिक रूप से, यदि <math>G</math> समूह है और <math>S</math> का उपसमुच्चय है <math>G,</math> सामान्य बंद <math>\operatorname{ncl}_G(S)</math> का <math>S</math> के सभी सामान्य उपसमूहों का प्रतिच्छेदन है <math>G</math> युक्त <math>S</math>:<ref name=HEOB>{{cite book|title=Handbook of Computational Group Theory|author=Derek F. Holt|author2=Bettina Eick|author3=Eamonn A. O'Brien|publisher=CRC Press|year=2005|isbn=1-58488-372-3|page=[https://archive.org/details/handbookofcomput0000holt/page/14 14]|url=https://archive.org/details/handbookofcomput0000holt/page/14}}</ref>
 <math display="block">\operatorname{ncl}_G(S) = \bigcap_{S \subseteq N \triangleleft G} N.</math>
 सामान्य बंद <math>\operatorname{ncl}_G(S)</math> का सबसे छोटा सामान्य उपसमूह है <math>G</math> युक्त <math>S,</math><ref name="HEOB" />इस अर्थ में कि <math>\operatorname{ncl}_G(S)</math> के प्रत्येक सामान्य उपसमूह का उपसमुच्चय है <math>G</math> उसमें सम्मिलित है <math>S.</math>
-उपसमूह <math>\operatorname{ncl}_G(S)</math> सेट द्वारा समूह का सेट उत्पन्न कर रहा है <math>S^G=\{s^g : g\in G\} = \{g^{-1}sg : g\in G\}</math> के तत्वों के सभी Conjugacy वर्ग की <math>S</math> में <math>G.</math>
+उपसमूह <math>\operatorname{ncl}_G(S)</math> सेट  के माध्यम से समूह का सेट उत्पन्न कर रहा है <math>S^G=\{s^g : g\in G\} = \{g^{-1}sg : g\in G\}</math> के तत्वों के सभी संयुग्मन वर्ग की <math>S</math> में <math>G.</math>
 इसलिए कोई भी लिख सकता है
 <math display="block">\operatorname{ncl}_G(S) = \{g_1^{-1}s_1^{\epsilon_1} g_1\dots g_n^{-1}s_n^{\epsilon_n}g_n : n \geq 0, \epsilon_i = \pm 1, s_i\in S, g_i \in G\}.</math>
 कोई भी सामान्य उपसमूह उसके सामान्य बंद होने के बराबर है। [[खाली सेट]] का संयुग्म बंद होना <math>\varnothing</math> [[तुच्छ उपसमूह]] है।<ref>{{cite book|last1=Rotman|first1=Joseph J.|title=An introduction to the theory of groups|series=Graduate Texts in Mathematics|date=1995|volume=148|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=New York|isbn=0-387-94285-8|page=32|edition=Fourth|url=https://www.google.com/books/edition/_/7-bBoQEACAAJ?hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwid46mc6MvwAhVDEVkFHV_MCBYQre8FMAB6BAgDEDI|mr=1307623|doi=10.1007/978-1-4612-4176-8}}</ref>
-साहित्य में सामान्य बंद करने के लिए कई अन्य नोटेशन का उपयोग किया जाता है, जिनमें शामिल हैं <math>\langle S^G\rangle,</math> <math>\langle S\rangle^G,</math> <math>\langle \langle S\rangle\rangle_G,</math> और <math>\langle\langle S\rangle\rangle^G.</math>
+साहित्य में सामान्य बंद करने के लिए कई अन्य नोटेशन का उपयोग किया जाता है, जिनमें सम्मलित हैं <math>\langle S^G\rangle,</math> <math>\langle S\rangle^G,</math> <math>\langle \langle S\rangle\rangle_G,</math> और <math>\langle\langle S\rangle\rangle^G.</math>
-सामान्य बंद की अवधारणा के लिए दोहरी है {{em|normal interior}} या {{em|[[normal core]]}}, इसमें निहित सभी सामान्य उपसमूहों के शामिल होने के रूप में परिभाषित किया गया है <math>S.</math><ref>{{cite book|title=A Course in the Theory of Groups|volume=80|series=Graduate Texts in Mathematics|first=Derek J. S.|last=Robinson|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1996|isbn=0-387-94461-3|zbl=0836.20001|edition=2nd|page=16 }}</ref>
+सामान्य बंद की अवधारणा के लिए दोहरी है {{em|सामान्य इंटीरियर}} या {{em|[[सामान्य कोर]]}}, इसमें निहित सभी सामान्य उपसमूहों के सम्मलित होने के रूप में परिभाषित किया गया है <math>S.</math><ref>{{cite book|title=A Course in the Theory of Groups|volume=80|series=Graduate Texts in Mathematics|first=Derek J. S.|last=Robinson|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1996|isbn=0-387-94461-3|zbl=0836.20001|edition=2nd|page=16 }}</ref>
 == समूह प्रस्तुतियाँ ==
-एक समूह के लिए <math>G</math> [[एक समूह की प्रस्तुति]] द्वारा दिया गया <math>G=\langle S \mid R\rangle</math> जनरेटर के साथ <math>S</math> और [[रिपोर्टर]]्स को परिभाषित करना <math>R,</math> प्रेजेंटेशन नोटेशन का मतलब है कि <math>G</math> [[भागफल समूह]] है <math>G = F(S) / \operatorname{ncl}_{F(S)}(R),</math> कहाँ <math>F(S)</math> पर एक निःशुल्क समूह है <math>S.</math><ref>
+एक समूह के लिए <math>G</math> [[एक समूह की प्रस्तुति]]  के माध्यम से दिया गया <math>G=\langle S \mid R\rangle</math> जनरेटर के साथ <math>S</math> और [[रिपोर्टर]]्स को परिभाषित करना <math>R,</math> प्रेजेंटेशन नोटेशन का अर्थ है कि <math>G</math> [[भागफल समूह]] है <math>G = F(S) / \operatorname{ncl}_{F(S)}(R),</math> कहाँ <math>F(S)</math> पर एक निःशुल्क समूह है <math>S.</math><ref>
 {{cite book|last1=Lyndon|first1=Roger C.|author1-link=Roger Lyndon|last2=Schupp|first2=Paul E.|authorlink2=Paul Schupp|isbn=3-540-41158-5|mr=1812024|page=87|publisher=Springer-Verlag, Berlin|series=Classics in Mathematics|title=Combinatorial group theory|url=https://books.google.com/books?id=cOLrCAAAQBAJ|year=2001}}
 </ref>

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