आधा-पूर्णांक: Difference between revisions

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गणित में, आधा पूर्णांक [[संख्या]] का एक रूप है
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<math display=block>n + \tfrac{1}{2},</math>
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कहाँ <math>n</math> एक पूर्ण संख्या है। उदाहरण के लिए,
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  <math display=block>4\tfrac12,\quad 7/2,\quad -\tfrac{13}{2},\quad 8.5</math>
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सभी अर्ध-पूर्णांक हैं। आधा-पूर्णांक नाम शायद भ्रामक है, क्योंकि सेट को 1 जैसी संख्याओं को शामिल करने के लिए गलत समझा जा सकता है (आधा पूर्णांक 2 होना)। पूर्णांक-प्लस-आधा जैसा नाम अधिक सटीक हो सकता है, लेकिन भले ही शाब्दिक रूप से सत्य न हो, आधा पूर्णांक पारंपरिक शब्द है।{{citation needed|date=February 2020}} गणित और क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-पूर्णांक अक्सर पर्याप्त होते हैं कि एक अलग शब्द सुविधाजनक होता है।
सभी अर्ध-पूर्णांक हैं। आधा-पूर्णांक नाम संभवतः भ्रामक है, क्योंकि सेट को 1 जैसी संख्याओं को सम्मलित करने के लिए गलत समझा जा सकता है (आधा पूर्णांक 2 होना)। पूर्णांक-प्लस-आधा जैसा नाम अधिक त्रुटिहीन हो सकता है, किन्तु होने पर भी शाब्दिक रूप से सत्य न हो, आधा पूर्णांक पारंपरिक शब्द है।{{citation needed|date=February 2020}} गणित और क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-पूर्णांक अधिकांशतः पर्याप्त होते हैं कि एक अलग शब्द सुविधाजनक होता है।


ध्यान दें कि एक पूर्णांक को आधा करने से हमेशा एक आधा पूर्णांक नहीं बनता है; यह केवल [[विषम पूर्णांक]]ों के लिए सत्य है। इस कारण से, आधे-पूर्णांकों को कभी-कभी आधा-विषम-पूर्णांक भी कहा जाता है। अर्ध-पूर्णांक द्विअर्थी परिमेय संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं (एक पूर्णांक को दो की घात से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाली संख्याएँ)।<ref>{{cite book |first=Malcolm |last=Sabin |year=2010 |title=Analysis and Design of Univariate Subdivision Schemes |volume=6 |series=Geometry and Computing |publisher=Springer |isbn=9783642136481 |page=51 |url=https://books.google.com/books?id=18UC7d7h0LQC&pg=PA51}}</ref>
ध्यान दें कि एक पूर्णांक को आधा करने से हमेशा एक आधा पूर्णांक नहीं बनता है; यह एकमात्र [[विषम पूर्णांक]]ों के लिए सत्य है। इस कारण से, आधे-पूर्णांकों को कभी-कभी आधा-विषम-पूर्णांक भी कहा जाता है। अर्ध-पूर्णांक द्विअर्थी परिमेय संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं (एक पूर्णांक को दो की घात से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाली संख्याएँ)।<ref>{{cite book |first=Malcolm |last=Sabin |year=2010 |title=Analysis and Design of Univariate Subdivision Schemes |volume=6 |series=Geometry and Computing |publisher=Springer |isbn=9783642136481 |page=51 |url=https://books.google.com/books?id=18UC7d7h0LQC&pg=PA51}}</ref>




== अंकन और बीजगणितीय संरचना ==
== अंकन और बीजगणितीय संरचना ==
सभी अर्ध-पूर्णांकों के समुच्चय (गणित) को अक्सर निरूपित किया जाता है
सभी अर्ध-पूर्णांकों के समुच्चय (गणित) को अधिकांशतः निरूपित किया जाता है
<math display=block>\mathbb Z + \tfrac{1}{2} \quad = \quad \left( \tfrac{1}{2} \mathbb Z \right) \smallsetminus \mathbb Z ~.</math>
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जोड़ संक्रिया के अंतर्गत पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मिलकर एक [[समूह (गणित)]] बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जा सकता है<ref>{{cite book |first=Vladimir G. |last=Turaev |year=2010 |title=Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds |edition=2nd |series=De Gruyter Studies in Mathematics |volume=18 |publisher=Walter de Gruyter |isbn=9783110221848 |page=390}}</ref>
जोड़ संक्रिया के अंतर्गत पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मिलकर एक [[समूह (गणित)]] बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जा सकता है<ref>{{cite book |first=Vladimir G. |last=Turaev |year=2010 |title=Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds |edition=2nd |series=De Gruyter Studies in Mathematics |volume=18 |publisher=Walter de Gruyter |isbn=9783110221848 |page=390}}</ref>
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हालाँकि, ये संख्याएँ एक वलय (गणित) नहीं बनाती हैं क्योंकि दो अर्ध-पूर्णांकों का गुणनफल अक्सर आधा-पूर्णांक नहीं होता है; उदा. <math>~\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} ~=~ \tfrac{1}{4} ~ \notin ~ \tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.</math><ref>{{cite book |first1=George |last1=Boolos |first2=John P. |last2=Burgess |first3=Richard C. |last3=Jeffrey |year=2002 |title=Computability and Logic |page=105 |publisher=Cambridge University Press |isbn=9780521007580 |url=https://books.google.com/books?id=0LpsXQV2kXAC&pg=PA105}}</ref>
यद्यपि, ये संख्याएँ एक वलय (गणित) नहीं बनाती हैं क्योंकि दो अर्ध-पूर्णांकों का गुणनफल अधिकांशतः आधा-पूर्णांक नहीं होता है; उदा. <math>~\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} ~=~ \tfrac{1}{4} ~ \notin ~ \tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.</math><ref>{{cite book |first1=George |last1=Boolos |first2=John P. |last2=Burgess |first3=Richard C. |last3=Jeffrey |year=2002 |title=Computability and Logic |page=105 |publisher=Cambridge University Press |isbn=9780521007580 |url=https://books.google.com/books?id=0LpsXQV2kXAC&pg=PA105}}</ref>




== गुण ==
== गुण ==
*कुल मिलाकर <math>n</math> आधा-पूर्णांक एक आधा-पूर्णांक है यदि और केवल यदि <math>n</math> अजीब है। यह भी शामिल है <math>n=0</math> चूंकि खाली योग 0 आधा पूर्णांक नहीं है।
*कुल मिलाकर <math>n</math> आधा-पूर्णांक एक आधा-पूर्णांक है यदि और एकमात्र यदि <math>n</math> अजीब है। यह भी सम्मलित है <math>n=0</math> चूंकि खाली योग 0 आधा पूर्णांक नहीं है।
*आधे पूर्णांक का ऋणात्मक आधा पूर्णांक होता है।
*आधे पूर्णांक का ऋणात्मक आधा पूर्णांक होता है।
*आधे पूर्णांकों के सेट की [[प्रमुखता]] पूर्णांकों के बराबर होती है। यह पूर्णांकों से अर्ध-पूर्णांकों तक एक आक्षेप के अस्तित्व के कारण है: <math>f:x\to x+0.5</math>, कहाँ <math>x</math> एक पूर्णांक है
*आधे पूर्णांकों के सेट की [[प्रमुखता]] पूर्णांकों के बराबर होती है। यह पूर्णांकों से अर्ध-पूर्णांकों तक एक आक्षेप के अस्तित्व के कारण है: <math>f:x\to x+0.5</math>, कहाँ <math>x</math> एक पूर्णांक है
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=== क्षेत्र की मात्रा ===
=== क्षेत्र की मात्रा ===
यद्यपि [[कारख़ाने का]] फ़ंक्शन केवल पूर्णांक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है, इसे [[गामा समारोह]] का उपयोग करके आंशिक तर्कों तक बढ़ाया जा सकता है। आधे-पूर्णांकों के लिए गामा फलन एक n-बॉल|एक के आयतन के सूत्र का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। {{mvar|n}}त्रिज्या की आयामी गेंद <math>R</math>,<ref>{{cite web |title=Equation&nbsp;5.19.4 |website=NIST Digital Library of Mathematical Functions |url=http://dlmf.nist.gov/ |publisher=U.S. [[National Institute of Standards and Technology]] |id=Release&nbsp;1.0.6 |date=2013-05-06}}</ref>
यद्यपि [[कारख़ाने का]] फ़ंक्शन एकमात्र पूर्णांक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है, इसे [[गामा समारोह]] का उपयोग करके आंशिक तर्कों तक बढ़ाया जा सकता है। आधे-पूर्णांकों के लिए गामा फलन एक n-बॉल|एक के आयतन के सूत्र का एक महत्वपूर्ण भाग है। {{mvar|n}} त्रिज्या की आयामी गेंद <math>R</math>,<ref>{{cite web |title=Equation&nbsp;5.19.4 |website=NIST Digital Library of Mathematical Functions |url=http://dlmf.nist.gov/ |publisher=U.S. [[National Institute of Standards and Technology]] |id=Release&nbsp;1.0.6 |date=2013-05-06}}</ref>
<math display=block>V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n~.</math>
<math display=block>V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n~.</math>
अर्ध-पूर्णांक पर गामा फ़ंक्शन के मान पाई के वर्गमूल के पूर्णांक गुणक होते हैं:
अर्ध-पूर्णांक पर गामा फ़ंक्शन के मान पाई के वर्गमूल के पूर्णांक गुणक होते हैं:

Revision as of 22:23, 15 February 2023

गणित में, आधा पूर्णांक संख्या का एक रूप है

कहाँ एक पूर्ण संख्या है। उदाहरण के लिए,

सभी अर्ध-पूर्णांक हैं। आधा-पूर्णांक नाम संभवतः भ्रामक है, क्योंकि सेट को 1 जैसी संख्याओं को सम्मलित करने के लिए गलत समझा जा सकता है (आधा पूर्णांक 2 होना)। पूर्णांक-प्लस-आधा जैसा नाम अधिक त्रुटिहीन हो सकता है, किन्तु होने पर भी शाब्दिक रूप से सत्य न हो, आधा पूर्णांक पारंपरिक शब्द है।[citation needed] गणित और क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-पूर्णांक अधिकांशतः पर्याप्त होते हैं कि एक अलग शब्द सुविधाजनक होता है।

ध्यान दें कि एक पूर्णांक को आधा करने से हमेशा एक आधा पूर्णांक नहीं बनता है; यह एकमात्र विषम पूर्णांकों के लिए सत्य है। इस कारण से, आधे-पूर्णांकों को कभी-कभी आधा-विषम-पूर्णांक भी कहा जाता है। अर्ध-पूर्णांक द्विअर्थी परिमेय संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं (एक पूर्णांक को दो की घात से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाली संख्याएँ)।[1]


अंकन और बीजगणितीय संरचना

सभी अर्ध-पूर्णांकों के समुच्चय (गणित) को अधिकांशतः निरूपित किया जाता है

जोड़ संक्रिया के अंतर्गत पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मिलकर एक समूह (गणित) बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जा सकता है[2]
यद्यपि, ये संख्याएँ एक वलय (गणित) नहीं बनाती हैं क्योंकि दो अर्ध-पूर्णांकों का गुणनफल अधिकांशतः आधा-पूर्णांक नहीं होता है; उदा. [3]


गुण

  • कुल मिलाकर आधा-पूर्णांक एक आधा-पूर्णांक है यदि और एकमात्र यदि अजीब है। यह भी सम्मलित है चूंकि खाली योग 0 आधा पूर्णांक नहीं है।
  • आधे पूर्णांक का ऋणात्मक आधा पूर्णांक होता है।
  • आधे पूर्णांकों के सेट की प्रमुखता पूर्णांकों के बराबर होती है। यह पूर्णांकों से अर्ध-पूर्णांकों तक एक आक्षेप के अस्तित्व के कारण है: , कहाँ एक पूर्णांक है

उपयोग करता है

क्षेत्र पैकिंग

चार आयामों में इकाई क्षेत्रों की सबसे घनी जाली पैकिंग (डी 4 जाली कहलाती है। डी4 lattice) प्रत्येक बिंदु पर एक गोला रखता है जिसके निर्देशांक या तो सभी पूर्णांक हैं या सभी अर्ध-पूर्णांक हैं। यह पैकिंग हर्विट्ज़ पूर्णांकों से निकटता से संबंधित है: चतुष्कोण जिनके वास्तविक गुणांक या तो सभी पूर्णांक हैं या सभी आधे-पूर्णांक हैं।[4]


भौतिकी

भौतिकी में, पाउली बहिष्करण सिद्धांत का परिणाम उन कणों के रूप में फर्मियन की परिभाषा से होता है, जिनमें स्पिन (भौतिकी) होते हैं जो आधे-पूर्णांक होते हैं।[5] क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर का ऊर्जा स्तर आधा-पूर्णांक पर होता है और इस प्रकार इसकी न्यूनतम ऊर्जा शून्य नहीं होती है।[6]


क्षेत्र की मात्रा

यद्यपि कारख़ाने का फ़ंक्शन एकमात्र पूर्णांक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है, इसे गामा समारोह का उपयोग करके आंशिक तर्कों तक बढ़ाया जा सकता है। आधे-पूर्णांकों के लिए गामा फलन एक n-बॉल|एक के आयतन के सूत्र का एक महत्वपूर्ण भाग है। n त्रिज्या की आयामी गेंद ,[7]

अर्ध-पूर्णांक पर गामा फ़ंक्शन के मान पाई के वर्गमूल के पूर्णांक गुणक होते हैं:
कहाँ डबल फैक्टोरियल को दर्शाता है।

संदर्भ

  1. ↑ Sabin, Malcolm (2010). Analysis and Design of Univariate Subdivision Schemes. Geometry and Computing. Vol. 6. Springer. p. 51. ISBN 9783642136481.
  2. ↑ Turaev, Vladimir G. (2010). Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds. De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 18 (2nd ed.). Walter de Gruyter. p. 390. ISBN 9783110221848.
  3. ↑ Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). Computability and Logic. Cambridge University Press. p. 105. ISBN 9780521007580.
  4. ↑ Baez, John C. (2005). "Review On Quaternions and Octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry by John H. Conway and Derek A. Smith". Bulletin of the American Mathematical Society (book review). 42: 229–243. doi:10.1090/S0273-0979-05-01043-8.
  5. ↑ Mészáros, Péter (2010). The High Energy Universe: Ultra-high energy events in astrophysics and cosmology. Cambridge University Press. p. 13. ISBN 9781139490726.
  6. ↑ Fox, Mark (2006). Quantum Optics: An introduction. Oxford Master Series in Physics. Vol. 6. Oxford University Press. p. 131. ISBN 9780191524257.
  7. ↑ "Equation 5.19.4". NIST Digital Library of Mathematical Functions. U.S. National Institute of Standards and Technology. 2013-05-06. Release 1.0.6.
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