समाकलन का स्थिरांक: Difference between revisions

Revision as of 17:34, 5 April 2023

कलन विधि में, समाकलन का स्थिरांक, जिसे प्रायः $C$ (या $c$ ) निरूपित किया जाता है, यह एक स्थिर शब्द है जो किसी फलन के व्युत्पन्न या एंटिडेरिवेटिव $f(x)$ में जोड़ा जाता है, इसे इंगित करने के लिए अनिश्चितकालीन अभिन्न $f(x)$ (अर्थात, $f(x)$ के सभी प्रतिपक्षी का सेट (गणित)), एक जुड़े हुए सेट पर, केवल एक योज्य स्थिरांक तक परिभाषित किया गया है।^[1]^[2]^[3] यह स्थिरांक एंटीडेरिवेटिव्स के निर्माण में निहित अस्पष्टता को व्यक्त करता है।

अधिक विशेष रूप से, यदि कोई फलन $f(x)$ एक अंतराल (गणित) पर परिभाषित किया गया है, और $F(x)$ का प्रतिपक्षी $f(x)$ है , फिर $f(x)$ के सभी प्रतिपक्षी का सेट $f(x)$ फलनों द्वारा $F(x)+C$ दिया जाता है, जहाँ $C$ एक इच्छानुसार स्थिरांक है (जिसका अर्थ है कि $C$ का कोई भी मान $F(x)+C$ करना होगा जो कि एक वैध प्रतिपक्षी होगा)। इसी कारण से, अनिश्चित समाकल को प्रायः ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$ रूप में लिखा जाता है,^[4] हालांकि एकीकरण के स्थिरांक को कभी-कभी सरलता के लिए समाकलों की सूची में जोड़ा जा सकता है।

उत्पत्ति

किसी भी निरंतर फलन का व्युत्पन्न शून्य है। यदि एक बार किसी को एक प्रतिपक्षी $F(x)$ मिल जाता है तो एक फलन के लिए $f(x)$ , किसी स्थिरांक को जोड़ना या घटाना हमें एक और प्रतिपक्षी $C$ देगा, क्योंकि ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$ स्थिरांक यह व्यक्त करने का एक तरीका है कि कम से कम एक प्रतिपक्षी के साथ प्रत्येक फलन में उनकी अनंत संख्या होगी।

माना कि $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ और $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ दो हर जगह अलग-अलग फलन हो। ऐसी परिस्थिति में $F\,'(x)=G\,'(x)$ प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए वहाँ एक वास्तविक संख्या $C$ उपस्थित है, जिसका अर्थ है कि $F(x)-G(x)=C$ प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए प्रतिपक्षी $C$ देगा।

इसे सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें $[F(x)-G(x)]'=0$ , इसलिए $F-G$ , $F$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और $G$ निरंतर फलन द्वारा $0$ लक्ष्य को प्रमाणित करने के लिए कि एक हर जगह अलग-अलग फलन जिसका व्युत्पन्न सदैव शून्य होता है, वह स्थिर होना चाहिए।

एक वास्तविक संख्या $a$ चुनें, और $C=F(a)$ का मान ज्ञात करें, जो कि किसी भी X के लिए, कलन विधि का मौलिक प्रमेय, एक साथ इस धारणा के साथ कि व्युत्पन्न $F$ अदृश्य हो जाता है, जिसका अर्थ है

{\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\ dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}

जिससे यह प्रदर्शित हो रहा है कि $F$ एक निरंतर फलन है।

इस प्रमाण में दो तथ्य महत्वपूर्ण हैं। सबसे पहले, वास्तविक रेखा एक जुड़ा हुआ स्थान है। यदि वास्तविक रेखा जुड़ी नहीं होती, तो हम सदैव अपने निश्चित a से किसी दिए गए x में एकीकृत नहीं हो पाते। उदाहरण के लिए, यदि हम अंतराल [0,1] और [2,3] के मिलान बिंदु पर परिभाषित फलनों के लिए पूछें, और यदि वह 0 थे, तो 0 से 3 तक एकीकृत करना संभव नहीं होगा, क्योंकि फलन 1 और 2 के बीच अंतराल परिभाषित नहीं है। यहां दो स्थिरांक होंगे, एक फलन डोमेन के प्रत्येक संयुग्मित स्थान के लिए सामान्यतः, स्थिरांक को स्थानीय रूप से स्थिर फलनों के साथ बदलकर, हम इस प्रमेय को वियोजित किए गए डोमेन तक बढ़ा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एकीकरण के दो स्थिरांक हैं ${\textstyle \int dx/x}$ , और असीम रूप से कई के लिए ${\textstyle \int \tan x\,dx}$ , उदाहरण के लिए, 1/x के समाकल का सामान्य रूप है:^[5]^[6]

\int {\frac {dx}{x}}={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}

दूसरा, $F$ और $G$ हर जगह अलग-अलग माना जाता हैं। अगर $F$ और $G$ एक बिंदु पर भी अवकलनीय नहीं हैं, तो प्रमेय विफल हो सकता है। एक उदाहरण के रूप में, $F(x)$ हैवीसाइड स्टेप फलन मान लिया जाता है, जो कि x के ऋणात्मक मानों के लिए शून्य है और x के गैर-ऋणात्मक मानों के लिए 1 है, और मान लिया जाता है $G(x)=0$ कि व्युत्पत्ति $F$ शून्य है जहाँ इसे परिभाषित किया गया है, और इसका व्युत्पन्न $G$ है जो कि सदैव शून्य होता है। फिर भी यह स्पष्ट है कि $F$ और $G$ एक स्थिरांक से भिन्न नहीं है, भले ही यह मान लिया जाए $F$ और $G$ हर जगह निरंतर हैं और लगभग हर जगह अलग-अलग प्रमेय अभी भी विफल रहता है। उदाहरण के तौर पर $G=0$ लें, जो कि $F$ कैंटर फलन होने के लिए $G=0$ मान लिया जाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कोई इसका प्रतिपक्षी $\cos(x)$ खोजना चाहता है, ऐसा ही एक प्रतिपक्षी $\sin(x)$ है, और एक $\sin(x)+1$ है, एक तीसरा $\sin(x)-\pi$ है, इनमें से प्रत्येक का व्युत्पन्न $\cos(x)$ है, इसलिए वे सभी के विरोधी $\cos(x)$ हैं।

इससे यह पता चला है कि स्थिरांक जोड़ना और घटाना एकमात्र सुनम्यता है जो हमारे पास एक ही फलन के विभिन्न एंटीडेरिवेटिव खोजने में सहायक है। अर्थात्, सभी प्रतिपक्षी स्थिरांक तक समान होते हैं। इस तथ्य को व्यक्त करने के लिए हम $\cos(x)$ लिखते हैं:

\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.

उपरोक्त फलन की जगह $C$ एक संख्या से एक प्रतिपक्षी उत्पादन होगा। लेखन से $C$ हालांकि, एक संख्या के बजाय सभी संभावित प्रतिपक्षी का एक संक्षिप्त विवरण $\cos(x)$ प्राप्त होना $C$ एकीकरण का स्थिरांक कहा जाता है। यह आसानी से निर्धारित किया जाता है कि ये सभी फलन वास्तव में इसके विरोधी $\cos(x)$ हैं :

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}\sin(x)+{\frac {d}{dx}}C\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}

आवश्यकता

पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि स्थिरांक अनावश्यक है, क्योंकि इसे शून्य पर सेट किया जा सकता है। इसके अलावा, कलन विधि के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए निश्चित समाकलों का मूल्यांकन करते समय, स्थिरांक सदैव स्वयं के साथ रद्द हो जाएगा।

हालाँकि, स्थिरांक को शून्य पर सेट करने का प्रयास करना सदैव समझ में नहीं आता है। उदाहरण के लिए, $2\sin(x)\cos(x)$ कम से कम तीन अलग-अलग तरीकों से एकीकृत किया जा सकता है:

{\begin{alignedat}{4}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-\cos ^{2}(x)+C=&&\sin ^{2}(x)-1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)-{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+C\\\end{alignedat}}

तो सेटिंग $C$ शून्य पर अभी भी एक स्थिरांक जोड़ सकते हैं। इसका मतलब यह है कि, किसी दिए गए फलन के लिए, कोई सरल प्रतिपक्षी नहीं है।

सेटिंग के साथ एक और समस्या शून्य के बराबर यह है कि कभी-कभी हम एक ऐसे प्रतिपक्षी को खोजना चाहते हैं जिसका एक दिए गए बिंदु पर दिया गया मान $C$ हो (जैसा कि प्रारंभिक मूल्य समस्या में है)। उदाहरण के लिए, $\cos(x)$ का प्रतिपक्षी प्राप्त करने के लिए, जिसका x = π पर मान 100 है, तो का केवल एक मान $C$ है, जो कार्य करेगा (इस मामले में $C=100$ )। इसे सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें $[F(x)-G(x)]'=0$ , इसलिए $F-G$ , $F$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

अंतर समीकरणों की भाषा में इस प्रतिबंध को फिर से परिभाषित किया जा सकता है। किसी फलन का अनिश्चितकालीन $f(x)$ अभिन्न ढूँढना अवकल समीकरण को हल करने के समान है, ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$ किसी भी अंतर समीकरण के कई समाधान होंगे, और प्रत्येक स्थिरांक एक अच्छी तरह से प्रस्तुत प्रारंभिक मूल्य समस्या के अद्वितीय समाधान का प्रतिनिधित्व करता है। यह शर्त लगाना कि हमारा प्रतिअवकलज x = π पर मान 100 लेता है, एक प्रारंभिक शर्त है। प्रत्येक प्रारंभिक स्थिति एक और केवल एक मान से $C$ समानता रखती है, तो बिना $C$ के समस्या का समाधान संभव नहीं होगा।

अमूर्त बीजगणित से आने वाला एक और औचित्य है जिसमे कि वास्तविक संख्याओं पर सभी (उपयुक्त) वास्तविक-मूल्यवान फलनों का स्थान एक सदिश स्थल और अंतर संचालक है, ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ एक रैखिक संकारक है। परिचालक ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ किसी फलन को शून्य पर मैप करता है यदि वह फलन स्थिर है। परिणामतः, गिरी (बीजगणित) ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ सभी स्थिर फलनों का स्थान है। किसी दिए गए फलन की पूर्व-छवि खोजने के लिए अनिश्चितकालीन एकीकरण की मात्रा किसी दिए गए फलन के लिए कोई कैनोनिकल प्री-इमेज नहीं है, लेकिन ऐसी सभी प्री-इमेज का सेट एक सह समुच्चय बनाता है। एक स्थिरांक चुनना सहसमुच्चय के एक अवयव को चुनने के समान है। इस संदर्भ में, एक प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने की व्याख्या प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिए गए अधिसमतल में एक अवयव के रूप में की जाती है।

संदर्भ

↑ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
↑ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). गणना (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.
↑ "Definition of constant of integration | Dictionary.com". www.dictionary.com (in English). Retrieved 2020-08-14.
↑ Weisstein, Eric W. "एकीकरण का निरंतर". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-14.
↑ "Reader Survey: log|x| + C", Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012
↑ Banner, Adrian (2007). The calculus lifesaver : all the tools you need to excel at calculus. Princeton [u.a.]: Princeton University Press. p. 380. ISBN 978-0-691-13088-0.

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.

[2] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). गणना (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.

[3] "Definition of constant of integration | Dictionary.com". www.dictionary.com (in English). Retrieved 2020-08-14.

[4] Weisstein, Eric W. "एकीकरण का निरंतर". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-14.

[5] "Reader Survey: log|x| + C", Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012

[6] Banner, Adrian (2007). The calculus lifesaver : all the tools you need to excel at calculus. Princeton [u.a.]: Princeton University Press. p. 380. ISBN 978-0-691-13088-0.

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 {{Short description|Constant expressing ambiguity from indefinite integrals}}
-{{More citations needed|date=August 2020}}
+कलन विधि में, समाकलन का स्थिरांक, जिसे प्रायः <math>C</math> (या <math>c</math>) निरूपित किया जाता है, यह एक स्थिर शब्द है जो किसी फलन के [[ antiderivative |व्युत्पन्न या एंटिडेरिवेटिव]] <math>f(x)</math> में जोड़ा जाता है, इसे इंगित करने के लिए [[अनिश्चितकालीन अभिन्न]] <math>f(x)</math> (अर्थात, <math>f(x)</math> के सभी प्रतिपक्षी का [[सेट (गणित)]]), एक जुड़े हुए सेट पर, केवल एक योज्य स्थिरांक [[तक]] परिभाषित किया गया है।<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | author-link=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=0-495-01166-5 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | author-link=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=गणना| publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=0-547-16702-4}}</ref><ref>{{Cite web|title=Definition of constant of integration {{!}} Dictionary.com|url=https://www.dictionary.com/browse/constant-of-integration|access-date=2020-08-14|website=www.dictionary.com|language=en}}</ref> यह स्थिरांक एंटीडेरिवेटिव्स के निर्माण में निहित अस्पष्टता को व्यक्त करता है।
-कलन में, समाकलन का स्थिरांक, जिसे अक्सर निरूपित किया जाता है <math>C</math> (या <math>c</math>), एक स्थिर शब्द है जो किसी फ़ंक्शन के [[ antiderivative ]] में जोड़ा जाता है <math>f(x)</math> इंगित करने के लिए कि का [[अनिश्चितकालीन अभिन्न]] <math>f(x)</math> (यानी, के सभी प्रतिपक्षी का [[सेट (गणित)]]। <math>f(x)</math>), एक जुड़े हुए सेट पर, केवल एक योज्य स्थिरांक [[तक]] परिभाषित किया गया है।<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | author-link=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=0-495-01166-5 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | author-link=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=गणना| publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=0-547-16702-4}}</ref><ref>{{Cite web|title=Definition of constant of integration {{!}} Dictionary.com|url=https://www.dictionary.com/browse/constant-of-integration|access-date=2020-08-14|website=www.dictionary.com|language=en}}</ref> यह स्थिरांक एंटीडेरिवेटिव्स के निर्माण में निहित अस्पष्टता को व्यक्त करता है।
-अधिक विशेष रूप से, यदि कोई फ़ंक्शन <math>f(x)</math> एक [[अंतराल (गणित)]] पर परिभाषित किया गया है, और <math>F(x)</math> का प्रतिपक्षी है <math>f(x)</math>, फिर के सभी प्रतिपक्षी का सेट <math>f(x)</math> कार्यों द्वारा दिया जाता है <math>F(x) + C</math>, कहाँ <math>C</math> एक मनमाना स्थिरांक है (जिसका अर्थ है कि कोई भी मान <math>C</math> करना होगा <math>F(x) + C</math> एक वैध प्रतिपक्षी)। इसी कारण से, अनिश्चित समाकल को अक्सर इस रूप में लिखा जाता है <math display="inline">\int f(x) \, dx = F(x) + C</math>,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=एकीकरण का निरंतर|url=https://mathworld.wolfram.com/ConstantofIntegration.html|access-date=2020-08-14|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> हालांकि एकीकरण के स्थिरांक को कभी-कभी सरलता के लिए समाकलों की सूची में छोड़ा जा सकता है।
+अधिक विशेष रूप से, यदि कोई फलन <math>f(x)</math> एक [[अंतराल (गणित)]] पर परिभाषित किया गया है, और <math>F(x)</math> का प्रतिपक्षी <math>f(x)</math> है , फिर <math>f(x)</math> के सभी प्रतिपक्षी का सेट <math>f(x)</math> फलनों द्वारा <math>F(x) + C</math> दिया जाता है, जहाँ <math>C</math> एक इच्छानुसार स्थिरांक है (जिसका अर्थ है कि <math>C</math> का कोई भी मान <math>F(x) + C</math> करना होगा जो कि एक वैध प्रतिपक्षी होगा)। इसी कारण से, अनिश्चित समाकल को प्रायः <math display="inline">\int f(x) \, dx = F(x) + C</math> रूप में लिखा जाता है,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=एकीकरण का निरंतर|url=https://mathworld.wolfram.com/ConstantofIntegration.html|access-date=2020-08-14|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> हालांकि एकीकरण के स्थिरांक को कभी-कभी सरलता के लिए समाकलों की सूची में जोड़ा जा सकता है।
 == उत्पत्ति ==
-किसी भी निरंतर कार्य का व्युत्पन्न शून्य है। एक बार किसी को एक प्रतिपक्षी मिल जाता है <math>F(x)</math> एक समारोह के लिए <math>f(x)</math>, किसी स्थिरांक को जोड़ना या घटाना <math>C</math> हमें एक और प्रतिपक्षी देगा, क्योंकि <math display="inline">\frac{d}{dx}(F(x) + C) = \frac{d}{dx}F(x) + \frac{d}{dx}C = F'(x) = f(x)</math>. स्थिरांक यह व्यक्त करने का एक तरीका है कि कम से कम एक प्रतिपक्षी के साथ प्रत्येक कार्य में उनकी अनंत संख्या होगी।
+किसी भी निरंतर फलन का व्युत्पन्न शून्य है। यदि एक बार किसी को एक प्रतिपक्षी <math>F(x)</math> मिल जाता है तो एक फलन के लिए <math>f(x)</math>, किसी स्थिरांक को जोड़ना या घटाना हमें एक और प्रतिपक्षी <math>C</math> देगा, क्योंकि <math display="inline">\frac{d}{dx}(F(x) + C) = \frac{d}{dx}F(x) + \frac{d}{dx}C = F'(x) = f(x)</math> स्थिरांक यह व्यक्त करने का एक तरीका है कि कम से कम एक प्रतिपक्षी के साथ प्रत्येक फलन में उनकी अनंत संख्या होगी।
-होने देना <math>F:\R\to\R</math> और <math>G:\R\to\R</math> दो हर जगह अलग-अलग कार्य हो। लगता है कि <math>F\,'(x) = G\,'(x)</math> प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए। फिर वहाँ एक वास्तविक संख्या मौजूद है <math>C</math> ऐसा है कि <math>F(x) - G(x) = C</math> प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए।
+माना कि <math>F:\R\to\R</math> और <math>G:\R\to\R</math> दो हर जगह अलग-अलग फलन हो। ऐसी परिस्थिति में <math>F\,'(x) = G\,'(x)</math> प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए वहाँ एक वास्तविक संख्या <math>C</math> उपस्थित है, जिसका अर्थ है कि <math>F(x) - G(x) = C</math> प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए प्रतिपक्षी <math>C</math> देगा।
-इसे सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें <math>[F(x) - G(x)]' = 0</math>. इसलिए <math>F</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है <math>F-G</math>, और <math>G</math> निरंतर कार्य द्वारा <math>0</math>, लक्ष्य को साबित करने के लिए कि एक हर जगह अलग-अलग फ़ंक्शन जिसका व्युत्पन्न हमेशा शून्य होता है, स्थिर होना चाहिए:
+इसे सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें <math>[F(x) - G(x)]' = 0</math>, इसलिए <math>F-G</math>, <math>F</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और <math>G</math> निरंतर फलन द्वारा <math>0</math> लक्ष्य को प्रमाणित करने के लिए कि एक हर जगह अलग-अलग फलन जिसका व्युत्पन्न सदैव शून्य होता है, वह स्थिर होना चाहिए।
-एक वास्तविक संख्या चुनें <math>a</math>, और जाने <math>C = F(a)</math>. किसी भी एक्स के लिए, कलन का मौलिक प्रमेय, एक साथ इस धारणा के साथ कि व्युत्पन्न <math>F</math> गायब हो जाता है, जिसका अर्थ है
+एक वास्तविक संख्या <math>a</math> चुनें, और <math>C = F(a)</math> का मान ज्ञात करें, जो कि किसी भी X के लिए, कलन विधि का मौलिक प्रमेय, एक साथ इस धारणा के साथ कि व्युत्पन्न <math>F</math> अदृश्य हो जाता है, जिसका अर्थ है
 : <math>\begin{align}
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 & F(x)=C               \\
 \end{align}</math>
-जिससे यह प्रदर्शित हो रहा है <math>F</math> एक निरंतर कार्य है।
+जिससे यह प्रदर्शित हो रहा है कि <math>F</math> एक निरंतर फलन है।
-इस प्रमाण में दो तथ्य महत्वपूर्ण हैं। सबसे पहले, वास्तविक रेखा [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] है। यदि वास्तविक रेखा जुड़ी नहीं होती, तो हम हमेशा अपने निश्चित a से किसी दिए गए x में एकीकृत नहीं हो पाते। उदाहरण के लिए, यदि हम अंतराल [0,1] और [2,3] के मिलन पर परिभाषित कार्यों के लिए पूछें, और यदि 0 थे, तो 0 से 3 तक एकीकृत करना संभव नहीं होगा, क्योंकि कार्य 1 और 2 के बीच परिभाषित नहीं है। यहां, दो स्थिरांक होंगे, एक [[फंक्शन डोमेन]] के प्रत्येक कनेक्टेड स्थान के लिए। सामान्य तौर पर, स्थिरांक को [[स्थानीय रूप से स्थिर कार्य]]ों के साथ बदलकर, हम इस प्रमेय को डिस्कनेक्ट किए गए डोमेन तक बढ़ा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एकीकरण के दो स्थिरांक हैं <math display="inline">\int dx/x</math>, और असीम रूप से कई के लिए <math display="inline">\int \tan x\,dx</math>, उदाहरण के लिए, 1/x के इंटीग्रल का सामान्य रूप है:<ref>"[http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/03/reader_survey_logx_c.html Reader Survey: log|''x''| + ''C'']", Tom Leinster, ''The ''n''-category Café'', March 19, 2012</ref><ref>{{cite book|title=The calculus lifesaver : all the tools you need to excel at calculus|url=https://archive.org/details/isbn_9780691130880|url-access=registration|last1=Banner|first1=Adrian|date=2007|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-13088-0|location=Princeton [u.a.]|page=[https://archive.org/details/isbn_9780691130880/page/380 380]}}</ref>
+इस प्रमाण में दो तथ्य महत्वपूर्ण हैं। सबसे पहले, वास्तविक रेखा एक [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]] है। यदि वास्तविक रेखा जुड़ी नहीं होती, तो हम सदैव अपने निश्चित a से किसी दिए गए x में एकीकृत नहीं हो पाते। उदाहरण के लिए, यदि हम अंतराल [0,1] और [2,3] के मिलान बिंदु पर परिभाषित फलनों के लिए पूछें, और यदि वह 0 थे, तो 0 से 3 तक एकीकृत करना संभव नहीं होगा, क्योंकि फलन 1 और 2 के बीच अंतराल परिभाषित नहीं है। यहां दो स्थिरांक होंगे, एक [[फंक्शन डोमेन|फलन डोमेन]] के प्रत्येक संयुग्मित स्थान के लिए सामान्यतः, स्थिरांक को [[स्थानीय रूप से स्थिर कार्य|स्थानीय रूप से स्थिर]] फलनों के साथ बदलकर, हम इस प्रमेय को वियोजित किए गए डोमेन तक बढ़ा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एकीकरण के दो स्थिरांक हैं <math display="inline">\int dx/x</math>, और असीम रूप से कई के लिए <math display="inline">\int \tan x\,dx</math>, उदाहरण के लिए, 1/x के समाकल का सामान्य रूप है:<ref>"[http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/03/reader_survey_logx_c.html Reader Survey: log|''x''| + ''C'']", Tom Leinster, ''The ''n''-category Café'', March 19, 2012</ref><ref>{{cite book|title=The calculus lifesaver : all the tools you need to excel at calculus|url=https://archive.org/details/isbn_9780691130880|url-access=registration|last1=Banner|first1=Adrian|date=2007|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-13088-0|location=Princeton [u.a.]|page=[https://archive.org/details/isbn_9780691130880/page/380 380]}}</ref>
 : <math>\int \frac{dx}{x} = \begin{cases}
 \ln \left|x \right| + C^- & x < 0\\
 \ln \left|x \right| + C^+ & x > 0
 \end{cases}</math>
-दूसरा, <math>F</math> और <math>G</math> हर जगह अलग-अलग माना जाता था। अगर <math>F</math> और <math>G</math> एक बिंदु पर भी अवकलनीय नहीं हैं, तो प्रमेय विफल हो सकता है। एक उदाहरण के रूप में, चलो <math>F(x)</math> [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन]] हो, जो कि x के ऋणात्मक मानों के लिए शून्य है और x के गैर-ऋणात्मक मानों के लिए एक है, और चलो <math>G(x) = 0</math>. फिर की व्युत्पत्ति <math>F</math> शून्य है जहाँ इसे परिभाषित किया गया है, और इसका व्युत्पन्न है <math>G</math> हमेशा शून्य होता है। फिर भी यह स्पष्ट है <math>F</math> और <math>G</math> एक स्थिरांक से भिन्न नहीं है, भले ही यह मान लिया जाए <math>F</math> और <math>G</math> हर जगह निरंतर हैं और [[लगभग हर जगह]] अलग-अलग प्रमेय अभी भी विफल रहता है। उदाहरण के तौर पर लें <math>F</math> [[कैंटर समारोह]] होने के लिए और फिर चलो <math>G = 0</math>.
+दूसरा, <math>F</math> और <math>G</math> हर जगह अलग-अलग माना जाता हैं। अगर <math>F</math> और <math>G</math> एक बिंदु पर भी अवकलनीय नहीं हैं, तो प्रमेय विफल हो सकता है। एक उदाहरण के रूप में,  <math>F(x)</math> [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन|हैवीसाइड स्टेप फलन]] मान लिया जाता है, जो कि x के ऋणात्मक मानों के लिए शून्य है और x के गैर-ऋणात्मक मानों के लिए 1 है, और मान लिया जाता है <math>G(x) = 0</math> कि व्युत्पत्ति <math>F</math> शून्य है जहाँ इसे परिभाषित किया गया है, और इसका व्युत्पन्न <math>G</math> है जो कि सदैव शून्य होता है। फिर भी यह स्पष्ट है कि <math>F</math> और <math>G</math> एक स्थिरांक से भिन्न नहीं है, भले ही यह मान लिया जाए <math>F</math> और <math>G</math> हर जगह निरंतर हैं और [[लगभग हर जगह]] अलग-अलग प्रमेय अभी भी विफल रहता है। उदाहरण के तौर पर <math>G = 0</math> लें, जो कि <math>F</math> [[कैंटर समारोह|कैंटर फलन]] होने के लिए <math>G = 0</math> मान लिया जाता है।
-उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कोई इसका प्रतिपक्षी खोजना चाहता है <math>\cos(x)</math>. ऐसा ही एक प्रतिपक्षी है <math>\sin(x)</math>. एक और है <math>\sin(x) +1</math>. एक तीसरा है <math>\sin(x)-\pi</math>. इनमें से प्रत्येक का व्युत्पन्न है <math>\cos(x)</math>, इसलिए वे सभी के विरोधी हैं <math>\cos(x)</math>.
+उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कोई इसका प्रतिपक्षी <math>\cos(x)</math> खोजना चाहता है, ऐसा ही एक प्रतिपक्षी <math>\sin(x)</math> है, और एक <math>\sin(x) +1</math> है, एक तीसरा <math>\sin(x)-\pi</math> है, इनमें से प्रत्येक का व्युत्पन्न <math>\cos(x)</math> है, इसलिए वे सभी के विरोधी <math>\cos(x)</math> हैं।
-यह पता चला है कि स्थिरांक जोड़ना और घटाना एकमात्र लचीलापन है जो हमारे पास एक ही फ़ंक्शन के विभिन्न एंटीडेरिवेटिव खोजने में है। अर्थात्, सभी प्रतिपक्षी स्थिरांक तक समान होते हैं। इस तथ्य को व्यक्त करने के लिए <math>\cos(x)</math>, हम लिखते हैं:
+इससे यह पता चला है कि स्थिरांक जोड़ना और घटाना एकमात्र सुनम्यता है जो हमारे पास एक ही फलन के विभिन्न एंटीडेरिवेटिव खोजने में सहायक है। अर्थात्, सभी प्रतिपक्षी स्थिरांक तक समान होते हैं। इस तथ्य को व्यक्त करने के लिए हम <math>\cos(x)</math> लिखते हैं:
 :<math>\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.</math>
-की जगह <math>C</math> एक संख्या से एक प्रतिपक्षी उत्पादन होगा। लेखन से <math>C</math> हालांकि, एक संख्या के बजाय, के सभी संभावित प्रतिपक्षी का एक संक्षिप्त विवरण <math>\cos(x)</math> प्राप्त होना। <math>C</math> एकीकरण का स्थिरांक कहा जाता है। यह आसानी से निर्धारित किया जाता है कि ये सभी कार्य वास्तव में इसके विरोधी हैं <math>\cos(x)</math>:
+उपरोक्त फलन की जगह <math>C</math> एक संख्या से एक प्रतिपक्षी उत्पादन होगा। लेखन से <math>C</math> हालांकि, एक संख्या के बजाय सभी संभावित प्रतिपक्षी का एक संक्षिप्त विवरण <math>\cos(x)</math> प्राप्त होना <math>C</math> एकीकरण का स्थिरांक कहा जाता है। यह आसानी से निर्धारित किया जाता है कि ये सभी फलन वास्तव में इसके विरोधी <math>\cos(x)</math> हैं :
 :<math>\begin{align}
 \frac{d}{dx}[\sin(x) + C]
@@ Line 45: / Line 44: @@
 == आवश्यकता ==
-पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि स्थिरांक अनावश्यक है, क्योंकि इसे शून्य पर सेट किया जा सकता है। इसके अलावा, कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए निश्चित समाकलों का मूल्यांकन करते समय, स्थिरांक हमेशा स्वयं के साथ रद्द हो जाएगा।
+पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि स्थिरांक अनावश्यक है, क्योंकि इसे शून्य पर सेट किया जा सकता है। इसके अलावा, कलन विधि के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए निश्चित समाकलों का मूल्यांकन करते समय, स्थिरांक सदैव स्वयं के साथ रद्द हो जाएगा।
-हालाँकि, स्थिरांक को शून्य पर सेट करने का प्रयास करना हमेशा समझ में नहीं आता है। उदाहरण के लिए, <math>2\sin(x)\cos(x)</math> कम से कम तीन अलग-अलग तरीकों से एकीकृत किया जा सकता है:
+हालाँकि, स्थिरांक को शून्य पर सेट करने का प्रयास करना सदैव समझ में नहीं आता है। उदाहरण के लिए, <math>2\sin(x)\cos(x)</math> कम से कम तीन अलग-अलग तरीकों से एकीकृत किया जा सकता है:
 :<math>\begin{alignat}{4}
@@ Line 54: / Line 53: @@
 \int 2\sin(x)\cos(x)\,dx =&& -\frac 1 2 \cos(2x) + C =&& \sin^2(x) + C =&& -\cos^2(x) + C \\
 \end{alignat}</math>
-तो सेटिंग <math>C</math> शून्य पर अभी भी एक स्थिरांक छोड़ सकते हैं। इसका मतलब यह है कि, किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, कोई सरल प्रतिपक्षी नहीं है।
+तो सेटिंग <math>C</math> शून्य पर अभी भी एक स्थिरांक जोड़ सकते हैं। इसका मतलब यह है कि, किसी दिए गए फलन के लिए, कोई सरल प्रतिपक्षी नहीं है।
-सेटिंग के साथ एक और समस्या <math>C</math> शून्य के बराबर यह है कि कभी-कभी हम एक ऐसे प्रतिपक्षी को खोजना चाहते हैं जिसका एक दिए गए बिंदु पर दिया गया मान हो (जैसा कि [[प्रारंभिक मूल्य समस्या]] में है)। उदाहरण के लिए, का प्रतिपक्षी प्राप्त करने के लिए <math>\cos(x)</math> जिसका x = π पर मान 100 है, तो का केवल एक मान है <math>C</math> काम करेगा (इस मामले में <math>C = 100</math>).
+सेटिंग के साथ एक और समस्या शून्य के बराबर यह है कि कभी-कभी हम एक ऐसे प्रतिपक्षी को खोजना चाहते हैं जिसका एक दिए गए बिंदु पर दिया गया मान <math>C</math> हो (जैसा कि [[प्रारंभिक मूल्य समस्या]] में है)। उदाहरण के लिए, <math>\cos(x)</math> का प्रतिपक्षी प्राप्त करने के लिए, जिसका x = π पर मान 100 है, तो का केवल एक मान <math>C</math> है, जो कार्य करेगा (इस मामले में <math>C = 100</math>)। इसे सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें <math>[F(x) - G(x)]' = 0</math>, इसलिए <math>F-G</math>, <math>F</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
-अंतर समीकरणों की भाषा में इस प्रतिबंध को फिर से परिभाषित किया जा सकता है। किसी फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न ढूँढना <math>f(x)</math> अवकल समीकरण को हल करने के समान है <math display="inline">\frac{dy}{dx} = f(x)</math>. किसी भी अंतर समीकरण के कई समाधान होंगे, और प्रत्येक स्थिरांक एक अच्छी तरह से प्रस्तुत प्रारंभिक मूल्य समस्या के अद्वितीय समाधान का प्रतिनिधित्व करता है। यह शर्त लगाना कि हमारा प्रतिअवकलज x = π पर मान 100 लेता है, एक प्रारंभिक शर्त है। प्रत्येक प्रारंभिक स्थिति एक और केवल एक मान से मेल खाती है <math>C</math>, तो बिना <math>C</math> समस्या का समाधान संभव नहीं होगा।
+अंतर समीकरणों की भाषा में इस प्रतिबंध को फिर से परिभाषित किया जा सकता है। किसी फलन का अनिश्चितकालीन <math>f(x)</math> अभिन्न ढूँढना अवकल समीकरण को हल करने के समान है, <math display="inline">\frac{dy}{dx} = f(x)</math> किसी भी अंतर समीकरण के कई समाधान होंगे, और प्रत्येक स्थिरांक एक अच्छी तरह से प्रस्तुत प्रारंभिक मूल्य समस्या के अद्वितीय समाधान का प्रतिनिधित्व करता है। यह शर्त लगाना कि हमारा प्रतिअवकलज x = π पर मान 100 लेता है, एक प्रारंभिक शर्त है। प्रत्येक प्रारंभिक स्थिति एक और केवल एक मान से <math>C</math> समानता रखती है, तो बिना <math>C</math> के समस्या का समाधान संभव नहीं होगा।
-अमूर्त बीजगणित से आने वाला एक और औचित्य है। [[वास्तविक संख्या]]ओं पर सभी (उपयुक्त) वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का स्थान एक [[सदिश स्थल]] और [[अंतर ऑपरेटर]] है <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> एक रैखिक संकारक है। परिचालक <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> किसी फ़ंक्शन को शून्य पर मैप करता है यदि और केवल यदि वह फ़ंक्शन स्थिर है। नतीजतन, की [[गिरी (बीजगणित)]]। <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> सभी स्थिर कार्यों का स्थान है। किसी दिए गए फ़ंक्शन की पूर्व-छवि खोजने के लिए अनिश्चितकालीन एकीकरण की मात्रा। किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए कोई कैनोनिकल प्री-इमेज नहीं है, लेकिन ऐसी सभी प्री-इमेज का सेट एक [[ सह समुच्चय ]] बनाता है। एक स्थिरांक चुनना सहसमुच्चय के एक अवयव को चुनने के समान है। इस संदर्भ में, एक प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने की व्याख्या प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिए गए [[ hyperplane ]] में पड़े रहने के रूप में की जाती है।
+अमूर्त बीजगणित से आने वाला एक और औचित्य है जिसमे कि [[वास्तविक संख्या]]ओं पर सभी (उपयुक्त) वास्तविक-मूल्यवान फलनों का स्थान एक [[सदिश स्थल]] और [[अंतर ऑपरेटर|अंतर संचालक]] है, <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> एक रैखिक संकारक है। परिचालक <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> किसी फलन को शून्य पर मैप करता है यदि वह फलन स्थिर है। परिणामतः, [[गिरी (बीजगणित)]] <math display="inline">\frac{d}{dx}</math> सभी स्थिर फलनों का स्थान है। किसी दिए गए फलन की पूर्व-छवि खोजने के लिए अनिश्चितकालीन एकीकरण की मात्रा किसी दिए गए फलन के लिए कोई कैनोनिकल प्री-इमेज नहीं है, लेकिन ऐसी सभी प्री-इमेज का सेट एक [[ सह समुच्चय |सह समुच्चय]] बनाता है। एक स्थिरांक चुनना सहसमुच्चय के एक अवयव को चुनने के समान है। इस संदर्भ में, एक प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने की व्याख्या प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिए गए [[ hyperplane |अधिसमतल]] में एक अवयव के रूप में की जाती है।
 ==संदर्भ==

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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