एफ वितरण

Fisher–Snedecor

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	d1, d2 > 0 deg. of freedom
Support	$x\in (0,+\infty )\;$ if $d_{1}=1$, otherwise $x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!$
CDF	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)$
Mean	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ for d2 > 2
Mode	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ for d1 > 2
Variance	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ for d2 > 4
Skewness	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!$ for d2 > 6
Ex. kurtosis	see text
Entropy	$\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!$ $\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!$ $+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!$
MGF	does not exist, raw moments defined in text and in
CF	see text

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, एफ-वितरण या एफ-अनुपात, जिसे स्नेडेकोर के एफ वितरण या फिशर-स्नेडेकोर वितरण (रोनाल्ड फिशर और जॉर्ज डब्ल्यू. स्नेडेकोर के बाद) के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत प्रायिकता वितरण है, जो लगातार शून्य वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। एक परीक्षण सांख्यिकी, विशेष रूप से प्रसरण (एनोवा) और अन्य एफ-परीक्षणों के विश्लेषण में है।

परिभाषा

d₁ और d₂ के साथ एफ-वितरण स्वतंत्रता की डिग्री का वितरण है

$X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}$

जहां ${\textstyle S_{1}}$ और ${\textstyle S_{2}}$ स्वतंत्रता ${\textstyle d_{1}}$और ${\textstyle d_{2}}$ की संबंधित डिग्री के साथ ची-वर्ग वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।

यह अनुसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है कि X के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{aligned}}$

वास्तविक संख्या x > 0 के लिए यहाँ $\mathrm {B}$ बीटा फलन है। कई अनुप्रयोगों में, प्राचल (पैरामीटर) d₁ और d₂ सकारात्मक पूर्णांक हैं, लेकिन वितरण इन प्राचल के सकारात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है।

संचयी वितरण फलन है

$F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),$

जहां I नियमित अपूर्ण बीटा फलन है।

F(d₁, d₂)) के बारे में अपेक्षा, प्रसरण और अन्य विवरण साइडबॉक्स में दिए गए हैं; d₂ > 8 के लिए, अतिरिक्त ककुदता है

$\gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.$

F(d₁, d₂) वितरण का k-वाँ क्षण उपस्थित है और केवल तभी परिमित है जब 2k <d₂ और यह समान है

$\mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.$

एफ-वितरण बीटा प्रमुख वितरण का एक विशेष प्राचलीकरण है, जिसे दूसरी तरह का बीटा वितरण भी कहा जाता है।

विशेषता फलन कई मानक संदर्भों (जैसे) में अशुद्ध रूप से सूचीबद्ध है। सही अभिव्यक्ति है

$\varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)$

जहां U(a, b, z) दूसरी तरह का संगमी हाइपरज्यामितीय फलन है।

अभिलक्षण

प्राचल $d_{1}$ और $d_{2}$ के साथ एफ-वितरण का एक यादृच्छिक चर दो उचित रूप से स्केल किए गए ची-वर्ग वितरण के अनुपात के रूप में उत्पन्न होता है:

$X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}$

जहाँ

• $U_{1}$ और $U_{2}$ के क्रमशः स्वतंत्रता की $d_{1}$ और $d_{2}$ डिग्री के साथ ची-वर्ग वितरण हैं, और
• $U_{1}$ और $U_{2}$ स्वतंत्र हैं।

ऐसे उदाहरणों में जहां एफ-वितरण का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए प्रसरण विश्लेषण, कोचरन के प्रमेय को आवेदन करके $U_{1}$ और $U_{2}$ की स्वतंत्रता का प्रदर्शन किया जा सकता है।

समतुल्य रूप से, एफ-वितरण का यादृच्छिक चर भी लिखा जा सकता है

$X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},$

जहाँ $s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}$ और $s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}$, $S_{1}^{2}$ सामान्य वितरण $N(0,\sigma _{1}^{2})$ से $d_{1}$ यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है और $S_{2}^{2}$ सामान्य वितरण $N(0,\sigma _{2}^{2})$ से $d_{2}$ यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है।

फ़्रीक्वेंटिस्ट संदर्भ में, एक स्केल किया हुआ एफ-वितरण इसलिए प्रायिकता $p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})$ देता है, स्वयं एफ-वितरण के साथ, बिना किसी स्केलिंग के, जहां $\sigma _{1}^{2}$ को $\sigma _{2}^{2}$ के समान लिया जा रहा है। यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे सामान्यतः पर एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच की जाती है कि क्या उनका अनुपात शून्य परिकल्पना के साथ महत्वपूर्ण रूप से असंगत है।

यदि $\sigma _{1}^{2}$ और $\sigma _{2}^{2}$ की पूर्वप्रायिकताएं के लिए एक असूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक जेफरीस पूर्व लिया जाता है, तो मात्रा $X$ बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण होता है। इस संदर्भ में, एक स्केल किया गया एफ-वितरण इस प्रकार पश्च प्रायिकता $p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})$ देता है, जहां देखे गए योग $s_{1}^{2}$ और $s_{2}^{2}$ को ज्ञात के रूप में लिया जाता है।

गुण और संबंधित वितरण

• अगर $X\sim \chi _{d_{1}}^{2}$ और $Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}$ (ची वर्ग वितरण) स्वतंत्र हैं, तो ${\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$
• अगर $X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,$ (गामा वितरण) स्वतंत्र हैं, तो ${\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})$
• अगर $X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)$ (बीटा वितरण) तो ${\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})$
• समान रूप से, यदि $X\sim F(d_{1},d_{2})$, तो ${\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)$
• अगर $X\sim F(d_{1},d_{2})$, तो ${\frac {d_{1}}{d_{2}}}X$ एक बीटा मुख्य वितरण है: ${\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)$
• अगर $X\sim F(d_{1},d_{2})$ तो $Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X$ ची-वर्ग वितरण $\chi _{d_{1}}^{2}$ है।
• $F(d_{1},d_{2})$ स्केल किए गए हॉटेलिंग के टी-वर्ग वितरण ${\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)$ के समतुल्य है।
• अगर $X\sim F(d_{1},d_{2})$ तो $X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})$
• अगर $X\sim t_{(n)}$ — छात्र का टी-वितरण — तब:
  $${\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}$$
• एफ-वितरण प्ररूप 6 पियर्सन वितरण का एक विशेष प्रकरण है
• अगर $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं, तो $X,Y\sim$ Laplace(μ, b) के साथ
  $${\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)$$
• अगर $X\sim F(n,m)$ तो ${\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)$ (फिशर का जेड-वितरण)
• अकेंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि $\lambda =0$
• दोगुना अकेंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$
• अगर $\operatorname {Q} _{X}(p)$ $X\sim F(d_{1},d_{2})$ के लिए विभाजक p है और $\operatorname {Q} _{Y}(1-p)$ $Y\sim F(d_{2},d_{1})$ के लिए विभाजक $1-p$ है, तो
  $$\operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}$$
• एफ-वितरण अनुपात वितरण का एक उदाहरण है

यह भी देखें

• बीटा प्राइम वितरण
• ची वर्ग वितरण
• चाउ परीक्षण
• गामा वितरण
• होटलिंग का टी-वर्ग वितरण
• विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण
• विशार्ट वितरण
• संशोधित अर्ध-सामान्य वितरण पीडीएफ के साथ $(0,\infty )$ के रूप में दिया गया है $f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}$, जहाँ $\Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)$ फॉक्स-राइट साई फलन को दर्शाता है।

बाहरी संबंध

• Table of critical values of the F-distribution
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on F-distribution contains a brief history
• Free calculator for F-testing