समाकलन का क्रम (गणना)

गणना में, समाकलन के क्रम का अंतर्विनिमय एक ऐसी पद्धति है जो फलनों के पुनरावृत्त अभिन्न या फ़ुबिनी के प्रमेय के उपयोग के माध्यम से कई अभिन्नों को दूसरे में परिवर्तित कर देती है। कुछ स्तिथियों में, समाकलन के क्रम को वैध रूप से परिवर्तित किया जा सकता है; तथा कुछ स्तिथियों मे इसे परिवर्तित नहीं किया जा सकता।

समस्या कथन

परीक्षा के लिए समस्या रूप के अभिन्न अंगो का मूल्यांकन

$\iint _{D}\ f(x,y)\ dx\,dy,$ है।

जहाँ D, xy-तल में कोई द्विविमीय क्षेत्र है। कुछ फलनों के लिए सीधा समाकलन संभव है, परंतु जहां यह संभव नहीं है, समाकलन के क्रम को परिवर्तित कर अभिन्न को कभी-कभी सरल रूप में कम किया जा सकता है। इस अंतर्विनिमय के साथ कठिनाई क्षेत्र डी के विवरण में परिवर्तन का निर्धारण कर रही है।

यह विधि अन्य एकाधिक समाकलों पर भी लागू होती है।

कभी-कभी, भले ही एक पूर्ण मूल्यांकन कठिन हो, या संभवतः एक संख्यात्मक समाकलन की आवश्यकता हो, किसी द्वि-अभिन्न को एक समाकलन में कम किया जा सकता है, जैसा कि आगे दिखाया गया है। एकल समाकलन में कमी एक संख्यात्मक समाकलन को अत्यधिक सरल और अधिक कुशल बनाती है।

भागों द्वारा समाकलन से संबंध

चित्र 1: पहले चरण के रूप में ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज पट्टियों का उपयोग करके त्रिकोणीय क्षेत्र पर समाकलन किया जा सकता है। यह एक ऊपरी दृश्य है, जो xy-प्लेन पर z-अक्ष को नीचे की ओर प्रदर्शित कर रहा है। ढलान वाली रेखा वक्र y = x है।

पुनरावृत्त अभिन्न पर विचार करें

$\int _{a}^{z}\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy\,dx,$

जिसे हम सामान्यतः भौतिकी में देखे जाने वाले उपसर्ग संकेतन का उपयोग करके लिखेंगे:

$\int _{a}^{z}dx\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy.$

इस अभिव्यक्ति में, दूसरे अभिन्न की गणना पहले y के संबंध में की जाती है और x को स्थिर रखा जाता है—चौड़ाई dx की एक पट्टी को पहले y-दिशा में एकीकृत किया जाता है तथा x दिशा में चौड़ाई dx की एक पट्टी को y के संबंध में एकीकृत किया जाता है जो y दिशा में परिवर्तनशील है। y-अक्ष के साथ चौड़ाई dy के आयतों की अनंत मात्रा को युग्मित किया जाता है। यह x-अक्ष के साथ y=a से y=x तक y-अक्ष के साथ और z दिशा z=h(y) में एक त्रि-आयामी भाग dx को चौड़ा बनाता है। ध्यान दें कि यदि मोटाई dx अपरिमेय है, तो x, भाग पर केवल अपरिमेय रूप से भिन्न होता है तथा हम मान सकते हैं कि x स्थिर है। यह समाकलन चित्र 1 के बाएं भाग में दिखाया गया है, परंतु विशेष रूप से जब फलन एच (वाई) सरलता से एकीकृत नहीं होता है तों यह प्रक्रिया असुविधाजनक हों जाती है । अभिन्न को समाकलन के क्रम को विपरीत करके एकल समाकलन में घटाया जा सकता है जैसा कि चित्र के दायें भाग में दिखाया गया है। चरों के इस अंतर्विनिमय को पूरा करने के लिए, चौड़ाई dy की पट्टी को पहले x = y से सीमा x = z तक एकीकृत किया जाता है, और फिर परिणाम y = a से y = z तक एकीकृत किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप:

$\int _{a}^{z}dx\ \int _{a}^{x}h(y)\ dy=\int _{a}^{z}h(y)\ dy\ \int _{y}^{z}dx=\int _{a}^{z}\left(z-y\right)h(y)\,dy.$

इस परिणाम को भागों द्वारा समाकलन के सूत्र के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है, जैसा कि नीचे बताया गया है:

$\int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx$

विकल्प:

$f(x)=\int _{a}^{x}h(y)\,dy~{\text{ and }}~g'(x)=1.$

जो परिणाम देता है।

मुख्य मान अभिन्न

कॉची मुख्य मान अभिन्न के अनुप्रयोगों के लिए, व्हिटेकर और वाटसन, गखोव, लू, या ज्विलिंगर देखें। ओबोलाश्विली में पोंकारे-बर्ट्रेंड परिवर्तन की चर्चा भी देखें। एक उदाहरण जहां समाकलन के क्रम का अंतर्विनिमय नहीं किया जा सकता है। यह प्रमेय कंवल द्वारा दिया गया है:

${\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\ ,$

जबकि:

${\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}g(\tau )\ d\tau \left(\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right)=0\ .$

समाकलन विस्तार में आंशिक अंशों का उपयोग करके दूसरे रूप का मूल्यांकन किया जाता है और सोखत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय का उपयोग करके मूल्यांकन किया जाता है। सोखत्स्की-प्लेमेलज सूत्र निम्नलिखित है :

$\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .$

अंकन $\int _{L}^{*}$ प्रमुख मान को इंगित करता है।

मूल प्रमेय

समाकलन के क्रम को परिवर्तित करने के आधार की चर्चा टी.डब्ल्यू द्वारा फूरियर विश्लेषण पुस्तक में पाई गई है। वह एक उदाहरण के साथ अपनी चर्चा का परिचय देता है जहां समाकलन के अंतर्विनिमय से दो अलग-अलग उत्तर मिलते हैं क्योंकि नीचे दिए गए प्रमेय II को समर्थित नहीं करते हैं। यहाँ उदाहरण है:

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .$

$\int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .$

$\int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .$

अंतर्विनिमय की स्वीकार्यता को नियंत्रित करने वाले चौधरी और जुबैर द्वारा दिए गए दो आधारभूत सिद्धांत नीचे उद्धृत किए गए हैं:

Theorem I — माना f(x;y) a ≤ x < ∞, c ≤ के लिए परिभाषित स्थिर चिन्ह का एक सतत कार्य है y < ∞, और मान लीजिए कि समाकल हैं

$J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx$           और           $J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy$

क्रमशः संबंधित पैरामीटर के कार्यों के रूप में माना जाता है, जो c ≤ y < ∞, a ≤ x < ∞ के सापेक्ष सतत है। फिर यदि पुनरावृत्त अभिन्न में से कम से कम एक

$\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy$           and           $\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx$

अभिसरित होता है तों अन्य समाकल भी अभिसरित होते हैं और उनके मान संपाती होते हैं।

Theorem II — माना f(x, y) a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞ के लिए सतत हो , और मान लीजिए की अभिन्न

$J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx$           और           $J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy$

क्रमशः, प्रत्येक परिमित अंतराल c ≤ y <C और प्रत्येक परिमित अंतराल a ≤ x <'A पर समान रूप से अभिसरित होते हों. फिर यदि पुनरावृत्त अभिन्न में से कम से कम एक

$\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy$           and           $\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx$

अभिसरित होते है , पुनरावृत्त अभिन्न

$\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy$           और           $\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx$

भी अभिसरित होते हैं और उनके मान बराबर होते हैं.

अनुप्रयोगों के लिए सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय प्रॉटर और मोरे से उद्धृत किया गया है:

Theorem — मान लीजिए 'एफ' द्वारा दिया गया एक क्षेत्र $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$;है जहाँ p(x) ≤ q(x) for a ≤ x ≤ b' के सापेक्ष p औ qसतत है। मान लीजिए कि f(x,;y) 'F' पर सतत है'. तों

$\iint _{F}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{p(x)}^{q(x)}f(x,\ y)\,dy\ dx.$

यदि बंद क्षेत्र F का प्रतिनिधित्व है, तो संगत परिणाम धारण करता है $F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}$; जहाँ r(y);≤;s(y) for c ≤ y ≤ d.; इन स्तिथियों मे,

$\iint _{F}f(x,\ y)dA=\int _{c}^{d}\int _{r(y)}^{s(y)}f(x,\ y)\,dx\ dy\ .$

दूसरे शब्दों में कहे तों दोनों पुनरावृत्त अभिन्न, जब संगणनीय होते हैं, तों दोहरे अभिन्न के समान होते हैं और इसलिए एक दूसरे के समान होते हैं।

यह भी देखें

• फ़ुबिनी की प्रमेय

बाहरी संबंध

• Paul's Online Math Notes: Calculus III
• Good 3D images showing the computation of "Double Integrals" using iterated integrals, the Department of Mathematics at Oregon State University.
• Ron Miech's UCLA Calculus Problems More complex examples of changing the order of integration (see Problems 33, 35, 37, 39, 41 & 43)
• Duane Nykamp's University of Minnesota website