आयतन समाकलन

गणित में, विशेष रूप से बहुचर गणना आयतन समाकलन (∭) 3-आयामी समष्टि पर एक समाकलन को संदर्भित करती है अर्थात् यह अनेक समाकलनों की एक विशेष स्थिति है। कई अनुप्रयोगों के लिए भौतिक विज्ञान में आयतन समाकलन विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं, उदाहरण के लिए प्रवाह घनत्व की गणना करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।

निर्देशांक

इसका तात्पर्य किसी फलन $f(x,y,z),$ के क्षेत्र $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ के भीतर बहु समाकलन भी हो सकता है इसे सामान्यतः इस प्रकार लिखा जाता है:

$$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$

बेलनाकार निर्देशांकों में आयतन समाकल है:

$$\iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,$$

गोलीय निर्देशांकों में आयतन समाकल आईएसओ फलन का प्रयोग करते हुए कोणों के लिए $\varphi$ दिगंश के रूप में और $\theta$ ध्रुवीय अक्ष से मापा जाता है:

$$\iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$$

उदाहरण

समीकरण का एकीकरण $f(x,y,z)=1$ एक इकाई घन पर निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:

$$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1$$

अतः इकाई घन का आयतन अपेक्षित मान 1 है। हालांकि यह अपेक्षाकृत तुच्छ है और आयतन समाकलन कहीं अधिक प्रभावी है। उदाहरण के लिए यदि हमारे पास इकाई घन पर एक अदिश घनत्व फलन है तो आयतन समाकलन घन का कुल द्रव्यमान होगा। उदाहरण के लिए घनत्व फलन निम्न है:

$${\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}$$

घन का कुल द्रव्यमान है:

$$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}$$

यह भी देखें

• अपसरण प्रमेय
• सतह समाकलन
• आयतन अल्पांश

बाहरी संबंध

• "Multiple integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Volume integral". MathWorld.