हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन: Difference between revisions

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भौतिकी और गणित में, सदिश कलन के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय,<ref>On Helmholtz's Theorem in Finite Regions. By [[Jean Bladel]]. Midwestern Universities Research Association, 1958.</ref><ref>Hermann von Helmholtz. Clarendon Press, 1906. By [[Leo Koenigsberger]]. p357</ref> सदिश कलन के मौलिक प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है,<ref>An Elementary Course in the Integral Calculus. By [[Daniel Alexander Murray]]. American Book Company, 1898. p8.</ref><ref>[[J. W. Gibbs]] & [[Edwin Bidwell Wilson]] (1901) [https://archive.org/stream/117714283#page/236/mode/2up Vector Analysis], page 237, link from [[Internet Archive]]</ref><ref>Electromagnetic theory, Volume 1. By [[Oliver Heaviside]]. "The Electrician" printing and publishing company, limited, 1893.</ref><ref>Elements of the differential calculus. By [[Wesley Stoker Barker Woolhouse]]. Weale, 1854.</ref><ref>An Elementary Treatise on the Integral Calculus: Founded on the Method of Rates Or Fluxions. By [[William Woolsey Johnson]]. John Wiley & Sons, 1881.<br />See also: [[Method of Fluxions]].</ref><ref>Vector Calculus: With Applications to Physics. By [[James Byrnie Shaw]]. D. Van Nostrand, 1922. p205.<br />See also: [[Green's Theorem]].</ref><ref>A Treatise on the Integral Calculus, Volume 2. By [[Joseph Edwards (Mathematician)|Joseph Edwards]]. Chelsea Publishing Company, 1922.</ref> बताता है कि किसी भी पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य, तीन आयामों में तेजी से सड़ने वाले [[वेक्टर क्षेत्र]] को एक [[अघूर्णन सदिश क्षेत्र]] ([[कर्ल (गणित)]] -फ्री) वेक्टर फील्ड और एक [[ solenoidal ]] ([[ विचलन ]]-फ्री) वेक्टर फील्ड के योग में हल किया जा सकता है; इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम [[हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़]] के नाम पर रखा गया है।<ref>See:
भौतिकी और गणित में, सदिश कलन के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय,<ref>On Helmholtz's Theorem in Finite Regions. By [[Jean Bladel]]. Midwestern Universities Research Association, 1958.</ref><ref>Hermann von Helmholtz. Clarendon Press, 1906. By [[Leo Koenigsberger]]. p357</ref> जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है,<ref>An Elementary Course in the Integral Calculus. By [[Daniel Alexander Murray]]. American Book Company, 1898. p8.</ref><ref>[[J. W. Gibbs]] & [[Edwin Bidwell Wilson]] (1901) [https://archive.org/stream/117714283#page/236/mode/2up Vector Analysis], page 237, link from [[Internet Archive]]</ref><ref>Electromagnetic theory, Volume 1. By [[Oliver Heaviside]]. "The Electrician" printing and publishing company, limited, 1893.</ref><ref>Elements of the differential calculus. By [[Wesley Stoker Barker Woolhouse]]. Weale, 1854.</ref><ref>An Elementary Treatise on the Integral Calculus: Founded on the Method of Rates Or Fluxions. By [[William Woolsey Johnson]]. John Wiley & Sons, 1881.<br />See also: [[Method of Fluxions]].</ref><ref>Vector Calculus: With Applications to Physics. By [[James Byrnie Shaw]]. D. Van Nostrand, 1922. p205.<br />See also: [[Green's Theorem]].</ref><ref>A Treatise on the Integral Calculus, Volume 2. By [[Joseph Edwards (Mathematician)|Joseph Edwards]]. Chelsea Publishing Company, 1922.</ref> बताता है कि तीन आयामों में किसी भी पर्याप्त रूप से चिकनी, सड़ने वाले [[वेक्टर क्षेत्र]] को एक [[अघूर्णन सदिश क्षेत्र]] ([[कर्ल (गणित)|कर्ल]] -फ्री) वेक्टर क्षेत्र और [[ solenoidal |परिनालिकीय क्षेत्र]] ([[ विचलन ]]-फ्री) वेक्टर क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है; इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम [[हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़]] के नाम पर रखा गया है।<ref>See:
*  H. Helmholtz (1858) [https://books.google.com/books?id=6gwPAAAAIAAJ&pg=PA25 "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen"] (On integrals of the hydrodynamic equations which correspond to vortex motions), ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', '''55''': 25–55.  On page 38, the components of the fluid's velocity (''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;''w'') are expressed in terms of the gradient of a scalar potential P and the curl of a vector potential&nbsp;(''L'',&nbsp;''M'',&nbsp;''N'').
*  H. Helmholtz (1858) [https://books.google.com/books?id=6gwPAAAAIAAJ&pg=PA25 "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen"] (On integrals of the hydrodynamic equations which correspond to vortex motions), ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', '''55''': 25–55.  On page 38, the components of the fluid's velocity (''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;''w'') are expressed in terms of the gradient of a scalar potential P and the curl of a vector potential&nbsp;(''L'',&nbsp;''M'',&nbsp;''N'').
*  However, Helmholtz was largely anticipated by George Stokes in his paper:  G. G. Stokes (presented: 1849; published: 1856) [https://books.google.com/books?id=L_NYAAAAYAAJ&pg=PA1 "On the dynamical theory of diffraction,"] ''Transactions of the Cambridge Philosophical Society'', vol. 9, part I, pages 1–62; see pages 9–10.</ref>
*  However, Helmholtz was largely anticipated by George Stokes in his paper:  G. G. Stokes (presented: 1849; published: 1856) [https://books.google.com/books?id=L_NYAAAAYAAJ&pg=PA1 "On the dynamical theory of diffraction,"] ''Transactions of the Cambridge Philosophical Society'', vol. 9, part I, pages 1–62; see pages 9–10.</ref>
जैसा कि एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र में एक [[अदिश क्षमता]] होती है और एक सोलनॉइडल सदिश क्षेत्र में एक सदिश क्षमता होती है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन बताता है कि एक सदिश क्षेत्र (उचित चिकनाई और क्षय की स्थिति को संतुष्ट करते हुए) को रूप के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है <math>-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}</math>, कहाँ <math>\phi</math> एक अदिश क्षेत्र है जिसे अदिश विभव कहा जाता है, और {{math|'''A'''}} एक सदिश क्षेत्र है, जिसे सदिश विभव कहा जाता है।
जैसा कि एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र में एक [[अदिश क्षमता]] होती है और एक सोलनॉइडल सदिश क्षेत्र में एक सदिश क्षमता होती है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन बताता है कि एक सदिश क्षेत्र (उचित चिकनाई और क्षय की स्थिति को संतुष्ट करते हुए) को रूप के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है <math>-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}</math>, कहाँ <math>\phi</math> एक अदिश क्षेत्र है जिसे अदिश विभव कहा जाता है, और {{math|'''A'''}} एक सदिश क्षेत्र है, जिसे सदिश विभव कहा जाता है।


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== विभेदक रूप ==
== विभेदक रूप ==
हॉज अपघटन # हॉज अपघटन हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन से निकटता से संबंधित है, आर पर वेक्टर क्षेत्रों से सामान्यीकरण<sup>3</sup> [[रीमैनियन कई गुना]] एम पर [[विभेदक रूप]]ों के लिए। हॉज अपघटन के अधिकांश योगों के लिए एम को [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] होना आवश्यक है।<ref>{{cite journal| jstor=2695643| title=Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space| first1=Jason |last1=Cantarella |first2=Dennis |last2=DeTurck | first3=Herman|last3=Gluck|journal=The American Mathematical Monthly|volume=109|issue=5|year=2002 |pages=409–442 | doi=10.2307/2695643 }}</ref> चूँकि यह R के लिए सत्य नहीं है<sup>3</sup>, हॉज अपघटन प्रमेय सख्ती से हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय का सामान्यीकरण नहीं है। हालांकि, हॉज अपघटन के सामान्य निर्माण में कॉम्पैक्टनेस प्रतिबंध को हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय का उचित सामान्यीकरण देते हुए, अंतर रूपों पर अनंत में उपयुक्त क्षय धारणाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
हॉज अपघटन हॉज अपघटन हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन से निकटता से संबंधित है, आर पर वेक्टर क्षेत्रों से सामान्यीकरण<sup>3</sup> [[रीमैनियन कई गुना]] एम पर [[विभेदक रूप]]ों के लिए। हॉज अपघटन के अधिकांश योगों के लिए एम को [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] होना आवश्यक है।<ref>{{cite journal| jstor=2695643| title=Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space| first1=Jason |last1=Cantarella |first2=Dennis |last2=DeTurck | first3=Herman|last3=Gluck|journal=The American Mathematical Monthly|volume=109|issue=5|year=2002 |pages=409–442 | doi=10.2307/2695643 }}</ref> चूँकि यह R के लिए सत्य नहीं है<sup>3</sup>, हॉज अपघटन प्रमेय सख्ती से हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय का सामान्यीकरण नहीं है। हालांकि, हॉज अपघटन के सामान्य निर्माण में कॉम्पैक्टनेस प्रतिबंध को हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय का उचित सामान्यीकरण देते हुए, अंतर रूपों पर अनंत में उपयुक्त क्षय धारणाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।


== कमजोर सूत्रीकरण ==
== कमजोर सूत्रीकरण ==

Revision as of 01:51, 10 April 2023

भौतिकी और गणित में, सदिश कलन के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय,[1][2] जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है,[3][4][5][6][7][8][9] बताता है कि तीन आयामों में किसी भी पर्याप्त रूप से चिकनी, सड़ने वाले वेक्टर क्षेत्र को एक अघूर्णन सदिश क्षेत्र (कर्ल -फ्री) वेक्टर क्षेत्र और परिनालिकीय क्षेत्र (विचलन -फ्री) वेक्टर क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है; इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ के नाम पर रखा गया है।[10]

जैसा कि एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र में एक अदिश क्षमता होती है और एक सोलनॉइडल सदिश क्षेत्र में एक सदिश क्षमता होती है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन बताता है कि एक सदिश क्षेत्र (उचित चिकनाई और क्षय की स्थिति को संतुष्ट करते हुए) को रूप के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है , कहाँ एक अदिश क्षेत्र है जिसे अदिश विभव कहा जाता है, और A एक सदिश क्षेत्र है, जिसे सदिश विभव कहा जाता है।

प्रमेय का कथन

होने देना एक बंधे हुए डोमेन पर एक वेक्टर फ़ील्ड बनें , जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है , और जाने वह सतह हो जो डोमेन को घेरती है . तब कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:[11]

कहाँ
और के संबंध में नाबला संचालिका है , नहीं .

अगर और इसलिए असीमित है, और कम से कम उतनी ही तेजी से गायब हो जाता है जैसा , तो एक है[12]

यह विशेष रूप से अगर है में दो बार लगातार अवकलनीय है और सीमित समर्थन का।

व्युत्पत्ति

मान लीजिए हमारे पास एक वेक्टर फ़ंक्शन है जिनमें से हम कर्ल जानते हैं, , और विचलन, , सीमा पर डोमेन और फ़ील्ड में। प्रपत्र में डेल्टा समारोह का उपयोग करके फ़ंक्शन लिखना

कहाँ लाप्लास ऑपरेटर है, हमारे पास है

जहाँ हमने सदिश लाप्लासियन की परिभाषा का उपयोग किया है:
भेदभाव/एकीकरण के संबंध में द्वारा और अंतिम पंक्ति में, फ़ंक्शन तर्कों की रैखिकता:
फिर सदिश पहचान का उपयोग करना

हम पाते हैं
विचलन प्रमेय के लिए धन्यवाद समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है