व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित): Difference between revisions

Revision as of 12:51, 14 April 2023

गणित में, अवकलज बीजगणित पर फलन है जो अवकलज संकारक की कुछ विशेषताओं को सामान्यीकृत करता है। विशेष रूप से, वलय (गणित) या क्षेत्र (गणित) K के ऊपर बीजगणित A दिया गया है, K-अवकलज एक K-रैखिक मानचित्र है D : A → A जो लीबनिज का नियम को आपूर्ति करता है|:

D(ab)=aD(b)+D(a)b.

अधिक आम तौर पर, यदि M एक A-द्विप्रतिरूपक है, तो K-रैखिक मानचित्र D : A → M जो लीबनिज नियम को आपूर्ति करता है उसे अवकलज भी कहा जाता है। A के सभी K-अवकलज का संग्रह Der_K(A) द्वारा निरूपित किया जाता है। A-मॉड्यूल M में A के K-अवकलज का संग्रह Der_K(A, M) द्वारा दर्शाया गया है।

गणित के विविध क्षेत्रों में कई अलग-अलग संदर्भों में अवकलज होती हैं। एक चर के संबंध में आंशिक अवकलज Rⁿ पर वास्तविक- मान अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक R-अवकलज । एक सदिश क्षेत्र के संबंध में लाई अवकलज अलग-अलग डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक R-अवकलज है; आम तौर पर यह कई गुना अधिक के प्रदिश बीजगणित पर अवकलज है। यह इस प्रकार है कि लाई बीजगणित का संलग्न प्रतिरूपण उस बीजगणित पर अवकलज है। पिंचरले अवकलज अमूर्त बीजगणित में अवकलज का एक उदाहरण है। यदि बीजगणित A गैर विनिमेय है, तो बीजगणित A के तत्व के संबंध में कम्यूटेटर A के रैखिक अंतःरूपता को परिभाषित करता है, जो कि K पर अवकलज है।

[FG,N]=[F,N]G+F[G,N]

जहाँ $[\cdot ,N]$ के संबंध में $N$ कम्यूटेटर है। विशिष्ट अवकलज d से लैस बीजगणित अवकल बीजगणित बनाता है, और यह अपने आप में अवकल गैलोज़ सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में अध्ययन का महत्वपूर्ण उद्देश्य है।

गुण

यदि A एक के-बीजगणित है, के लिए एक अंगूठी है, और $D : A \to A$ एक के-अवकलज है, फिर

यदि A की इकाई 1 है, तो D(1) = D(1²) = 2D(1), ताकि D(1) = 0. इस प्रकार K-रैखिकता द्वारा, D(k) = 0 सभी के लिए $k \in K$ .
यदि A क्रमविनिमेय है, तो D(x²) = xD(x) + D(x)x = 2xD(x), और D(x)ⁿ) = nxⁿ⁻¹D(x), लीबनिज़ नियम द्वारा।
अधिक आम तौर पर, किसी के लिए $x 1, x 2, \dots, x n \in A$ , यह गणितीय प्रेरण द्वारा अनुसरण करता है

D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}

जो है

{\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}

अगर सभी के लिए

i

,

D (x i)

के साथ यात्रा करता है

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}

.

एन> 1 के लिए, डीⁿ एक अवकलज नहीं है, इसके बजाय एक उच्च-क्रम लीबनिज़ नियम को आपूर्ति करता है:

D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{n-k}(u)\cdot D^{k}(v).

इसके अलावा, यदि M एक A-द्विप्रतिरूपक है, तो लिखें

\operatorname {Der} _{K}(A,M)

A से M तक K-अवकलज के सेट के लिए।

Der_K(A, M) K के ऊपर एक मॉड्यूल (गणित) है।
डेर_K(A) कम्यूटेटर द्वारा परिभाषित लाई ब्रैकेट के साथ एक लेट बीजगणित है:

[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.

चूंकि यह आसानी से सत्यापित है कि दो व्युत्पत्तियों का कम्यूटेटर फिर से एक अवकलज है।

एक A-मॉड्यूल है $Ω A / K$ (कह्लर अवकलन कहा जाता है) K-अवकलज के साथ $d : A \to Ω A / K$ जिसके माध्यम से कोई अवकलज $D : A \to M$ कारक। यही है, किसी भी अवकलज डी के लिए A-मॉड्यूल नक्शा है $φ$ साथ

D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M

पत्राचार

D\leftrightarrow \varphi

A-मॉड्यूल का एक समरूपता है:

\operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)

अगर $k \subset K$ एक सबरिंग है, तो A को k-बीजगणित संरचना विरासत में मिली है, इसलिए इसमें एक समावेश है

\operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),

चूँकि कोई भी K-अवकलज एक fortiori k-अवकलज है।

वर्गीकृत अवकलज

एक वर्गीकृत बीजगणित A और ग्रेड के एक सजातीय रैखिक मानचित्र डी को देखते हुए |D| A पर, डी एक 'सजातीय अवकलज' है अगर

{D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}

कम्यूटेटर कारक के लिए प्रत्येक सजातीय तत्व A और A के प्रत्येक तत्व बी के लिए ε = ±1. एक श्रेणीबद्ध अवकलज समान ε वाले सजातीय व्युत्पत्तियों का योग है।

अगर ε = 1, यह परिभाषा सामान्य मामले में कम हो जाती है। अगर ε = −1, तथापि, तब

{D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}

विषम के लिए |D|, और D को 'एंटी-अवकलज' कहा जाता है।

विरोधी व्युत्पत्तियों के उदाहरणों में बाहरी अवकलज और विभेदक रूपों पर अभिनय करने वाले आंतरिक उत्पाद शामिल हैं।

algebra की श्रेणीबद्ध अवकलज (अर्थात 'Z'₂-श्रेणीबद्ध बीजगणित) को अक्सर सुपरडेरिवेशन कहा जाता है।

यह भी देखें

अवकल ज्यामिति अवकलज में टेंगेंट स्पेस#डेफिनिशन वाया अवकलज है
काहलर अवकल
डेरिवेटिव से नफरत है
p-अवकलज|p-अवकलज
विर्टिंगर डेरिवेटिव
घातीय मानचित्र का अवकलज

संदर्भ

Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
Eisenbud, David (1999), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry (3rd. ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8.
Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra, Mathematics lecture note series, W. A. Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6.
Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag.

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-गणित में, व्युत्पत्ति [[एक क्षेत्र पर बीजगणित|बीजगणित]] पर फलन है जो अवकलजसंकारक की कुछ विशेषताओं को सामान्यीकृत करता है। विशेष रूप से, वलय (गणित) या [[क्षेत्र (गणित)]] ''K'' के ऊपर बीजगणित ''A'' दिया गया है, ''K''-व्युत्पत्ति एक ''K''-रैखिक मानचित्र है {{nowrap|''D'' : ''A'' → ''A''}} जो लीबनिज का नियम को आपूर्ति करता है|:
+गणित में, अवकलज [[एक क्षेत्र पर बीजगणित|बीजगणित]] पर फलन है जो अवकलज संकारक की कुछ विशेषताओं को सामान्यीकृत करता है। विशेष रूप से, वलय (गणित) या [[क्षेत्र (गणित)]] ''K'' के ऊपर बीजगणित ''A'' दिया गया है, ''K''-अवकलज एक ''K''-रैखिक मानचित्र है {{nowrap|''D'' : ''A'' → ''A''}} जो लीबनिज का नियम को आपूर्ति करता है|:
 :<math> D(ab) = a D(b) + D(a) b.</math>
-अधिक आम तौर पर, यदि एम एक ए-बिमॉड्यूल है, तो एक के-रैखिक मानचित्र {{nowrap|''D'' : ''A'' → ''M''}} जो लीबनिज कानून को आपूर्ति करता है उसे व्युत्पत्ति भी कहा जाता है। ए के सभी के-व्युत्पन्नों का संग्रह डेर द्वारा निरूपित किया जाता है<sub>''K''</sub>(ए)। ए-मॉड्यूल एम में ए के के-डेरिवेशन का संग्रह द्वारा दर्शाया गया है {{nowrap|Der<sub>''K''</sub>(''A'', ''M'')}}.
+अधिक आम तौर पर, यदि ''M'' एक ''A''-द्विप्रतिरूपक है, तो ''K-''रैखिक मानचित्र {{nowrap|''D'' : ''A'' → ''M''}} जो लीबनिज नियम को आपूर्ति करता है उसे अवकलज भी कहा जाता है। ''A'' के सभी ''K-''अवकलज का संग्रह Der<sub>''K''</sub>(''A'') द्वारा निरूपित किया जाता है। ''A''-मॉड्यूल ''M'' में ''A'' के ''K''-अवकलज का संग्रह {{nowrap|Der<sub>''K''</sub>(''A'', ''M'')}} द्वारा दर्शाया गया है।
-गणित के विविध क्षेत्रों में कई अलग-अलग संदर्भों में व्युत्पत्तियाँ होती हैं। एक चर के संबंध में [[आंशिक व्युत्पन्न]] आर पर वास्तविक-मूल्यवान अलग-अलग कार्यों के बीजगणित पर एक आर-व्युत्पत्ति है<sup>एन</sup>. सदिश क्षेत्र के संबंध में [[झूठ व्युत्पन्न]] एक [[अलग करने योग्य कई गुना]] पर अलग-अलग कार्यों के बीजगणित पर एक 'आर'-व्युत्पन्न है; अधिक आम तौर पर यह कई गुना के [[टेंसर बीजगणित]] पर एक व्युत्पत्ति है। यह इस प्रकार है कि [[झूठ बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व]] उस बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति है। Pincherle व्युत्पन्न [[सार बीजगणित]] में व्युत्पत्ति का एक उदाहरण है। यदि बीजगणित ए गैर-अनुवर्ती है, तो बीजगणित ए के एक तत्व के संबंध में [[कम्यूटेटर]] ए के एक रैखिक [[एंडोमोर्फिज्म]] को परिभाषित करता है, जो कि के पर एक व्युत्पत्ति है।
+गणित के विविध क्षेत्रों में कई अलग-अलग संदर्भों में अवकलज होती हैं। एक चर के संबंध में [[आंशिक व्युत्पन्न|आंशिक अवकलज]] '''R'''<sup>''n''</sup> पर वास्तविक- मान अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक '''R'''-अवकलज । एक सदिश क्षेत्र के संबंध में [[झूठ व्युत्पन्न|लाई अवकलज]] अलग-अलग [[अलग करने योग्य कई गुना|डिफरेंशियल मैनिफोल्ड]] पर अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक '''R'''-अवकलज है; आम तौर पर यह कई गुना अधिक के [[टेंसर बीजगणित|प्रदिश बीजगणित]] पर अवकलज है। यह इस प्रकार है कि [[झूठ बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व|लाई बीजगणित का संलग्न  प्रतिरूपण]] उस बीजगणित पर अवकलज है। पिंचरले अवकलज [[सार बीजगणित|अमूर्त बीजगणित]] में अवकलज का एक उदाहरण है। यदि बीजगणित A गैर विनिमेय है, तो बीजगणित A के तत्व के संबंध में [[कम्यूटेटर]] A के रैखिक [[एंडोमोर्फिज्म|अंतःरूपता]] को परिभाषित करता है, जो कि ''K'' पर अवकलज है।
 :<math>[FG,N]=[F,N]G+F[G,N]</math>
-कहाँ <math>[\cdot,N]</math> के संबंध में कम्यूटेटर है <math>N</math>. एक विशिष्ट व्युत्पत्ति d से लैस एक बीजगणित एक [[अंतर बीजगणित]] बनाता है, और यह अपने आप में अंतर गैलोज़ सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य है।
+जहाँ <math>[\cdot,N]</math> के संबंध में <math>N</math> कम्यूटेटर है। विशिष्ट अवकलज ''d'' से लैस बीजगणित [[अंतर बीजगणित|अवकल बीजगणित]] बनाता है, और यह अपने आप में अवकल गैलोज़ सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में अध्ययन का महत्वपूर्ण उद्देश्य है।
 == गुण ==
-यदि ए एक के-बीजगणित है, के लिए एक अंगूठी है, और {{math|''D'': ''A'' → ''A''}} एक के-व्युत्पत्ति है, फिर
+यदि A एक के-बीजगणित है, के लिए एक अंगूठी है, और {{math|''D'': ''A'' → ''A''}} एक के-अवकलज है, फिर
 * यदि A की इकाई 1 है, तो D(1) = D(1<sup>2</sup>) = 2D(1), ताकि D(1) = 0. इस प्रकार K-रैखिकता द्वारा, D(k) = 0 सभी के लिए {{math|''k'' ∈ ''K''}}.
@@ Line 17: / Line 17: @@
 ::<math>D(x_1x_2\cdots x_n) = \sum_i x_1\cdots x_{i-1}D(x_i)x_{i+1}\cdots x_n  </math>
 : जो है <math display="inline">\sum_i D(x_i)\prod_{j\neq i}x_j</math> अगर सभी के लिए {{mvar|i}}, {{math|''D''(''x<sub>i</sub>'')}} के साथ यात्रा करता है <math>x_1,x_2,\ldots, x_{i-1}</math>.
-* एन> 1 के लिए, डी<sup>n</sup> एक व्युत्पत्ति नहीं है, इसके बजाय एक उच्च-क्रम लीबनिज़ नियम को आपूर्ति करता है:
+* एन> 1 के लिए, डी<sup>n</sup> एक अवकलज नहीं है, इसके बजाय एक उच्च-क्रम लीबनिज़ नियम को आपूर्ति करता है:
 ::<math>D^n(uv) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot D^{n-k}(u)\cdot  D^k(v).</math>
-: इसके अलावा, यदि एम एक ए-बिमॉड्यूल है, तो लिखें
+: इसके अलावा, यदि M एक A-द्विप्रतिरूपक है, तो लिखें
 :: <math> \operatorname{Der}_K(A,M)</math>
-: ए से एम तक के-डेरिवेशन के सेट के लिए।
+: A से M तक K-अवकलज के सेट के लिए।
 * {{nowrap|Der<sub>''K''</sub>(''A'', ''M'')}} K के ऊपर एक [[मॉड्यूल (गणित)]] है।
-* डेर<sub>''K''</sub>(ए) कम्यूटेटर द्वारा परिभाषित झूठ ब्रैकेट के साथ एक लेट बीजगणित है:
+* डेर<sub>''K''</sub>(A) कम्यूटेटर द्वारा परिभाषित लाई ब्रैकेट के साथ एक लेट बीजगणित है:
 ::<math>[D_1,D_2] = D_1\circ D_2 - D_2\circ D_1.</math>
-: चूंकि यह आसानी से सत्यापित है कि दो व्युत्पत्तियों का कम्यूटेटर फिर से एक व्युत्पत्ति है।
+: चूंकि यह आसानी से सत्यापित है कि दो व्युत्पत्तियों का कम्यूटेटर फिर से एक अवकलज है।
-* एक ए-मॉड्यूल है {{math|Ω<sub>''A''/''K''</sub>}} (कह्लर अवकलन कहा जाता है) K-व्युत्पत्ति के साथ {{math|''d'': ''A'' → Ω<sub>''A''/''K''</sub>}} जिसके माध्यम से कोई व्युत्पत्ति {{math|''D'': ''A'' → ''M''}} कारक। यही है, किसी भी व्युत्पत्ति डी के लिए ए-मॉड्यूल नक्शा है {{mvar|φ}} साथ
+* एक A-मॉड्यूल है {{math|Ω<sub>''A''/''K''</sub>}} (कह्लर अवकलन कहा जाता है) K-अवकलज के साथ {{math|''d'': ''A'' → Ω<sub>''A''/''K''</sub>}} जिसके माध्यम से कोई अवकलज {{math|''D'': ''A'' → ''M''}} कारक। यही है, किसी भी अवकलज डी के लिए A-मॉड्यूल नक्शा है {{mvar|φ}} साथ
 :: <math> D: A\stackrel{d}{\longrightarrow} \Omega_{A/K}\stackrel{\varphi}{\longrightarrow} M </math>
-: पत्राचार <math> D\leftrightarrow \varphi</math> ए-मॉड्यूल का एक समरूपता है:
+: पत्राचार <math> D\leftrightarrow \varphi</math> A-मॉड्यूल का एक समरूपता है:
 :: <math> \operatorname{Der}_K(A,M)\simeq \operatorname{Hom}_{A}(\Omega_{A/K},M)</math>
 *अगर {{math|''k'' ⊂ ''K''}} एक [[सबरिंग]] है, तो A को k-बीजगणित संरचना विरासत में मिली है, इसलिए इसमें एक समावेश है
 ::<math>\operatorname{Der}_K(A,M)\subset \operatorname{Der}_k(A,M) ,</math>
-: चूँकि कोई भी K-व्युत्पत्ति एक fortiori k-व्युत्पत्ति है।
+: चूँकि कोई भी K-अवकलज एक fortiori k-अवकलज है।
-== वर्गीकृत व्युत्पत्ति ==
+== वर्गीकृत अवकलज ==
 {{Anchor|Homogeneous derivation|Graded derivation}}
-एक [[वर्गीकृत बीजगणित]] ए और ग्रेड के एक सजातीय रैखिक मानचित्र डी को देखते हुए {{abs|''D''}} ए पर, डी एक 'सजातीय व्युत्पत्ति' है अगर
+एक [[वर्गीकृत बीजगणित]] A और ग्रेड के एक सजातीय रैखिक मानचित्र डी को देखते हुए {{abs|''D''}} A पर, डी एक 'सजातीय अवकलज' है अगर
 :<math>{D(ab)=D(a)b+\varepsilon^{|a||D|}aD(b)}</math>
-कम्यूटेटर कारक के लिए प्रत्येक सजातीय तत्व ए और ए के प्रत्येक तत्व बी के लिए {{nowrap|1=''ε'' = ±1}}. एक श्रेणीबद्ध व्युत्पत्ति समान ''ε'' वाले सजातीय व्युत्पत्तियों का योग है।
+कम्यूटेटर कारक के लिए प्रत्येक सजातीय तत्व A और A के प्रत्येक तत्व बी के लिए {{nowrap|1=''ε'' = ±1}}. एक श्रेणीबद्ध अवकलज समान ''ε'' वाले सजातीय व्युत्पत्तियों का योग है।
 अगर {{nowrap|1=''ε'' = 1}}, यह परिभाषा सामान्य मामले में कम हो जाती है। अगर {{nowrap|1=''ε'' = &minus;1}}, तथापि, तब
-:<math>{D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}</math> विषम के लिए {{abs|''D''}}, और D को 'एंटी-व्युत्पत्ति' कहा जाता है।
+:<math>{D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}</math> विषम के लिए {{abs|''D''}}, और D को 'एंटी-अवकलज' कहा जाता है।
-विरोधी व्युत्पत्तियों के उदाहरणों में [[बाहरी व्युत्पन्न]] और [[विभेदक रूप]]ों पर अभिनय करने वाले [[आंतरिक उत्पाद]] शामिल हैं।
+विरोधी व्युत्पत्तियों के उदाहरणों में [[बाहरी व्युत्पन्न|बाहरी अवकलज]] और [[विभेदक रूप]]ों पर अभिनय करने वाले [[आंतरिक उत्पाद]] शामिल हैं।
-[[algebra]] की श्रेणीबद्ध व्युत्पत्ति (अर्थात 'Z'<sub>2</sub>-श्रेणीबद्ध बीजगणित) को अक्सर सुपरडेरिवेशन कहा जाता है।
+[[algebra]] की श्रेणीबद्ध अवकलज (अर्थात 'Z'<sub>2</sub>-श्रेणीबद्ध बीजगणित) को अक्सर सुपरडेरिवेशन कहा जाता है।
 == संबंधित धारणाएं ==
-हस्से-श्मिट व्युत्पत्ति K-बीजगणित समाकारिता हैं
+हस्से-श्मिट अवकलज K-बीजगणित समाकारिता हैं
 :<math>A \to A[[t]].</math>
-मानचित्र के साथ आगे रचना करना जो एक [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] भेजता है <math>\sum a_n t^n</math> गुणांक के लिए <math>a_1</math> व्युत्पत्ति देता है।
+मानचित्र के साथ आगे रचना करना जो एक [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] भेजता है <math>\sum a_n t^n</math> गुणांक के लिए <math>a_1</math> अवकलज देता है।
 == यह भी देखें ==
-*[[ अंतर ज्यामिति ]] व्युत्पत्ति में टेंगेंट स्पेस#डेफिनिशन वाया व्युत्पत्ति है
+*[[ अंतर ज्यामिति | अवकल ज्यामिति]]  अवकलज में टेंगेंट स्पेस#डेफिनिशन वाया अवकलज है
-* काहलर अंतर
+* काहलर अवकल
 * [[डेरिवेटिव से नफरत है]]
-*p-व्युत्पत्ति|p-व्युत्पन्न
+*p-अवकलज|p-अवकलज
 * [[विर्टिंगर डेरिवेटिव]]
-* [[घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न]]
+* [[घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न|घातीय मानचित्र का अवकलज]]
 ==संदर्भ==

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