अनुभागीय वक्रता

रीमैनियन ज्यामिति में, अनुभागीय वक्रता, रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता का वर्णन करने के तरीकों में से है। अनुभागीय वक्रता के(σ_p) द्वि-आयामी रैखिक उपसमष्टि σ पर निर्भर करता है_p कई गुना के बिंदु पी पर स्पर्शरेखा स्थान का। इसे ज्यामितीय रूप से सतह (टोपोलॉजी) के गॉसियन वक्रता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें विमान σ है_p पी पर स्पर्शरेखा विमान के रूप में, geodesic ्स से प्राप्त किया गया है जो σ की दिशा में पी से शुरू होता है_p (दूसरे शब्दों में, σ की छवि_p घातीय मानचित्र (रीमैनियन ज्यामिति) के तहत p पर)। अनुभागीय वक्रता कई गुना अधिक ग्रासमानियन फाइबर बंडल पर वास्तविक-मूल्यवान कार्य है।

अनुभागीय वक्रता रीमैन वक्रता टेन्सर को पूरी तरह से निर्धारित करती है।

परिभाषा

Riemannian कई गुना और ही बिंदु पर दो रैखिक रूप से स्वतंत्र स्पर्शरेखा वैक्टर, यू और वी को देखते हुए, हम परिभाषित कर सकते हैं

$K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}$

यहाँ R रीमैन वक्रता टेन्सर है, जिसे यहाँ परिपाटी द्वारा परिभाषित किया गया है $R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.$ कुछ स्रोत विपरीत परिपाटी का उपयोग करते हैं $R(u,v)w=\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{[v,u]}w,$ किस स्थिति में K(u,v) को परिभाषित किया जाना चाहिए $\langle R(u,v)u,v\rangle$ के बजाय अंश में $\langle R(u,v)v,u\rangle .$

ध्यान दें कि u और v की रैखिक स्वतंत्रता उपरोक्त व्यंजक में भाजक को अशून्य होने के लिए बाध्य करती है, ताकि K(u,v) अच्छी तरह से परिभाषित हो। विशेष रूप से, यदि यू और वी ऑर्थोनॉर्मल हैं, तो परिभाषा सरल रूप लेती है

$K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle .$

यह जांचना सीधा है कि अगर $u,v\in T_{p}M$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और स्पर्शरेखा स्थान के समान द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान को फैलाते हैं $T_{p}M$ जैसा $x,y\in T_{p}M$, तब $K(u,v)=K(x,y).$ तो कोई विभागीय वक्रता को वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में मान सकता है जिसका इनपुट स्पर्शरेखा स्थान का द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान है।

वैकल्पिक परिभाषाएं

वैकल्पिक रूप से, अनुभागीय वक्रता को छोटे वृत्तों की परिधि द्वारा चित्रित किया जा सकता है। होने देना $P$ में द्वि-आयामी विमान हो $T_{x}M$. होने देना $C_{P}(r)$ पर्याप्त रूप से छोटे के लिए $r>0$ पर घातीय मानचित्र के अंतर्गत छवि को निरूपित करें $p$ यूनिट सर्कल में $P$, और जाने $l_{P}(r)$ की लंबाई निरूपित करें $C_{P}(r)$. तभी यह सिद्ध हो सकता है

$l_{P}(r)=2\pi r\left(1-{r^{2} \over 6}\sigma (P)+O(r^{3})\right),$ जैसा $r\to 0$, कुछ संख्या के लिए $\sigma (P)$. यह नंबर $\sigma (P)$ पर $p$ का अनुभागीय वक्रता है $P$ पर $p$.

निरंतर अनुभागीय वक्रता के साथ कई गुना

का कहना है कि रिमेंनियन मैनिफोल्ड में निरंतर वक्रता होती है $\kappa$अगर $\operatorname {sec} (P)=\kappa$ सभी द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थानों के लिए $P\subset T_{p}M$ और सभी के लिए $p\in M.$ शूर की लेम्मा (रीमैनियन ज्योमेट्री) कहती है कि अगर (एम, जी) कम से कम तीन आयामों के साथ जुड़ा हुआ रिमेंनियन मैनिफोल्ड है, और यदि कोई फ़ंक्शन है $f:M\to \mathbb {R}$ ऐसा है कि $\operatorname {sec} (P)=f(p)$ सभी द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थानों के लिए $P\subset T_{p}M$ और सभी के लिए $p\in M,$ तब f स्थिर होना चाहिए और इसलिए (M,g) में निरंतर वक्रता होती है।

निरंतर अनुभागीय वक्रता के साथ रिमेंनियन मैनिफोल्ड को अंतरिक्ष रूप कहा जाता है। अगर $\kappa$ अनुभागीय वक्रता के निरंतर मूल्य को दर्शाता है, तो वक्रता टेंसर को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$R(u,v)w=\kappa {\big (}\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v{\big )}$

किसी के लिए $u,v,w\in T_{p}M.$

Proof Briefly: one polarization argument gives a formula for $R(u,v)v,$ a second (equivalent) polarization argument gives a formula for $R(u,v)w+R(u,w)v,$ and a combination with the first Bianchi identity recovers the given formula for $R(u,v)w.$

From the definition of sectional curvature, we know that $\langle R(u,v)v,u\rangle =\kappa \left(|u|^{2}|v|^{2}-\langle u,v\rangle ^{2}\right)$ whenever $u,v$ are linearly independent, and this easily extends to the case that $u,v$ are linearly dependent since both sides are then zero. Now, given arbitrary u,v,w, compute $\langle R(u+w,v)v,u+w\rangle$ in two ways. First, according to the above formula, it equals

$\kappa \left(|v|^{2}\left(|u|^{2}+|w|^{2}+2\langle u,w\rangle \right)-\langle u,v\rangle ^{2}-\langle w,v\rangle ^{2}-2\langle u,v\rangle \langle w,v\rangle \right).$

Secondly, by multilinearity, it equals $\langle R(u,v)v,u\rangle +\langle R(w,v)v,w\rangle +\langle R(u,v)v,w\rangle +\langle R(w,v)v,u\rangle ,$

which, recalling the Riemannian symmetry $\langle R(u,v)v,w\rangle =\langle R(w,v)v,u\rangle ,$ can be simplified to

$\kappa {\Big (}|u|^{2}|v|^{2}-\langle u,v\rangle ^{2}{\Big )}+\kappa {\Big (}|w|^{2}|v|^{2}-\langle w,v\rangle ^{2}{\Big )}+2\langle R(u,v)v,w\rangle .$

Setting these two computations equal to each other and canceling terms, one finds

$\langle R(u,v)v,w\rangle =\kappa {\Big (}|v|^{2}\langle u,w\rangle -\langle u,v\rangle \langle w,v\rangle {\Big )}.$

Since w is arbitrary this shows that

$R(u,v)v=\kappa {\Big (}|v|^{2}u-\langle u,v\rangle v{\Big )}$

for any u,v. Now let u,v,w be arbitrary and compute $R(u,v+w)(v+w)$ in two ways. Firstly, by this new formula, it equals

$\kappa \left(\left(|v|^{2}+|w|^{2}+2\langle v,w\rangle \right)u-\langle u,v\rangle v-\langle u,w\rangle v-\langle u,v\rangle w-\langle u,w\rangle w\right).$

Secondly, by multilinearity, it equals $R(u,v)v+R(u,w)w+R(u,v)w+R(u,w)v$ which by the new formula equals

$\kappa \left(|v|^{2}u-\langle u,v\rangle v\right)+\kappa \left(|w|^{2}u-\langle u,w\rangle w\right)+R(u,v)w+R(u,w)v.$

Setting these two computations equal to each other shows

$R(u,v)w+R(u,w)v=\kappa \left(2\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v-\langle u,v\rangle w\right).$

Swap $u$ and $v$, then add this to the Bianchi identity $R(v,u)w+R(u,w)v+R(w,v)u=0$ to get

$2R(v,u)w+R(u,w)v=\kappa \left(2\langle u,w\rangle v-\langle v,w\rangle u-\langle u,v\rangle w\right).$

Subtract these two equations, making use of the symmetry $R(u,v)w=-R(v,u)w,$ to get

$3R(u,v)w=3\kappa \left(\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v\right).$

चूँकि कोई भी रिमेंनियन मेट्रिक अपने लेवी-सिविता कनेक्शन के संबंध में समानांतर है, यह दर्शाता है कि किसी भी स्थिर-वक्रता स्थान का रीमैन टेंसर भी समानांतर है। रिक्की टेन्सर इसके द्वारा दिया जाता है $\operatorname {Ric} =(n-1)\kappa g$ और अदिश वक्रता है $n(n-1)\kappa .$ विशेष रूप से, कोई भी स्थिर-वक्रता स्थान आइंस्टीन है और निरंतर अदिश वक्रता रखता है।

मॉडल उदाहरण

सकारात्मक संख्या दी गई है $a,$ परिभाषित करना

• $\left(\mathbb {R} ^{n},g_{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ मानक Riemannian संरचना होना
• $\left(S^{n}(a),g_{S^{n}(a)}\right)$ गोला होना $S^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:|x|=a\right\}$ साथ $g_{S^{n}(a)}$ पर मानक रीमैनियन संरचना के पुलबैक द्वारा दिया गया $\mathbb {R} ^{n+1}$ समावेशन मानचित्र द्वारा $S^{n}(a)\to \mathbb {R} ^{n+1}$
• $\left(H^{n}(a),g_{H^{n}(a)}\right)$ गेंद होना $H^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|<a\right\}$ साथ $g_{H^{n}(a)}=a^{2}{\frac {\left(a^{2}-|x|^{2}\right)\left(dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}\right)-\left(x_{1}\,dx_{1}+\cdots +x_{n}\,dx_{n}\right)^{2}}{\left(a^{2}-|x|^{2}\right)^{2}}}.$

सामान्य शब्दावली में, इन रिमेंनियन मैनिफोल्ड को यूक्लिडियन अंतरिक्ष , एन-क्षेत्र और अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के रूप में संदर्भित किया जाता है। यहाँ, बिंदु यह है कि प्रत्येक निरंतर वक्रता के साथ पूर्ण रूप से जुड़ा हुआ चिकनी रीमैनियन मैनिफोल्ड है। सटीक होने के लिए, रिमेंनियन मीट्रिक $g_{\mathbb {R} ^{n}}$ निरंतर वक्रता 0 है, रिमेंनियन मीट्रिक $g_{S^{n}(a)}$ निरंतर वक्रता है $a^{-2},$ और रिमेंनियन मीट्रिक $g_{H^{n}(a)}$ निरंतर वक्रता है $-a^{-2}.$ इसके अलावा, ये इस अर्थ में 'सार्वभौमिक' उदाहरण हैं कि यदि $(M,g)$ निरंतर वक्रता के साथ चिकनी, जुड़ा हुआ और आसानी से जुड़ा हुआ पूर्ण रीमानियन कई गुना है, तो यह उपरोक्त उदाहरणों में से के लिए आइसोमेट्रिक है; विशेष उदाहरण के निरंतर वक्रता के मूल्य से तय होता है $g,$ उपरोक्त उदाहरणों की निरंतर वक्रता के अनुसार।

अगर $(M,g)$ निरंतर वक्रता के साथ चिकनी और जुड़ा हुआ पूर्ण रीमैनियन मैनिफोल्ड है, लेकिन इसे आसानी से जुड़ा हुआ नहीं माना जाता है, फिर सार्वभौमिक आवरण स्थान पर विचार करें $\pi :{\widetilde {M}}\to M$ पुलबैक Riemannian मीट्रिक के साथ $\pi ^{\ast }g.$ तब से $\pi$ टोपोलॉजिकल सिद्धांतों द्वारा, कवरिंग मैप, रीमैनियन मैनिफोल्ड है $({\widetilde {M}},\pi ^{\ast }g)$ स्थानीय रूप से आइसोमेट्रिक है $(M,g)$, और इसलिए यह समान निरंतर वक्रता के साथ चिकनी, जुड़ा हुआ, और आसानी से जुड़ा हुआ पूर्ण रीमैनियन मैनिफोल्ड है $g.$ यह तब उपरोक्त मॉडल उदाहरणों में से आइसोमेट्रिक होना चाहिए। ध्यान दें कि सार्वभौमिक आवरण के डेक रूपांतरण मीट्रिक के सापेक्ष आइसोमेट्री हैं $\pi ^{\ast }g.$ अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति कहे जाने वाले निरंतर नकारात्मक वक्रता के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का अध्ययन विशेष रूप से उल्लेखनीय है क्योंकि यह कई उल्लेखनीय घटनाओं को प्रदर्शित करता है।

स्केलिंग

होने देना $(M,g)$ चिकनी कई गुना हो, और चलो $\lambda$ सकारात्मक संख्या हो। रीमैनियन कई गुना पर विचार करें $(M,\lambda g).$ वक्रता टेन्सर, बहुरेखीय मानचित्र के रूप में $T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M,$ इस संशोधन से अपरिवर्तित है। होने देना $v,w$ में रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर बनें $T_{p}M$. तब

$K_{\lambda g}(v,w)={\frac {\lambda g\left(R^{\lambda g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{\lambda g}^{2}|w|_{\lambda g}^{2}-\langle v,w\rangle _{\lambda g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}{\frac {g\left(R^{g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{g}^{2}|w|_{g}^{2}-\langle v,w\rangle _{g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}K_{g}(v,w).$

तो मीट्रिक का गुणा द्वारा $\lambda$ द्वारा सभी अनुभागीय वक्रताओं को गुणा करता है $\lambda ^{-1}.$

टोपोनोगोव का प्रमेय

टोपोनोगोव की प्रमेय उनके यूक्लिडियन समकक्षों की तुलना में मोटे जियोडेसिक त्रिकोण कैसे दिखाई देते हैं, इसके संदर्भ में अनुभागीय वक्रता का लक्षण वर्णन करता है। मूल अंतर्ज्ञान यह है कि, यदि कोई स्थान सकारात्मक रूप से घुमावदार है, तो किसी दिए गए शीर्ष के विपरीत त्रिभुज का किनारा उस शीर्ष से दूर झुक जाएगा, जबकि यदि कोई स्थान ऋणात्मक रूप से घुमावदार है, तो त्रिभुज के विपरीत किनारे की प्रवृत्ति होगी शिखर की ओर झुकना।

अधिक सटीक रूप से, M को पूर्ण स्थान Riemannian कई गुना होने दें, और xyz को M में जियोडेसिक त्रिकोण होने दें (त्रिभुज जिसका प्रत्येक पक्ष लंबाई-न्यूनतम जियोडेसिक है)। अंत में, m को जियोडेसिक xy का मध्य बिंदु होने दें। यदि M में गैर-ऋणात्मक वक्रता है, तो सभी छोटे त्रिभुजों के लिए पर्याप्त है

$d(z,m)^{2}\geq {\frac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\frac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\frac {1}{4}}d(x,y)^{2}$

जहाँ d, M पर दूरी का कार्य है। समानता का मामला ठीक तब होता है जब M की वक्रता गायब हो जाती है, और दाहिने हाथ की ओर यूक्लिडियन अंतरिक्ष में शीर्ष से विपरीत दिशा में ही पक्ष वाले जियोडेसिक त्रिकोण की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है- त्रिकोण xyz के रूप में लंबाई। यह सटीक अर्थ बनाता है जिसमें त्रिकोण सकारात्मक रूप से घुमावदार स्थानों में मोटे होते हैं। गैर-सकारात्मक घुमावदार स्थानों में, असमानता दूसरे तरीके से जाती है:

$d(z,m)^{2}\leq {\frac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\frac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\frac {1}{4}}d(x,y)^{2}.$

यदि अनुभागीय वक्रता पर सख्त सीमाएँ ज्ञात हैं, तो यह संपत्ति एम में जियोडेसिक त्रिकोणों के बीच तुलना प्रमेय देने के लिए सामान्यीकृत होती है और जो उपयुक्त रूप से जुड़े अंतरिक्ष रूप में होती हैं; टोपोनोगोव प्रमेय देखें। यहां बताए गए संस्करण के सरल परिणाम हैं:

• पूर्ण रीमैनियन मैनिफोल्ड में गैर-नकारात्मक अनुभागीय वक्रता होती है यदि और केवल यदि कार्य करता है $f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)$ 1-रिमैनियन की शब्दावली और सभी बिंदुओं के लिए मीट्रिक ज्यामिति है।
• पूरी तरह से जुड़ा हुआ रिमेंनियन मैनिफोल्ड में गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता है यदि और केवल यदि कार्य करता है $f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)$ 1-रीमैनियन और मीट्रिक ज्यामिति की शब्दावली है।

== गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता == के साथ कई गुना 1928 में, एली कार्टन ने कार्टन-हैडमार्ड प्रमेय को सिद्ध किया: यदि एम गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता के साथ कई गुना पूर्ण स्थान है, तो इसका सार्वभौमिक आवरण यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए अलग-अलग है। विशेष रूप से, यह एस्फेरिकल स्पेस है: होमोटोपी समूह $\pi _{i}(M)$ i ≥ 2 के लिए तुच्छ हैं। इसलिए, पूर्ण गैर-सकारात्मक घुमावदार मैनिफोल्ड की सांस्थितिक संरचना इसके मौलिक समूह द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रीसमैन की प्रमेय नकारात्मक घुमावदार कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के मौलिक समूह को प्रतिबंधित करती है। कार्टन-हैडमार्ड अनुमान कहता है कि क्लासिकल आइसोपेरिमेट्रिक असमानता गैर-सकारात्मक वक्रता के सभी सरल रूप से जुड़े हुए स्थानों में होनी चाहिए, जिन्हें हैडमार्ड कई गुना कहा जाता है। कार्टन-हैडमार्ड मैनिफोल्ड।

== सकारात्मक अनुभागीय वक्रता == के साथ कई गुना धनात्मक रूप से घुमावदार मैनिफोल्ड की संरचना के बारे में बहुत कम जानकारी है। आत्मा प्रमेय (Cheeger & Gromoll 1972; Gromoll & Meyer 1969) का तात्पर्य है कि पूर्ण गैर-कॉम्पैक्ट गैर-नकारात्मक रूप से घुमावदार मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट गैर-नकारात्मक रूप से घुमावदार मैनिफोल्ड पर सामान्य बंडल के लिए भिन्न है। कॉम्पैक्ट पॉजिटिव कर्व्ड मैनिफोल्ड्स के लिए, दो शास्त्रीय परिणाम हैं:

• यह मायर्स प्रमेय से निकलता है कि इस तरह के कई गुना का मूल समूह परिमित है।
• यह सिंज प्रमेय से अनुसरण करता है कि इस तरह के कई गुना भी आयामों में मूलभूत समूह 0 है, यदि उन्मुख और $\mathbb {Z} _{2}$ अन्यथा। विषम आयामों में सकारात्मक रूप से घुमावदार मैनिफोल्ड हमेशा उन्मुख होता है।

इसके अलावा, कॉम्पैक्ट पॉजिटिवली कर्व्ड मैनिफोल्ड्स के अपेक्षाकृत कुछ उदाहरण हैं, बहुत सारे अनुमानों को छोड़कर (उदाहरण के लिए, हॉपफ अनुमान है कि क्या पर सकारात्मक अनुभागीय वक्रता का मीट्रिक है $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}$). नए उदाहरणों के निर्माण का सबसे विशिष्ट तरीका ओ'नील वक्रता सूत्रों से निम्नलिखित परिणाम है: यदि $(M,g)$ ली ग्रुप जी की मुक्त आइसोमेट्रिक क्रिया को स्वीकार करने वाला रिमेंनियन मैनिफोल्ड है, और एम में सभी 2-प्लेन ऑर्थोगोनल पर जी की कक्षाओं के लिए सकारात्मक अनुभागीय वक्रता है, फिर कई गुना $M/G$ भागफल मीट्रिक के साथ सकारात्मक अनुभागीय वक्रता है। यह तथ्य किसी को शास्त्रीय सकारात्मक रूप से घुमावदार रिक्त स्थान बनाने की अनुमति देता है, गोलाकार और प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान, साथ ही साथ ये उदाहरण भी (Ziller 2007):

• बर्गर रिक्त स्थान $B^{7}=SO(5)/SO(3)$ और $B^{13}=SU(5)/\operatorname {Sp} (2)\cdot \mathbb {S} ^{1}$.
• वैलाच स्थान (या सजातीय ध्वज कई गुना): $W^{6}=SU(3)/T^{2}$, $W^{12}=\operatorname {Sp} (3)/\operatorname {Sp} (1)^{3}$ और $W^{24}=F_{4}/\operatorname {Spin} (8)$.
• अलोफ-वैलाच रिक्त स्थान $W_{p,q}^{7}=SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{p},z^{q},{\overline {z}}^{p+q}\right)$.
• एसचेनबर्ग रिक्त स्थान $E_{k,l}=\operatorname {diag} \left(z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}}\right)\backslash SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}}\right)^{-1}.$
• बाज़ैकिन रिक्त स्थान $B_{p}^{13}=\operatorname {diag} \left(z_{1}^{p_{1}},\dots ,z_{1}^{p_{5}}\right)\backslash U(5)/\operatorname {diag} (z_{2}A,1)^{-1}$, कहाँ $A\in \operatorname {Sp} (2)\subset SU(4)$.

== गैर-नकारात्मक अनुभागीय वक्रता == के साथ कई गुना चीजर और ग्रोमोल ने अपनी आत्मा प्रमेय को सिद्ध किया जिसमें कहा गया है कि कोई भी गैर-नकारात्मक घुमावदार पूर्ण गैर-कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड $M$ पूरी तरह से उत्तल कॉम्पैक्ट सबमनीफोल्ड है $S$ ऐसा है कि $M$ के सामान्य बंडल के लिए अलग-अलग है $S$. इस तरह के $S$ की आत्मा कहलाती है $M$. विशेष रूप से, इस प्रमेय का तात्पर्य है $M$ इसकी आत्मा के लिए होमोटोपिक है $S$ जिसका आकार कम होता है $M$.

यह भी देखें

• रीमैन वक्रता टेन्सर
• रीमानियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता
• वक्रता
• होलोमॉर्फिक अनुभागीय वक्रता

संदर्भ

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• Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1972), "On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature", Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 96 (3): 413–443, doi:10.2307/1970819, JSTOR 1970819, MR 0309010.
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