एह्रेसमैन कनेक्शन

विभेदक ज्यामिति में, एह्रेसमैन कनेक्शन (फ्रांसीसी गणितज्ञ चार्ल्स एह्रेसमैन के बाद, जिन्होंने पहली बार इस अवधारणा को औपचारिक रूप दिया था) कनेक्शन (गणित) की धारणा का संस्करण है, जो किसी भी चिकनी फाइबर बंडल पर समझ में आता है। विशेष रूप से, यह अंतर्निहित फाइबर बंडल की संभावित वेक्टर बंडल संरचना पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन फिर भी, कनेक्शन (वेक्टर बंडल) को विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। एह्रेसमैन कनेक्शन का अन्य महत्वपूर्ण विशेष मामला प्रमुख बंडलों पर कनेक्शन (प्रमुख बंडल) है, जो कि प्रिंसिपल झूठ समूह एक्शन में समकक्ष होना आवश्यक है।

परिचय

डिफरेंशियल ज्योमेट्री में सहसंयोजक व्युत्पन्न रेखीय अंतर ऑपरेटर है जो सहसंयोजक_ट्रांसफॉर्मेशन तरीके से वेक्टर बंडल के खंड के दिशात्मक व्युत्पन्न को लेता है। यह सदिश की दिशा में बंडल के समानांतर परिवहन खंड की धारणा तैयार करने की भी अनुमति देता है: सदिश एक्स के साथ खंड समानांतर है यदि $\nabla _{X}s=0$. तो सहसंयोजक व्युत्पन्न कम से कम दो चीजें प्रदान करता है: अंतर ऑपरेटर, और प्रत्येक दिशा में समानांतर होने का अर्थ क्या है। 'एह्रेसमैन कनेक्शन' डिफरेंशियल ऑपरेटर को पूरी तरह से हटा देता है और प्रत्येक दिशा में समानांतर अनुभागों के संदर्भ में स्वयंसिद्ध रूप से कनेक्शन को परिभाषित करता है (Ehresmann 1950). विशेष रूप से, एह्रेस्मान कनेक्शन फाइबर बंडल के कुल स्थान के लिए प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान के वेक्टर उप-स्थान को एकल करता है, जिसे क्षैतिज स्थान कहा जाता है। खंड s तब क्षैतिज (यानी, समानांतर) दिशा X में है यदि ${\rm {d}}s(X)$ क्षैतिज स्थान में स्थित है। यहाँ हम फलन के रूप में s के बारे में बता रहे हैं $s\colon M\to E$ बेस एम से फाइबर बंडल ई तक, ताकि ${\rm {d}}s\colon TM\to s^{*}TE$ तब स्पर्शरेखा सदिशों का पुशफॉरवर्ड (अंतर) है। क्षैतिज रिक्त स्थान मिलकर वेक्टर सबबंडल बनाते हैं $TE$.

यह मात्र वेक्टर बंडलों की तुलना में संरचनाओं के व्यापक वर्ग पर निश्चित होने का तत्काल लाभ है। विशेष रूप से, यह सामान्य फाइबर बंडल पर अच्छी तरह से परिभाषित है। इसके अलावा, सहसंयोजक व्युत्पन्न की कई विशेषताएं अभी भी बनी हुई हैं: समानांतर परिवहन, वक्रता और समरूपता।

रैखिकता के अलावा, कनेक्शन का लापता घटक सहप्रसरण है। शास्त्रीय सहसंयोजक डेरिवेटिव के साथ, सहप्रसरण डेरिवेटिव की पश्चवर्ती विशेषता है। उनके निर्माण में क्रिस्टोफेल प्रतीकों के परिवर्तन कानून को निर्दिष्ट करता है - जो कि सहसंयोजक नहीं है - और फिर परिणामस्वरूप व्युत्पन्न का सामान्य सहप्रसरण होता है। एह्रेसमैन कनेक्शन के लिए, फाइबर बंडल के तंतुओं पर अभिनय करने वाले लाई समूह को शुरू करके शुरू से ही सामान्यीकृत सहप्रसरण सिद्धांत लागू करना संभव है। उचित शर्त यह है कि क्षैतिज रिक्त स्थान निश्चित अर्थ में, समूह क्रिया के संबंध में समकक्ष हो।

एह्रेस्मान कनेक्शन के लिए परिष्कृत स्पर्श यह है कि इसे अंतर रूप के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, उसी तरह जैसे कनेक्शन प्रपत्र के मामले में। यदि समूह तंतुओं पर कार्य करता है और कनेक्शन समतुल्य है, तो रूप भी समतुल्य होगा। इसके अलावा, कनेक्शन फॉर्म वक्रता की परिभाषा को वक्रता रूप के रूप में भी अनुमति देता है।

औपचारिक परिभाषा

एह्रेस्मान कनेक्शन क्षैतिज उप-स्थान का विकल्प है $H_{p}\subset T_{p}P$ हर के लिए $p\in P$, कहाँ $P$ कुछ फाइबर बंडल है, आमतौर पर प्रमुख बंडल।

होने देना $\pi \colon E\to M$ चिकना फाइबर बंडल बनें। होने देना

$V=\ker(\operatorname {d} \pi \colon TE\to TM)$ 'ई' के तंतुओं, यानी 'वी' के तंतु पर स्पर्शरेखा सदिशों से युक्त ऊर्ध्वाधर बंडल बनें $e\in E$ है $V_{e}=T_{e}(E_{\pi (e)})$. का यह उपसमूह $TE$ आधार स्थान एम के लिए कोई विहित उप-स्पर्श स्पर्शरेखा नहीं होने पर भी विहित रूप से परिभाषित किया गया है। (बेशक, यह विषमता फाइबर बंडल की परिभाषा से आती है, जिसमें केवल प्रक्षेपण है $\pi \colon E\to M$ जबकि उत्पाद $E=M\times F$ दो होंगे।)

क्षैतिज उपस्थानों के माध्यम से परिभाषा

E पर Ehresmann कनेक्शन स्मूथ सबबंडल H का है $TE$, कनेक्शन का क्षैतिज बंडल कहा जाता है, जो V का पूरक है, इस अर्थ में कि यह वेक्टर बंडलों के अपघटन के प्रत्यक्ष योग को परिभाषित करता है $TE=H\oplus V$. अधिक विस्तार से, क्षैतिज बंडल में निम्नलिखित गुण होते हैं।

• प्रत्येक बिंदु के लिए $e\in E$, $H_{e}$ स्पर्शरेखा स्थान का सदिश स्थान है $T_{e}E$ ई पर ई, ई पर कनेक्शन के क्षैतिज उप-स्थान कहा जाता है।
• $H_{e}$ स्मूथ फंक्शन # स्मूथनेस ई पर निर्भर करता है।
• प्रत्येक के लिए $e\in E$, $H_{e}\cap V_{e}=\{0\}$.
• टी में कोई स्पर्शरेखा सदिश_eE (किसी भी e∈E के लिए) क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक का योग है, ताकि T_eई = एच_e + वी_e.

अधिक परिष्कृत शब्दों में, इन गुणों को संतुष्ट करने वाले क्षैतिज रिक्त स्थान का ऐसा असाइनमेंट जेट बंडल जे के चिकनी खंड से ठीक मेल खाता है¹ई → ई.

कनेक्शन फार्म के माध्यम से परिभाषा

समान रूप से, चलो Φ ऊर्ध्वाधर बंडल V पर H के साथ प्रक्षेपण हो (ताकि H = ker Φ). यह टीई के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर भागों में उपरोक्त प्रत्यक्ष योग अपघटन द्वारा निर्धारित किया जाता है और इसे कभी-कभी एह्रेसमैन कनेक्शन का कनेक्शन रूप कहा जाता है। इस प्रकार Φ निम्नलिखित गुणों (सामान्य रूप से अनुमानों) के साथ TE से स्वयं के लिए सदिश बंडल समरूपता है:

• Φ² = Φ;
• Φ V =Im पर तत्समक है Φ.

इसके विपरीत यदि Φ TE का सदिश बंडल एंडोमोर्फिज्म है जो इन दो गुणों को संतुष्ट करता है, तो H = ker Φ एह्रेस्मान कनेक्शन का क्षैतिज सबबंडल है।

अंत में, ध्यान दें Φ, अपने आप में प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान का रेखीय मानचित्रण होने के नाते, E पर TE-मूल्यवान 1-रूप के रूप में भी माना जा सकता है। यह आने वाले अनुभागों में उपयोगी परिप्रेक्ष्य होगा।

क्षैतिज लिफ्टों के माध्यम से समानांतर परिवहन

एह्रेस्मान कनेक्शन भी फाइबर बंडल ई की कुल जगह में बेस मैनिफोल्ड एम से वक्र उठाने के लिए तरीका निर्धारित करता है ताकि वक्र के स्पर्शक क्षैतिज हों। ये क्षैतिज लिफ्ट कनेक्शन औपचारिकता के अन्य संस्करणों के लिए समानांतर परिवहन का प्रत्यक्ष एनालॉग हैं।

विशेष रूप से, मान लें कि γ(t), M में बिंदु x = γ(0) से होते हुए चिकना वक्र है। चलो ई ∈ ई_x एक्स पर फाइबर में बिंदु बनें। ई के माध्यम से γ का 'लिफ्ट' वक्र है ${\tilde {\gamma }}(t)$ कुल स्थान E में ऐसा है

${\tilde {\gamma }}(0)=e$, और $\pi ({\tilde {\gamma }}(t))=\gamma (t).$

लिफ्ट क्षैतिज है यदि, इसके अलावा, वक्र का प्रत्येक स्पर्शरेखा TE के क्षैतिज उपबंडल में स्थित है:

${\tilde {\gamma }}'(t)\in H_{{\tilde {\gamma }}(t)}.$

इसे π और पर लागू रैंक-शून्यता प्रमेय का उपयोग करके दिखाया जा सकता है Φ कि प्रत्येक सदिश X∈T_xएम में वेक्टर के लिए अद्वितीय क्षैतिज लिफ्ट है ${\tilde {X}}\in T_{e}E$. विशेष रूप से, γ के लिए स्पर्शरेखा क्षेत्र पुलबैक बंडल γ*E के कुल स्थान में क्षैतिज सदिश क्षेत्र उत्पन्न करता है। पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय के अनुसार, यह सदिश क्षेत्र सदिश क्षेत्र#प्रवाह वक्र है। इस प्रकार, किसी वक्र γ और बिंदु e पर x = γ(0) के लिए, छोटे समय t के लिए γ से e तक का अद्वितीय क्षैतिज लिफ़्ट मौजूद है।

ध्यान दें कि, सामान्य एह्रेस्मान कनेक्शन के लिए, क्षैतिज लिफ्ट पथ-निर्भर है। जब M में दो चिकने वक्र, γ पर मेल खाते हैं₁(0) = सी₂(0) = एक्स₀ और अन्य बिंदु x पर भी प्रतिच्छेद करता है₁∈ M, समान e ∈ π के माध्यम से क्षैतिज रूप से E तक उठाये जाते हैं^-1(x₀), वे आम तौर पर π के विभिन्न बिंदुओं से गुजरेंगे^-1(x₁). फाइबर बंडलों के विभेदक ज्यामिति के लिए इसका महत्वपूर्ण परिणाम है: एच के वर्गों का स्थान ई पर वेक्टर फ़ील्ड्स के स्थान का झूठ बोलना नहीं है, क्योंकि यह झूठ व्युत्पन्न के तहत (सामान्य रूप से) बंद नहीं है। लाई ब्रैकेट के नीचे बंद होने की इस विफलता को वक्रता द्वारा मापा जाता है।

गुण

वक्रता

होने देना Φ एह्रेस्मान कनेक्शन हो। फिर की वक्रता Φ द्वारा दिया गया है

$R={\tfrac {1}{2}}[\varPhi ,\varPhi ]$

जहां [-,-] फ्रॉलीशर-निजेनहुइस ब्रैकेट को दर्शाता है {{mvar|Φ}∈ Ω¹(ई, टीई) स्वयं के साथ। इस प्रकार आर ∈ Ω²(E,TE) E पर दो रूप है जिसमें TE द्वारा परिभाषित मान हैं

$R(X,Y)=\varPhi \left([(\mathrm {id} -\varPhi )X,(\mathrm {id} -\varPhi )Y]\right)$,

या, दूसरे शब्दों में,

$R\left(X,Y\right)=\left[X_{H},Y_{H}\right]_{V}$,

जहां एक्स = एक्स_H + एक्स_V क्रमशः एच और वी घटकों में प्रत्यक्ष योग अपघटन को दर्शाता है। वक्रता के लिए इस अंतिम अभिव्यक्ति से, यह समान रूप से गायब होने के लिए देखा जाता है, और केवल अगर, क्षैतिज उपबंडल फ्रोबेनियस एकीकरण प्रमेय है। इस प्रकार वक्रता क्षैतिज सबबंडल के लिए फाइबर बंडल ई → एम के अनुप्रस्थ वर्गों को प्राप्त करने के लिए अभिन्नता की स्थिति है।

एह्रेस्मान कनेक्शन की वक्रता भी बियांची पहचान के संस्करण को संतुष्ट करती है:

$\left[\varPhi ,R\right]=0$

जहां फिर से [-,-] फ्रॉलीशर-निजेनहुइस का ब्रैकेट है {{mvar|Φ}∈ Ω¹(ई, टीई) और आर ∈ Ω²(ई, टीई)।

पूर्णता

एह्रेस्मान कनेक्शन घटता को अद्वितीय क्षैतिज लिफ्ट स्थानीय संपत्ति रखने की अनुमति देता है। पूर्ण एह्रेस्मान कनेक्शन के लिए, वक्र क्षैतिज रूप से अपने संपूर्ण डोमेन पर उठाया जा सकता है।

होलोनॉमी

कनेक्शन की सपाटता स्थानीय रूप से क्षैतिज रिक्त स्थान के फ्रोबेनियस प्रमेय (अंतर टोपोलॉजी) से मेल खाती है। दूसरे चरम पर, गैर-लुप्त होने वाली वक्रता का तात्पर्य कनेक्शन की समग्रता की उपस्थिति से है।

विशेष मामले

प्रिंसिपल बंडल और प्रिंसिपल कनेक्शन

Main article: Connection (principal bundle)

प्रिंसिपल बंडल कनेक्शन फॉर्म $\omega$ स्पर्शरेखा बंडल पर प्रक्षेपण ऑपरेटर के रूप में सोचा जा सकता है $TP$ मुख्य बंडल का $P$. कनेक्शन फॉर्म का कर्नेल संबंधित एह्रेसमैन कनेक्शन के लिए क्षैतिज उप-स्थानों द्वारा दिया गया है।

मान लीजिए कि E स्मूथ प्रिंसिपल बंडल है| M के ऊपर प्रिंसिपल G-बंडल है। फिर E पर Ehresmann कनेक्शन H को 'प्रिंसिपल (Ehresmann) कनेक्शन' कहा जाता है। यदि यह E पर G क्रिया के संबंध में इस अर्थ में अपरिवर्तनीय है

$H_{eg}=\mathrm {d} (R_{g})_{e}(H_{e})$ किसी भी e∈E और g∈G के लिए; यहाँ $\mathrm {d} (R_{g})_{e}$ ई पर ई पर जी के समूह क्रिया (गणित) के अंतर को दर्शाता है।

जी के एक-पैरामीटर उपसमूह ई पर लंबवत रूप से कार्य करते हैं। इस क्रिया का अंतर किसी को उप-स्थान की पहचान करने की अनुमति देता है $V_{e}$ समूह 'जी' के झूठ बीजगणित जी के साथ, मानचित्र द्वारा कहें $\iota \colon V_{e}\to {\mathfrak {g}}$. Ehresmann कनेक्शन के कनेक्शन फॉर्म v को तब ω(X)=ι(v(X)) द्वारा परिभाषित 'g' में मानों के साथ E पर 1-फॉर्म ω के रूप में देखा जा सकता है।

इस प्रकार पुनर्व्याख्या की गई, कनेक्शन फॉर्म ω निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करता है:

• यह G क्रिया के तहत समान रूप से रूपांतरित होता है: $R_{h}^{*}\omega ={\hbox{Ad}}(h^{-1})\omega$ सभी h∈G के लिए, जहाँ R_h^* सही क्रिया के तहत पुलबैक (अंतर ज्यामिति) है और विज्ञापन इसके लाई बीजगणित पर G का आसन्न प्रतिनिधित्व है।
• यह लाई बीजगणित के उनके संबंधित तत्वों के लिए लंबवत वेक्टर फ़ील्ड को मैप करता है: ω(X)=ι(X) सभी X∈V के लिए।

इसके विपरीत, यह दिखाया जा सकता है कि प्रमुख बंडल पर ऐसा 'जी'-मूल्यवान 1-रूप उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करने वाला क्षैतिज वितरण उत्पन्न करता है।

स्थानीय तुच्छीकरण को देखते हुए क्षैतिज सदिश क्षेत्रों में ω को कम किया जा सकता है (इस तुच्छीकरण में)। यह पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) के माध्यम से बी पर 1-फॉर्म ω' को परिभाषित करता है। फॉर्म ω' ω को पूरी तरह से निर्धारित करता है, लेकिन यह तुच्छीकरण के विकल्प पर निर्भर करता है। (इस फॉर्म को अक्सर 'कनेक्शन फॉर्म' भी कहा जाता है और इसे केवल ω द्वारा दर्शाया जाता है।)

सदिश बंडल और सहपरिवर्ती डेरिवेटिव

Main article: Connection (vector bundle)

मान लीजिए कि E, M के ऊपर स्मूथ वेक्टर बंडल है। फिर E पर Ehresmann कनेक्शन H को 'रैखिक (Ehresmann) कनेक्शन' कहा जाता है यदि H_e ई ∈ ई पर रैखिक रूप से निर्भर करता है_x प्रत्येक x ∈ M के लिए। इसे सटीक बनाने के लिए, मान लीजिए S_λ ई पर λ द्वारा स्केलर गुणा को निरूपित करें। फिर एच रैखिक है अगर और केवल अगर $H_{\lambda e}=\mathrm {d} (S_{\lambda })_{e}(H_{e})$किसी भी ई ∈ ई और अदिश λ के लिए।

चूँकि E वेक्टर बंडल है, इसका वर्टिकल बंडल V π*E के लिए आइसोमॉर्फिक है। इसलिए यदि s, E का भाग है, तब v(ds):TM→s*V=s*π*E=E. यह वेक्टर बंडल आकारिकी है, और इसलिए वेक्टर बंडल होम (टीएम, ई) के खंड ∇s द्वारा दिया जाता है। तथ्य यह है कि एह्रेसमैन कनेक्शन रैखिक है, इसका अर्थ यह है कि इसके अतिरिक्त यह प्रत्येक कार्य के लिए सत्यापित करता है $f$ पर $M$ लीबनिज नियम, यानी $\nabla (fs)=f\nabla (s)+d(f)\otimes s$, और इसलिए s का कनेक्शन (वेक्टर बंडल) है।

इसके विपरीत कनेक्शन (वेक्टर बंडल) ∇ वेक्टर बंडल पर H को परिभाषित करके रैखिक एह्रेसमैन कनेक्शन को परिभाषित करता है_e, x=π(e) के साथ e ∈ E के लिए, प्रतिबिंब ds होना चाहिए_x(टी_xM) जहां s, s(x) = e और ∇ के साथ E का खंड है_Xएस = 0 सभी एक्स ∈ टी के लिए_xएम।

ध्यान दें कि (ऐतिहासिक कारणों से) शब्द रेखीय जब कनेक्शन पर लागू होता है, तो कभी-कभी स्पर्शरेखा बंडल या फ्रेम बंडल पर परिभाषित कनेक्शन को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है (जैसे शब्द affine - Affine कनेक्शन देखें)।

संबद्ध बंडल

फाइबर बंडल ( संरचना समूह के साथ संपन्न) पर एह्रेस्मान कनेक्शन कभी-कभी संबंधित बंडल पर एह्रेस्मान कनेक्शन को जन्म देता है। उदाहरण के लिए, (रैखिक) कनेक्शन (वेक्टर बंडल) ई, ऊपर के रूप में ई की समानता देने के बारे में सोचा, ई के फ्रेम पीई के जुड़े बंडल पर कनेक्शन प्रेरित करता है। इसके विपरीत, पीई में कनेक्शन (रैखिक) को जन्म देता है ई में कनेक्शन प्रदान किया गया है कि पीई में कनेक्शन फ्रेम पर सामान्य रैखिक समूह की कार्रवाई के संबंध में समतुल्य है (और इस प्रकार कनेक्शन (प्रमुख बंडल))। एह्रेसमैन कनेक्शन के लिए स्वाभाविक रूप से संबद्ध बंडल पर कनेक्शन को प्रेरित करना हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, वेक्टर बंडल के फ्रेम के बंडल पर गैर-समतुल्य एह्रेसमैन कनेक्शन वेक्टर बंडल पर कनेक्शन को प्रेरित नहीं कर सकता है।

मान लीजिए कि E, P का संबद्ध बंडल है, जिससे कि E = P × है_G एफ। ई पर 'जी-कनेक्शन' एह्रेस्मान कनेक्शन है जैसे समानांतर परिवहन मानचित्र τ: एफ_x → एफ_x′ तंतुओं के जी-परिवर्तन द्वारा दिया जाता है (पर्याप्त रूप से पास के बिंदु x और x 'M में वक्र से जुड़ा हुआ है)। पी पर प्रमुख कनेक्शन दिया गया है, संबंधित फाइबर बंडल ई = पी × पर जी-कनेक्शन प्राप्त करता है_G एफ पुलबैक (अंतर ज्यामिति) के माध्यम से।

इसके विपरीत, ई पर जी-कनेक्शन दिया गया है, संबंधित प्रिंसिपल बंडल पी पर प्रिंसिपल कनेक्शन को पुनर्प्राप्त करना संभव है। इस प्रिंसिपल कनेक्शन को पुनर्प्राप्त करने के लिए, सामान्य फाइबर एफ पर फ्रेम की धारणा पेश करता है। चूंकि जी परिमित-आयामी है F पर प्रभावी ढंग से कार्य करने वाले झूठ समूह, बिंदुओं का परिमित विन्यास मौजूद होना चाहिए (y₁,...,और_m) F के भीतर ऐसा है कि G-ऑर्बिट R = {(gy₁,...,जी_m) | जी ∈ जी} जी का प्रमुख सजातीय स्थान है। एफ पर जी-एक्शन के लिए फ्रेम की धारणा का सामान्यीकरण देने के रूप में आर के बारे में सोच सकते हैं। ध्यान दें कि, चूंकि आर जी के लिए प्रमुख सजातीय स्थान है, फाइबर ठेठ फाइबर आर के साथ ई से जुड़ा बंडल ई (आर) ई से जुड़े प्रमुख बंडल (समतुल्य) है। लेकिन यह ई के एम-फोल्ड उत्पाद बंडल का सबबंडल भी है। ई पर क्षैतिज रिक्त स्थान का वितरण इस उत्पाद बंडल पर रिक्त स्थान के वितरण को प्रेरित करता है। चूंकि कनेक्शन से जुड़े समानांतर परिवहन मानचित्र जी-नक्शे हैं, वे उप-स्थान ई (आर) को संरक्षित करते हैं, और इसलिए जी-कनेक्शन ई (आर) पर प्रमुख जी-कनेक्शन के लिए उतरता है।

सारांश में, संबंधित फाइबर बंडलों के प्रमुख कनेक्शनों के अवरोही और संबंधित फाइबर बंडलों पर जी-कनेक्शन के बीच एक-से- पत्राचार (समतुल्यता तक) है। इस कारण से, संरचना समूह जी के साथ फाइबर बंडलों की श्रेणी में, प्रमुख कनेक्शन में संबंधित बंडलों पर जी-कनेक्शन के लिए सभी प्रासंगिक जानकारी होती है। इसलिए, जब तक संबंधित बंडलों पर कनेक्शन पर विचार करने के लिए कोई प्रमुख कारण नहीं है (जैसा कि, उदाहरण के लिए, कार्टन कनेक्शन के मामले में है) आमतौर पर मुख्य कनेक्शन के साथ सीधे काम करता है।

संदर्भ

• Ehresmann, Charles (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable (PDF), Colloque de Topologie, Bruxelles, Georges Thone, Liège; Masson & cie, Paris, pp. 29–55
• Ehresmann, Charles (1952), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable (PDF), Séminaire N. Bourbaki, vol. 24, pp. 153–168
• Eliason, H (1967), "Geometry of manifolds of maps", Journal of Differential Geometry, 1: 169–194
• Kobayashi, Shoshichi (1957), "Theory of connections", Ann. Mat. Pura Appl., 43: 119–194, doi:10.1007/BF02411907, MR 0096276, S2CID 120972987
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996a), Foundations of Differential Geometry, vol. 1 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996b), Foundations of Differential Geometry, vol. 2 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-15732-8
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on 2017-03-30, retrieved 2007-04-25
• Lang, Serge (1999), Fundamentals of differential geometry, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98593-X
• Lumiste, Ülo (2001a) [1994], "Connection on a fibre bundle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Lumiste, Ülo (2001b) [1994], "Connections on a manifold", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Reeb, Georges (1952), Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Paris: Herman

अग्रिम पठन

• Raoul Bott (1970) "Topological obstruction to integrability", Proc. Symp. Pure Math., 16 Amer. Math. Soc., Providence, RI.
• Kubarski, Jan; Pradines, Jean; Rybicki, Tomasz; Wolak, Robert, eds. (2007). Geometry and topology of manifolds: The mathematical legacy of Charles Ehresmann on the occasion of the hundredth anniversary of his birthday. Banach Center Publications. Vol. 76. Warsaw: Polish Academy of Sciences. MR 2284825.