एक तरफा सीमा: Difference between revisions

Revision as of 00:48, 1 May 2023

कलन में, एक तरफा सीमा किसी फलन (गणित) के फलन की दो सीमाओं में से किसी एक को संदर्भित करती है। $f(x)$ एक वास्तविक संख्या चर का $x$ जैसा $x$ किसी निर्दिष्ट बिंदु तक या तो बाएँ से या दाएँ से पहुँचता है।^[1]^[2]

सीमा के रूप में $x$ मूल्य में कमी आ रही है $a$ ( $x$ दृष्टिकोण $a$ दाईं ओर से^[3] या ऊपर से ) निरूपित किया जा सकता है:^[1]^[2]

\lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)

सीमा के रूप में

x

मूल्य में वृद्धि आ रही है

a

(

x

दृष्टिकोण

a

बाएं से^[4]^[5] या नीचे से ) निरूपित किया जा सकता है।^[1]^[2]

\lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)

अगर की सीमा

f(x)

के रूप में जैसा

x

दृष्टिकोण

a

अस्तित्व में है तो बाएँ और दाएँ दोनों की सीमाएँ उपस्थित हैं और समान हैं। कुछ स्थितियों में जिनमें सीमा

\lim _{x\to a}f(x)

उपस्थित नहीं है, फिर भी दो एकतरफा सीमाएँ उपस्थित हैं। परिणामस्वरूप, के रूप में सीमा

x

दृष्टिकोण

a

कभी-कभी दो तरफा सीमा कहा जाता है।

दो एकतरफा सीमाओं में से एक का अस्तित्व में होना संभव है (जबकि दूसरी का अस्तित्व नहीं है)। यह भी संभव है कि दो एकतरफा सीमाओं में से किसी का भी अस्तित्व न हो।

औपचारिक परिभाषा

परिभाषा

अगर $I$ कुछ अंतराल (गणित) का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी फलन के डोमेन में निहित है $f$ और अगर $a$ में बिंदु है $I$ फिर दाईं ओर की सीमा के रूप में $x$ दृष्टिकोण $a$ मूल्य के रूप में कड़ाई से परिभाषित किया जा सकता है $R$ जो संतुष्ट करता है।^[6]

{\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<x-a<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,

और बाईं ओर की सीमा के रूप में

x

दृष्टिकोण

a

मूल्य के रूप में कड़ाई से परिभाषित किया जा सकता है

L

जो संतुष्ट करता है।

{\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<a-x<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .

हम एक ही चीज़ को अधिक प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं।

होने देना $I$ अंतराल का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहां $I\subseteq \mathrm {domain} (f)$ , और $a\in I$ .

\lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))

\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))

अंतर्ज्ञान

बिंदु पर फलन की सीमा के लिए औपचारिक परिभाषा की तुलना में, एक तरफा सीमा (जैसा कि नाम से पता चलता है) केवल इनपुट मूल्यों से संपर्क किए गए इनपुट मूल्य के एक तरफ से संबंधित है।

संदर्भ के लिए, किसी बिंदु पर फलन की सीमा के लिए औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है:

\lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon

एकतरफा सीमा को परिभाषित करने के लिए, हमें इस असमानता को संशोधित करना होगा। ध्यान दें कि के बीच पूर्ण दूरी $x$ और $a$ है।

|x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|

.

दाईं ओर से सीमा के लिए, हम चाहते हैं $x$ के दाईं ओर होना $a$ , जिसका अर्थ है कि $a<x$ , इसलिए $x-a$ सकारात्मक है। उपर से, $x-a$ के बीच की दूरी है $x$ और $a$ . हम इस दूरी को अपने मूल्य से बांधना चाहते हैं $\delta$ , असमानता दे रहा है $x-a<\delta$ . असमानताओं को एक साथ रखना $0<x-a$ और $x-a<\delta$ और असमानताओं के सकर्मक संबंध गुण का उपयोग करके, हमारे पास यौगिक असमानता $0<x-a<\delta$ है ।

इसी प्रकार, बाएँ से सीमा के लिए, हम चाहते हैं $x$ के बाईं ओर होना $a$ , जिसका अर्थ है कि $x<a$ . इस स्थितियों में, यह है $a-x$ यह सकारात्मक है और बीच की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है $x$ और $a$ . दोबारा, हम इस दूरी को हमारे मूल्य से बांधना चाहते हैं $\delta$ , यौगिक असमानता के लिए अग्रणी $0<a-x<\delta$ है।

अब, जब हमारे मूल्य $x$ अपने वांछित अंतराल में है, हम उम्मीद करते हैं कि का मूल्य $f(x)$ अपने वांछित अंतराल के अन्दर भी है। बीच की दूरी $f(x)$ और $L$ , बाईं ओर की सीमा का सीमित मान है $|f(x)-L|$ . इसी प्रकार, के बीच की दूरी $f(x)$ और $R$ , दाईं ओर की सीमा का सीमित मान है $|f(x)-R|$ . दोनों ही स्थितियों में, हम इस दूरी को सीमित करना चाहते हैं $\varepsilon$ , तो हमें निम्नलिखित मिलता है $|f(x)-L|<\varepsilon$ बाईं ओर की सीमा के लिए, और $|f(x)-R|<\varepsilon$ दाईं ओर की सीमा के लिए होता है।

उदाहरण

उदाहरण 1:

बाएँ से और दाएँ से सीमाएँ $g(x):=-{\frac {1}{x}}$ जैसा $x$ दृष्टिकोण $a:=0$ हैं।

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

कारण क्यों

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty

क्योंकि

x

हमेशा नकारात्मक होता है (चूंकि

x\to 0^{-}

अर्थ है कि

x\to 0

के सभी मूल्यों के साथ

x

संतुष्टि देने वाला

x<0

), जिसका तात्पर्य है

-1/x

हमेशा सकारात्मक होता है। जिससे

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}

विचलन^{[note 1]} को

+\infty

(और नहीं

-\infty

) जैसा

x

दृष्टिकोण

0

बाएं से।

इसी प्रकार, $\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty$ के सभी मूल्यों के बाद से $x$ संतुष्ट करना $x>0$ (अलग विधि से कहा, $x$ हमेशा सकारात्मक होता है) जैसा $x$ दृष्टिकोण $0$ दाईं ओर से, जिसका तात्पर्य है $-1/x$ हमेशा नकारात्मक होता है जिससे $\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}$ की ओर $-\infty .$ मुड़ता है।

फलन का प्लॉट

1/(1+2^{-1/x}).

उदाहरण 2:

भिन्न एक तरफा सीमा वाले फलन का उदाहरण है $f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},$ (cf. चित्र) जहां बाएँ से सीमा है $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0$ और दाएँ से सीमा है। $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.$ इन सीमाओं की गणना करने के लिए, पहले उसे दिखाएँ

\lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0

(जो सच है क्योंकि

\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty

)

जिससे फलस्वरूप,

\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1

जबकि

 $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0$  क्योंकि भाजक अनंत की ओर जाता है; वह है क्योंकि  $\lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty .$  तब से  $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),$  सीमा  $\lim _{x\to 0}f(x)$  उपस्थित नहीं होना।

सीमा की स्थलाकृतिक परिभाषा से संबंध

बिंदु की एकतरफा सीमा $p$ फलन की सीमा से मेल खाता है टोपोलॉजिकल स्पेस पर फलन, फलन के डोमेन को एक तरफ प्रतिबंधित किया गया है, या तो यह अनुमति देकर कि फलन डोमेन संस्थानिक स्पेस का उप-समुच्चय है, या एक तरफा सबस्पेस पर विचार करके, सहित $p.$ ^[1] वैकल्पिक रूप से, कोई डोमेन को आधे-खुले अंतराल टोपोलॉजी के साथ मान सकता है।

एबेल का प्रमेय

अभिसरण के त्रिज्या की सीमाओं पर कुछ शक्ति श्रृंखला की एक तरफा सीमाओं का व्यवहार करने वाला उल्लेखनीय प्रमेय हाबिल का प्रमेय है।

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 "एकतरफा सीमा - गणित का विश्वकोश". encyclopediaofmath.org. Retrieved 7 August 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Fridy, J. A. (24 January 2020). Introductory Analysis: The Theory of Calculus (in English). Gulf Professional Publishing. p. 48. ISBN 978-0-12-267655-0. Retrieved 7 August 2021.
↑ Hasan, Osman; Khayam, Syed (2014-01-02). "Towards Formal Linear Cryptanalysis using HOL4" (PDF). Journal of Universal Computer Science (in English). 20 (2): 209. doi:10.3217/jucs-020-02-0193. ISSN 0948-6968.
↑ Gasic, Andrei G. (2020-12-12). जीवित पदार्थ में प्रोटीन की चरण घटना (Thesis thesis) (in English).
↑ Brokate, Martin; Manchanda, Pammy; Siddiqi, Abul Hasan (2019), "Limit and Continuity", Calculus for Scientists and Engineers (in English), Singapore: Springer Singapore, pp. 39–53, doi:10.1007/978-981-13-8464-6_2, ISBN 978-981-13-8463-9, S2CID 201484118, retrieved 2022-01-11
↑ Giv, Hossein Hosseini (28 September 2016). गणितीय विश्लेषण और इसकी अंतर्निहित प्रकृति (in English). American Mathematical Soc. p. 130. ISBN 978-1-4704-2807-5. Retrieved 7 August 2021.

यह भी देखें

अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा
अर्ध-भिन्नता
श्रेष्ठ को सीमित करो और हीन को सीमित करो

श्रेणी:वास्तविक विश्लेषण

श्रेणी:सीमाएं (गणित)

श्रेणी:कार्य और मानचित्रण

[7] A limit that is equal to $\infty$ is said to diverge to $\infty$ rather than converge to $\infty .$ The same is true when a limit is equal to $-\infty .$

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 "एकतरफा सीमा - गणित का विश्वकोश". encyclopediaofmath.org. Retrieved 7 August 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[:1-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Fridy, J. A. (24 January 2020). Introductory Analysis: The Theory of Calculus (in English). Gulf Professional Publishing. p. 48. ISBN 978-0-12-267655-0. Retrieved 7 August 2021.

[3] Hasan, Osman; Khayam, Syed (2014-01-02). "Towards Formal Linear Cryptanalysis using HOL4" (PDF). Journal of Universal Computer Science (in English). 20 (2): 209. doi:10.3217/jucs-020-02-0193. ISSN 0948-6968.

[4] Gasic, Andrei G. (2020-12-12). जीवित पदार्थ में प्रोटीन की चरण घटना (Thesis thesis) (in English).

[5] Brokate, Martin; Manchanda, Pammy; Siddiqi, Abul Hasan (2019), "Limit and Continuity", Calculus for Scientists and Engineers (in English), Singapore: Springer Singapore, pp. 39–53, doi:10.1007/978-981-13-8464-6_2, ISBN 978-981-13-8463-9, S2CID 201484118, retrieved 2022-01-11

[6] Giv, Hossein Hosseini (28 September 2016). गणितीय विश्लेषण और इसकी अंतर्निहित प्रकृति (in English). American Mathematical Soc. p. 130. ISBN 978-1-4704-2807-5. Retrieved 7 August 2021.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[note 1]

@@ Line 3: / Line 3: @@
 <math display=block>\lim_{x \to a^+}f(x) \quad \text{ or } \quad \lim_{x\,\downarrow\,a}\,f(x) \quad \text{ or } \quad \lim_{x \searrow a}\,f(x) \quad \text{ or } \quad f(x+)</math>
-सीमा के रूप में <math>x</math> मूल्य में वृद्धि आ रही है <math>a</math> (<math>x</math> दृष्टिकोण <math>a</math> बाएं से<ref>{{Cite thesis|title=जीवित पदार्थ में प्रोटीन की चरण घटना|url=https://uh-ir.tdl.org/handle/10657/8010|date=2020-12-12|degree=Thesis|language=en|first=Andrei G.|last=Gasic}}</ref><ref>{{Citation|last1=Brokate|first1=Martin|title=Limit and Continuity|date=2019|url=http://link.springer.com/10.1007/978-981-13-8464-6_2|work=Calculus for Scientists and Engineers|pages=39–53|place=Singapore|publisher=Springer Singapore|language=en|doi=10.1007/978-981-13-8464-6_2|isbn=978-981-13-8463-9|access-date=2022-01-11|last2=Manchanda|first2=Pammy|last3=Siddiqi|first3=Abul Hasan|s2cid=201484118}}</ref> या नीचे से ) निरूपित किया जा सकता है:<ref name=":0" /><ref name=":1" />
+सीमा के रूप में <math>x</math> मूल्य में वृद्धि आ रही है <math>a</math> (<math>x</math> दृष्टिकोण <math>a</math> बाएं से<ref>{{Cite thesis|title=जीवित पदार्थ में प्रोटीन की चरण घटना|url=https://uh-ir.tdl.org/handle/10657/8010|date=2020-12-12|degree=Thesis|language=en|first=Andrei G.|last=Gasic}}</ref><ref>{{Citation|last1=Brokate|first1=Martin|title=Limit and Continuity|date=2019|url=http://link.springer.com/10.1007/978-981-13-8464-6_2|work=Calculus for Scientists and Engineers|pages=39–53|place=Singapore|publisher=Springer Singapore|language=en|doi=10.1007/978-981-13-8464-6_2|isbn=978-981-13-8463-9|access-date=2022-01-11|last2=Manchanda|first2=Pammy|last3=Siddiqi|first3=Abul Hasan|s2cid=201484118}}</ref> या नीचे से ) निरूपित किया जा सकता है।<ref name=":0" /><ref name=":1" />
 <math display=block>\lim_{x \to a^-}f(x) \quad \text{ or } \quad \lim_{x\,\uparrow\,a}\, f(x) \quad \text{ or } \quad \lim_{x \nearrow a}\,f(x) \quad \text{ or } \quad f(x-)</math>
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 === परिभाषा ===
-अगर <math>I</math> कुछ [[अंतराल (गणित)]] का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी फलन के डोमेन में निहित है <math>f</math> और अगर <math>a</math> में बिंदु है <math>I</math> फिर दाईं ओर की सीमा के रूप में <math>x</math> दृष्टिकोण <math>a</math> मूल्य के रूप में कड़ाई से परिभाषित किया जा सकता है <math>R</math> जो संतुष्ट करता है<ref>{{Cite book|last=Giv|first=Hossein Hosseini|url=https://books.google.com/books?id=Hf0mDQAAQBAJ&q=%22one-sided+limit%22|title=गणितीय विश्लेषण और इसकी अंतर्निहित प्रकृति|date=28 September 2016|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-1-4704-2807-5|pages=130|language=en|access-date=7 August 2021}}</ref>
+अगर <math>I</math> कुछ [[अंतराल (गणित)]] का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी फलन के डोमेन में निहित है <math>f</math> और अगर <math>a</math> में बिंदु है <math>I</math> फिर दाईं ओर की सीमा के रूप में <math>x</math> दृष्टिकोण <math>a</math> मूल्य के रूप में कड़ाई से परिभाषित किया जा सकता है <math>R</math> जो संतुष्ट करता है।<ref>{{Cite book|last=Giv|first=Hossein Hosseini|url=https://books.google.com/books?id=Hf0mDQAAQBAJ&q=%22one-sided+limit%22|title=गणितीय विश्लेषण और इसकी अंतर्निहित प्रकृति|date=28 September 2016|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-1-4704-2807-5|pages=130|language=en|access-date=7 August 2021}}</ref>
 <math display=block>\text{for all } \varepsilon > 0\;\text{ there exists some } \delta > 0 \;\text{ such that for all } x \in I, \text{ if } \;0 < x - a < \delta \text{ then } |f(x) - R| < \varepsilon,</math>
-और बाईं ओर की सीमा के रूप में <math>x</math> दृष्टिकोण <math>a</math> मूल्य के रूप में कड़ाई से परिभाषित किया जा सकता है <math>L</math> जो संतुष्ट करता है
+और बाईं ओर की सीमा के रूप में <math>x</math> दृष्टिकोण <math>a</math> मूल्य के रूप में कड़ाई से परिभाषित किया जा सकता है <math>L</math> जो संतुष्ट करता है।
 <math display=block>\text{for all } \varepsilon > 0\;\text{ there exists some } \delta > 0 \;\text{ such that for all } x \in I,  \text{ if } \;0 < a - x < \delta \text{ then } |f(x) - L| < \varepsilon.</math>
 हम एक ही चीज़ को अधिक प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं।
@@ Line 65: / Line 65: @@
 </math>
-एकतरफा सीमा को परिभाषित करने के लिए, हमें इस असमानता को संशोधित करना होगा। ध्यान दें कि के बीच पूर्ण दूरी <math>x</math> और <math>a</math> है <math display=block>|x - a| = |(-1)(-x + a)| = |(-1)(a - x)| = |(-1)||a - x| = |a - x|</math>.
+एकतरफा सीमा को परिभाषित करने के लिए, हमें इस असमानता को संशोधित करना होगा। ध्यान दें कि के बीच पूर्ण दूरी <math>x</math> और <math>a</math> है। <math display=block>|x - a| = |(-1)(-x + a)| = |(-1)(a - x)| = |(-1)||a - x| = |a - x|</math>.
-दाईं ओर से सीमा के लिए, हम चाहते हैं <math>x</math> के दाईं ओर होना <math>a</math>, जिसका अर्थ है कि <math>a < x</math>, इसलिए  <math>x - a</math> सकारात्मक है। उपर से, <math>x - a</math> के बीच की दूरी है <math>x</math> और <math>a</math>. हम इस दूरी को अपने मूल्य से बांधना चाहते हैं <math>\delta</math>, असमानता दे रहा है <math>x - a < \delta</math>. असमानताओं को एक साथ रखना <math>0 < x - a</math> और <math>x - a < \delta</math> और असमानताओं के [[सकर्मक संबंध]] गुण का उपयोग करके, हमारे पास यौगिक असमानता है <math>0 < x - a < \delta </math>.
+दाईं ओर से सीमा के लिए, हम चाहते हैं <math>x</math> के दाईं ओर होना <math>a</math>, जिसका अर्थ है कि <math>a < x</math>, इसलिए  <math>x - a</math> सकारात्मक है। उपर से, <math>x - a</math> के बीच की दूरी है <math>x</math> और <math>a</math>. हम इस दूरी को अपने मूल्य से बांधना चाहते हैं <math>\delta</math>, असमानता दे रहा है <math>x - a < \delta</math>. असमानताओं को एक साथ रखना <math>0 < x - a</math> और <math>x - a < \delta</math> और असमानताओं के [[सकर्मक संबंध]] गुण का उपयोग करके, हमारे पास यौगिक असमानता<math>0 < x - a < \delta </math> है ।
-इसी प्रकार, बाएँ से सीमा के लिए, हम चाहते हैं <math>x</math> के बाईं ओर होना <math>a</math>, जिसका अर्थ है कि <math>x < a</math>. इस स्थितियों में, यह है <math>a - x</math> यह सकारात्मक है और बीच की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है  <math>x</math> और <math>a</math>. दोबारा, हम इस दूरी को हमारे मूल्य से बांधना चाहते हैं <math>\delta</math>, यौगिक असमानता के लिए अग्रणी <math>0 < a - x < \delta </math> है
+इसी प्रकार, बाएँ से सीमा के लिए, हम चाहते हैं <math>x</math> के बाईं ओर होना <math>a</math>, जिसका अर्थ है कि <math>x < a</math>. इस स्थितियों में, यह है <math>a - x</math> यह सकारात्मक है और बीच की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है  <math>x</math> और <math>a</math>. दोबारा, हम इस दूरी को हमारे मूल्य से बांधना चाहते हैं <math>\delta</math>, यौगिक असमानता के लिए अग्रणी <math>0 < a - x < \delta </math> है।
-अब, जब हमारे मूल्य <math>x</math> अपने वांछित अंतराल में है, हम उम्मीद करते हैं कि का मूल्य <math>f(x)</math> अपने वांछित अंतराल के अन्दर भी है। बीच की दूरी <math>f(x)</math> और <math>L</math>, बाईं ओर की सीमा का सीमित मान है <math>|f(x) - L|</math>. इसी प्रकार, के बीच की दूरी <math>f(x)</math> और <math>R</math>, दाईं ओर की सीमा का सीमित मान है <math>|f(x) - R|</math>. दोनों ही स्थितियों में, हम इस दूरी को सीमित करना चाहते हैं <math>\varepsilon</math>, तो हमें निम्नलिखित मिलता है: <math>|f(x) - L| < \varepsilon</math> बाईं ओर की सीमा के लिए, और <math>|f(x) - R| < \varepsilon</math> दाईं ओर की सीमा के लिए।
+अब, जब हमारे मूल्य <math>x</math> अपने वांछित अंतराल में है, हम उम्मीद करते हैं कि का मूल्य <math>f(x)</math> अपने वांछित अंतराल के अन्दर भी है। बीच की दूरी <math>f(x)</math> और <math>L</math>, बाईं ओर की सीमा का सीमित मान है <math>|f(x) - L|</math>. इसी प्रकार, के बीच की दूरी <math>f(x)</math> और <math>R</math>, दाईं ओर की सीमा का सीमित मान है <math>|f(x) - R|</math>. दोनों ही स्थितियों में, हम इस दूरी को सीमित करना चाहते हैं <math>\varepsilon</math>, तो हमें निम्नलिखित मिलता है <math>|f(x) - L| < \varepsilon</math> बाईं ओर की सीमा के लिए, और <math>|f(x) - R| < \varepsilon</math> दाईं ओर की सीमा के लिए होता है।
 == उदाहरण ==
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 ''उदाहरण 1'':
-बाएँ से और दाएँ से सीमाएँ <math>g(x) := - \frac{1}{x}</math> जैसा <math>x</math> दृष्टिकोण <math>a := 0</math> हैं
+बाएँ से और दाएँ से सीमाएँ <math>g(x) := - \frac{1}{x}</math> जैसा <math>x</math> दृष्टिकोण <math>a := 0</math> हैं।
 <math display="block">\lim_{x \to 0^-} {-1/x} = + \infty \qquad \text{ and } \qquad \lim_{x \to 0^+} {-1/x} = - \infty</math>
-कारण क्यों <math>\lim_{x \to 0^-} {-1/x} = + \infty</math> क्योंकि <math>x</math> हमेशा नकारात्मक होता है (चूंकि <math>x \to 0^-</math> अर्थ है कि <math>x \to 0</math> के सभी मूल्यों के साथ <math>x</math> संतुष्टि देने वाला <math>x < 0</math>), जिसका तात्पर्य है <math>- 1/x</math> हमेशा सकारात्मक होता है जिससे <math>\lim_{x \to 0^-} {-1/x}</math> विचलन<ref group="note">A limit that is equal to <math>\infty</math> is said to {{em|di}}verge to <math>\infty</math> rather than {{em|con}}verge to <math>\infty.</math> The same is true when a limit is equal to <math>- \infty.</math></ref> को <math>+ \infty</math> (और नहीं <math>- \infty</math>) जैसा <math>x</math> दृष्टिकोण <math>0</math> बाएं से।
+कारण क्यों <math>\lim_{x \to 0^-} {-1/x} = + \infty</math> क्योंकि <math>x</math> हमेशा नकारात्मक होता है (चूंकि <math>x \to 0^-</math> अर्थ है कि <math>x \to 0</math> के सभी मूल्यों के साथ <math>x</math> संतुष्टि देने वाला <math>x < 0</math>), जिसका तात्पर्य है <math>- 1/x</math> हमेशा सकारात्मक होता है। जिससे <math>\lim_{x \to 0^-} {-1/x}</math> विचलन<ref group="note">A limit that is equal to <math>\infty</math> is said to {{em|di}}verge to <math>\infty</math> rather than {{em|con}}verge to <math>\infty.</math> The same is true when a limit is equal to <math>- \infty.</math></ref> को <math>+ \infty</math> (और नहीं <math>- \infty</math>) जैसा <math>x</math> दृष्टिकोण <math>0</math> बाएं से।
-इसी प्रकार, <math>\lim_{x \to 0^+} {-1/x} = - \infty</math> के सभी मूल्यों के बाद से <math>x</math> संतुष्ट करना <math>x > 0</math> (अलग विधि से कहा, <math>x</math> हमेशा सकारात्मक होता है) जैसा <math>x</math> दृष्टिकोण <math>0</math> दाईं ओर से, जिसका तात्पर्य है <math>- 1/x</math> हमेशा नकारात्मक होता है जिससे <math>\lim_{x \to 0^+} {-1/x}</math> की ओर<math>- \infty.</math> मुड़ता है
+इसी प्रकार, <math>\lim_{x \to 0^+} {-1/x} = - \infty</math> के सभी मूल्यों के बाद से <math>x</math> संतुष्ट करना <math>x > 0</math> (अलग विधि से कहा, <math>x</math> हमेशा सकारात्मक होता है) जैसा <math>x</math> दृष्टिकोण <math>0</math> दाईं ओर से, जिसका तात्पर्य है <math>- 1/x</math> हमेशा नकारात्मक होता है जिससे <math>\lim_{x \to 0^+} {-1/x}</math> की ओर<math>- \infty.</math> मुड़ता है।
 [[File:1 div (1 + 2 ** (-1 div x)).svg|thumb|350px|फलन का प्लॉट <math>1 / (1 + 2^{-1/x}).</math>]]''उदाहरण 2'':
-भिन्न एक तरफा सीमा वाले फलन का उदाहरण है <math>f(x) = \frac{1}{1 + 2^{-1/x}},</math> (cf. चित्र) जहां बाएँ से सीमा है <math>\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0</math> और दाएँ से सीमा है <math>\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1.</math> इन सीमाओं की गणना करने के लिए, पहले उसे दिखाएँ
+भिन्न एक तरफा सीमा वाले फलन का उदाहरण है <math>f(x) = \frac{1}{1 + 2^{-1/x}},</math> (cf. चित्र) जहां बाएँ से सीमा है <math>\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0</math> और दाएँ से सीमा है। <math>\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1.</math> इन सीमाओं की गणना करने के लिए, पहले उसे दिखाएँ
 <math display=block>\lim_{x \to 0^-} 2^{-1/x} = \infty \qquad \text{ and } \qquad \lim_{x \to 0^+} 2^{-1/x} = 0</math>
 (जो सच है क्योंकि <math>\lim_{x \to 0^-} {-1/x} = + \infty \text{ and } \lim_{x \to 0^+} {-1/x} = - \infty</math>)
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 {{See also|टोपोलॉजी में फिल्टर}}
-बिंदु की एकतरफा सीमा <math>p</math> फलन की सीमा से मेल खाता है # टोपोलॉजिकल स्पेस पर फलन, फलन के डोमेन को एक तरफ प्रतिबंधित किया गया है, या तो यह अनुमति देकर कि फलन डोमेन टोपोलॉजिकल स्पेस का उप-समुच्चय है, या एक तरफा सबस्पेस पर विचार करके, सहित <math>p.</math><ref name=":0" /> वैकल्पिक रूप से, कोई डोमेन को आधे-खुले अंतराल टोपोलॉजी के साथ मान सकता है।
+बिंदु की एकतरफा सीमा <math>p</math> फलन की सीमा से मेल खाता है टोपोलॉजिकल स्पेस पर फलन, फलन के डोमेन को एक तरफ प्रतिबंधित किया गया है, या तो यह अनुमति देकर कि फलन डोमेन संस्थानिक स्पेस का उप-समुच्चय है, या एक तरफा सबस्पेस पर विचार करके, सहित <math>p.</math><ref name=":0" /> वैकल्पिक रूप से, कोई डोमेन को आधे-खुले अंतराल टोपोलॉजी के साथ मान सकता है।
 == एबेल का प्रमेय ==

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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एक तरफा सीमा: Difference between revisions

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