तंत्रिका जटिल: Difference between revisions

Revision as of 12:48, 11 May 2023

तल में 3 समुच्चय वाले विवृत ठीक आच्छादन के तंत्र का निर्माण।

सांस्थिति में, एक समुच्चय वर्ग के तंत्रिका परिसर एक सार सरल जटिल है जो वर्ग में समुच्चय के बीच के प्रतिच्छेदन के प्रतिरूप को अभिलेख करते है। इसका प्रारम्भ पावेल अलेक्जेंड्रोव ने किया था^[1] और अब इसके कई प्रकार और सामान्यीकरण हैं, उनमें से आवरण की सीच तंत्रिका है, जिसे बदले में अति आच्छादन द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। यह कई रुचिपूर्ण सांस्थितिक गुणों को एल्गोरिथम या संयोजी रूप से प्रग्रहण करता है।^[2]

मूल परिभाषा

$I$ को सूचकांकों का एक समुच्चय होने दें और $C$ समुच्चय $(U_{i})_{i\in I}$ का एक वर्ग हो। $C$ की तंत्रिका अनुक्रमणिका समुच्चय $I$ के परिमित उपसमुच्चय का समूह है। इसमें सभी परिमित उपसमुच्चय $J\subseteq I$ शामिल हैं जैसे कि $U_{i}$ का प्रतिच्छेदन जिसका उपसूचक $J$ में है गैर-रिक्त है:^[3]^: 81

N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.

अलेक्जेंड्रोव की मूल परिभाषा में, समुच्चय $(U_{i})_{i\in I}$ कुछ सांस्थितिक समष्टि $X$ के विवृत समुच्चय हैं।

समुच्चय $N(C)$ में एकल हो सकते हैं (अवयव $i\in I$ जैसे कि $U_{i}$ गैर-रिक्त है), युग्म (अवयवों के युग्म $i,j\in I$ जैसे कि $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$ ), तीनो इत्यादि। यदि $J\in N(C)$ है, तो $J$ का कोई भी उपसमुच्चय भी $N(C)$ में है, जिससे $N(C)$ सार सरल परिसर बन जाता है। इसलिए $N(C)$ को प्रायः $C$ का तंत्रिका परिसर कहा जाता है।

उदाहरण

X को वृत्त $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2}\}$ होने दें, जहां $U_{1}$ एक चाप है जो $S^{1}$ के ऊपरी आधे भाग को आच्छादित करते है और $U_{2}$ एक चाप है जो इसके निचले आधे भाग को आच्छादित करते है, दोनों ओर कुछ अधिव्यापन के साथ (वे सभी $S^{1}$ को आच्छादित करने के लिए दोनों ओर अधिव्यापन होना चाहिए)। फिर $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ , जो सार 1-एकदिश है।
X को वृत्त $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}$ होने दें, जहां प्रत्येक $U_{i}$ चाप है जो $S^{1}$ के एक तिहाई भाग को आच्छादित करते है, जिसमें आसन्न $U_{i}$ के साथ कुछ अधिव्यापन होता है। तब $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}$ । ध्यान दें कि {1,2,3} $N(C)$ में नहीं है क्योंकि तीनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन रिक्त है; अतः $N(C)$ अपूर्ण त्रिभुज है।

सीच तंत्रिका

एक सांस्थितिक समष्टि $X$ के विवृत आवरक $C=\{U_{i}:i\in I\}$ , या अधिक सामान्यतः ग्रोथेंडिक सांस्थिति में एक कवर दिया जाता है, हम जोड़ीदार फाइबर उत्पादों $U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}$ पर विचार कर सकते हैं,, जो एक सांस्थितिक समष्टि की स्थिति में पूर्णतः प्रतिच्छेदन $U_{i}\cap U_{j}$ हैं। ऐसे सभी प्रतिच्छेदन के संग्रह को $C\times _{X}C$ और त्रिपक्षीय प्रतिच्छेदन $C\times _{X}C\times _{X}C$ के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

प्राकृतिक प्रतिचित्र $U_{ij}\to U_{i}$ और $U_{i}\to U_{ii}$ पर विचार करके, हम $S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C$ एन-गुना फाइबर उत्पाद द्वारा परिभाषित एक साधारण वस्तु $S(C)_{\bullet }$ का निर्माण कर सकते हैं। यह सीच तंत्रिका है।^[4] जुड़े हुए घटकों को लेने से हमें एक साधारण समुच्चय मिलता है, जिसे हम स्थैतिक रूप से समझ सकते हैं: $|S(\pi _{0}(C))|$ ।

तंत्रिका प्रमेय

तंत्रिका परिसर $N(C)$ एक साधारण संयोजन वस्तु है। प्रायः, यह अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि ( $C$ में समुच्चय का संघ) से कहीं अधिक सरल होता है। इसलिए, एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या $N(C)$ की सांस्थिति $\bigcup C$ की सांस्थिति के बराबर है।

सामान्यतः, यह स्थिति नहीं होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई भी n-गोले को दो अनुबंधित समुच्चयों $U_{1}$ और $U_{2}$ के साथ आच्छादित कर सकता है जिसमें एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 1 में है। इस स्थिति में, $N(C)$ अमूर्त 1-एकदिश है, जो एक रेखा के समान है परन्तु एक गोले के समान नहीं है।

यद्यपि, कुछ स्थितियों में $N(C)$ , X की सांस्थिति को प्रतिबिंबित करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त को तीन विवृत चापों द्वारा आच्छादित किया जाता है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 2 में युग्म में प्रतिच्छेद करते हैं, तो $N(C)$ एक 2- एकधा है (इसके आंतरिक भाग के बिना) है और यह मूल वृत्त के समतुल्य है।^[5]

तंत्रिका प्रमेय (या तंत्रिका लेम्मा) एक प्रमेय है जो C गारंटी देने के लिए पर पर्याप्त प्रतिबन्ध देते है कि $N(C)$ कुछ अर्थों में $\bigcup C$ की सांस्थिति को दर्शाता है।

लेरे की तंत्रिका प्रमेय

जीन लेरे के मूल तंत्रिका प्रमेय का कहना है कि, यदि $N(C)$ में समुच्चय का कोई प्रतिच्छेदन संकुचन क्षम है (समतुल्य: प्रत्येक परिमित $J\subset I$ के लिए समुच्चय $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त है या संकुचन क्षम है; समतुल्य: C ठीक विवृत आवरक है), तो $N(C)$ समस्थेयता- $\bigcup C$ के समतुल्य है।

बोरसुक का तंत्रिका प्रमेय

असतत संस्करण है, जिसका श्रेय करोल बोरसुक को दिया जाता है।^[6]^[3]^{: 81, Thm.4.4.4} मान लीजिए K₁,...,K_nसार सरल परिसर हैं, और K द्वारा उनके संघ को निरूपित करते हैं। माना U_i= ||K_i|| = K_i का ज्यामितीय बोध, और N द्वारा {U₁, ..., U_n} की तंत्रिका को निरूपित करें।

यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए $J\subset I$ , प्रतिच्छेदन $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त या संकुचन क्षम जा सकता है, तो N, K के समरूप-समतुल्य है।

एंडर्स ब्योर्नर द्वारा एक दृढ प्रमेय सिद्ध किया गया था।^[7] यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त $J\subset I$ के लिए, प्रतिच्छेदन $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त है या (k-|J|+1) - सम्बद्ध है, तो प्रत्येक J ≤ k के लिए, N का J-वें समस्थेयता समूह K के j-वें समस्थेयता समूह के लिए समरूपी है। विशेष रूप से, N k-सम्बद्ध है यदि और मात्र-यदि K k-सम्बद्ध है।

सीच तंत्रिका प्रमेय

अन्य तंत्रिका प्रमेय उपरोक्त सीच तंत्रिका से संबंधित है: यदि $X$ संहत है और C में समुच्चय के सभी प्रतिच्छेदन अनुबंधित या रिक्त हैं, फिर समष्टि

 $|S(\pi _{0}(C))|$  समस्थेयता- $X$  के समतुल्य है।^[8]

अनुरूपता तंत्रिका प्रमेय

निम्नलिखित तंत्रिका प्रमेय आच्छादन में समुच्चय के प्रतिच्छेदन के सजातीय समूहों का उपयोग करते है।^[9] प्रत्येक परिमित $J\subset I$ के लिए, $H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=$ को $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ के j-वें कम समरूपता समूह को निरूपित करें।

यदि H_J,jN (C) के k- रूपरेखा में सभी J के लिए नगण्य समूह है और सभी j के लिए {0, ..., k-dim (J) } में है, तो N (C) "समरूपता" है- निम्नलिखित अर्थों में X के समतुल्य:

{0, ..., k} में सभी j के लिए ${\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)$ ;
यदि ${\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0$ तो ${\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0$ ।

यह भी देखें

हाइपरकवरिंग

संदर्भ

↑ Aleksandroff, P. S. (1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung". Mathematische Annalen. 98: 617–635. doi:10.1007/BF01451612. S2CID 119590045.
↑ Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (1952-12-31). बीजगणितीय टोपोलॉजी की नींव. Princeton: Princeton University Press. doi:10.1515/9781400877492. ISBN 978-1-4008-7749-2.
↑ ^3.0 ^3.1 Matoušek, Jiří (2007). Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry (2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Written in cooperation with Anders Björner and Günter M. Ziegler , Section 4.3
↑ "Čech nerve in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2020-08-07.
↑ Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). "एटेल होमोटॉपी". Lecture Notes in Mathematics. 100. doi:10.1007/bfb0080957. ISBN 978-3-540-04619-6. ISSN 0075-8434.
↑ Borsuk, Karol (1948). "साधारण परिसरों में कॉम्पेक्टा की प्रणालियों के अंतःस्थापन पर". Fundamenta Mathematicae. 35 (1): 217–234. doi:10.4064/fm-35-1-217-234. ISSN 0016-2736.
↑ Björner, Anders (2003-04-01). "नसों, तंतुओं और होमोटोपी समूहों". Journal of Combinatorial Theory. Series A (in English). 102 (1): 88–93. doi:10.1016/S0097-3165(03)00015-3. ISSN 0097-3165.
↑ Nerve theorem at the nLab
↑ Meshulam, Roy (2001-01-01). "क्लिक कॉम्प्लेक्स और हाइपरग्राफ मिलान". Combinatorica (in English). 21 (1): 89–94. doi:10.1007/s004930170006. ISSN 1439-6912. S2CID 207006642.

[1] Aleksandroff, P. S. (1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung". Mathematische Annalen. 98: 617–635. doi:10.1007/BF01451612. S2CID 119590045.

[2] Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (1952-12-31). बीजगणितीय टोपोलॉजी की नींव. Princeton: Princeton University Press. doi:10.1515/9781400877492. ISBN 978-1-4008-7749-2.

[:0-3] 3.0 ^3.1 Matoušek, Jiří (2007). Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry (2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Written in cooperation with Anders Björner and Günter M. Ziegler , Section 4.3

[4] "Čech nerve in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2020-08-07.

[5] Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). "एटेल होमोटॉपी". Lecture Notes in Mathematics. 100. doi:10.1007/bfb0080957. ISBN 978-3-540-04619-6. ISSN 0075-8434.

[6] Borsuk, Karol (1948). "साधारण परिसरों में कॉम्पेक्टा की प्रणालियों के अंतःस्थापन पर". Fundamenta Mathematicae. 35 (1): 217–234. doi:10.4064/fm-35-1-217-234. ISSN 0016-2736.

[7] Björner, Anders (2003-04-01). "नसों, तंतुओं और होमोटोपी समूहों". Journal of Combinatorial Theory. Series A (in English). 102 (1): 88–93. doi:10.1016/S0097-3165(03)00015-3. ISSN 0097-3165.

[8] Nerve theorem at the nLab

[:3-9] Meshulam, Roy (2001-01-01). "क्लिक कॉम्प्लेक्स और हाइपरग्राफ मिलान". Combinatorica (in English). 21 (1): 89–94. doi:10.1007/s004930170006. ISSN 1439-6912. S2CID 207006642.

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-[[File:Constructing nerve.png|thumb|प्लेन में 3 समुच्चय वाले ओपन गुड आच्छादन की नर्व का निर्माण।]][[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] में, एक [[सेट परिवार|समुच्चय वर्ग]] के तंत्रिका परिसर एक [[सार सरल जटिल]] है जो वर्ग में समुच्चय के बीच के प्रतिच्छेदन के प्रतिरूप को अभिलेख करता है। इसका प्रारम्भ [[पावेल अलेक्जेंड्रोव]] ने किया था<ref>{{cite journal |last=Aleksandroff |first=P. S. |author-link=Pavel Alexandrov |year=1928 |title=Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung |journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=98 |pages=617–635 |doi=10.1007/BF01451612 |s2cid=119590045}}</ref> और अब इसके कई प्रकार और सामान्यीकरण हैं, उनमें से एक आवरण की सीच तंत्रिका है, जिसे बदले में [[ hypercovering |अति आच्छादन]] द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। यह कई रुचिपूर्ण सांस्थितिक गुणों को एक एल्गोरिथम या संयोजी रूप से प्रग्रहण करता है।<ref>{{Cite book |last1=Eilenberg |first1=Samuel |title=बीजगणितीय टोपोलॉजी की नींव|last2=Steenrod |first2=Norman |date=1952-12-31 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-1-4008-7749-2 |location=Princeton |doi=10.1515/9781400877492 |author1-link=Samuel Eilenberg |author2-link=Norman Steenrod}}</ref>
+[[File:Constructing nerve.png|thumb|तल में 3 समुच्चय वाले विवृत ठीक आच्छादन के तंत्र का निर्माण।]][[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] में, एक [[सेट परिवार|समुच्चय वर्ग]] के तंत्रिका परिसर एक [[सार सरल जटिल]] है जो वर्ग में समुच्चय के बीच के प्रतिच्छेदन के प्रतिरूप को अभिलेख करते है। इसका प्रारम्भ [[पावेल अलेक्जेंड्रोव]] ने किया था<ref>{{cite journal |last=Aleksandroff |first=P. S. |author-link=Pavel Alexandrov |year=1928 |title=Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung |journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=98 |pages=617–635 |doi=10.1007/BF01451612 |s2cid=119590045}}</ref> और अब इसके कई प्रकार और सामान्यीकरण हैं, उनमें से आवरण की सीच तंत्रिका है, जिसे बदले में [[ hypercovering |अति आच्छादन]] द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। यह कई रुचिपूर्ण सांस्थितिक गुणों को एल्गोरिथम या संयोजी रूप से प्रग्रहण करता है।<ref>{{Cite book |last1=Eilenberg |first1=Samuel |title=बीजगणितीय टोपोलॉजी की नींव|last2=Steenrod |first2=Norman |date=1952-12-31 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-1-4008-7749-2 |location=Princeton |doi=10.1515/9781400877492 |author1-link=Samuel Eilenberg |author2-link=Norman Steenrod}}</ref>
 == मूल परिभाषा ==
-<math>I</math> को सूचकांकों का एक समुच्चय होने दें और <math>C</math> समुच्चय <math>(U_i)_{i\in I}</math> का एक वर्ग हो। <math>C</math> की तंत्रिका अनुक्रमणिका समुच्चय <math>I</math> के परिमित उपसमुच्चय का एक समूह है। इसमें सभी परिमित उपसमुच्चय <math>J\subseteq I</math> शामिल हैं जैसे कि <math>U_i</math> का प्रतिच्छेदन जिसका उपसूचक <math>J</math> में है गैर-रिक्त है:<ref name=":0">{{Cite Matousek 2007}}, Section 4.3</ref>{{Rp|page=81|location=}}
+<math>I</math> को सूचकांकों का एक समुच्चय होने दें और <math>C</math> समुच्चय <math>(U_i)_{i\in I}</math> का एक वर्ग हो। <math>C</math> की तंत्रिका अनुक्रमणिका समुच्चय <math>I</math> के परिमित उपसमुच्चय का समूह है। इसमें सभी परिमित उपसमुच्चय <math>J\subseteq I</math> शामिल हैं जैसे कि <math>U_i</math> का प्रतिच्छेदन जिसका उपसूचक <math>J</math> में है गैर-रिक्त है:<ref name=":0">{{Cite Matousek 2007}}, Section 4.3</ref>{{Rp|page=81|location=}}
 :<math>N(C) :=  \bigg\{J\subseteq I: \bigcap_{j\in J}U_j \neq \varnothing, J \text{ finite set} \bigg\}.</math>
-अलेक्जेंड्रोव की मूल परिभाषा में, समुच्चय <math>(U_i)_{i\in I}</math> कुछ सांस्थितिक समष्टि <math>X</math> के [[ खुला सेट |विवृत समुच्चय]] हैं ।
+अलेक्जेंड्रोव की मूल परिभाषा में, समुच्चय <math>(U_i)_{i\in I}</math> कुछ सांस्थितिक समष्टि <math>X</math> के [[ खुला सेट |विवृत समुच्चय]] हैं।
-समुच्चय <math>N(C)</math> में एकल हो सकते हैं (अवयव <math>i \in I</math> जैसे कि <math>U_i</math> गैर-रिक्त है), युग्म (अवयवों के युग्म <math>i,j \in I</math> जैसे कि <math>U_i \cap U_j \neq \emptyset</math>), तीनो इत्यादि। यदि <math>J \in N(C)</math> है, तो <math>J</math> का कोई भी उपसमुच्चय भी <math>N(C)</math> में है, जिससे <math>N(C)</math> एक सार सरल परिसर बन जाता है। इसलिए <math>N(C)</math> को प्रायः <math>C</math> का तंत्रिका परिसर कहा जाता है।
+समुच्चय <math>N(C)</math> में एकल हो सकते हैं (अवयव <math>i \in I</math> जैसे कि <math>U_i</math> गैर-रिक्त है), युग्म (अवयवों के युग्म <math>i,j \in I</math> जैसे कि <math>U_i \cap U_j \neq \emptyset</math>), तीनो इत्यादि। यदि <math>J \in N(C)</math> है, तो <math>J</math> का कोई भी उपसमुच्चय भी <math>N(C)</math> में है, जिससे <math>N(C)</math> सार सरल परिसर बन जाता है। इसलिए <math>N(C)</math> को प्रायः <math>C</math> का तंत्रिका परिसर कहा जाता है।
 == उदाहरण ==
-# X को वृत्त <math>S^1</math> और <math>C = \{U_1, U_2\}</math> होने दें, जहां <math>U_1</math> एक चाप है जो <math>S^1</math> के ऊपरी आधे भाग को आच्छादित करता है और <math>U_2</math> एक चाप है जो इसके निचले आधे भाग को आच्छादित करता है, दोनों ओर कुछ अधिव्यापन के साथ (वे सभी <math>S^1</math> को आच्छादित करने के लिए दोनों ओर अधिव्यापन होना चाहिए)। फिर <math>N(C) = \{ \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}</math>, जो एक सार 1-एकदिश है।
+# X को वृत्त <math>S^1</math> और <math>C = \{U_1, U_2\}</math> होने दें, जहां <math>U_1</math> एक चाप है जो <math>S^1</math> के ऊपरी आधे भाग को आच्छादित करते है और <math>U_2</math> एक चाप है जो इसके निचले आधे भाग को आच्छादित करते है, दोनों ओर कुछ अधिव्यापन के साथ (वे सभी <math>S^1</math> को आच्छादित करने के लिए दोनों ओर अधिव्यापन होना चाहिए)। फिर <math>N(C) = \{ \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}</math>, जो सार 1-एकदिश है।
-# X को वृत्त <math>S^1</math> और <math>C = \{U_1, U_2, U_3\}</math> होने दें, जहां प्रत्येक <math>U_i</math> एक चाप है जो <math>S^1</math> के एक तिहाई भाग को आच्छादित करता है, जिसमें आसन्न <math>U_i</math> के साथ कुछ अधिव्यापन होता है। तब <math>N(C) = \{ \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{3,1\} \}</math>। ध्यान दें कि {1,2,3} <math>N(C)</math> में नहीं है क्योंकि तीनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन रिक्त है; अतः <math>N(C)</math> एक अपूर्ण त्रिभुज है।
+# X को वृत्त <math>S^1</math> और <math>C = \{U_1, U_2, U_3\}</math> होने दें, जहां प्रत्येक <math>U_i</math> चाप है जो <math>S^1</math> के एक तिहाई भाग को आच्छादित करते है, जिसमें आसन्न <math>U_i</math> के साथ कुछ अधिव्यापन होता है। तब <math>N(C) = \{ \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{3,1\} \}</math>। ध्यान दें कि {1,2,3} <math>N(C)</math> में नहीं है क्योंकि तीनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन रिक्त है; अतः <math>N(C)</math> अपूर्ण त्रिभुज है।
 == सीच तंत्रिका ==
-एक सांस्थितिक समष्टि <math>X</math> के [[खुला ढक्कन|विवृत आवरक]] <math>C=\{U_i: i\in I\}</math>, या अधिक सामान्यतः [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी|ग्रोथेंडिक सांस्थिति]] में एक कवर दिया जाता है, हम जोड़ीदार फाइबर उत्पादों <math>U_{ij}=U_i\times_XU_j</math> पर विचार कर सकते हैं, , जो एक सांस्थितिक समष्टि की स्थिति में पूर्णतः प्रतिच्छेदन <math>U_i\cap U_j</math> हैं। ऐसे सभी प्रतिच्छेदन के संग्रह को <math>C\times_X C</math> और त्रिपक्षीय प्रतिच्छेदन <math>C\times_X C\times_X C</math> के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
+एक सांस्थितिक समष्टि <math>X</math> के [[खुला ढक्कन|विवृत आवरक]] <math>C=\{U_i: i\in I\}</math>, या अधिक सामान्यतः [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी|ग्रोथेंडिक सांस्थिति]] में एक कवर दिया जाता है, हम जोड़ीदार फाइबर उत्पादों <math>U_{ij}=U_i\times_XU_j</math> पर विचार कर सकते हैं,, जो एक सांस्थितिक समष्टि की स्थिति में पूर्णतः प्रतिच्छेदन <math>U_i\cap U_j</math> हैं। ऐसे सभी प्रतिच्छेदन के संग्रह को <math>C\times_X C</math> और त्रिपक्षीय प्रतिच्छेदन <math>C\times_X C\times_X C</math> के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
 प्राकृतिक प्रतिचित्र <math>U_{ij}\to U_i</math> और <math>U_i\to U_{ii}</math> पर विचार करके, हम <math>S(C)_n=C\times_X\cdots\times_XC</math> एन-गुना फाइबर उत्पाद द्वारा परिभाषित एक साधारण वस्तु <math>S(C)_\bullet</math> का निर्माण कर सकते हैं। यह सीच तंत्रिका है।<ref>{{Cite web|title=Čech nerve in nLab|url=https://ncatlab.org/nlab/show/%C4%8Cech+nerve|access-date=2020-08-07|website=ncatlab.org}}</ref> जुड़े हुए घटकों को लेने से हमें एक साधारण समुच्चय मिलता है, जिसे हम स्थैतिक रूप से समझ सकते हैं: <math>|S(\pi_0(C))|</math>।
 == तंत्रिका प्रमेय ==
-तंत्रिका परिसर <math>N(C)</math> एक साधारण संयोजन वस्तु है। प्रायः, यह अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि ( <math>C</math> में समुच्चय का संघ) से कहीं अधिक सरल होता है। इसलिए, एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या <math>N(C)</math> की सांस्थिति <math>\bigcup C</math> की सांस्थिति के बराबर है ।
+तंत्रिका परिसर <math>N(C)</math> एक साधारण संयोजन वस्तु है। प्रायः, यह अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि (<math>C</math> में समुच्चय का संघ) से कहीं अधिक सरल होता है। इसलिए, एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या <math>N(C)</math> की सांस्थिति <math>\bigcup C</math> की सांस्थिति के बराबर है।
-सामान्यतः , यह स्थिति नहीं होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई भी n-गोले को दो अनुबंधित समुच्चयों <math>U_1</math> और <math>U_2</math> के साथ आच्छादित कर सकता है जिसमें एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 1 में है। इस स्थिति में, <math>N(C)</math> एक अमूर्त 1-एकदिश है, जो एक रेखा के समान है परन्तु एक गोले के समान नहीं है।
+सामान्यतः, यह स्थिति नहीं होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई भी n-गोले को दो अनुबंधित समुच्चयों <math>U_1</math> और <math>U_2</math> के साथ आच्छादित कर सकता है जिसमें एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 1 में है। इस स्थिति में, <math>N(C)</math> अमूर्त 1-एकदिश है, जो एक रेखा के समान है परन्तु एक गोले के समान नहीं है।
 यद्यपि, कुछ स्थितियों में <math>N(C)</math>, X की सांस्थिति को प्रतिबिंबित करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त को तीन विवृत चापों द्वारा आच्छादित किया जाता है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 2 में युग्म में प्रतिच्छेद करते हैं, तो <math>N(C)</math> एक 2- एकधा है (इसके आंतरिक भाग के बिना) है और यह मूल वृत्त के समतुल्य है।<ref>{{Cite journal|last1=Artin|first1=Michael|author1-link=Michael Artin|last2=Mazur|first2=Barry|author2-link=Barry Mazur|date=1969|title=एटेल होमोटॉपी|journal=[[Lecture Notes in Mathematics]]|volume=100| doi=10.1007/bfb0080957|isbn=978-3-540-04619-6|issn=0075-8434}}</ref>
-एक तंत्रिका प्रमेय (या तंत्रिका लेम्मा) एक प्रमेय है जो ''सी'' गारंटी देने के लिए पर पर्याप्त प्रतिबन्ध देता है कि <math>N(C)</math> कुछ अर्थों में <math>\bigcup C</math> की सांस्थिति को दर्शाता है।
+तंत्रिका प्रमेय (या तंत्रिका लेम्मा) एक प्रमेय है जो C गारंटी देने के लिए पर पर्याप्त प्रतिबन्ध देते है कि <math>N(C)</math> कुछ अर्थों में <math>\bigcup C</math> की सांस्थिति को दर्शाता है।
 === लेरे की तंत्रिका प्रमेय ===
-[[ जॉन लेरे |जीन लेरे]] के मूल तंत्रिका प्रमेय का कहना है कि, यदि <math>N(C)</math> में समुच्चय का कोई प्रतिच्छेदन संकुचन क्षम है संविदात्मक स्थान होता है (समतुल्य: प्रत्येक परिमित <math>J\subset I</math> के लिए समुच्चय <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त है या संकुचन क्षम है; समतुल्य: C एक ठीक विवृत आवरक है), तो <math>N(C)</math> समस्थेयता- <math>\bigcup C</math> के समतुल्य है।
+[[ जॉन लेरे |जीन लेरे]] के मूल तंत्रिका प्रमेय का कहना है कि, यदि <math>N(C)</math> में समुच्चय का कोई प्रतिच्छेदन संकुचन क्षम है (समतुल्य: प्रत्येक परिमित <math>J\subset I</math> के लिए समुच्चय <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त है या संकुचन क्षम है; समतुल्य: C ठीक विवृत आवरक है), तो <math>N(C)</math> समस्थेयता- <math>\bigcup C</math> के समतुल्य है।
 === बोरसुक का तंत्रिका प्रमेय ===
-एक असतत संस्करण है, जिसका श्रेय [[करोल बोरसुक]] को दिया जाता है।<ref>{{Cite journal |last=Borsuk |first=Karol |date=1948 |title=साधारण परिसरों में कॉम्पेक्टा की प्रणालियों के अंतःस्थापन पर|url=https://eudml.org/doc/213158 |journal=Fundamenta Mathematicae |volume=35 |issue=1 |pages=217–234 |doi=10.4064/fm-35-1-217-234 |issn=0016-2736}}</ref><ref name=":0" />{{Rp|page=81|location=Thm.4.4.4}} मान लीजिए K<sub>1</sub>,...,K<sub>n</sub>सार सरल परिसर हैं, और K द्वारा उनके मिलन को निरूपित करते हैं। माना U<sub>i</sub>= ||K<sub>i</sub>|| = K<sub>i</sub> का ज्यामितीय बोध, और N द्वारा {U<sub>1</sub>, ... , U<sub>n</sub>} की तंत्रिका को निरूपित करें।
+असतत संस्करण है, जिसका श्रेय [[करोल बोरसुक]] को दिया जाता है।<ref>{{Cite journal |last=Borsuk |first=Karol |date=1948 |title=साधारण परिसरों में कॉम्पेक्टा की प्रणालियों के अंतःस्थापन पर|url=https://eudml.org/doc/213158 |journal=Fundamenta Mathematicae |volume=35 |issue=1 |pages=217–234 |doi=10.4064/fm-35-1-217-234 |issn=0016-2736}}</ref><ref name=":0" />{{Rp|page=81|location=Thm.4.4.4}} मान लीजिए K<sub>1</sub>,...,K<sub>n</sub>सार सरल परिसर हैं, और K द्वारा उनके संघ को निरूपित करते हैं। माना U<sub>i</sub>= ||K<sub>i</sub>|| = K<sub>i</sub> का ज्यामितीय बोध, और N द्वारा {U<sub>1</sub>, ..., U<sub>n</sub>} की तंत्रिका को निरूपित करें।
-यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए <math>J\subset I</math>, प्रतिच्छेदन <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त या सिकुड़ा जा सकता है, तो N समस्थेयता-K के बराबर है।
+यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए <math>J\subset I</math>, प्रतिच्छेदन <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त या संकुचन क्षम जा सकता है, तो N, K के समरूप-समतुल्य है।
-एंडर्स ब्योर्नर द्वारा एक मजबूत प्रमेय सिद्ध किया गया था।<ref>{{Cite journal |last=Björner |first=Anders |authorlink=Anders Björner|date=2003-04-01 |title=नसों, तंतुओं और होमोटोपी समूहों|journal=[[Journal of Combinatorial Theory]]|series=Series A |language=en |volume=102 |issue=1 |pages=88–93 |doi=10.1016/S0097-3165(03)00015-3 |doi-access=free |issn=0097-3165}}</ref> यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए <math>J\subset I</math>, प्रतिच्छेदन <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त है या [[एन-कनेक्टेड स्पेस|एन-कनेक्टेड समष्टि]]|(के-|जे|+1)-कनेक्टेड है, तो प्रत्येक जे ≤ के लिए, एन का जे-वें होमोटोपी समूह के के जे-वें [[होमोटॉपी समूह|समस्थेयता समूह]] के लिए आइसोमॉर्फिक है। विशेष रूप से , एन के-कनेक्टेड है यदि और केवल-यदि के के-कनेक्टेड है।
+एंडर्स ब्योर्नर द्वारा एक दृढ प्रमेय सिद्ध किया गया था।<ref>{{Cite journal |last=Björner |first=Anders |authorlink=Anders Björner|date=2003-04-01 |title=नसों, तंतुओं और होमोटोपी समूहों|journal=[[Journal of Combinatorial Theory]]|series=Series A |language=en |volume=102 |issue=1 |pages=88–93 |doi=10.1016/S0097-3165(03)00015-3 |doi-access=free |issn=0097-3165}}</ref> यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त <math>J\subset I</math> के लिए, प्रतिच्छेदन <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त है या ([[एन-कनेक्टेड स्पेस|k-|J|+1)]] - सम्बद्ध है, तो प्रत्येक J ≤ k के लिए, N का J-वें समस्थेयता समूह K के j-वें [[होमोटॉपी समूह|समस्थेयता समूह]] के लिए समरूपी है। विशेष रूप से, N k-सम्बद्ध है यदि और मात्र-यदि K k-सम्बद्ध है।
-=== चेक तंत्रिका प्रमेय ===
+=== सीच तंत्रिका प्रमेय ===
-एक अन्य तंत्रिका प्रमेय उपरोक्त चेक तंत्रिका से संबंधित है: यदि <math>X</math> कॉम्पैक्ट है और सी में समुच्चय के सभी प्रतिच्छेदन अनुबंधित या रिक्त हैं, फिर स्थान
+अन्य तंत्रिका प्रमेय उपरोक्त सीच तंत्रिका से संबंधित है: यदि <math>X</math> संहत है और C में समुच्चय के सभी प्रतिच्छेदन अनुबंधित या रिक्त हैं, फिर समष्टि
-  <math>|S(\pi_0(C))|</math> समस्थेयता-समतुल्य है <math>X</math>।<ref>{{nlab|id=nerve+theorem|title=Nerve theorem}}</ref>
+  <math>|S(\pi_0(C))|</math> समस्थेयता-<math>X</math> के समतुल्य है।<ref>{{nlab|id=nerve+theorem|title=Nerve theorem}}</ref>
-=== होमोलॉजिकल तंत्रिका प्रमेय ===
+=== अनुरूपता तंत्रिका प्रमेय ===
-निम्नलिखित तंत्रिका प्रमेय आच्छादन में समुच्चय के प्रतिच्छेदन के होमोलॉजी समूहों का उपयोग करता है।<ref name=":3">{{Cite journal|last=Meshulam|first=Roy|date=2001-01-01|title=क्लिक कॉम्प्लेक्स और हाइपरग्राफ मिलान|journal=[[Combinatorica]]| language=en|volume=21|issue=1|pages=89–94|doi=10.1007/s004930170006|s2cid=207006642|issn=1439-6912}}</ref> प्रत्येक परिमित के लिए <math>J\subset I</math>, निरूपित करें <math>H_{J,j} := \tilde{H}_j(\bigcap_{i\in J} U_i)=</math> जे-वें कम समरूपता समूह <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math>।
+निम्नलिखित तंत्रिका प्रमेय आच्छादन में समुच्चय के प्रतिच्छेदन के सजातीय समूहों का उपयोग करते है।<ref name=":3">{{Cite journal|last=Meshulam|first=Roy|date=2001-01-01|title=क्लिक कॉम्प्लेक्स और हाइपरग्राफ मिलान|journal=[[Combinatorica]]| language=en|volume=21|issue=1|pages=89–94|doi=10.1007/s004930170006|s2cid=207006642|issn=1439-6912}}</ref> प्रत्येक परिमित <math>J\subset I</math> के लिए, <math>H_{J,j} := \tilde{H}_j(\bigcap_{i\in J} U_i)=</math> को <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> के j-वें कम समरूपता समूह को निरूपित करें।
-यदि एच<sub>J,j</sub>N(C) के k-कंकाल में सभी J के लिए [[तुच्छ समूह]] है और {0, ।।।, k-dim(J)} में सभी j के लिए है, तो N(C) समरूपता-समरूपता में X के बराबर है निम्नलिखित अर्थ:
+यदि H<sub>J,j</sub>N (C) के k- रूपरेखा में सभी J के लिए [[तुच्छ समूह|नगण्य समूह]] है और सभी j के लिए {0, ..., k-dim (J) } में है, तो N (C) "समरूपता" है- निम्नलिखित अर्थों में X के समतुल्य:
-* <math>\tilde{H}_j(N(C)) \cong \tilde{H}_j(X)</math> {0, ।।।, k} में सभी j के लिए;
+* {0, ..., k} में सभी j के लिए <math>\tilde{H}_j(N(C)) \cong \tilde{H}_j(X)</math>;
-* यदि <math>\tilde{H}_{k+1}(N(C))\not\cong 0</math> तब <math>\tilde{H}_{k+1}(X)\not\cong 0</math> ।
+* यदि <math>\tilde{H}_{k+1}(N(C))\not\cong 0</math> तो <math>\tilde{H}_{k+1}(X)\not\cong 0</math>।
 == यह भी देखें ==

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सीच तंत्रिका