द्वैत (आदेश सिद्धांत): Difference between revisions

From Vigyanwiki
(Created page with "{{Other uses|Order dual (disambiguation)}} आदेश सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, प्रत्येक आंश...")
 
No edit summary
Line 1: Line 1:
{{Other uses|Order dual (disambiguation)}}
{{Other uses|दोहरा आदेश (बहुविकल्पी)}}
[[आदेश सिद्धांत]] के गणित क्षेत्र में, प्रत्येक [[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] P एक 'दोहरी' (या 'विपरीत') आंशिक रूप से आदेशित सेट को जन्म देता है जिसे अक्सर P द्वारा निरूपित किया जाता है।<sup>ऑप</sup> या पी<sup></sup>. यह दोहरा क्रम पी<sup>op</sup> को एक ही सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन उलटे क्रम के साथ, यानी ''x'' ≤ ''y'' ''P'' में होल्ड करता है<sup>op</sup> [[अगर और केवल अगर]] y ≤ x P में रहता है। यह देखना आसान है कि यह निर्माण, जिसे P के लिए [[हस्से आरेख]] को उल्टा करके दिखाया जा सकता है, वास्तव में आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का उत्पादन करेगा। व्यापक अर्थ में, दो आंशिक रूप से आदेशित सेटों को भी दोहरी कहा जाता है यदि वे 'दोहरी समरूपता' हैं, अर्थात यदि एक पॉसेट दूसरे के दोहरे के लिए [[आदेश समरूपता]] है।
[[आदेश सिद्धांत]] के गणित क्षेत्र में, प्रत्येक [[आंशिक रूप से आदेशित सेट|आंशिक रूप से आदेशित समूह]] P एक 'दोहरी' (या 'विपरीत') आंशिक रूप से आदेशित समूह  को उत्पन्न करता है जिसे अधिकांशतः  ''P''<sup>op</sup> या ''P<sup>d</sup>'' द्वारा निरूपित किया जाता है। यह दोहरा क्रम ''P''<sup>op</sup> को एक ही समूह  के रूप में परिभाषित किया गया है, किन्तु व्युत्क्रम  के साथ, जिससे ''x'' ≤ ''y'' ''P''<sup>op</sup> में होल्ड करता है [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल]] यदि y ≤ x P में रहता है। यह देखना आसान है कि यह निर्माण, जिसे P के लिए [[हस्से आरेख]] को व्युत्क्रम करके दिखाया जा सकता है, वास्तव में आंशिक रूप से क्रम किए गए समूह  का उत्पादन करेगा। व्यापक अर्थ में, दो आंशिक रूप से आदेशित समूह को भी दोहरी कहा जाता है यदि वे 'दोहरी समरूपता' हैं, अर्थात यदि एक पासेट दूसरे के दोहरे के लिए [[आदेश समरूपता]] है।


इस सरल परिभाषा का महत्व इस तथ्य से उपजा है कि आदेश सिद्धांत की हर परिभाषा और प्रमेय को आसानी से दोहरे क्रम में स्थानांतरित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, यह आदेशित सेटों के लिए 'द्वंद्व सिद्धांत' द्वारा कब्जा कर लिया गया है:
इस सरल परिभाषा का महत्व इस तथ्य से उपजा है कि आदेश सिद्धांत की हर परिभाषा और प्रमेय को आसानी से दोहरे क्रम में स्थानांतरित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, यह आदेशित समूह के लिए 'द्वंद्व सिद्धांत' द्वारा कब्जा कर लिया गया है:


: यदि एक दिया गया कथन सभी आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेटों के लिए मान्य है, तो सभी ऑर्डर संबंधों की दिशा को उल्टा करके और सभी ऑर्डर सैद्धांतिक परिभाषाओं को दोहराकर प्राप्त किया गया इसका दोहरा बयान सभी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के लिए भी मान्य है।
: यदि एक दिया गया कथन सभी आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह के लिए मान्य है, तो सभी क्रम संबंधों की दिशा को व्युत्क्रम करके और सभी क्रम सैद्धांतिक परिभाषाओं को दोहराकर प्राप्त किया गया इसका दोहरा कथन सभी आंशिक रूप से क्रम किए गए समूह के लिए भी मान्य है।


यदि कोई कथन या परिभाषा उसके द्वैत के तुल्य है तो उसे 'स्वद्वैत' कहा जाता है। ध्यान दें कि दोहरे आदेशों का विचार इतना मौलिक है कि इस नए प्रतीक की कोई पूर्व परिभाषा दिए बिना ≥ के दोहरे क्रम के लिए ≥ लिखते समय यह अक्सर निहित रूप से होता है।
यदि कोई कथन या परिभाषा उसके द्वैत के तुल्य है तो उसे 'स्वद्वैत' कहा जाता है। ध्यान दें कि दोहरे आदेशों का विचार इतना मौलिक है कि इस नए प्रतीक की कोई पूर्व परिभाषा दिए बिना ≥ के दोहरे क्रम के लिए ≥ लिखते समय यह अधिकांशतः  निहित रूप से होता है।
 
'''हरे आदेशों का विचार इतना मौलिक है कि इस नए प्रतीक की कोई पूर्व परिभाषा दिए बिना ≥ के दोहरे क्रम के लिए ≥ लिखते समय यह अधिकांशतः  निहित रूप से होता है।'''


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
Line 13: Line 15:
* [[अधिकतम तत्व]]
* [[अधिकतम तत्व]]
* कम से कम ऊपरी सीमा (सुप्रिमा, ∨) और [[सबसे बड़ी निचली सीमा]] (इन्फ़िमा, ∧)
* कम से कम ऊपरी सीमा (सुप्रिमा, ∨) और [[सबसे बड़ी निचली सीमा]] (इन्फ़िमा, ∧)
* [[ऊपरी सेट]]
* [[ऊपरी सेट|ऊपरी समूह]]  
* [[आदर्श (आदेश सिद्धांत)]] और फिल्टर (गणित)
* [[आदर्श (आदेश सिद्धांत)]] और फिल्टर (गणित)
* [[क्लोजर ऑपरेटर]] और [[कर्नेल ऑपरेटर]]।
* [[क्लोजर ऑपरेटर]] और [[कर्नेल ऑपरेटर]]।


स्व-दोहरी धारणाओं के उदाहरणों में शामिल हैं:
स्व-दोहरी धारणाओं के उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
* एक ([[पूर्ण जाली]]) जाली होना (आदेश)
* एक ([[पूर्ण जाली]]) जाली होना (आदेश)
* कार्यों का [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन]]
* कार्यों का [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|मोनोटोनिक कार्य]]  
* वितरणात्मक जाली, यानी जाली जिसके लिए ∀x, y, z: x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) धारण करता है, वास्तव में वे हैं जिनके लिए दोहरी कथन ∀x, y, z : x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) धारण करता है<ref>The quantifiers are essential: for individual elements ''x'', ''y'', ''z'', e.g. the first equation may be violated, but the second may hold; see the [[modular lattice|N<sub>5</sub> lattice]] for an example.</ref>
* वितरणात्मक जाली, जिससे जाली जिसके लिए ∀x, y, z: x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) धारण करता है, वास्तव में वे हैं जिनके लिए दोहरी कथन ∀x, y, z : x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) धारण करता है<ref>The quantifiers are essential: for individual elements ''x'', ''y'', ''z'', e.g. the first equation may be violated, but the second may hold; see the [[modular lattice|N<sub>5</sub> lattice]] for an example.</ref>
* [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] होना
* [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] होना
* एक आदेश समरूपता होना।
* एक आदेश समरूपता होना।


चूंकि आंशिक आदेश [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] हैं, केवल वे ही जो स्व-द्वैत हैं, [[तुल्यता संबंध]] हैं (लेकिन आंशिक आदेश की धारणा स्व-द्वैत है)।
चूंकि आंशिक आदेश [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] हैं, केवल वे ही जो स्व-द्वैत हैं, [[तुल्यता संबंध]] हैं (किन्तु आंशिक आदेश की धारणा स्व-द्वैत है)।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 14:38, 29 April 2023

आदेश सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, प्रत्येक आंशिक रूप से आदेशित समूह P एक 'दोहरी' (या 'विपरीत') आंशिक रूप से आदेशित समूह को उत्पन्न करता है जिसे अधिकांशतः Pop या Pd द्वारा निरूपित किया जाता है। यह दोहरा क्रम Pop को एक ही समूह के रूप में परिभाषित किया गया है, किन्तु व्युत्क्रम के साथ, जिससे xy Pop में होल्ड करता है यदि और केवल यदि y ≤ x P में रहता है। यह देखना आसान है कि यह निर्माण, जिसे P के लिए हस्से आरेख को व्युत्क्रम करके दिखाया जा सकता है, वास्तव में आंशिक रूप से क्रम किए गए समूह का उत्पादन करेगा। व्यापक अर्थ में, दो आंशिक रूप से आदेशित समूह को भी दोहरी कहा जाता है यदि वे 'दोहरी समरूपता' हैं, अर्थात यदि एक पासेट दूसरे के दोहरे के लिए आदेश समरूपता है।

इस सरल परिभाषा का महत्व इस तथ्य से उपजा है कि आदेश सिद्धांत की हर परिभाषा और प्रमेय को आसानी से दोहरे क्रम में स्थानांतरित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, यह आदेशित समूह के लिए 'द्वंद्व सिद्धांत' द्वारा कब्जा कर लिया गया है:

यदि एक दिया गया कथन सभी आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह के लिए मान्य है, तो सभी क्रम संबंधों की दिशा को व्युत्क्रम करके और सभी क्रम सैद्धांतिक परिभाषाओं को दोहराकर प्राप्त किया गया इसका दोहरा कथन सभी आंशिक रूप से क्रम किए गए समूह के लिए भी मान्य है।

यदि कोई कथन या परिभाषा उसके द्वैत के तुल्य है तो उसे 'स्वद्वैत' कहा जाता है। ध्यान दें कि दोहरे आदेशों का विचार इतना मौलिक है कि इस नए प्रतीक की कोई पूर्व परिभाषा दिए बिना ≥ के दोहरे क्रम के लिए ≥ लिखते समय यह अधिकांशतः निहित रूप से होता है।

हरे आदेशों का विचार इतना मौलिक है कि इस नए प्रतीक की कोई पूर्व परिभाषा दिए बिना ≥ के दोहरे क्रम के लिए ≥ लिखते समय यह अधिकांशतः निहित रूप से होता है।

उदाहरण

एक बंधी हुई वितरण जाली, और इसकी दोहरी

स्वाभाविक रूप से, दोहरी अवधारणाओं के लिए बड़ी संख्या में उदाहरण हैं:

स्व-दोहरी धारणाओं के उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

चूंकि आंशिक आदेश एंटीसिमेट्रिक संबंध हैं, केवल वे ही जो स्व-द्वैत हैं, तुल्यता संबंध हैं (किन्तु आंशिक आदेश की धारणा स्व-द्वैत है)।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. The quantifiers are essential: for individual elements x, y, z, e.g. the first equation may be violated, but the second may hold; see the N5 lattice for an example.
  • Davey, B.A.; Priestley, H. A. (2002), Introduction to Lattices and Order (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1