पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणक समूह: Difference between revisions

Revision as of 11:24, 1 May 2023

मॉड्यूलर अंकगणित में, गैर-नकारात्मक पूर्णांक के समुच्चय $\{0,1,\dots ,n-1\}$ से n तक पूर्णांक सहप्रमुख (अपेक्षाकृत प्रधान) गुणा मॉड्यूल n के अनुसार एक समूह (गणित) बनाते हैं । जिसे गुणक कहा जाता है । पूर्णांक मॉड्यूलो n का समूह है। समतुल्य रूप से, इस समूह के तत्वों को सर्वांगसमता वर्गों के रूप में माना जा सकता है । जिन्हें अवशेष मॉडुलो n के रूप में भी जाना जाता है जो कि n के लिए कोप्राइम हैं। इसलिए एक अन्य नाम आदिम अवशेष वर्गों के समूह मॉड्यूलो n है। छल्लों के सिद्धांत में अमूर्त बीजगणित की एक शाखा को पूर्णांक मॉड्यूलो n की रिंग की इकाइयों के समूह के रूप में वर्णित किया गया है। यहां इकाइयां गुणक व्युत्क्रम वाले तत्वों को संदर्भित करती हैं । जो इस वलय में वास्तव में n के समान सहअभाज्य हैं।

यह भागफल समूह सामान्यतः निरूपित किया जाता है । $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ , संख्या सिद्धांत में मौलिक है। इसका उपयोग क्रिप्टोग्राफी, पूर्णांक गुणनखंडन और प्रारंभिक परीक्षण में किया जाता है। यह एबेलियन समूह है । परिमित समूह समूह जिसका क्रम यूलर के टोटेंट फलन $|(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).$ द्वारा दिया गया है । प्राइम n के लिए समूह चक्रीय समूह है और सामान्य रूप से संरचना का वर्णन करना सरल है । चूंकि प्राइम n के लिए भी समूह के जनरेटिंग समुच्चय को खोजने के लिए कोई सामान्य सूत्र ज्ञात नहीं है।

n = 561 (= 3 × 11 × 17) कार्मिकेल संख्या है, इस प्रकार s⁵⁶⁰ 561 के किसी भी पूर्णांक सह अभाज्य के

समूह स्वयंसिद्ध

यह दिखाने के लिए सीधा अभ्यास है कि, गुणन के अनुसार, सर्वांगसमता वर्ग मॉड्यूलो n का समुच्चय है जो एबेलियन समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने के लिए n के सहअभाज्य हैं।

वास्तव में a, n का सहअभाज्य है । यदि और केवल यदि gcd(a, n) = 1 समान सर्वांगसमता वर्ग a ≡ b (mod n) में पूर्णांक gcd(a, n) = gcd(b, n) को संतुष्ट करते हैं इसलिए एक सहअभाज्य है । n को यदि और केवल यदि दूसरा है। इस प्रकार सर्वांगसमता वर्ग मॉड्यूलो n की धारणा जो n के लिए सहअभाज्य है, अच्छी तरह से परिभाषित है।

तब से gcd(a, n) = 1 और gcd(b, n) = 1 तात्पर्य gcd(ab, n) = 1, कोप्राइम से n तक की कक्षाओं का समुच्चय गुणन के अनुसार बंद है।

पूर्णांक गुणन सर्वांगसमता वर्गों का सम्मान करता है, अर्थात, a ≡ a' और b ≡ b' (mod n) तात्पर्य ab ≡ a'b' (mod n). है । इसका तात्पर्य है कि गुणन साहचर्य, क्रमविनिमेय है, और यह कि 1 का वर्ग अद्वितीय गुणक पहचान है।

अंत में एक मापांक n का गुणात्मक व्युत्क्रम एक पूर्णांक x संतोषजनक ax ≡ 1 (mod n) है। यह तब उपस्थित होता है । जब a, n के साथ सहअभाज्य होता है । क्योंकि उस स्थिति में gcd(a, n) = 1 और बेज़ाउट लेम्मा द्वारा पूर्णांक x और y संतोषजनक ax + ny = 1 होते हैं। ध्यान दें कि समीकरण ax + ny = 1 का अर्थ है कि x n के लिए सहअभाज्य है इसलिए गुणनात्मक व्युत्क्रम समूह से संबंधित है।

टिप्पणी

जोड़ और गुणन के संचालन के साथ पूर्णांक मॉड्यूलो n का (सर्वांगसमता वर्ग) का समुच्चय रिंग (गणित) है। इसे $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ या $\mathbb {Z} /(n)$ के रूप में निरूपित है । (संकेतन का तात्पर्य पूर्णांक मॉडुलो द आदर्श (रिंग सिद्धांत) के भागफल वलय $n\mathbb {Z}$ या $(n)$ n के गुणकों से मिलकर) बनता है। संख्या सिद्धांत के बाहर सरल अंकन $\mathbb {Z} _{n}$ का प्रयोग अधिकांशतः किया जाता है । चूंकि इसे $p$ -adic पूर्णांक संख्या के साथ भ्रमित किया जा सकता है । जब n अभाज्य संख्या है।

पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणात्मक समूह, जो इस रिंग में इकाइयों का समूह है, को (लेखक के आधार पर) लिखा जा सकता है। $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },$ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},$ $\mathrm {U} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),$ $\mathrm {E} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ (जर्मन इनहाइट के लिए, जो इकाई के रूप में अनुवादित है), $\mathbb {Z} _{n}^{*}$ , या समान अंकन होता है। यह लेख $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.$ का उपयोग करता है ।

अंकन $\mathrm {C} _{n}$ क्रम n के चक्रीय समूह को संदर्भित करता है। यह योग के अनुसार पूर्णांक मॉड्यूलो n के समूह के लिए समूह समरूपता है। ध्यान दें कि $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ या $\mathbb {Z} _{n}$ अतिरिक्त के अनुसार समूह को भी संदर्भित कर सकते हैं।उदाहरण के लिए, गुणक समूह $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$ अभाज्य p के लिए चक्रीय है और इसलिए योज्य समूह के लिए आइसोमोर्फिक है । $\mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z}$ , किंतु समरूपता स्पष्ट नहीं है।

संरचना

पूर्णांक मॉड्यूलो n के गुणक समूह का क्रम $\{0,1,\dots ,n-1\}$ कोप्राइम से n पूर्णांकों की संख्या है । यह यूलर के कुल कार्य $|(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n)$ (sequence A000010 in the OEIS). द्वारा दिया गया है । प्राइम पी $\varphi (p)=p-1$ के लिए,

चक्रीय प्रकरण

समूह $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ चक्रीय समूह है । यदि और केवल यदि n 1, 2, 4, p^k या 2p^k है, जहाँ p विषम अभाज्य संख्या है और k > 0. n के अन्य सभी मानों के लिए समूह चक्रीय नहीं है। ^[1]^[2]^[3] यह सर्वप्रथम कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा सिद्ध किया गया था।^[4]

इसका कारण है कि इन n के लिए:

(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{\varphi (n)},

जहाँ

\varphi (p^{k})=\varphi (2p^{k})=p^{k}-p^{k-1}.

परिभाषा के अनुसार, समूह चक्रीय है । यदि और केवल यदि उसके पास समूह जी का जनरेटिंग समुच्चय है । (आकार एक के समूह {जी} का एक जनरेटिंग समुच्चय), अर्थात घातें $g^{0},g^{1},g^{2},\dots ,$ n को सभी संभावित अवशेष मॉड्यूलो n कोप्राइम दें । (पहला $\varphi (n)$ पॉवर्स $g^{0},\dots ,g^{\varphi (n)-1}$ प्रत्येक को एक बार दें)। $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ प्रिमिटिव रूट मोडुलो n|प्रिमिटिव रूट मॉड्यूलो n कहलाता है।^[5] यदि कोई जनरेटर है तो उनमें से $\varphi (\varphi (n))$ है।

2 की घात

मोडुलो 1 कोई भी दो पूर्णांक सर्वांगसम हैं, अर्थात, केवल सर्वांगसमता वर्ग है, [0], कोप्राइम टू 1. इसलिए, $(\mathbb {Z} /1\,\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}$ के साथ तुच्छ समूह है । φ(1) = 1 तत्व इसकी तुच्छ प्रकृति के कारण, सर्वांगसमता मॉडुलो 1 के स्थिति को सामान्यतः अनदेखा कर दिया जाता है और कुछ लेखक प्रमेय बयानों में n = 1 के स्थिति को सम्मिलित नहीं करना चुनते हैं।

मॉडुलो 2 केवल सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग है, [1], इसलिए $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}$ तुच्छ समूह है।

मॉडुलो 4 में दो परस्पर सर्वांगसमता वर्ग हैं, [1] और [3], इसलिए $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2},$ दो तत्वों के साथ चक्रीय समूह है।

मॉडुलो 8 में चार सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग हैं, [1], [3], [5] और [7]। इनमें से प्रत्येक का वर्ग 1 है, इसलिए $(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ क्लेन चार-समूह है।

मोडुलो 16 में आठ सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग हैं [1], [3], [5], [7], [9], [11], [13] और [15]। $\{\pm 1,\pm 7\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ 2-मरोड़ उपसमूह है । (अर्थात, प्रत्येक तत्व का वर्ग 1 है), इसलिए $(\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }$ चक्रीय नहीं है। 3 की घातें, $\{1,3,9,11\}$ क्रम 4 का उपसमूह है, जैसा कि 5 की $\{1,5,9,13\}.$ घात हैं, इस प्रकार $(\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{4}.$ 8 और 16 द्वारा दिखाया गया पैटर्न उच्च घातो के लिए 2^k k > 2 धारण करता है ।^[6] $\{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ 2-मरोड़ उपसमूह है (इसलिए $(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }$ चक्रीय नहीं है) और 3 की घात क्रम के चक्रीय उपसमूह हैं । 2^{k − 2}, इसलिए $(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2^{k-2}}.$ है ।

सामान्य मिश्रित संख्याएँ

परिमित एबेलियन समूहों के मौलिक प्रमेय द्वारा, समूह $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ प्राइम पावर ऑर्डर के चक्रीय समूहों के समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है।

अधिक विशेष रूप से, चीनी शेष प्रमेय ^[7] कहते हैं । कि यदि $\;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;$ फिर रिंग $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ इसके प्रत्येक प्रमुख घात कारकों के अनुरूप छल्लों के छल्लों का उत्पाद है ।

\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;

इसी प्रकार, इकाइयों का समूह $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ प्रत्येक प्रमुख घात कारकों के अनुरूप समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है:

(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.

प्रत्येक विषम प्रधान घात के लिए $p^{k}$ संबंधित कारक $(\mathbb {Z} /{p^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }$ क्रम का $\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}$ चक्रीय समूह है । जो प्राइम-पावर ऑर्डर के चक्रीय समूहों में आगे बढ़ सकता है।

2 कारक की घातो के लिए $(\mathbb {Z} /{2^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }$ k = 0, 1, 2 तक चक्रीय नहीं है । किंतु ऊपर वर्णित अनुसार चक्रीय समूहों में कारक हैं।

समूह का क्रम $\varphi (n)$ प्रत्यक्ष उत्पाद में चक्रीय समूहों के आदेशों का उत्पाद है।

समूह के समूह का प्रतिपादक, जो कि चक्रीय समूहों में आदेशों का सबसे कम सामान्य गुणक है । कारमाइकल फलन $\lambda (n)$ (sequence A002322 in the OEIS). द्वारा दिया जाता है ।

दूसरे शब्दों में, $\lambda (n)$ सबसे छोटी संख्या है । जैसे प्रत्येक के लिए n के लिए एक कोप्राइम, $a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$ रखती है।

यह बांटता है $\varphi (n)$ और इसके समान है यदि और केवल यदि समूह चक्रीय है।

गलत प्रमाण का उपसमूह

यदि n संमिश्र है, तो गुणात्मक समूह का उपसमूह उपस्थित होता है । जिसे गलत प्रमाण का समूह कहा जाता है, जिसमें तत्व, जब सत्ता में आ जाते हैं तो n − 1, 1 मॉड्यूलो n के सर्वांगसम हैं। (चूंकि अवशेष 1 जब किसी भी घात के लिए उठाया जाता है तो 1 मॉड्यूलो n के अनुरूप होता है । ऐसे तत्वों का समुच्चय खाली नहीं होता है।) ^[8] फर्मेट के लिटिल प्रमेय के कारण कोई कह सकता है कि इस तरह के अवशेष गलत सकारात्मक हैं या n की प्रारंभिकता के लिए गलत प्रमाण हैं। नंबर 2 इस मूल प्रारंभिक जाँच में सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला अवशेष है । इसलिए 341 = 11 × 31 से प्रसिद्ध है । क्योकि 2340 1 मॉड्यूल 341 के अनुरूप है, और 341 सबसे छोटी ऐसी समग्र संख्या है (2 के संबंध में)। 341 के लिए, गलत प्रमाण के उपसमूह में 100 अवशेष होते हैं और ऐसा ही 300 तत्व गुणात्मक समूह मॉड 341 के अंदर संकेत 3 का होता है।

उदाहरण

n = 9

गलत प्रमाण के गैर-तुच्छ उपसमूह के साथ सबसे छोटा उदाहरण 9 = 3 × 3. 9: 1, 2, 4, 5, 7, 8 के लिए 6 अवशेष सहअभाज्य हैं। चूँकि 8 −1 मॉड्यूलो 9 सर्वांगसम है ।यह इस प्रकार है 88 1 मॉड्यूल 9 के अनुरूप है। इसलिए 1 और 8 9 की प्राथमिकता के लिए गलत सकारात्मक हैं (चूंकि 9 वास्तव में अभाज्य नहीं है)। वास्तव में ये केवल एक ही हैं, इसलिए उपसमूह {1,8} गलत प्रमाण का उपसमूह है। वही तर्क यह दर्शाता है n − 1 किसी भी विषम सम्मिश्र n के लिए गलत प्रमाण है।

n = 91

n = 91 (= 7 × 13) के लिए, $\varphi (91)=72$ अवशेष 91 के अनुरूप हैं, उनमें से आधे (अर्थात, उनमें से 36) 91 के गलत प्रमाण हैं, अर्थात् 1, 3, 4, 9, 10, 12, 16, 17, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 36, 38, 40, 43, 48, 51, 53, 55, 61, 62, 64, 66, 68, 69, 74, 75, 79, 81, 82, 87, 88, और 90, क्योंकि इन मूल्यों के लिए x, x⁹⁰ 1 मॉड 91 के अनुरूप है।

n = 561

n = 561 (= 3 × 11 × 17) कार्मिकेल संख्या है,। इस प्रकार s⁵⁶⁰ 561 के किसी भी पूर्णांक सह अभाज्य के लिए 1 मॉड्यूल 561 के अनुरूप है। गलत प्रमाण का उपसमूह इस स्थिति में उचित नहीं है । यह गुणनात्मक इकाइयों मॉड्यूलो 561 का संपूर्ण समूह है । जिसमें 320 अवशेष सम्मिलित हैं।

उदाहरण

यह तालिका $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ चक्रीय अपघटन और n ≤ 128 के लिए समूह का जनरेटिंग समुच्चय को दर्शाती है। अपघटन और जनरेटिंग समुच्चय अद्वितीय नहीं हैं; उदाहरण के लिए,

 $\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbb {Z} /35\mathbb {Z} )^{\times }&\cong (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /7\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{6}\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{3}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{12}\cong (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /13\mathbb {Z} )^{\times }\\&\cong (\mathbb {Z} /52\mathbb {Z} )^{\times }\end{aligned}}$  (किंतु  $\not \cong \mathrm {C} _{24}\cong \mathrm {C} _{8}\times \mathrm {C} _{3}$ ). नीचे दी गई तालिका सबसे छोटी अपघटन सूचीबद्ध करती है (उनमें से, लेक्सिकोग्राफ़िक रूप से पहले चुना जाता है - यह गारंटी देता है कि आइसोमोर्फिक समूह समान अपघटन के साथ सूचीबद्ध हैं)। जनरेटिंग समुच्चय को जितना संभव हो उतना छोटा चुना जाता है, और n के लिए आदिम रूट के साथ, सबसे छोटा आदिम रूट मॉड्यूलो n सूचीबद्ध होता है।

उदाहरण के लिए, माना $(\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }$ . तब $\varphi (20)=8$ इसका अर्थ है कि समूह का क्रम 8 है (अर्थात, 20 से कम 8 संख्याएँ हैं और इसका सहअभाज्य है); $\lambda (20)=4$ इसका कारण है कि प्रत्येक तत्व का क्रम 4 को विभाजित करता है, अर्थात, 20 से किसी भी संख्या की चौथी घात 1 (मॉड 20) के अनुरूप है। समुच्चय {3,19} समूह उत्पन्न करता है । जिसका अर्थ है कि प्रत्येक तत्व $(\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }$ स्वरूप का है । 3^a × 19^b (जहाँ a 0, 1, 2, या 3 है, क्योंकि तत्व 3 का क्रम 4 है, और इसी तरह b 0 या 1 है, क्योंकि तत्व 19 का क्रम 2 है)।

सबसे छोटा प्रिमिटिव रूट मॉड n हैं (0 यदि कोई रूट उपस्थित नहीं है)

0, 1, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 3, 5, 2, 0, 0, 7, 5, 0, 2 , 7, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 6, 0, 3, 0, 0, 5, 5, 0, 3, 3 , 0, 0, 2, 5, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7, 0, 5, 5, 0 , 0, 0, 0, 3, 0, 2, 7, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 3, 0, ... (sequence A046145 in the OEIS)

मॉड n के न्यूनतम जनरेटिंग समुच्चय में तत्वों की संख्या है

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1 , 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1 , 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2 , 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 2, ... (sequence A046072 in the OEIS)

(Z/nZ)× की समूह संरचना
$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	जनरेटिंग समुच्चय	$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	जनरेटिंग समुच्चय	$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	जनरेटिंग समुच्चय	$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	जनरेटिंग समुच्चय
1	C₁	1	1	0	33	C₂×C₁₀	20	10	2, 10	65	C₄×C₁₂	48	12	2, 12	97	C₉₆	96	96	5
2	C₁	1	1	1	34	C₁₆	16	16	3	66	C₂×C₁₀	20	10	5, 7	98	C₄₂	42	42	3
3	C₂	2	2	2	35	C₂×C₁₂	24	12	2, 6	67	C₆₆	66	66	2	99	C₂×C₃₀	60	30	2, 5
4	C₂	2	2	3	36	C₂×C₆	12	6	5, 19	68	C₂×C₁₆	32	16	3, 67	100	C₂×C₂₀	40	20	3, 99
5	C₄	4	4	2	37	C₃₆	36	36	2	69	C₂×C₂₂	44	22	2, 68	101	C₁₀₀	100	100	2
6	C₂	2	2	5	38	C₁₈	18	18	3	70	C₂×C₁₂	24	12	3, 69	102	C₂×C₁₆	32	16	5, 101
7	C₆	6	6	3	39	C₂×C₁₂	24	12	2, 38	71	C₇₀	70	70	7	103	C₁₀₂	102	102	5
8	C₂×C₂	4	2	3, 5	40	C₂×C₂×C₄	16	4	3, 11, 39	72	C₂×C₂×C₆	24	6	5, 17, 19	104	C₂×C₂×C₁₂	48	12	3, 5, 103
9	C₆	6	6	2	41	C₄₀	40	40	6	73	C₇₂	72	72	5	105	C₂×C₂×C₁₂	48	12	2, 29, 41
10	C₄	4	4	3	42	C₂×C₆	12	6	5, 13	74	C₃₆	36	36	5	106	C₅₂	52	52	3
11	C₁₀	10	10	2	43	C₄₂	42	42	3	75	C₂×C₂₀	40	20	2, 74	107	C₁₀₆	106	106	2
12	C₂×C₂	4	2	5, 7	44	C₂×C₁₀	20	10	3, 43	76	C₂×C₁₈	36	18	3, 37	108	C₂×C₁₈	36	18	5, 107
13	C₁₂	12	12	2	45	C₂×C₁₂	24	12	2, 44	77	C₂×C₃₀	60	30	2, 76	109	C₁₀₈	108	108	6
14	C₆	6	6	3	46	C₂₂	22	22	5	78	C₂×C₁₂	24	12	5, 7	110	C₂×C₂₀	40	20	3, 109
15	C₂×C₄	8	4	2, 14	47	C₄₆	46	46	5	79	C₇₈	78	78	3	111	C₂×C₃₆	72	36	2, 110
16	C₂×C₄	8	4	3, 15	48	C₂×C₂×C₄	16	4	5, 7, 47	80	C₂×C₄×C₄	32	4	3, 7, 79	112	C₂×C₂×C₁₂	48	12	3, 5, 111
17	C₁₆	16	16	3	49	C₄₂	42	42	3	81	C₅₄	54	54	2	113	C₁₁₂	112	112	3
18	C₆	6	6	5	50	C₂₀	20	20	3	82	C₄₀	40	40	7	114	C₂×C₁₈	36	18	5, 37
19	C₁₈	18	18	2	51	C₂×C₁₆	32	16	5, 50	83	C₈₂	82	82	2	115	C₂×C₄₄	88	44	2, 114
20	C₂×C₄	8	4	3, 19	52	C₂×C₁₂	24	12	7, 51	84	C₂×C₂×C₆	24	6	5, 11, 13	116	C₂×C₂₈	56	28	3, 115
21	C₂×C₆	12	6	2, 20	53	C₅₂	52	52	2	85	C₄×C₁₆	64	16	2, 3	117	C₆×C₁₂	72	12	2, 17
22	C₁₀	10	10	7	54	C₁₈	18	18	5	86	C₄₂	42	42	3	118	C₅₈	58	58	11
23	C₂₂	22	22	5	55	C₂×C₂₀	40	20	2, 21	87	C₂×C₂₈	56	28	2, 86	119	C₂×C₄₈	96	48	3, 118
24	C₂×C₂×C₂	8	2	5, 7, 13	56	C₂×C₂×C₆	24	6	3, 13, 29	88	C₂×C₂×C₁₀	40	10	3, 5, 7	120	C₂×C₂×C₂×C₄	32	4	7, 11, 19, 29
25	C₂₀	20	20	2	57	C₂×C₁₈	36	18	2, 20	89	C₈₈	88	88	3	121	C₁₁₀	110	110	2
26	C₁₂	12	12	7	58	C₂₈	28	28	3	90	C₂×C₁₂	24	12	7, 11	122	C₆₀	60	60	7
27	C₁₈	18	18	2	59	C₅₈	58	58	2	91	C₆×C₁₂	72	12	2, 3	123	C₂×C₄₀	80	40	7, 83
28	C₂×C₆	12	6	3, 13	60	C₂×C₂×C₄	16	4	7, 11, 19	92	C₂×C₂₂	44	22	3, 91	124	C₂×C₃₀	60	30	3, 61
29	C₂₈	28	28	2	61	C₆₀	60	60	2	93	C₂×C₃₀	60	30	11, 61	125	C₁₀₀	100	100	2
30	C₂×C₄	8	4	7, 11	62	C₃₀	30	30	3	94	C₄₆	46	46	5	126	C₆×C₆	36	6	5, 13
31	C₃₀	30	30	3	63	C₆×C₆	36	6	2, 5	95	C₂×C₃₆	72	36	2, 94	127	C₁₂₆	126	126	3
32	C₂×C₈	16	8	3, 31	64	C₂×C₁₆	32	16	3, 63	96	C₂×C₂×C₈	32	8	5, 17, 31	128	C₂×C₃₂	64	32	3, 127

यह भी देखें

लेनस्ट्रा अण्डाकार वक्र गुणनखंड

↑ Weisstein, Eric W. "Modulo Multiplication Group". MathWorld.
↑ Primitive root, Encyclopedia of Mathematics
↑ (Vinogradov 2003, pp. 105–121, § VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES)
↑ (Gauss & Clarke 1986, arts. 52–56, 82–891)
↑ (Vinogradov 2003, p. 106)
↑ (Gauss & Clarke 1986, arts. 90–91)
↑ Riesel covers all of this. (Riesel 1994, pp. 267–275)
↑ Erdős, Paul; Pomerance, Carl (1986). "समग्र संख्या के लिए झूठे गवाहों की संख्या पर". Math. Comput. 46 (173): 259–279. doi:10.1090/s0025-5718-1986-0815848-x. Zbl 0586.10003.

संदर्भ

The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Gauss's Ciceronian Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.

Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithmeticae (English translation, Second, corrected edition), translated by Clarke, Arthur A., New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2
Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (German translation, Second edition), translated by Maser, H., New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0191-3
Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3743-9
Vinogradov, I. M. (2003), "§ VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES", Elements of Number Theory, Mineola, NY: Dover Publications, pp. 105–121, ISBN 978-0-486-49530-9

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Modulo Multiplication Group". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Primitive Root". MathWorld.
Web-based tool to interactively compute group tables by John Jones

[1] Weisstein, Eric W. "Modulo Multiplication Group". MathWorld.

[2] Primitive root, Encyclopedia of Mathematics

[Vinogradov2003.pp=105-121-3] (Vinogradov 2003, pp. 105–121, § VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES)

[4] (Gauss & Clarke 1986, arts. 52–56, 82–891)

[5] (Vinogradov 2003, p. 106)

[6] (Gauss & Clarke 1986, arts. 90–91)

[7] Riesel covers all of this. (Riesel 1994, pp. 267–275)

[8] Erdős, Paul; Pomerance, Carl (1986). "समग्र संख्या के लिए झूठे गवाहों की संख्या पर". Math. Comput. 46 (173): 259–279. doi:10.1090/s0025-5718-1986-0815848-x. Zbl 0586.10003.

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 {{Group theory sidebar|Finite}}
-यह [[भागफल समूह]] सामान्यतः निरूपित किया जाता है । <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>, [[संख्या सिद्धांत]] में मौलिक है। इसका उपयोग [[क्रिप्टोग्राफी]], [[पूर्णांक गुणनखंडन]] और [[प्रारंभिक परीक्षण]] में किया जाता है। यह  [[एबेलियन समूह]] है । [[परिमित समूह]] समूह जिसका क्रम यूलर के टोटेंट फलन <math>|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times|=\varphi(n).</math> द्वारा दिया गया है ।  प्राइम n के लिए समूह [[चक्रीय समूह]] है और सामान्य रूप से संरचना का वर्णन करना सरल है । चूंकि प्राइम n के लिए भी समूह के जनरेटिंग समुच्चय को खोजने के लिए कोई सामान्य सूत्र ज्ञात नहीं है।
+यह [[भागफल समूह]] सामान्यतः निरूपित किया जाता है । <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>, [[संख्या सिद्धांत]] में मौलिक है। इसका उपयोग [[क्रिप्टोग्राफी]], [[पूर्णांक गुणनखंडन]] और [[प्रारंभिक परीक्षण]] में किया जाता है। यह [[एबेलियन समूह]] है । [[परिमित समूह]] समूह जिसका क्रम यूलर के टोटेंट फलन <math>|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times|=\varphi(n).</math> द्वारा दिया गया है । प्राइम n के लिए समूह [[चक्रीय समूह]] है और सामान्य रूप से संरचना का वर्णन करना सरल है । चूंकि प्राइम n के लिए भी समूह के जनरेटिंग समुच्चय को खोजने के लिए कोई सामान्य सूत्र ज्ञात नहीं है।
-'''n = 561 (= 3 × 11 × 17)  कार्मिकेल संख्या है, इस प्रकार s<sup>560 </sup> 561 के किसी भी पूर्णांक सह अभाज्य के लिए 1 मॉड्यूल 561 के अनुरूप है। गलत प्रमाण का उपसमूह इस स्थिति में उचित नहीं है;'''
+'''n = 561 (= 3 × 11 × 17) कार्मिकेल संख्या है, इस प्रकार s<sup>560</sup> 561 के किसी भी पूर्णांक सह अभाज्य के'''
 == समूह स्वयंसिद्ध ==
-यह दिखाने के लिए  सीधा अभ्यास है कि, गुणन के अनुसार, सर्वांगसमता वर्ग मॉड्यूलो n का समुच्चय है जो  एबेलियन समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने के लिए n के सहअभाज्य हैं।
+यह दिखाने के लिए सीधा अभ्यास है कि, गुणन के अनुसार, सर्वांगसमता वर्ग मॉड्यूलो n का समुच्चय है जो एबेलियन समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने के लिए n के सहअभाज्य हैं।
 वास्तव में a, n का सहअभाज्य है । यदि और केवल यदि {{nowrap|1= [[greatest common divisor|gcd]](''a'', ''n'') = 1}} समान सर्वांगसमता वर्ग {{nowrap|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} में पूर्णांक {{nowrap|1= gcd(''a'', ''n'') = gcd(''b'', ''n'')}} को संतुष्ट करते हैं इसलिए एक सहअभाज्य है । n को यदि और केवल यदि दूसरा है। इस प्रकार सर्वांगसमता वर्ग मॉड्यूलो n की धारणा जो n के लिए सहअभाज्य है, अच्छी तरह से परिभाषित है।
@@ Line 18: / Line 18: @@
 पूर्णांक गुणन सर्वांगसमता वर्गों का सम्मान करता है, अर्थात, {{nowrap|''a'' ≡ ''a' ''}} और {{nowrap|''b'' ≡ ''b' '' (mod ''n'')}} तात्पर्य {{nowrap|''ab'' ≡ ''a'b' '' (mod ''n'')}}. है । इसका तात्पर्य है कि गुणन साहचर्य, क्रमविनिमेय है, और यह कि 1 का वर्ग अद्वितीय गुणक पहचान है।
-अंत में एक मापांक n का गुणात्मक व्युत्क्रम एक पूर्णांक x संतोषजनक {{nowrap|''ax'' ≡ 1 (mod ''n'')}} है। यह  तब उपस्थित होता है । जब a, n के साथ सहअभाज्य होता है । क्योंकि उस स्थिति में {{nowrap|1=gcd(''a'', ''n'') = 1}} और बेज़ाउट लेम्मा द्वारा पूर्णांक x और y संतोषजनक {{nowrap|1=''ax'' + ''ny'' = 1}} होते हैं। ध्यान दें कि समीकरण {{nowrap|1=''ax'' + ''ny'' = 1}} का अर्थ है कि x n के लिए सहअभाज्य है इसलिए गुणनात्मक व्युत्क्रम समूह से संबंधित है।
+अंत में एक मापांक n का गुणात्मक व्युत्क्रम एक पूर्णांक x संतोषजनक {{nowrap|''ax'' ≡ 1 (mod ''n'')}} है। यह तब उपस्थित होता है । जब a, n के साथ सहअभाज्य होता है । क्योंकि उस स्थिति में {{nowrap|1=gcd(''a'', ''n'') = 1}} और बेज़ाउट लेम्मा द्वारा पूर्णांक x और y संतोषजनक {{nowrap|1=''ax'' + ''ny'' = 1}} होते हैं। ध्यान दें कि समीकरण {{nowrap|1=''ax'' + ''ny'' = 1}} का अर्थ है कि x n के लिए सहअभाज्य है इसलिए गुणनात्मक व्युत्क्रम समूह से संबंधित है।
 == टिप्पणी ==
-जोड़ और गुणन के संचालन के साथ पूर्णांक मॉड्यूलो n का (सर्वांगसमता वर्ग) का समुच्चय  रिंग (गणित) है। इसे <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>या <math>\mathbb{Z}/(n)</math> के रूप में निरूपित है । (संकेतन का तात्पर्य पूर्णांक मॉडुलो द [[ आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) | आदर्श (रिंग सिद्धांत)]] के भागफल वलय <math>n\mathbb{Z}</math> या <math>(n)</math> n के गुणकों से मिलकर) बनता है। संख्या सिद्धांत के बाहर सरल अंकन <math>\mathbb{Z}_n</math> का प्रयोग अधिकांशतः किया जाता है । चूंकि इसे {{math|<var>p</var>}}-adic पूर्णांक संख्या के साथ भ्रमित किया जा सकता है । जब n अभाज्य संख्या है।
+जोड़ और गुणन के संचालन के साथ पूर्णांक मॉड्यूलो n का (सर्वांगसमता वर्ग) का समुच्चय रिंग (गणित) है। इसे <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>या <math>\mathbb{Z}/(n)</math> के रूप में निरूपित है । (संकेतन का तात्पर्य पूर्णांक मॉडुलो द [[ आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) |आदर्श (रिंग सिद्धांत)]] के भागफल वलय <math>n\mathbb{Z}</math> या <math>(n)</math> n के गुणकों से मिलकर) बनता है। संख्या सिद्धांत के बाहर सरल अंकन <math>\mathbb{Z}_n</math> का प्रयोग अधिकांशतः किया जाता है । चूंकि इसे {{math|<var>p</var>}}-adic पूर्णांक संख्या के साथ भ्रमित किया जा सकता है । जब n अभाज्य संख्या है।
 पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणात्मक समूह, जो इस रिंग में इकाइयों का समूह है, को (लेखक के आधार पर) लिखा जा सकता है। <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times,</math>   <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*,</math>   <math>\mathrm{U}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}),</math>   <math>\mathrm{E}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})</math> (जर्मन इनहाइट के लिए, जो इकाई के रूप में अनुवादित है), <math>\mathbb{Z}_n^*</math>, या समान अंकन होता है। यह लेख <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times.</math> का उपयोग करता है ।
-अंकन <math>\mathrm{C}_n</math> क्रम n के चक्रीय समूह को संदर्भित करता है। यह योग के अनुसार पूर्णांक मॉड्यूलो n के समूह के लिए [[समूह समरूपता]] है। ध्यान दें कि <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> या <math>\mathbb{Z}_n</math> अतिरिक्त के अनुसार समूह को भी संदर्भित कर सकते हैं।उदाहरण के लिए, गुणक समूह <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>  अभाज्य p के लिए चक्रीय है और इसलिए योज्य समूह के लिए आइसोमोर्फिक है । <math>\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}</math>, किंतु समरूपता स्पष्ट नहीं है।
+अंकन <math>\mathrm{C}_n</math> क्रम n के चक्रीय समूह को संदर्भित करता है। यह योग के अनुसार पूर्णांक मॉड्यूलो n के समूह के लिए [[समूह समरूपता]] है। ध्यान दें कि <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> या <math>\mathbb{Z}_n</math> अतिरिक्त के अनुसार समूह को भी संदर्भित कर सकते हैं।उदाहरण के लिए, गुणक समूह <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math> अभाज्य p के लिए चक्रीय है और इसलिए योज्य समूह के लिए आइसोमोर्फिक है । <math>\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}</math>, किंतु समरूपता स्पष्ट नहीं है।
 == संरचना ==
-पूर्णांक मॉड्यूलो n के गुणक समूह का क्रम <math>\{0,1,\dots,n-1\}</math> कोप्राइम से n पूर्णांकों की संख्या है । यह यूलर के कुल कार्य  <math>| (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times|=\varphi(n)</math> {{OEIS|id=A000010}}. द्वारा दिया गया है । प्राइम पी <math>\varphi(p)=p-1</math> के लिए,
+पूर्णांक मॉड्यूलो n के गुणक समूह का क्रम <math>\{0,1,\dots,n-1\}</math> कोप्राइम से n पूर्णांकों की संख्या है । यह यूलर के कुल कार्य <math>| (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times|=\varphi(n)</math> {{OEIS|id=A000010}}. द्वारा दिया गया है । प्राइम पी <math>\varphi(p)=p-1</math> के लिए,
 === चक्रीय प्रकरण ===
 {{main article|प्राथमिक रूट मॉड्यूलो एन}}
-समूह <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> चक्रीय समूह है । यदि और केवल  यदि n 1, 2, 4, p<sup>k</sup> या 2p<sup>k</sup> है,  जहाँ p  विषम अभाज्य संख्या है और {{nowrap|''k'' > 0}}. n के अन्य सभी मानों के लिए समूह चक्रीय नहीं है। <ref>{{MathWorld|title=Modulo Multiplication Group|urlname=ModuloMultiplicationGroup}}
+समूह <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> चक्रीय समूह है । यदि और केवल यदि n 1, 2, 4, p<sup>k</sup> या 2p<sup>k</sup> है, जहाँ p विषम अभाज्य संख्या है और {{nowrap|''k'' > 0}}. n के अन्य सभी मानों के लिए समूह चक्रीय नहीं है। <ref>{{MathWorld|title=Modulo Multiplication Group|urlname=ModuloMultiplicationGroup}}
 </ref><ref>[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Primitive_root Primitive root], [[Encyclopedia of Mathematics]]</ref><ref name="Vinogradov2003.pp=105-121">{{Harv|Vinogradov|2003|loc=§ VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES|pp=105–121}}</ref> यह सर्वप्रथम [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref>{{Harv|Gauss|Clarke|1986|loc=arts. 52–56, 82–891}}</ref>
 इसका कारण है कि इन n के लिए:
 :<math> (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_{\varphi(n)},</math> जहाँ <math>\varphi(p^k)=\varphi(2 p^k)=p^k - p^{k-1}.</math>
-परिभाषा के अनुसार, समूह चक्रीय है । यदि और केवल यदि उसके पास समूह जी का  जनरेटिंग समुच्चय है । (आकार एक के समूह {जी} का एक जनरेटिंग समुच्चय), अर्थात घातें <math>g^0,g^1,g^2,\dots,</math> n को सभी संभावित अवशेष मॉड्यूलो n कोप्राइम दें । (पहला <math>\varphi(n)</math> पॉवर्स <math>g^0,\dots,g^{\varphi(n)-1}</math> प्रत्येक को  एक बार दें)। <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> प्रिमिटिव रूट मोडुलो n|प्रिमिटिव रूट मॉड्यूलो ''n'' कहलाता है।<ref>{{Harv|Vinogradov|2003|p=106}}</ref> यदि कोई जनरेटर है तो उनमें से <math>\varphi(\varphi(n))</math> है।
+परिभाषा के अनुसार, समूह चक्रीय है । यदि और केवल यदि उसके पास समूह जी का जनरेटिंग समुच्चय है । (आकार एक के समूह {जी} का एक जनरेटिंग समुच्चय), अर्थात घातें <math>g^0,g^1,g^2,\dots,</math> n को सभी संभावित अवशेष मॉड्यूलो n कोप्राइम दें । (पहला <math>\varphi(n)</math> पॉवर्स <math>g^0,\dots,g^{\varphi(n)-1}</math> प्रत्येक को एक बार दें)। <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> प्रिमिटिव रूट मोडुलो n|प्रिमिटिव रूट मॉड्यूलो ''n'' कहलाता है।<ref>{{Harv|Vinogradov|2003|p=106}}</ref> यदि कोई जनरेटर है तो उनमें से <math>\varphi(\varphi(n))</math> है।
 === '''2 की घात''' ===
-मोडुलो 1 कोई भी दो पूर्णांक सर्वांगसम हैं, अर्थात, केवल  सर्वांगसमता वर्ग है, [0], कोप्राइम टू 1. इसलिए, <math>(\mathbb{Z}/1\,\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_1</math> के साथ तुच्छ समूह है । {{nowrap|1=φ(1) = 1}} तत्व इसकी तुच्छ प्रकृति के कारण, सर्वांगसमता मॉडुलो 1 के स्थिति को सामान्यतः अनदेखा कर दिया जाता है और कुछ लेखक प्रमेय बयानों में n = 1 के स्थिति को सम्मिलित नहीं करना चुनते हैं।
+मोडुलो 1 कोई भी दो पूर्णांक सर्वांगसम हैं, अर्थात, केवल सर्वांगसमता वर्ग है, [0], कोप्राइम टू 1. इसलिए, <math>(\mathbb{Z}/1\,\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_1</math> के साथ तुच्छ समूह है । {{nowrap|1=φ(1) = 1}} तत्व इसकी तुच्छ प्रकृति के कारण, सर्वांगसमता मॉडुलो 1 के स्थिति को सामान्यतः अनदेखा कर दिया जाता है और कुछ लेखक प्रमेय बयानों में n = 1 के स्थिति को सम्मिलित नहीं करना चुनते हैं।
-मॉडुलो 2 केवल  सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग है, [1], इसलिए <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_1</math> [[तुच्छ समूह]] है।
+मॉडुलो 2 केवल सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग है, [1], इसलिए <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_1</math> [[तुच्छ समूह]] है।
 मॉडुलो 4 में दो परस्पर सर्वांगसमता वर्ग हैं, [1] और [3], इसलिए <math>(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_2,</math> दो तत्वों के साथ चक्रीय समूह है।
@@ Line 50: / Line 51: @@
 मॉडुलो 8 में चार सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग हैं, [1], [3], [5] और [7]। इनमें से प्रत्येक का वर्ग 1 है, इसलिए <math>(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2,</math> [[क्लेन चार-समूह]] है।
-मोडुलो 16 में आठ सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग हैं [1], [3], [5], [7], [9], [11], [13] और [15]। <math>\{\pm 1, \pm 7\}\cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2,</math> 2-[[मरोड़ उपसमूह]] है । (अर्थात, प्रत्येक तत्व का वर्ग 1 है), इसलिए <math>(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times</math> चक्रीय नहीं है। 3 की घातें, <math>\{1, 3, 9, 11\}</math> क्रम 4 का  उपसमूह है, जैसा कि 5 की <math>\{1, 5, 9, 13\}.</math> घात हैं,  इस प्रकार <math>(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_4.</math> 8 और 16 द्वारा दिखाया गया पैटर्न उच्च घातो के लिए 2<sup>k</sup> {{nowrap|''k'' > 2}} धारण करता है ।<ref>{{Harv|Gauss|Clarke|1986|loc=arts. 90–91}}</ref> <math>\{\pm 1, 2^{k-1} \pm 1\}\cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2,</math> 2-मरोड़ उपसमूह है (इसलिए <math>(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^\times </math> चक्रीय नहीं है) और 3 की घात क्रम के चक्रीय उपसमूह हैं । {{nowrap|1=2<sup>''k'' &minus; 2</sup>}}, इसलिए <math>(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_{2^{k-2}}.</math> है ।
+मोडुलो 16 में आठ सहप्रमुख सर्वांगसमता वर्ग हैं [1], [3], [5], [7], [9], [11], [13] और [15]। <math>\{\pm 1, \pm 7\}\cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2,</math> 2-[[मरोड़ उपसमूह]] है । (अर्थात, प्रत्येक तत्व का वर्ग 1 है), इसलिए <math>(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times</math> चक्रीय नहीं है। 3 की घातें, <math>\{1, 3, 9, 11\}</math> क्रम 4 का उपसमूह है, जैसा कि 5 की <math>\{1, 5, 9, 13\}.</math> घात हैं, इस प्रकार <math>(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_4.</math> 8 और 16 द्वारा दिखाया गया पैटर्न उच्च घातो के लिए 2<sup>k</sup> {{nowrap|''k'' > 2}} धारण करता है ।<ref>{{Harv|Gauss|Clarke|1986|loc=arts. 90–91}}</ref> <math>\{\pm 1, 2^{k-1} \pm 1\}\cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2,</math> 2-मरोड़ उपसमूह है (इसलिए <math>(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^\times </math> चक्रीय नहीं है) और 3 की घात क्रम के चक्रीय उपसमूह हैं । {{nowrap|1=2<sup>''k'' &minus; 2</sup>}}, इसलिए <math>(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^\times \cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_{2^{k-2}}.</math> है ।
 === सामान्य मिश्रित संख्याएँ ===
 परिमित एबेलियन समूहों के मौलिक प्रमेय द्वारा, समूह <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> प्राइम पावर ऑर्डर के चक्रीय समूहों के समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है।
@@ Line 60: / Line 61: @@
 :<math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\cong (\mathbb{Z}/{p_1^{k_1}}\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/{p_2^{k_2}}\mathbb{Z})^\times  \times (\mathbb{Z}/{p_3^{k_3}}\mathbb{Z})^\times \dots\;.</math>
-प्रत्येक विषम प्रधान घात के लिए  <math>p^{k}</math> संबंधित कारक <math>(\mathbb{Z}/{p^{k}}\mathbb{Z})^\times</math> क्रम का <math>\varphi(p^k)=p^k - p^{k-1}</math> चक्रीय समूह है । जो प्राइम-पावर ऑर्डर के चक्रीय समूहों में आगे बढ़ सकता है।
+प्रत्येक विषम प्रधान घात के लिए <math>p^{k}</math> संबंधित कारक <math>(\mathbb{Z}/{p^{k}}\mathbb{Z})^\times</math> क्रम का <math>\varphi(p^k)=p^k - p^{k-1}</math> चक्रीय समूह है । जो प्राइम-पावर ऑर्डर के चक्रीय समूहों में आगे बढ़ सकता है।
 कारक की घातो के लिए <math>(\mathbb{Z}/{2^{k}}\mathbb{Z})^\times</math> k = 0, 1, 2 तक चक्रीय नहीं है । किंतु ऊपर वर्णित अनुसार चक्रीय समूहों में कारक हैं।
@@ Line 66: / Line 67: @@
 समूह का क्रम <math>\varphi(n)</math> प्रत्यक्ष उत्पाद में चक्रीय समूहों के आदेशों का उत्पाद है।
-समूह के  [[एक समूह का प्रतिपादक|समूह का प्रतिपादक]], जो कि चक्रीय समूहों में आदेशों का सबसे कम सामान्य गुणक है । [[कारमाइकल समारोह|कारमाइकल]] फलन <math>\lambda(n)</math> {{OEIS|id=A002322}}. द्वारा दिया जाता है ।
+समूह के [[एक समूह का प्रतिपादक|समूह का प्रतिपादक]], जो कि चक्रीय समूहों में आदेशों का सबसे कम सामान्य गुणक है । [[कारमाइकल समारोह|कारमाइकल]] फलन <math>\lambda(n)</math> {{OEIS|id=A002322}}. द्वारा दिया जाता है ।
 दूसरे शब्दों में, <math>\lambda(n)</math> सबसे छोटी संख्या है । जैसे प्रत्येक के लिए n के लिए एक कोप्राइम, <math>a^{\lambda(n)} \equiv 1 \pmod n</math> रखती है।
@@ Line 73: / Line 74: @@
 == गलत प्रमाण का उपसमूह ==
-यदि n संमिश्र है, तो गुणात्मक समूह का  उपसमूह उपस्थित होता है । जिसे गलत प्रमाण का समूह कहा जाता है, जिसमें तत्व, जब सत्ता में आ जाते हैं तो {{nowrap|''n'' − 1}}, 1 मॉड्यूलो n के सर्वांगसम हैं। (चूंकि अवशेष 1 जब किसी भी घात के लिए उठाया जाता है तो 1 मॉड्यूलो n के अनुरूप होता है । ऐसे तत्वों का समुच्चय खाली नहीं होता है।) <ref>{{cite journal | zbl=0586.10003 | last1=Erdős | first1=Paul | author1-link=Paul Erdős | last2=Pomerance | first2=Carl | author2-link=Carl Pomerance | title=समग्र संख्या के लिए झूठे गवाहों की संख्या पर| journal=Math. Comput. | volume=46 | issue=173 | pages=259–279 | year=1986 | doi=10.1090/s0025-5718-1986-0815848-x| doi-access=free }}</ref> फर्मेट के लिटिल प्रमेय के कारण कोई कह सकता है कि इस तरह के अवशेष गलत सकारात्मक हैं या n की प्रारंभिकता के लिए गलत प्रमाण हैं। नंबर 2 इस मूल प्रारंभिक जाँच में सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला अवशेष है । इसलिए {{nowrap|1=341 = 11 × 31}} से प्रसिद्ध है । क्योकि 2340 1 मॉड्यूल 341 के अनुरूप है, और 341 सबसे छोटी ऐसी समग्र संख्या है (2 के संबंध में)। 341 के लिए, गलत प्रमाण के उपसमूह में 100 अवशेष होते हैं और ऐसा ही 300 तत्व गुणात्मक समूह मॉड 341 के अंदर संकेत 3 का होता है।
+यदि n संमिश्र है, तो गुणात्मक समूह का उपसमूह उपस्थित होता है । जिसे गलत प्रमाण का समूह कहा जाता है, जिसमें तत्व, जब सत्ता में आ जाते हैं तो {{nowrap|''n'' − 1}}, 1 मॉड्यूलो n के सर्वांगसम हैं। (चूंकि अवशेष 1 जब किसी भी घात के लिए उठाया जाता है तो 1 मॉड्यूलो n के अनुरूप होता है । ऐसे तत्वों का समुच्चय खाली नहीं होता है।) <ref>{{cite journal | zbl=0586.10003 | last1=Erdős | first1=Paul | author1-link=Paul Erdős | last2=Pomerance | first2=Carl | author2-link=Carl Pomerance | title=समग्र संख्या के लिए झूठे गवाहों की संख्या पर| journal=Math. Comput. | volume=46 | issue=173 | pages=259–279 | year=1986 | doi=10.1090/s0025-5718-1986-0815848-x| doi-access=free }}</ref> फर्मेट के लिटिल प्रमेय के कारण कोई कह सकता है कि इस तरह के अवशेष गलत सकारात्मक हैं या n की प्रारंभिकता के लिए गलत प्रमाण हैं। नंबर 2 इस मूल प्रारंभिक जाँच में सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला अवशेष है । इसलिए {{nowrap|1=341 = 11 × 31}} से प्रसिद्ध है । क्योकि 2340 1 मॉड्यूल 341 के अनुरूप है, और 341 सबसे छोटी ऐसी समग्र संख्या है (2 के संबंध में)। 341 के लिए, गलत प्रमाण के उपसमूह में 100 अवशेष होते हैं और ऐसा ही 300 तत्व गुणात्मक समूह मॉड 341 के अंदर संकेत 3 का होता है।
 === उदाहरण ===
 ====n = 9====
-गलत प्रमाण के  गैर-तुच्छ उपसमूह के साथ सबसे छोटा उदाहरण {{nowrap|1=9 = 3 × 3}}. 9: 1, 2, 4, 5, 7, 8 के लिए 6 अवशेष सहअभाज्य हैं। चूँकि 8 {{nowrap|−1 मॉड्यूलो 9}} सर्वांगसम है ।यह इस प्रकार है 88 1 मॉड्यूल 9 के अनुरूप है। इसलिए 1 और 8 9 की प्राथमिकता के लिए गलत सकारात्मक हैं (चूंकि 9 वास्तव में अभाज्य नहीं है)। वास्तव में ये केवल एक ही हैं, इसलिए उपसमूह {1,8} गलत प्रमाण का उपसमूह है। वही तर्क यह दर्शाता है {{nowrap|''n'' − 1}} किसी भी विषम सम्मिश्र n के लिए  गलत प्रमाण है।
+गलत प्रमाण के गैर-तुच्छ उपसमूह के साथ सबसे छोटा उदाहरण {{nowrap|1=9 = 3 × 3}}. 9: 1, 2, 4, 5, 7, 8 के लिए 6 अवशेष सहअभाज्य हैं। चूँकि 8 {{nowrap|−1 मॉड्यूलो 9}} सर्वांगसम है ।यह इस प्रकार है 88 1 मॉड्यूल 9 के अनुरूप है। इसलिए 1 और 8 9 की प्राथमिकता के लिए गलत सकारात्मक हैं (चूंकि 9 वास्तव में अभाज्य नहीं है)। वास्तव में ये केवल एक ही हैं, इसलिए उपसमूह {1,8} गलत प्रमाण का उपसमूह है। वही तर्क यह दर्शाता है {{nowrap|''n'' − 1}} किसी भी विषम सम्मिश्र n के लिए गलत प्रमाण है।
 ====n = 91====
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 ====n = 561====
-n = 561 (= 3 × 11 × 17)  कार्मिकेल संख्या है,। इस प्रकार s<sup>560 </sup> 561 के किसी भी पूर्णांक सह अभाज्य के लिए 1 मॉड्यूल 561 के अनुरूप है। गलत प्रमाण का उपसमूह इस स्थिति में उचित नहीं है । यह गुणनात्मक इकाइयों मॉड्यूलो 561 का संपूर्ण समूह है । जिसमें 320 अवशेष सम्मिलित हैं।
+n = 561 (= 3 × 11 × 17) कार्मिकेल संख्या है,। इस प्रकार s<sup>560</sup> 561 के किसी भी पूर्णांक सह अभाज्य के लिए 1 मॉड्यूल 561 के अनुरूप है। गलत प्रमाण का उपसमूह इस स्थिति में उचित नहीं है । यह गुणनात्मक इकाइयों मॉड्यूलो 561 का संपूर्ण समूह है । जिसमें 320 अवशेष सम्मिलित हैं।
 == उदाहरण ==
-यह तालिका <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> चक्रीय अपघटन और n ≤ 128 के लिए  समूह का जनरेटिंग समुच्चय को दर्शाती है। अपघटन और जनरेटिंग समुच्चय अद्वितीय नहीं हैं; उदाहरण के लिए,
+यह तालिका <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> चक्रीय अपघटन और n ≤ 128 के लिए समूह का जनरेटिंग समुच्चय को दर्शाती है। अपघटन और जनरेटिंग समुच्चय अद्वितीय नहीं हैं; उदाहरण के लिए,
   <math> \displaystyle \begin{align}(\mathbb{Z}/35\mathbb{Z})^\times & \cong (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times  \cong \mathrm{C}_4 \times \mathrm{C}_6 \cong \mathrm{C}_4 \times \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_3 \cong \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_{12} \cong (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^\times  \\ & \cong (\mathbb{Z}/52\mathbb{Z})^\times \end{align} </math> (किंतु <math>\not\cong \mathrm{C}_{24} \cong \mathrm{C}_8 \times \mathrm{C}_3</math>). नीचे दी गई तालिका सबसे छोटी अपघटन सूचीबद्ध करती है (उनमें से, लेक्सिकोग्राफ़िक रूप से पहले चुना जाता है - यह गारंटी देता है कि आइसोमोर्फिक समूह समान अपघटन के साथ सूचीबद्ध हैं)। जनरेटिंग समुच्चय को जितना संभव हो उतना छोटा चुना जाता है, और n के लिए आदिम रूट के साथ, सबसे छोटा आदिम रूट मॉड्यूलो n सूचीबद्ध होता है।
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 : 0, 1, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 3, 5, 2, 0, 0, 7, 5, 0, 2 , 7, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 6, 0, 3, 0, 0, 5, 5, 0, 3, 3 , 0, 0, 2, 5, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7, 0, 5, 5, 0 , 0, 0, 0, 3, 0, 2, 7, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 3, 0, ... {{OEIS|id=A046145}}
-मॉड n के  न्यूनतम जनरेटिंग समुच्चय में तत्वों की संख्या है
+मॉड n के न्यूनतम जनरेटिंग समुच्चय में तत्वों की संख्या है
 : 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1 , 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1 , 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2 , 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 2, ... {{OEIS|id=A046072}}

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