स्थानीय रूप से चक्रीय समूह: Difference between revisions
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== स्थानीय रूप से चक्रीय समूहों के उदाहरण जो चक्रीय नहीं हैं == | == स्थानीय रूप से चक्रीय समूहों के उदाहरण जो चक्रीय नहीं हैं == | ||
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| | |[[तर्कसंगत संख्या]]s ('''Q''', +) का योज्य समूह स्थानीय रूप से चक्रीय है - परिमेय संख्याओं का कोई भी युग्म ''a''/''b'' और ''c''/' 'd'' 1/(''bd'') द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह में निहित है। {{sfnp|Rose|2012|p=52}}|[[डाइडिक परिमेय संख्या]] का योज्य समूह, ''a''/2<sup>''b''</sup> के रूप की परिमेय संख्याएँ, स्थानीय रूप से चक्रीय भी है - डाइएडिक परिमेय का कोई भी जोड़ा संख्याएँ ''a''/2<sup>''b''</sup> और ''c''/2<sup>''d''</sup> 1/ द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह में निहित है 2<sup>अधिकतम(''b'',''d'')</sup>.| Let ''p'' be any prime, and let ''μ''<sub>''p''<sup>∞</sup></sub> denote the set of all ''p''th-power [[root of unity|roots of unity]] in '''C''', i.e. | ||
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: <math>\mu_{p^\infty} = \left\{\exp\left(\frac{2\pi im}{p^k}\right) : m, k \in \mathbb{Z}\right\}</math> | : <math>\mu_{p^\infty} = \left\{\exp\left(\frac{2\pi im}{p^k}\right) : m, k \in \mathbb{Z}\right\}</math> | ||
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== एबेलियन समूहों के उदाहरण जो स्थानीय रूप से चक्रीय नहीं हैं == | == एबेलियन समूहों के उदाहरण जो स्थानीय रूप से चक्रीय नहीं हैं == | ||
* [[वास्तविक संख्या]]ओं का योज्य समूह (आर, +); 1 और द्वारा उत्पन्न उपसमूह {{pi}} (ए + बी के रूप की सभी संख्याएं शामिल हैं{{pi}}) समूह Z + Z के प्रत्यक्ष योग के लिए [[समूह समरूपता]] है, जो चक्रीय नहीं है। | * [[वास्तविक संख्या]]ओं का योज्य समूह (आर, +); 1 और द्वारा उत्पन्न उपसमूह {{pi}} (ए + बी के रूप की सभी संख्याएं शामिल हैं{{pi}}) समूह Z + Z के प्रत्यक्ष योग के लिए [[समूह समरूपता]] है, जो चक्रीय नहीं है। | ||
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Revision as of 15:49, 29 April 2023
गणित में, एक स्थानीय रूप से चक्रीय समूह एक समूह (जी, *) होता है जिसमें प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसमूह चक्रीय समूह होता है।
कुछ तथ्य
- प्रत्येक चक्रीय समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है, और प्रत्येक स्थानीय चक्रीय समूह एबेलियन समूह होता है।[1]
- प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न स्थानीय रूप से चक्रीय समूह चक्रीय है।
- स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह और भागफल समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है।
- स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की प्रत्येक समरूपता छवि स्थानीय रूप से चक्रीय होती है।
- एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय है यदि और केवल यदि समूह में तत्वों की प्रत्येक जोड़ी एक चक्रीय समूह उत्पन्न करती है।
- एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है यदि और केवल यदि इसके उपसमूहों की जाली वितरण (Ore 1938) है
- स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का मरोड़-मुक्त श्रेणी 0 या 1 है।
- स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की एंडोमोर्फिज्म रिंग क्रमविनिमेय रिंग है।[citation needed]
स्थानीय रूप से चक्रीय समूहों के उदाहरण जो चक्रीय नहीं हैं
- तर्कसंगत संख्याs (Q, +) का योज्य समूह स्थानीय रूप से चक्रीय है - परिमेय संख्याओं का कोई भी युग्म a/b और c/' 'd 1/(bd) द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह में निहित है। [2]
- डाइडिक परिमेय संख्या का योज्य समूह, a/2b के रूप की परिमेय संख्याएँ, स्थानीय रूप से चक्रीय भी है - डाइएडिक परिमेय का कोई भी जोड़ा संख्याएँ a/2b और c/2d 1/ द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह में निहित है 2अधिकतम(b,d).
- Let p be any prime, and let μp∞ denote the set of all pth-power roots of unity in C, i.e.
एबेलियन समूहों के उदाहरण जो स्थानीय रूप से चक्रीय नहीं हैं
- वास्तविक संख्याओं का योज्य समूह (आर, +); 1 और द्वारा उत्पन्न उपसमूह π (ए + बी के रूप की सभी संख्याएं शामिल हैंπ) समूह Z + Z के प्रत्यक्ष योग के लिए समूह समरूपता है, जो चक्रीय नहीं है।
- रूप की सभी संख्याएं शामिल हैंπ) समूह Z + Z के प्रत्यक्ष योग के लिए समूह समरूपता है, जो चक्रीय न
संदर्भ
- ↑ Rose (2012), p. 54.
- ↑ Rose (2012), p. 52.
- Hall, Marshall, Jr. (1999), "19.2 Locally Cyclic Groups and Distributive Lattices", Theory of Groups, American Mathematical Society, pp. 340–341, ISBN 978-0-8218-1967-8
{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).
- Ore, Øystein (1938), "Structures and group theory. II" (PDF), Duke Mathematical Journal, 4 (2): 247–269, doi:10.1215/S0012-7094-38-00419-3, MR 1546048.
- Rose, John S. (2012) [unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978]. A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.
