स्वतंत्रता (गणितीय तर्क): Difference between revisions
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एक वाक्य | एक वाक्य σ दिए गए प्रथम-क्रम के [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)|सिद्धांत]] ''T'' से स्वतंत्र है यदि ''T'' न तो σ को सिद्ध करता है और न ही उसका खंडन करता है अर्थात्, ''T'' से σ को सिद्ध करना असंभव है और T से σ को सिद्ध करना असंभव है क्योंकि σ गलत है। कभी-कभी σ को (पर्याय रूप) ''T'' की [[अनिर्णीत समस्या]] कहा जाता है यह "निर्णायकता" का वह अर्थ नहीं है जैसा [[निर्णय समस्या]] में होता है। | ||
सिद्धांत ''T'' स्वतंत्र है यदि ''T'' में प्रत्येक अभिगृहीत ''T'' में शेष अभिगृहीतों से सिद्ध करने योग्य नहीं है। एक सिद्धांत जिसके लिए अभिगृहीतों का स्वतंत्र समुच्चय स्वतंत्र रूप से अभिगृहीत है। | |||
== उपयोग नोट == | == उपयोग नोट == | ||
कुछ लेखकों का कहना है कि σ T से स्वतंत्र है | कुछ लेखकों का कहना है कि σ, ''T'' से स्वतंत्र है जबकि ''T'' केवल σ को सिद्ध नहीं कर सकता है और आवश्यक नहीं है कि इसके द्वारा यह निर्धारित किया जाए कि ''T'', σ का खंडन नहीं कर सकता है। ये लेखक कभी-कभी कहते हैं कि σ स्वतंत्र है और ''T'' के अनुरूप है। यह इंगित करने के लिए कि T न तो σ को सिद्ध कर सकता है और न ही उसका खंडन कर सकता है। | ||
== | == समुच्चय सिद्धांत में स्वतंत्रता का परिणाम == | ||
समुच्चय सिद्धांत में कई रोचक कथन ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (जेडएफ) से स्वतंत्र हैं। समुच्चय सिद्धांत में निम्नलिखित कथनों को जेडएफ से स्वतंत्र माना जाता है इस धारणा के अंतर्गत कि जेडएफ सुसंगत है: | |||
समुच्चय सिद्धांत में कई रोचक कथन ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत ( | * [[पसंद का स्वयंसिद्ध|चयनित स्वयंसिद्ध]] | ||
* [[पसंद का स्वयंसिद्ध]] | *सातत्य परिकल्पना और सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना | ||
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* सुस्लिन की समस्या | * सुस्लिन की समस्या | ||
जेडएफसी से स्वतंत्र होने के लिए जेडएफसी (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत और चयनित स्वयंसिद्ध) में निम्नलिखित कथनों (जिनमें से कोई भी गलत सिद्ध नहीं हुआ है) को सिद्ध नहीं किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त परिकल्पना के अंतर्गत जेडएफसी संगत है: | |||
*[[दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल]] | *[[दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल|अत्यधिक दुर्गम कार्डिनल्स संख्या]] का अस्तित्व | ||
* | *विस्तृत कार्डिनल्स संख्या का अस्तित्व | ||
*कुरेपा वृक्षों का न होना | *कुरेपा वृक्षों का न होना | ||
निम्नलिखित कथन | निम्नलिखित कथन चयनित स्वयंसिद्ध और इसलिए जेडएफसी के साथ असंगत हैं हालाँकि, वे संभवतः जेडएफ से स्वतंत्र हैं उपरोक्त के कथन के अनुसार उन्हें जेडएफ में सिद्ध नहीं किया जा सकता है और कुछ कार्यरत सिद्धांतकार जेडएफ में एक खंडन खोजने का अनुभव करते हैं। हालाँकि समुच्चय सिद्धांत यह सिद्ध नहीं कर सकता है कि वे समुच्चय सिद्धांत से स्वतंत्र हैं यहाँ तक कि अतिरिक्त परिकल्पना के साथ भी कि समुच्चय सिद्धांत सुसंगत है। | ||
* दृढ़ संकल्प का सिद्धांत | * दृढ़ संकल्प का सिद्धांत | ||
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*[[विज्ञापन+]] | *[[विज्ञापन+|एडी+]] | ||
== भौतिक सिद्धांत के लिए अनुप्रयोग == | == भौतिक सिद्धांत के लिए अनुप्रयोग == | ||
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== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* [[ZFC से स्वतंत्र बयानों की सूची]] | * [[ZFC से स्वतंत्र बयानों की सूची|जेडएफसी से स्वतंत्र कथनों की सूची]] | ||
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गणितीय तर्क में, स्वतंत्रता अन्य वाक्यों मे से एक वाक्य (गणितीय तर्क) की अप्राप्यता होती है।
एक वाक्य σ दिए गए प्रथम-क्रम के सिद्धांत T से स्वतंत्र है यदि T न तो σ को सिद्ध करता है और न ही उसका खंडन करता है अर्थात्, T से σ को सिद्ध करना असंभव है और T से σ को सिद्ध करना असंभव है क्योंकि σ गलत है। कभी-कभी σ को (पर्याय रूप) T की अनिर्णीत समस्या कहा जाता है यह "निर्णायकता" का वह अर्थ नहीं है जैसा निर्णय समस्या में होता है।
सिद्धांत T स्वतंत्र है यदि T में प्रत्येक अभिगृहीत T में शेष अभिगृहीतों से सिद्ध करने योग्य नहीं है। एक सिद्धांत जिसके लिए अभिगृहीतों का स्वतंत्र समुच्चय स्वतंत्र रूप से अभिगृहीत है।
उपयोग नोट
कुछ लेखकों का कहना है कि σ, T से स्वतंत्र है जबकि T केवल σ को सिद्ध नहीं कर सकता है और आवश्यक नहीं है कि इसके द्वारा यह निर्धारित किया जाए कि T, σ का खंडन नहीं कर सकता है। ये लेखक कभी-कभी कहते हैं कि σ स्वतंत्र है और T के अनुरूप है। यह इंगित करने के लिए कि T न तो σ को सिद्ध कर सकता है और न ही उसका खंडन कर सकता है।
समुच्चय सिद्धांत में स्वतंत्रता का परिणाम
समुच्चय सिद्धांत में कई रोचक कथन ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (जेडएफ) से स्वतंत्र हैं। समुच्चय सिद्धांत में निम्नलिखित कथनों को जेडएफ से स्वतंत्र माना जाता है इस धारणा के अंतर्गत कि जेडएफ सुसंगत है:
- चयनित स्वयंसिद्ध
- सातत्य परिकल्पना और सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना
- सुस्लिन की समस्या
जेडएफसी से स्वतंत्र होने के लिए जेडएफसी (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत और चयनित स्वयंसिद्ध) में निम्नलिखित कथनों (जिनमें से कोई भी गलत सिद्ध नहीं हुआ है) को सिद्ध नहीं किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त परिकल्पना के अंतर्गत जेडएफसी संगत है:
- अत्यधिक दुर्गम कार्डिनल्स संख्या का अस्तित्व
- विस्तृत कार्डिनल्स संख्या का अस्तित्व
- कुरेपा वृक्षों का न होना
निम्नलिखित कथन चयनित स्वयंसिद्ध और इसलिए जेडएफसी के साथ असंगत हैं हालाँकि, वे संभवतः जेडएफ से स्वतंत्र हैं उपरोक्त के कथन के अनुसार उन्हें जेडएफ में सिद्ध नहीं किया जा सकता है और कुछ कार्यरत सिद्धांतकार जेडएफ में एक खंडन खोजने का अनुभव करते हैं। हालाँकि समुच्चय सिद्धांत यह सिद्ध नहीं कर सकता है कि वे समुच्चय सिद्धांत से स्वतंत्र हैं यहाँ तक कि अतिरिक्त परिकल्पना के साथ भी कि समुच्चय सिद्धांत सुसंगत है।
- दृढ़ संकल्प का सिद्धांत
- वास्तविक निर्धारण का स्वयंसिद्ध
- एडी+
भौतिक सिद्धांत के लिए अनुप्रयोग
2000 के बाद से तार्किक स्वतंत्रता को भौतिकी की नींव में महत्वपूर्ण रूप में समझा किया जाने लगा है।[1][2]
यह भी देखें
- जेडएफसी से स्वतंत्र कथनों की सूची
- ज्यामिति में एक उदाहरण के लिए समानांतर अभिधारणा
टिप्पणियाँ
- ↑ Paterek, T.; Kofler, J.; Prevedel, R.; Klimek, P.; Aspelmeyer, M.; Zeilinger, A.; Brukner, Č. (2010), "Logical independence and quantum randomness", New Journal of Physics, 12: 013019, arXiv:0811.4542, Bibcode:2010NJPh...12a3019P, doi:10.1088/1367-2630/12/1/013019
- ↑ Székely, Gergely (2013), "The Existence of Superluminal Particles is Consistent with the Kinematics of Einstein's Special Theory of Relativity", Reports on Mathematical Physics, 72 (2): 133–152, arXiv:1202.5790, Bibcode:2013RpMP...72..133S, doi:10.1016/S0034-4877(13)00021-9
संदर्भ
- Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), London: Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-80830-2
- Monk, J. Donald (1976), Mathematical Logic, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90170-1
- Stabler, Edward Russell (1948), An introduction to mathematical thought, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley
