संचालक बीजगणित

फलनात्मक विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, एक प्रचालक बीजगणित, फलन संरचना द्वारा दिए गए गुणन के साथ सांस्थितिक सदिश समष्टि पर निरंतर फलन (सांस्थिति) रैखिक प्रचालकों के क्षेत्र पर एक बीजगणित है।

प्रचालक बीजगणित के अध्ययन में प्राप्त परिणाम बीजगणितीय पदों में अभिव्यक्त किए जाते हैं, जबकि उपयोग की जाने वाली तकनीकें अत्यधिक गणितीय विश्लेषण हैं। यद्यपि प्रचालक बीजगणित के अध्ययन को सामान्यतः फलनात्मक विश्लेषण की एक शाखा के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, इसमें प्रतिनिधित्व सिद्धांत, अंतर ज्यामिति, क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी, क्वांटम सूचना और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग हैं।

अवलोकन

प्रचालक बीजगणित का उपयोग एक साथ छोटे बीजगणितीय संबंध वाले प्रचालकों के यादृच्छिक समूह का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण से, प्रचालक बीजगणित को एकल प्रचालक के वर्णक्रमीय सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। सामान्य संचालिका बीजगणित में गैर क्रमविनिमेय वलय (गणित) होते हैं।

प्रचालक बीजगणित को सामान्यतः निरंतर रैखिक प्रचालकों के पूरे बीजगणित के भीतर एक निर्दिष्ट प्रचालक सांस्थिति में सवृत (गणित) होना आवश्यक है। विशेष रूप से, यह बीजगणितीय और सामयिक समापन गुणों दोनों के साथ प्रचालकों का एक समूह है। कुछ विषयों में ऐसे गुणों को स्वयंसिद्ध किया जाता है और कुछ सामयिक संरचना वाले बीजगणित अनुसंधान का विषय बन जाते हैं।

यद्यपि प्रचालकों के बीजगणित का अध्ययन विभिन्न संदर्भों में किया जाता है (उदाहरण के लिए, वितरण (गणित) के रिक्त स्थान पर क्रिया करने वाले छद्म-विभेदक प्रचालकों के बीजगणित), प्रचालक बीजगणित पद का प्रयोग सामान्यतः बानाच समष्टि पर परिबद्ध प्रचालकों के बीजगणित के संदर्भ में किया जाता है इससे भी अधिक विशेष रूप से अलग करने योग्य हिल्बर्ट समष्टि पर प्रचालकों के बीजगणित के संदर्भ में, प्रचालक मानदंड सांस्थिति के साथ संपन्न होते है।

हिल्बर्ट समष्टि पर प्रचालकों के विषय में, प्रचालकों पर हर्मिटियन आसन्न प्रतिचित्र एक प्राकृतिक प्रत्यावर्तन (गणित) देता है, जो अतिरिक्त बीजगणितीय संरचना प्रदान करता है जिसे बीजगणित पर लगाया जा सकता है। इस संदर्भ में, सबसे ठीक अध्ययन किए गए उदाहरण स्व-समीप संचालिका बीजगणित हैं, जिसका अर्थ है कि वे संलग्न लेने के अंतर्गत सवृत हैं। इनमें सी*या * बीजीय, वॉन न्यूमैन एल्जेब्रा और एडब्ल्यू*-बीजगणित सम्मिलित हैं। सी * - बीजगणित को मानदंड, समावेशन और गुणन से संबंधित स्थिति द्वारा आसानी से अमूर्त रूप से चित्रित किया जा सकता है। इस प्रकार के अमूर्त रूप से परिभाषित सी*-बीजगणित को उपयुक्त हिल्बर्ट समष्टि पर निरंतर रैखिक प्रचालकों के बीजगणित के निश्चित सवृत उप बीजगणित की पहचान की जा सकती है। इस प्रकार का परिणाम वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए है।

क्रमविनिमेय बीजगणित स्व-आसन्न संचालिका बीजगणित को स्थानीय रूप से सघन समष्टि पर जटिल-मानित निरंतर फलन के बीजगणित या मापन योग्य समष्टि पर मापनीय फलन के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार, सामान्य प्रचालक बीजगणित को प्रायः इन बीजगणितों के गैर-अनुवर्ती सामान्यीकरण, या आधार स्थान की संरचना के रूप में माना जाता है, जिस पर फलन परिभाषित होते हैं। इस दृष्टिकोण को गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति के सिद्धांत के रूप में विस्तृत किया गया है, जो गैर-शास्त्रीय और/या रोग संबंधी वस्तुओं का अध्ययन गैर-अनुसूचित प्रचालक बीजगणित द्वारा करने की प्रयत्न करता है।

प्रचालक बीजगणित के उदाहरण जो स्व-संलग्न नहीं हैं उनमें सम्मिलित हैं:

• नीड बीजगणित,
• कई क्रमविनिमेय उपसमष्टि जाली बीजगणित,
• कई सीमित बीजगणित

यह भी देखें

• बनच बीजगणित
• आव्यूह यांत्रिकी
• हिल्बर्ट समष्टि पर प्रचालकों के समूह पर सांस्थिति
• शीर्ष प्रचालक बीजगणित

अग्रिम पठन

• Blackadar, Bruce (2005). Operator Algebras: Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer-Verlag. ISBN 3-540-28486-9.
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I, Springer, 2001.