अनुरूप समतल गुण: Difference between revisions

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[[File:Conformal map.svg|thumb|ऊपरी कई गुना सपाट है। निचला वाला नहीं है, लेकिन यह पहले वाले के अनुरूप है]]A ([[स्यूडो-[[ रीमैनियन कई गुना ]]]]-) रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से समतल है यदि प्रत्येक बिंदु में पड़ोस है जिसे [[अनुरूप परिवर्तन]] द्वारा [[फ्लैट मैनिफोल्ड]] में मैप किया जा सकता है।
[[File:Conformal map.svg|thumb|ऊपरी कई गुना सपाट है। निचला वाला नहीं है, लेकिन यह पहले वाले के अनुरूप है]]A ([[स्यूडो-[[ रीमैनियन कई गुना ]]]]-) रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से समतल है यदि प्रत्येक बिंदु में पड़ोस है जिसे [[अनुरूप परिवर्तन]] द्वारा [[फ्लैट मैनिफोल्ड]] में मैप किया जा सकता है।


व्यवहार में, [[मीट्रिक टेंसर]] <math>g</math> कई गुना <math>M</math> फ्लैट मीट्रिक के अनुरूप होना चाहिए <math>\eta</math>, यानी, [[जियोडेसिक]] सभी बिंदुओं में बनाए रखता है <math>M</math> कोणों को एक से दूसरे में जाने के साथ-साथ अशक्त भू-भौतिकी को अपरिवर्तित रखते हुए,<ref name=":0">{{Cite book|author=Ray D'Inverno|title=आइंस्टीन की सापेक्षता का परिचय|pages=88–89|chapter=6.3 The Weil tensor}}</ref> इसका मतलब है कि एक समारोह मौजूद है <math>\lambda(x)</math> ऐसा है कि <math>g(x) = \lambda^2(x)\, \eta</math>, कहाँ <math>\lambda(x)</math> Conformal_geometry#Conformal_manifolds और के रूप में जाना जाता है <math>x</math> कई गुना पर एक बिंदु है।
व्यवहार में, [[मीट्रिक टेंसर]] कई गुना <math>g</math> <math>M</math> को समतल मीट्रिक के अनुरूप होना चाहिए। <math>\eta</math>, अर्थात, [[जियोडेसिक]] के सभी बिंदुओं को बनाए रखता है। <math>M</math> कोणों को दूसरे में ले जाकर साथ ही अशक्त भू-भौतिकी को अपरिवर्तित रखते हुए,<ref name=":0">{{Cite book|author=Ray D'Inverno|title=आइंस्टीन की सापेक्षता का परिचय|pages=88–89|chapter=6.3 The Weil tensor}}</ref> जिसका अर्थ है कि कार्य उपस्थित है। <math>\lambda(x)</math> ऐसा है कि <math>g(x) = \lambda^2(x)\, \eta</math>, जहाँ <math>\lambda(x)</math> को अनुरूप कारक के रूप में जाना जाता है एवं <math>x</math> कई गुना पर बिंदु है।


अधिक औपचारिक रूप से, चलो <math>(M,g)</math> एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड बनें। तब <math>(M,g)</math> यदि प्रत्येक बिंदु के लिए अनुरूप रूप से सपाट है <math>x</math> में <math>M</math>, एक पड़ोस मौजूद है <math>U</math> का <math>x</math> और एक चिकना कार्य <math>f</math> पर परिभाषित <math>U</math> ऐसा है कि <math>(U,e^{2f} g)</math> फ्लैट मैनिफोल्ड है (यानी [[ रीमैन वक्रता टेन्सर ]] ऑफ <math>e^{2f} g</math> पर गायब हो जाता है <math>U</math>). कार्यक्रम <math>f</math> सभी पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है <math>M</math>.
अधिक औपचारिक रूप से, चलो <math>(M,g)</math> एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड बनें। तब <math>(M,g)</math> यदि प्रत्येक बिंदु के लिए अनुरूप रूप से सपाट है <math>x</math> में <math>M</math>, एक पड़ोस उपस्थित है <math>U</math> का <math>x</math> एवं एक चिकना कार्य <math>f</math> पर परिभाषित <math>U</math> ऐसा है कि <math>(U,e^{2f} g)</math> फ्लैट मैनिफोल्ड है (अर्थात [[ रीमैन वक्रता टेन्सर ]] ऑफ <math>e^{2f} g</math> पर गायब हो जाता है <math>U</math>). कार्यक्रम <math>f</math> सभी पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है <math>M</math>.


कुछ लेखकों ने केवल कुछ बिंदुओं को संदर्भित करते हुए स्थानीय रूप से फ्लैट की परिभाषा का उपयोग किया है <math>x</math> पर <math>M</math> और जिस मामले में संबंध सभी के लिए मान्य है, उसके लिए कंफर्मली फ्लैट की परिभाषा सुरक्षित रखें <math>x</math> पर <math>M</math>.
कुछ लेखकों ने केवल कुछ बिंदुओं को संदर्भित करते हुए स्थानीय रूप से फ्लैट की परिभाषा का उपयोग किया है <math>x</math> पर <math>M</math> एवं जिस मामले में संबंध सभी के लिए मान्य है, उसके लिए कंफर्मली फ्लैट की परिभाषा सुरक्षित रखें <math>x</math> पर <math>M</math>.


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
* [[निरंतर वक्रता]] [[अनुभागीय वक्रता]] के साथ हर कई गुना समान रूप से सपाट है।
* [[निरंतर वक्रता]] [[अनुभागीय वक्रता]] के साथ हर कई गुना समान रूप से सपाट है।
* प्रत्येक 2-आयामी छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से सपाट है।<ref name=":0" />** दो आयामी गोलाकार निर्देशांक का [[रेखा तत्व]], जैसे कि [[भौगोलिक समन्वय प्रणाली]] में उपयोग किया जाता है,
* प्रत्येक 2-आयामी छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से सपाट है।<ref name=":0" />** दो आयामी गोलाकार निर्देशांक का [[रेखा तत्व]], जैसे कि [[भौगोलिक समन्वय प्रणाली]] में उपयोग किया जाता है,
*: <math>ds^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\phi^2 \,</math>,<ref>[[Spherical coordinate system#Integration and differentiation in spherical coordinates|Spherical coordinate system - Integration and differentiation in spherical coordinates]]</ref> मीट्रिक टेंसर है <math>g_{ik} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & sin^2 \theta \end{bmatrix}</math> और समतल नहीं है, लेकिन [[ त्रिविम प्रक्षेपण ]] के साथ अनुरूप कारक का उपयोग करके समतल स्थान पर मैप किया जा सकता है <math>2 \over (1+r^2)</math>, कहाँ <math>r</math> समतल स्थान की उत्पत्ति से दूरी है,<ref>[[Stereographic projection#Properties|Stereographic projection - Properties]]. The Riemann's formula</ref> प्राप्त
*: <math>ds^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\phi^2 \,</math>,<ref>[[Spherical coordinate system#Integration and differentiation in spherical coordinates|Spherical coordinate system - Integration and differentiation in spherical coordinates]]</ref> मीट्रिक टेंसर है <math>g_{ik} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & sin^2 \theta \end{bmatrix}</math> एवं समतल नहीं है, लेकिन [[ त्रिविम प्रक्षेपण ]] के साथ अनुरूप कारक का उपयोग करके समतल स्थान पर मैप किया जा सकता है <math>2 \over (1+r^2)</math>, कहाँ <math>r</math> समतल स्थान की उत्पत्ति से दूरी है,<ref>[[Stereographic projection#Properties|Stereographic projection - Properties]]. The Riemann's formula</ref> प्राप्त
*:<math>ds^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\phi^2 \, = \frac{4}{(1+r^2)^2}(dx^2 +dy^2) </math>.
*:<math>ds^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\phi^2 \, = \frac{4}{(1+r^2)^2}(dx^2 +dy^2) </math>.
*एक 3-आयामी छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से सपाट है अगर और केवल अगर [[ कपास टेंसर ]] गायब हो जाता है।
*एक 3-आयामी छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से सपाट है अगर एवं केवल अगर [[ कपास टेंसर ]] गायब हो जाता है।
*एन ≥ 4 के लिए एक एन-डायमेंशनल स्यूडो-रिमैनियन मैनिफोल्ड कंफर्मली फ्लैट है अगर और केवल अगर [[वेइल टेंसर]] गायब हो जाता है।
*एन ≥ 4 के लिए एक एन-डायमेंशनल स्यूडो-रिमैनियन मैनिफोल्ड कंफर्मली फ्लैट है अगर एवं केवल अगर [[वेइल टेंसर]] गायब हो जाता है।
*हर [[ कॉम्पैक्ट जगह ]], [[बस जुड़ा हुआ है]], अनुरूप रूप से यूक्लिडियन रीमैनियन मैनिफोल्ड ए[[ एन-क्षेत्र ]] के अनुरूप है।<ref>{{cite journal|last1=Kuiper|first1=N. H.|title=बड़े पैमाने पर अनुरूप रूप से समतल स्थानों पर|journal=Annals of Mathematics|date=1949|volume=50|issue=4|pages=916–924|doi=10.2307/1969587|jstor=1969587|ref=Kuiper}}</ref>
*हर [[ कॉम्पैक्ट जगह ]], [[बस जुड़ा हुआ है]], अनुरूप रूप से यूक्लिडियन रीमैनियन मैनिफोल्ड ए[[ एन-क्षेत्र ]] के अनुरूप है।<ref>{{cite journal|last1=Kuiper|first1=N. H.|title=बड़े पैमाने पर अनुरूप रूप से समतल स्थानों पर|journal=Annals of Mathematics|date=1949|volume=50|issue=4|pages=916–924|doi=10.2307/1969587|jstor=1969587|ref=Kuiper}}</ref>
:* स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन उस क्षेत्र के लिए एक समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जिसमें अनुरूप सपाटता स्पष्ट होती है, क्योंकि मीट्रिक फ्लैट के समानुपाती होता है।
:* स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन उस क्षेत्र के लिए एक समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जिसमें अनुरूप सपाटता स्पष्ट होती है, क्योंकि मीट्रिक फ्लैट के समानुपाती होता है।
*[[सामान्य सापेक्षता]] में अनुरूप रूप से फ्लैट मैनिफोल्ड का अक्सर उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए फ्रीडमैन-लेमेट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक का वर्णन करने के लिए।<ref>{{Cite journal|last=Garecki|first=Janusz|year=2008|title=समान रूप से सपाट निर्देशांक में फ्रीडमैन यूनिवर्स की ऊर्जा पर|journal=Acta Physica Polonica B|volume=39|issue=4|pages=781–797|arxiv=0708.2783|bibcode=2008AcPPB..39..781G}}</ref> हालांकि यह भी दिखाया गया था कि [[केर स्पेसटाइम]] के अनुरूप फ्लैट स्लाइस नहीं हैं।<ref>{{Cite journal|last1=Garat|first1=Alcides|last2=Price|first2=Richard H.|date=2000-05-18|title=केर स्पेसटाइम के अनुरूप फ्लैट स्लाइस का कोई अस्तित्व नहीं|journal=Physical Review D|language=en|volume=61|issue=12|pages=124011|doi=10.1103/PhysRevD.61.124011|arxiv=gr-qc/0002013|bibcode=2000PhRvD..61l4011G|s2cid=119452751|issn=0556-2821}}</ref>
*[[सामान्य सापेक्षता]] में अनुरूप रूप से फ्लैट मैनिफोल्ड का अक्सर उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए फ्रीडमैन-लेमेट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक का वर्णन करने के लिए।<ref>{{Cite journal|last=Garecki|first=Janusz|year=2008|title=समान रूप से सपाट निर्देशांक में फ्रीडमैन यूनिवर्स की ऊर्जा पर|journal=Acta Physica Polonica B|volume=39|issue=4|pages=781–797|arxiv=0708.2783|bibcode=2008AcPPB..39..781G}}</ref> हालांकि यह भी दिखाया गया था कि [[केर स्पेसटाइम]] के अनुरूप फ्लैट स्लाइस नहीं हैं।<ref>{{Cite journal|last1=Garat|first1=Alcides|last2=Price|first2=Richard H.|date=2000-05-18|title=केर स्पेसटाइम के अनुरूप फ्लैट स्लाइस का कोई अस्तित्व नहीं|journal=Physical Review D|language=en|volume=61|issue=12|pages=124011|doi=10.1103/PhysRevD.61.124011|arxiv=gr-qc/0002013|bibcode=2000PhRvD..61l4011G|s2cid=119452751|issn=0556-2821}}</ref>
: उदाहरण के लिए, क्रुस्कल-सजेकेरेस निर्देशांक | क्रुस्कल-शेकेरेस निर्देशांक में रेखा तत्व होता है
: उदाहरण के लिए, क्रुस्कल-सजेकेरेस निर्देशांक | क्रुस्कल-शेकेरेस निर्देशांक में रेखा तत्व होता है
: <math>ds^2 = \left(1-\frac{2GM}{r} \right) dv \, du</math> मीट्रिक टेंसर के साथ <math>g_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & 1-\frac{2GM}{r} \\ 1-\frac{2GM}{r} & 0 \end{bmatrix}</math> और इसलिए समतल नहीं है। लेकिन परिवर्तनों के साथ <math>t = (v + u)/2</math> और <math>x = (v - u)/2</math> : बन जाता है
: <math>ds^2 = \left(1-\frac{2GM}{r} \right) dv \, du</math> मीट्रिक टेंसर के साथ <math>g_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & 1-\frac{2GM}{r} \\ 1-\frac{2GM}{r} & 0 \end{bmatrix}</math> एवं इसलिए समतल नहीं है। लेकिन परिवर्तनों के साथ <math>t = (v + u)/2</math> एवं <math>x = (v - u)/2</math> : बन जाता है
: <math>ds^2 = \left(1-\frac{2GM}{r} \right) (dt^2 - dx^2)</math> मीट्रिक टेंसर के साथ <math>g_{ik} = \begin{bmatrix} 1-\frac{2GM}{r} & 0 \\ 0 & -1+\frac{2GM}{r} \end{bmatrix}</math>,
: <math>ds^2 = \left(1-\frac{2GM}{r} \right) (dt^2 - dx^2)</math> मीट्रिक टेंसर के साथ <math>g_{ik} = \begin{bmatrix} 1-\frac{2GM}{r} & 0 \\ 0 & -1+\frac{2GM}{r} \end{bmatrix}</math>,
: जो समतल मीट्रिक गुणा अनुरूप कारक है <math>1-\frac{2GM}{r}</math>.<ref>{{Cite book|author=Ray D'Inverno|title=आइंस्टीन की सापेक्षता का परिचय|pages=230–231|chapter=17.2 The Kruskal solution}}</ref>
: जो समतल मीट्रिक गुणा अनुरूप कारक है <math>1-\frac{2GM}{r}</math>.<ref>{{Cite book|author=Ray D'Inverno|title=आइंस्टीन की सापेक्षता का परिचय|pages=230–231|chapter=17.2 The Kruskal solution}}</ref>

Revision as of 18:26, 5 May 2023

ऊपरी कई गुना सपाट है। निचला वाला नहीं है, लेकिन यह पहले वाले के अनुरूप है

A ([[स्यूडो-रीमैनियन कई गुना ]]-) रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से समतल है यदि प्रत्येक बिंदु में पड़ोस है जिसे अनुरूप परिवर्तन द्वारा फ्लैट मैनिफोल्ड में मैप किया जा सकता है।

व्यवहार में, मीट्रिक टेंसर कई गुना को समतल मीट्रिक के अनुरूप होना चाहिए। , अर्थात, जियोडेसिक के सभी बिंदुओं को बनाए रखता है। कोणों को दूसरे में ले जाकर साथ ही अशक्त भू-भौतिकी को अपरिवर्तित रखते हुए,[1] जिसका अर्थ है कि कार्य उपस्थित है। ऐसा है कि , जहाँ को अनुरूप कारक के रूप में जाना जाता है एवं कई गुना पर बिंदु है।

अधिक औपचारिक रूप से, चलो एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड बनें। तब यदि प्रत्येक बिंदु के लिए अनुरूप रूप से सपाट है में , एक पड़ोस उपस्थित है का एवं एक चिकना कार्य पर परिभाषित ऐसा है कि फ्लैट मैनिफोल्ड है (अर्थात रीमैन वक्रता टेन्सर ऑफ पर गायब हो जाता है ). कार्यक्रम सभी पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है .

कुछ लेखकों ने केवल कुछ बिंदुओं को संदर्भित करते हुए स्थानीय रूप से फ्लैट की परिभाषा का उपयोग किया है पर एवं जिस मामले में संबंध सभी के लिए मान्य है, उसके लिए कंफर्मली फ्लैट की परिभाषा सुरक्षित रखें पर .

उदाहरण

  • निरंतर वक्रता अनुभागीय वक्रता के साथ हर कई गुना समान रूप से सपाट है।
  • प्रत्येक 2-आयामी छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से सपाट है।[1]** दो आयामी गोलाकार निर्देशांक का रेखा तत्व, जैसे कि भौगोलिक समन्वय प्रणाली में उपयोग किया जाता है,
    ,[2] मीट्रिक टेंसर है  एवं समतल नहीं है, लेकिन त्रिविम प्रक्षेपण के साथ अनुरूप कारक का उपयोग करके समतल स्थान पर मैप किया जा सकता है , कहाँ समतल स्थान की उत्पत्ति से दूरी है,[3] प्राप्त
    .
  • एक 3-आयामी छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से सपाट है अगर एवं केवल अगर कपास टेंसर गायब हो जाता है।
  • एन ≥ 4 के लिए एक एन-डायमेंशनल स्यूडो-रिमैनियन मैनिफोल्ड कंफर्मली फ्लैट है अगर एवं केवल अगर वेइल टेंसर गायब हो जाता है।
  • हर कॉम्पैक्ट जगह , बस जुड़ा हुआ है, अनुरूप रूप से यूक्लिडियन रीमैनियन मैनिफोल्ड एएन-क्षेत्र के अनुरूप है।[4]
  • स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन उस क्षेत्र के लिए एक समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जिसमें अनुरूप सपाटता स्पष्ट होती है, क्योंकि मीट्रिक फ्लैट के समानुपाती होता है।
  • सामान्य सापेक्षता में अनुरूप रूप से फ्लैट मैनिफोल्ड का अक्सर उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए फ्रीडमैन-लेमेट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक का वर्णन करने के लिए।[5] हालांकि यह भी दिखाया गया था कि केर स्पेसटाइम के अनुरूप फ्लैट स्लाइस नहीं हैं।[6]
उदाहरण के लिए, क्रुस्कल-सजेकेरेस निर्देशांक | क्रुस्कल-शेकेरेस निर्देशांक में रेखा तत्व होता है
मीट्रिक टेंसर के साथ एवं इसलिए समतल नहीं है। लेकिन परिवर्तनों के साथ एवं  : बन जाता है
मीट्रिक टेंसर के साथ ,
जो समतल मीट्रिक गुणा अनुरूप कारक है .[7]


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Ray D'Inverno. "6.3 The Weil tensor". आइंस्टीन की सापेक्षता का परिचय. pp. 88–89.
  2. ↑ Spherical coordinate system - Integration and differentiation in spherical coordinates
  3. ↑ Stereographic projection - Properties. The Riemann's formula
  4. ↑ Kuiper, N. H. (1949). "बड़े पैमाने पर अनुरूप रूप से समतल स्थानों पर". Annals of Mathematics. 50 (4): 916–924. doi:10.2307/1969587. JSTOR 1969587.
  5. ↑ Garecki, Janusz (2008). "समान रूप से सपाट निर्देशांक में फ्रीडमैन यूनिवर्स की ऊर्जा पर". Acta Physica Polonica B. 39 (4): 781–797. arXiv:0708.2783. Bibcode:2008AcPPB..39..781G.
  6. ↑ Garat, Alcides; Price, Richard H. (2000-05-18). "केर स्पेसटाइम के अनुरूप फ्लैट स्लाइस का कोई अस्तित्व नहीं". Physical Review D (in English). 61 (12): 124011. arXiv:gr-qc/0002013. Bibcode:2000PhRvD..61l4011G. doi:10.1103/PhysRevD.61.124011. ISSN 0556-2821. S2CID 119452751.
  7. ↑ Ray D'Inverno. "17.2 The Kruskal solution". आइंस्टीन की सापेक्षता का परिचय. pp. 230–231.


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