अनुरूप समतल गुण

ऊपरी कई गुना समतल है। निचला वाला नहीं है,किन्तु यह पहले वाले के अनुरूप है

A ([[स्यूडो-रीमैनियन कई गुना ]]-) रीमैनियन कई गुना अनुरूप रूप से समतल है यदि प्रत्येक बिंदु में निकटता है जिसे अनुरूप परिवर्तन द्वारा समतल कई गुना में मैप किया जा सकता है।

व्यवहार में, मीट्रिक टेंसर कई गुना $g$ $M$ को समतल मीट्रिक के अनुरूप होना चाहिए। $\eta$, अर्थात, जियोडेसिक के सभी बिंदुओं को बनाए रखता है। $M$ कोणों को दूसरे में ले जाकर साथ ही अशक्त भू-भौतिकी को अपरिवर्तित रखते हुए, जिसका अर्थ है कि कार्य उपस्थित है। $\lambda (x)$ ऐसा है कि $g(x)=\lambda ^{2}(x)\,\eta$, जहाँ $\lambda (x)$ को अनुरूप कारक के रूप में जाना जाता है एवं $x$ कई गुना पर बिंदु है।

अधिक औपचारिक रूप से, चलो $(M,g)$ छद्म-रीमैनियन बहुविध हो। तब $(M,g)$ प्रत्येक बिंदु के लिए अनुरूप रूप से समतल है। $x$ में $M$, निकटता उपस्थित है। $U$ का $x$ एवं चिकना कार्य $f$ पर परिभाषित किया गया है। $U$ ऐसा है कि $(U,e^{2f}g)$ समतल है (अर्थात इसकी वक्रता $e^{2f}g$ $U$पर विल्पुत हो जाती है)। $M$ कार्यक्रम में $f$ को सभी पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है।.

कुछ लेखकों ने केवल कुछ बिंदुओं को संदर्भित करते हुए स्थानीय रूप से समतल की परिभाषा का उपयोग किया है। $x$ पर $M$ एवं जिस विषय के लिए अनुरूप रूप से समतल की परिभाषा आरक्षित करें, जिसमें $x$ पर $M$ संबंध सभी के लिए मान्य हो ।

उदाहरण

• निरंतर वक्रता अनुभागीय वक्रता के साथ कई गुना समान रूप से समतल है।
• प्रत्येक 2-आयामी छद्म-रीमैनियन कई गुना अनुरूप रूप से समतल है। दो आयामी गोलाकार निर्देशांक का रेखा तत्व, जैसे कि भौगोलिक समन्वय प्रणाली में उपयोग किया जाता है।

  $ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,$, मीट्रिक टेंसर है, $g_{ik}={\begin{bmatrix}1&0\\0&sin^{2}\theta \end{bmatrix}}$ एवं समतल नहीं है,किन्तु त्रिविम प्रक्षेपण के साथ अनुरूप कारक का उपयोग करके समतल स्थान पर मैप किया जा सकता है, $2 \over (1+r^{2})$, जहाँ $r$ समतल स्थान की उत्पत्ति से दूरी प्राप्त है।

  $ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,={\frac {4}{(1+r^{2})^{2}}}(dx^{2}+dy^{2})$.

• 3-आयामी छद्म-रीमैनियन कई गुना अनुरूप रूप से समतल है एवं केवलकपास टेंसर लुप्त हो जाता है।
• n ≥ 4 के लिए n-आकार स्यूडो-रिमैनियन कई गुना अनुरूप समतल है एवं केवल वेइल टेंसर लुप्त हो जाता है।
• प्रत्येक सघन केवल जुड़ा हुआ है, अनुरूप से यूक्लिडियन रीमैनियन कई गुना A n-क्षेत्र के अनुरूप होते है।

• त्रिविम प्रक्षेपण उस क्षेत्र के लिए समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जिसमें अनुरूप समतलता स्पष्ट होती है, क्योंकि मीट्रिक समतल के समानुपाती होता है।

• सामान्य सापेक्षता में अनुरूप रूप से समतल कई गुना का प्रायः उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए फ्रीडमैन-लेमेट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक का वर्णन करने के लिए चूंकि, यह भी दिखाया गया था कि केर स्पेसटाइम के अनुरूप समतल भाग नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, क्रुस्कल-सजेकेरेस निर्देशांक में रेखा तत्व होता है।

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv\,du$ मीट्रिक टेंसर के साथ $g_{ik}={\begin{bmatrix}0&1-{\frac {2GM}{r}}\\1-{\frac {2GM}{r}}&0\end{bmatrix}}$ एवं इसलिए समतल नहीं है।किन्तु परिवर्तनों के साथ $t=(v+u)/2$ एवं $x=(v-u)/2$ बन जाता है।

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)(dt^{2}-dx^{2})$ मीट्रिक टेंसर के साथ $g_{ik}={\begin{bmatrix}1-{\frac {2GM}{r}}&0\\0&-1+{\frac {2GM}{r}}\end{bmatrix}}$,

जो समतल मीट्रिक गुणा अनुरूप कारक $1-{\frac {2GM}{r}}$ है।

यह भी देखें

• वेइल-शौटेन प्रमेय
• अनुरूप ज्यामिति
• यामाबे समस्या