टिट्स समूह: Difference between revisions

Revision as of 10:20, 6 May 2023

समूह सिद्धांत में, टिट्स समूह ²F₄(2)′, जिसे जैक्स टिट्स French: [tits] के नाम पर रखा गया है, क्रम का एक परिमित सरल समूह है

2¹¹ · 3³ · 5² · 13 = 17,971,200।

इसे कभी-कभी 27वां छिटपुट समूह माना जाता है।

इतिहास और गुण

री समूह ²F₄(2²ⁿ⁺¹) द्वारा निर्मित किया गया था Ree (1961), जिन्होंने दिखाया कि वे सरल हैं यदि n ≥ 1। इस श्रृंखला के पहले सदस्य ²F₄(2) सरल नहीं है। द्वारा इसका अध्ययन किया गया जैक्स टिट्स (1964) जिन्होंने दिखाया कि यह लगभग सरल समूह है, इसका व्युत्पन्न उपसमूह है ²F₄(2)' सूचकांक 2 का एक नया सरल समूह है, जिसे अब टिट्स समूह कहा जाता है। समूह ²F₄(2) झूठ प्रकार का एक समूह है और इसमें बीएन जोड़ी है, किंतु टिट्स समूह में बीएन जोड़ी नहीं है। टिट्स समूह अनंत परिवार का सदस्य है²F₄(2²ⁿ⁺¹)′ री समूहों के कम्यूटेटर समूहों का और इस प्रकार परिभाषा के अनुसार छिटपुट नहीं है। किंतु क्योंकि यह पूरी तरह से झूठ प्रकार का समूह नहीं है, इसे कभी-कभी 27वां छिटपुट समूह माना जाता है।^[1]

टिट्स समूह का शूर गुणक तुच्छ है और इसके बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह का क्रम 2 है, जिसमें पूर्ण ऑटोमोर्फिज़्म समूह समूह ²F₄(2) है।

टिट्स समूह फिशर समूह Fi₂₂ के अधिकतम उपसमूह के रूप में होता है। समूह ²F₄(2) 4060 = 1 + 1755 + 2304 बिंदुओं पर पद -3 क्रमपरिवर्तन क्रिया के बिंदु स्टेबलाइजर के रूप में रुडवालिस समूह के अधिकतम उपसमूह के रूप में भी होता है।

टिट्स समूह एन-समूह (परिमित समूह सिद्धांत) में से एक है| सरल एन-समूह, और जॉन जी थॉम्पसन की सरल एन-समूहों के वर्गीकरण की पहली घोषणा में इसे अनदेखा कर दिया गया था, क्योंकि यह उस समय खोजा नहीं गया था। यह भी पतले परिमित समूहों में से एक है।

टिट्स समूह की विभिन्न विधियों से विशेषता थी Parrott (1972, 1973) और Stroth (1980).

अधिकतम उपसमूह

विल्सन (1984) और चाकरियन (1986) स्वतंत्र रूप से टिट्स समूह के अधिकतम उपसमूहों के 8 वर्गों को निम्नानुसार पाया गया:

L₃(3):2 दो वर्ग, एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा जुड़े हुए। ये उपसमूह पद 4 क्रमचय अभ्यावेदन के बिंदु तय करते हैं।

2.[2⁸].5.4 एक समावेशन का केंद्रीकरण।

L₂(25)

2².[2⁸].S₃

A₆.2² (दो वर्ग, एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा जुड़े हुए)

5²:4A₄

प्रस्तुति

टिट्स समूह को जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है

a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=((ab)^{4}ab^{-1})^{6}=1,\,

जहां [ए, बी] कम्यूटेटर ए है^-1बी^{-1 अब. इसमें (a, b) को (a, b(ba)) भेजकर प्राप्त किया गया एक बाहरी}

ऑटोमोर्फिज्म है^{5बी(बीए)^5).}

जहां [a, b] कम्यूटेटर a⁻¹b⁻¹ab है। इसमें (a, b) से (a, b(ba)⁵b(ba)⁵).भेजकर प्राप्त किया गया एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म है।

संदर्भ

Parrott, David (1972), "A characterization of the Tits' simple group", Canadian Journal of Mathematics, 24 (4): 672–685, doi:10.4153/cjm-1972-063-0, ISSN 0008-414X, MR 0325757
Parrott, David (1973), "A characterization of the Ree groups ²F₄(q)", Journal of Algebra, 27 (2): 341–357, doi:10.1016/0021-8693(73)90109-9, ISSN 0021-8693, MR 0347965
Ree, Rimhak (1961), "A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F₄)", Bulletin of the American Mathematical Society, 67: 115–116, doi:10.1090/S0002-9904-1961-10527-2, ISSN 0002-9904, MR 0125155
Stroth, Gernot (1980), "A general characterization of the Tits simple group", Journal of Algebra, 64 (1): 140–147, doi:10.1016/0021-8693(80)90138-6, ISSN 0021-8693, MR 0575787
Tchakerian, Kerope B. (1986), "The maximal subgroups of the Tits simple group", Pliska Studia Mathematica Bulgarica, 8: 85–93, ISSN 0204-9805, MR 0866648
Tits, Jacques (1964), "Algebraic and abstract simple groups", Annals of Mathematics, Second Series, 80 (2): 313–329, doi:10.2307/1970394, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970394, MR 0164968
Wilson, Robert A. (1984), "The geometry and maximal subgroups of the simple groups of A. Rudvalis and J. Tits", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 48 (3): 533–563, doi:10.1112/plms/s3-48.3.533, ISSN 0024-6115, MR 0735227

बाहरी संबंध

ATLAS of Group Representations — The Tits Group

[1] For instance, by the ATLAS of Finite Groups and its web-based descendant

[1]

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{Group theory sidebar |Finite}}
-[[समूह सिद्धांत]] में,
-स्तन समूह <sup>2</sup>एफ<sub>4</sub>(2)', [[ जैक्स स्तन ]] के नाम पर ({{IPA-fr|tits|lang}}), आदेश का एक परिमित सरल समूह है (समूह सिद्धांत)
+समूह सिद्धांत में, टिट्स समूह <sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2)′, जिसे जैक्स टिट्स {{IPA-fr|tits|lang}} के नाम पर रखा गया है, क्रम का एक परिमित सरल समूह है
 :   2<sup>11</sup> · 3<sup>3</sup> · 5<sup>2</sup> · 13 = 17,971,200।
@@ Line 9: / Line 9: @@
 == इतिहास और गुण ==
-[[री समूह]] <sup>2</sup>एफ<sub>4</sub>(2<sup>2n+1</sup>) द्वारा निर्मित किया गया था {{harvtxt|Ree|1961}}, जिन्होंने दिखाया कि वे सरल हैं यदि n ≥ 1। इस श्रृंखला के पहले सदस्य <sup>2</sup>एफ<sub>4</sub>(2) सरल नहीं है। द्वारा इसका अध्ययन किया गया {{harvs|txt|authorlink=Jacques Tits|first=Jacques|last= Tits|year=1964}} जिन्होंने दिखाया कि यह लगभग सरल समूह है, इसका [[व्युत्पन्न उपसमूह]] है <sup>2</sup>एफ<sub>4</sub>(2)' सूचकांक 2 का एक नया सरल समूह है, जिसे अब स्तन समूह कहा जाता है। समूह <sup>2</sup>एफ<sub>4</sub>(2) झूठ प्रकार का एक समूह है और इसमें [[बीएन जोड़ी]] है, लेकिन स्तन समूह में बीएन जोड़ी नहीं है। स्तन समूह अनंत परिवार का सदस्य है <sup>2</sup>एफ<sub>4</sub>(2<sup>2n+1</sup>)' री समूहों के कम्यूटेटर समूहों का, और इस प्रकार परिभाषा के अनुसार छिटपुट नहीं है। लेकिन क्योंकि यह पूरी तरह से झूठ प्रकार का समूह नहीं है, इसे कभी-कभी 27वां छिटपुट समूह माना जाता है।<ref>For instance, by the [[ATLAS of Finite Groups]] and its [http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/spor/ web-based descendant]</ref>
+[[री समूह]] <sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2<sup>2''n''+1</sup>) द्वारा निर्मित किया गया था {{harvtxt|Ree|1961}}, जिन्होंने दिखाया कि वे सरल हैं यदि n ≥ 1। इस श्रृंखला के पहले सदस्य <sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2)  सरल नहीं है। द्वारा इसका अध्ययन किया गया {{harvs|txt|authorlink=Jacques Tits|first=जैक्स|last= टिट्स|year=1964}} जिन्होंने दिखाया कि यह लगभग सरल समूह है, इसका [[व्युत्पन्न उपसमूह]] है <sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2)' सूचकांक 2 का एक नया सरल समूह है, जिसे अब टिट्स समूह कहा जाता है। समूह <sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2) झूठ प्रकार का एक समूह है और इसमें [[बीएन जोड़ी]] है, किंतु टिट्स समूह में बीएन जोड़ी नहीं है। टिट्स समूह अनंत परिवार का सदस्य है<sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2<sup>2''n''+1</sup>)′ री समूहों के कम्यूटेटर समूहों का और इस प्रकार परिभाषा के अनुसार छिटपुट नहीं है। किंतु क्योंकि यह पूरी तरह से झूठ प्रकार का समूह नहीं है, इसे कभी-कभी 27वां छिटपुट समूह माना जाता है।<ref>For instance, by the [[ATLAS of Finite Groups]] and its [http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/spor/ web-based descendant]</ref>
-स्तन समूह का [[शूर गुणक]] तुच्छ है और इसके बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह का क्रम 2 है, जिसमें पूर्ण ऑटोमोर्फिज़्म समूह समूह है<sup>2</sup>एफ<sub>4</sub>(2)।
+टिट्स समूह का [[शूर गुणक]] तुच्छ है और इसके बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह का क्रम 2 है, जिसमें पूर्ण ऑटोमोर्फिज़्म समूह समूह <sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2) है।
-स्तन समूह फिशर समूह Fi22 | फिशर समूह Fi के अधिकतम उपसमूह के रूप में होता है<sub>22</sub>. समूह <sup>2</sup>एफ<sub>4</sub>(2) रुडवालिस समूह के एक अधिकतम उपसमूह के रूप में भी होता है, 4060=1+1755+2304 बिंदुओं पर रैंक-3 क्रमचय क्रिया के बिंदु स्टेबलाइजर के रूप में।
+टिट्स समूह फिशर समूह Fi<sub>22</sub> के अधिकतम उपसमूह के रूप में होता है। समूह <sup>2</sup>''F''<sub>4</sub>(2) 4060 = 1 + 1755 + 2304 बिंदुओं पर पद -3 क्रमपरिवर्तन क्रिया के बिंदु स्टेबलाइजर के रूप में रुडवालिस समूह के अधिकतम उपसमूह के रूप में भी होता है।
-स्तन समूह [[एन-समूह (परिमित समूह सिद्धांत)]] में से एक है | सरल एन-समूह, और जॉन जी थॉम्पसन की सरल एन-समूहों के वर्गीकरण की पहली घोषणा में इसे अनदेखा कर दिया गया था, क्योंकि यह उस समय खोजा नहीं गया था। यह भी पतले परिमित समूहों में से एक है।
+टिट्स समूह [[एन-समूह (परिमित समूह सिद्धांत)]] में से एक है| सरल एन-समूह, और जॉन जी थॉम्पसन की सरल एन-समूहों के वर्गीकरण की पहली घोषणा में इसे अनदेखा कर दिया गया था, क्योंकि यह उस समय खोजा नहीं गया था। यह भी पतले परिमित समूहों में से एक है।
-स्तन समूह की विभिन्न तरीकों से विशेषता थी {{harvs|txt|last=Parrott|year1=1972|year2=1973}} और {{harvtxt|Stroth|1980}}.
+टिट्स समूह की विभिन्न विधियों से विशेषता थी {{harvs|txt|last=Parrott|year1=1972|year2=1973}} और {{harvtxt|Stroth|1980}}.
 == अधिकतम उपसमूह ==
-{{harvtxt|Wilson|1984}} और {{harvtxt|Tchakerian|1986}} स्वतंत्र रूप से स्तन समूह के अधिकतम उपसमूहों के 8 वर्गों को निम्नानुसार पाया गया:
+{{harvtxt|विल्सन|1984}} और {{harvtxt|चाकरियन|1986}} स्वतंत्र रूप से टिट्स समूह के अधिकतम उपसमूहों के 8 वर्गों को निम्नानुसार पाया गया:
-एल<SUB>3</SUB>(3):2 दो वर्ग, एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा जुड़े हुए। ये उपसमूह रैंक 4 क्रमचय अभ्यावेदन के बिंदु तय करते हैं।
+L<sub>3</sub>(3):2 दो वर्ग, एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा जुड़े हुए। ये उपसमूह पद 4 क्रमचय अभ्यावेदन के बिंदु तय करते हैं।
-. [2<SUP>8</SUP>].5.4 एक समावेशन का केंद्रीकरण।
+.[2<sup>8</sup>].5.4 एक समावेशन का केंद्रीकरण।
-एल<SUB>2</उप>(25)
+L<sub>2</sub>(25)
-<SUP>2</SUP>। [2<SUP>8</SUP>].एस<SUB>3</उप>
+<sup>2</sup>.[2<sup>8</sup>].S<sub>3</sub>
-ए<SUB>6</उप>.2<SUP>2</SUP> (दो वर्ग, एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा जुड़े हुए)
+A<sub>6</sub>.2<sup>2</sup>  (दो वर्ग, एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा जुड़े हुए)
-<SUP>2</SUP>:4ए<SUB>4</उप>
+<sup>2</sup>:4A<sub>4</sub>
-== प्रस्तुति ==
+== प्रस्तुति                      ==
-स्तन समूह को जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है
+टिट्स समूह को जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है
 :<math>a^2 = b^3 = (ab)^{13} = [a, b]^5 = [a, bab]^4 = ((ab)^4 ab^{-1})^6 = 1, \,</math>
-जहां [ए, बी] [[कम्यूटेटर]] ए है<sup>-1</sup>बी<sup>-1</सुप>अब. इसमें (a, b) को (a, b(ba)) भेजकर प्राप्त किया गया एक [[बाहरी ऑटोमोर्फिज्म]] है<sup>5</sup>बी(बीए)<sup>5</sup>).
+'''जहां [ए, बी] [[कम्यूटेटर]] ए है<sup>-1</sup>बी<sup>-1 अब. इसमें (a, b) को (a, b(ba)) भेजकर प्राप्त किया गया एक [[बाहरी ऑटोमोर्फिज्म|बाहरी]]'''
+'''[[बाहरी ऑटोमोर्फिज्म|ऑटोमोर्फिज्म]] है<sup>5बी(बीए)<sup>5).'''
+जहां [''a'', ''b''] [[कम्यूटेटर]] ''a''<sup>−1</sup>''b''<sup>−1</sup>''ab'' है। इसमें (''a'', ''b'') से (''a'', ''b''(''ba'')<sup>5</sup>''b''(''ba'')<sup>5</sup>).भेजकर प्राप्त किया गया एक बाहरी [[बाहरी ऑटोमोर्फिज्म|ऑटोमोर्फिज्म]] है।
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+==टिप्पणियाँ                                            ==
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