ज्यामितीय चरण

चिरसम्मत यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी में, ज्यामितीय चरण आवृत्ति (भौतिकी) के दौरान अधिग्रहित चरण (तरंगें) अंतर है, जब प्रणाली चक्रीय रूद्धोष्म प्रक्रम (क्वांटम यांत्रिकी) के अधीन होती है, जो कि ज्यामितीय गुणों से उत्पन्न होती है। हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) का प्राचल समष्टि घटना स्वतंत्र रूप से एस पंचरत्नम (1956) द्वारा खोजी गई थी, चिरसम्मत प्रकाशिकी में और क्रिस्टोफर लॉन्गेट-हिगिंस द्वारा एच. सी. लॉन्गेट-हिगिंस (1958) आणविक भौतिकी में; इसे (1984) में माइकल बेरी (भौतिक विज्ञानी) द्वारा सामान्यीकृत किया गया था। इसे पंचरत्नम-बेरी चरण, पंचरत्नम चरण या बेरी चरण के रूप में भी जाना जाता है। इसे संभावित ऊर्जा सतहों के शंक्वाकार चौराहे में देखा जा सकता है और अहरोनोव-बोहम प्रभाव में। शंक्वाकार चौराहे के चारों ओर ज्यामितीय चरण सी की जमीनी इलेक्ट्रॉनिक स्थिति को शामिल करता है₆H₃F₃⁺ बंकर और जेन्सेन द्वारा पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 385-386 पर आणविक आयन पर चर्चा की गई है। अहरोनोव-बोहम प्रभाव के मामले में, स्थिरोष्म पैरामीटर दो हस्तक्षेप पथों से घिरा चुंबकीय क्षेत्र है, और यह इस अर्थ में चक्रीय है कि ये दो पथ लूप बनाते हैं। शंक्वाकार चौराहे के मामले में, एडियाबेटिक पैरामीटर आणविक ज्यामिति हैं। क्वांटम यांत्रिकी के अलावा, यह चिरसम्मत प्रकाशिकी जैसे कई अन्य तरंग प्रणालियों में उत्पन्न होता है। एक नियम के रूप में, यह तब हो सकता है जब कम से कम दो पैरामीटर होते हैं जो किसी प्रकार की विलक्षणता या टोपोलॉजी में छेद के आसपास के क्षेत्र में एक लहर की विशेषता रखते हैं; दो मापदंडों की आवश्यकता होती है क्योंकि या तो नॉनसिंगुलर स्टेट्स का सेट आसानी से जुड़ा नहीं होगा, या नॉनजीरो holonomi होगी।

तरंगों की विशेषता आयाम और चरण (तरंगें) हैं, और उन मापदंडों के एक समारोह के रूप में भिन्न हो सकते हैं। ज्यामितीय चरण तब होता है जब दोनों मापदंडों को एक साथ लेकिन बहुत धीरे-धीरे (एडियाबेटिक रूप से) बदल दिया जाता है, और अंततः प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन में वापस लाया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी में, इसमें घूर्णन शामिल हो सकता है, लेकिन कणों का अनुवाद भी हो सकता है, जो स्पष्ट रूप से अंत में पूर्ववत हैं। कोई उम्मीद कर सकता है कि सिस्टम में तरंगें प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाती हैं, जैसा कि एम्पलीट्यूड और चरणों (और समय बीतने के लिए लेखांकन) की विशेषता है। हालाँकि, यदि पैरामीटर भ्रमण स्व-रिट्रेसिंग बैक-एंड-फॉरवर्ड भिन्नता के बजाय एक लूप के अनुरूप है, तो यह संभव है कि प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाएँ उनके चरणों में भिन्न हों। यह चरण अंतर ज्यामितीय चरण है, और इसकी घटना आमतौर पर इंगित करती है कि मापदंडों के कुछ संयोजन के लिए सिस्टम की पैरामीटर निर्भरता गणितीय विलक्षणता है (इसकी स्थिति अपरिभाषित है)।

एक तरंग प्रणाली में ज्यामितीय चरण को मापने के लिए, एक हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) प्रयोग की आवश्यकता होती है। फौकॉल्ट पेंडुलम चिरसम्मत यांत्रिकी से एक उदाहरण है जिसे कभी-कभी ज्यामितीय चरण को चित्रित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। ज्यामितीय चरण के इस यांत्रिकी एनालॉग को हन्ने कोण के रूप में जाना जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी में बेरी चरण

एन-वें ईजेनस्टेट में एक क्वांटम प्रणाली में, हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) का एक एडियाबेटिक प्रमेय विकास देखता है कि सिस्टम हैमिल्टनियन के एन-वें ईजेनस्टेट में रहता है, जबकि एक चरण कारक भी प्राप्त करता है। प्राप्त चरण में राज्य के समय के विकास से योगदान होता है और दूसरा हेमिल्टनियन के साथ ईजेनस्टेट की भिन्नता से होता है। दूसरा शब्द बेरी चरण से मेल खाता है, और हैमिल्टनियन के गैर-चक्रीय रूपांतरों के लिए इसे विकास के प्रत्येक बिंदु पर हैमिल्टनियन के eigenstates से जुड़े चरण की एक अलग पसंद से गायब करने के लिए बनाया जा सकता है।

हालाँकि, यदि भिन्नता चक्रीय है, तो बेरी चरण को रद्द नहीं किया जा सकता है; यह अपरिवर्तनीय (भौतिकी) है और सिस्टम की एक अवलोकन योग्य संपत्ति बन जाती है। यूरोपियन फिजिकल जर्नल में मैक्स बोर्न और व्लादिमीर फॉक द्वारा दिए गए एडियाबेटिक प्रमेय के प्रमाण की समीक्षा करके। Zeitschrift für Physik '51', 165 (1928), हम रूद्धोष्म प्रक्रम के पूरे परिवर्तन को एक चरण आवृत्ति में चित्रित कर सकते हैं। रूद्धोष्म सन्निकटन के तहत, रूद्धोष्म प्रक्रिया के तहत एन-वें ईजेनस्टेट का गुणांक द्वारा दिया जाता है

$$C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},$$

कहाँ $\gamma _{n}(t)$ पैरामीटर टी के संबंध में बेरी का चरण है। चर t को सामान्यीकृत मापदंडों में बदलकर, हम बेरी के चरण को फिर से लिख सकते हैं

$$\gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n,t|{\big (}\nabla _{R}|n,t\rangle {\big )}\,dR,$$

कहाँ $R$ चक्रीय रूद्धोष्म प्रक्रम को पैरामीट्रिज करता है। ध्यान दें कि का सामान्यीकरण $|n,t\rangle$ तात्पर्य यह है कि इंटीग्रैंड काल्पनिक है, इसलिए $\gamma _{n}[C]$ यह सचमुच का है। यह एक बंद रास्ते का अनुसरण करता है $C$ उचित प्राचल समष्टि में। बंद पथ के साथ ज्यामितीय चरण $C$ द्वारा संलग्न सतह पर बेरी कनेक्शन और वक्रता को एकीकृत करके भी गणना की जा सकती है $C$.

ज्यामितीय चरणों के उदाहरण

फौकॉल्ट पेंडुलम

फौकॉल्ट पेंडुलम सबसे आसान उदाहरणों में से एक है। ज्यामितीय चरणों के संदर्भ में एक आसान व्याख्या Wilczek और Shapere द्वारा दी गई है:

How does the pendulum precess when it is taken around a general path C? For transport along the equator, the pendulum will not precess. [...] Now if C is made up of geodesic segments, the precession will all come from the angles where the segments of the geodesics meet; the total precession is equal to the net deficit angle which in turn equals the solid angle enclosed by C modulo 2π. Finally, we can approximate any loop by a sequence of geodesic segments, so the most general result (on or off the surface of the sphere) is that the net precession is equal to the enclosed solid angle.

इसे दूसरे शब्दों में कहें तो, कोई जड़त्वीय बल नहीं है जो पेंडुलम को पूर्वगामी बना सकता है, इसलिए पुरस्सरण (पथ की गति की दिशा के सापेक्ष जिसके साथ पेंडुलम ले जाया जाता है) पूरी तरह से इस पथ के मोड़ के कारण है। इस प्रकार पेंडुलम का अभिविन्यास समानांतर परिवहन से गुजरता है। मूल फौकॉल्ट पेंडुलम के लिए, पथ अक्षांश का एक चक्र है, और गॉस-बोनट प्रमेय द्वारा, चरण बदलाव को संलग्न ठोस कोण द्वारा दिया जाता है।

एक ऑप्टिकल फाइबर में ध्रुवीकृत प्रकाश

एक दूसरा उदाहरण रैखिक रूप से ध्रुवीकृत प्रकाश है जो सिंगल-मोड ऑप्टिकल फाइबर में प्रवेश करता है। मान लीजिए कि फाइबर अंतरिक्ष में कुछ पथ का पता लगाता है, और प्रकाश फाइबर में प्रवेश करते ही उसी दिशा में बाहर निकल जाता है। फिर प्रारंभिक और अंतिम ध्रुवीकरणों की तुलना करें। अर्धशास्त्रीय सन्निकटन में फाइबर एक वेवगाइड के रूप में कार्य करता है, और प्रकाश की गति हर समय फाइबर को स्पर्श करती है। ध्रुवीकरण को गति के लंबवत अभिविन्यास के रूप में माना जा सकता है। जैसा कि फाइबर अपने पथ का पता लगाता है, प्रकाश की संवेग सदिश गति अंतरिक्ष में गोले पर एक पथ का पता लगाती है। पथ बंद है, क्योंकि प्रकाश की प्रारंभिक और अंतिम दिशाएं मेल खाती हैं, और ध्रुवीकरण गोले के लिए एक सदिश स्पर्शरेखा है। गति स्थान में जाना गॉस का नक्शा लेने के बराबर है। ऐसी कोई ताकत नहीं है जो ध्रुवीकरण को मोड़ सकती है, बस गोले के स्पर्शरेखा बने रहने की बाधा है। इस प्रकार ध्रुवीकरण समानांतर परिवहन से गुजरता है, और चरण बदलाव संलग्न ठोस कोण (स्पिन के समय, जो प्रकाश के मामले में 1 है) द्वारा दिया जाता है।

स्टोचैस्टिक पंप प्रभाव

एक स्टोचैस्टिक पंप एक चिरसम्मत स्टोचैस्टिक प्रणाली है जो गैर-शून्य के साथ प्रतिक्रिया करता है, औसत पर, मापदंडों के आवधिक परिवर्तनों के लिए धाराएं। स्टोचैस्टिक पंप प्रभाव की व्याख्या स्टोचैस्टिक धाराओं के क्षण उत्पन्न करने वाले कार्य के विकास में एक ज्यामितीय चरण के रूप में की जा सकती है।

स्पिन 1⁄2

एक स्पिन के लिए ज्यामितीय चरण का सटीक मूल्यांकन किया जा सकता है-1⁄2 चुंबकीय क्षेत्र में कण।

आकर्षित करने वालों पर परिभाषित ज्यामितीय चरण

जबकि बेरी के सूत्रीकरण को मूल रूप से रैखिक हैमिल्टनियन प्रणालियों के लिए परिभाषित किया गया था, यह जल्द ही निंग और हेकेन द्वारा महसूस किया गया था इसी तरह के ज्यामितीय चरण को पूरी तरह से अलग-अलग प्रणालियों के लिए परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि नॉनलाइनियर डिसिपेटिव सिस्टम जिसमें कुछ चक्रीय आकर्षण होते हैं। उन्होंने दिखाया कि इस तरह के चक्रीय आकर्षण कुछ समरूपता वाले गैर-रैखिक विघटनकारी प्रणालियों के एक वर्ग में मौजूद हैं।

आणविक रुद्धोष्म संभावित सतह चौराहों में एक्सपोजर

बोर्न-ओपेनहाइमर ढांचे के भीतर अणुओं में ज्यामितीय चरण की गणना करने के कई तरीके हैं। एक तरीका गैर-एडियाबेटिक कपलिंग के माध्यम से है $M\times M$ मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित

$$\tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,$$

कहाँ $\psi _{i}$ एडियाबेटिक इलेक्ट्रॉनिक वेव फंक्शन है, जो परमाणु मापदंडों पर निर्भर करता है $R_{\mu }$. क्षेत्र सिद्धांत में विल्सन लूप (1974) के अनुरूप लूप इंटीग्रल को परिभाषित करने के लिए नॉनएडियाबेटिक कपलिंग का उपयोग किया जा सकता है, जिसे एम. बेयर (1975, 1980, 2000) द्वारा आणविक ढांचे के लिए स्वतंत्र रूप से विकसित किया गया है। एक बंद लूप दिया $\Gamma$, द्वारा परिचालित किया गया $R_{\mu }(t),$ कहाँ $t\in [0,1]$ एक पैरामीटर है, और $R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)$. डी-मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है

$$D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}$$

(यहाँ ${\hat {P}}$ एक पथ-आदेश देने वाला प्रतीक है)। इसे एक बार दिखाया जा सकता है $M$ काफी बड़ा है (यानी पर्याप्त संख्या में इलेक्ट्रॉनिक राज्यों पर विचार किया जाता है), यह मैट्रिक्स विकर्ण है, विकर्ण तत्वों के बराबर $e^{i\beta _{j}},$ कहाँ $\beta _{j}$ के लिए लूप से जुड़े ज्यामितीय चरण हैं $j$-वाँ रुद्धोष्म इलेक्ट्रॉनिक राज्य।

समय-उलट सममित इलेक्ट्रॉनिक हैमिल्टन के लिए ज्यामितीय चरण लूप द्वारा घिरे शंक्वाकार चौराहों की संख्या को दर्शाता है। अधिक सटीकता से,

$$e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},$$

कहाँ $N_{j}$ रूद्धोष्म अवस्था से जुड़े शंक्वाकार चौराहों की संख्या है $\psi _{j}$ पाश से घिरा हुआ $\Gamma .$ डी-मैट्रिक्स दृष्टिकोण का एक विकल्प पंचरत्नम चरण की सीधी गणना होगी। यह विशेष रूप से उपयोगी होता है यदि कोई केवल एक रुद्धोष्म स्थिति के ज्यामितीय चरणों में रुचि रखता है। इस दृष्टिकोण में, व्यक्ति एक संख्या लेता है $N+1$ बिंदुओं का $(n=0,\dots ,N)$ पाश के साथ $R(t_{n})$ साथ $t_{0}=0$ और $t_{N}=1,$ तब केवल j-वें रूद्धोष्म अवस्थाओं का उपयोग करना $\psi _{j}[R(t_{n})]$ ओवरलैप के पंचरत्नम उत्पाद की गणना करता है:

$$I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .$$

सीमा में $N\to \infty$ एक है (व्याख्या और कुछ अनुप्रयोगों के लिए Ryb & Baer 2004 देखें)

$$I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.$$

ज्यामितीय चरण और साइक्लोट्रॉन गति का परिमाणीकरण

चुंबकीय क्षेत्र के अधीन एक इलेक्ट्रॉन $B$ एक वृत्ताकार (साइक्लोट्रॉन) कक्षा में गति करता है। चिरसम्मत रूप से, कोई भी साइक्लोट्रॉन त्रिज्या $R_{c}$ को स्वीकार। क्वांटम-यांत्रिक रूप से, केवल असतत ऊर्जा स्तर (लैंडौ परिमाणीकरण) की अनुमति है, और तब से $R_{c}$ इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा से संबंधित है, यह के परिमाणित मानों के अनुरूप है $R_{c}$. श्रोडिंगर के समीकरण को हल करके प्राप्त ऊर्जा परिमाणीकरण की स्थिति, उदाहरण के लिए, पढ़ती है, $E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},$ $\alpha =1/2$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों के लिए (निर्वात में) या ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$ ग्राफीन में इलेक्ट्रॉनों के लिए, जहाँ $n=0,1,2,\ldots$. हालांकि इन परिणामों की व्युत्पत्ति मुश्किल नहीं है, उन्हें प्राप्त करने का एक वैकल्पिक तरीका है, जो कुछ मामलों में लैंडौ स्तर के परिमाणीकरण में बेहतर भौतिक अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। यह वैकल्पिक तरीका सेमीक्लासिकल बोह्र-सोमरफेल्ड परिमाणीकरण स्थिति पर आधारित है

$$\hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),$$

जिसमें ज्यामितीय चरण शामिल है $\gamma$ इलेक्ट्रॉन द्वारा उठाया गया जबकि यह साइक्लोट्रॉन कक्षा के बंद लूप के साथ अपनी (वास्तविक-अंतरिक्ष) गति को निष्पादित करता है। मुक्त इलेक्ट्रॉनों के लिए, $\gamma =0,$ जबकि $\gamma =\pi$ ग्राफीन में इलेक्ट्रॉनों के लिए। यह पता चला है कि ज्यामितीय चरण सीधे जुड़ा हुआ है $\alpha =1/2$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों की और $\alpha =0$ ग्राफीन में इलेक्ट्रॉनों की।

यह भी देखें

• रीमैन वक्रता टेन्सर - गणित से संबंध के लिए
• बेरी कनेक्शन और वक्रता
• चेर्न वर्ग
• ऑप्टिकल रोटेशन
• घुमावदार संख्या

टिप्पणियाँ

^ For simplicity, we consider electrons confined to a plane, such as 2DEG and magnetic field perpendicular to the plane.

^ $\omega _{c}=eB/m$ is the cyclotron frequency (for free electrons) and $v$ is the Fermi velocity (of electrons in graphene).

स्रोत

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अग्रिम पठन

• Michael V. Berry, The geometric phase, Scientific American 259 (6) (1988), 26–34.

बाहरी संबंध

• Quotations related to ज्यामितीय चरण at Wikiquote
• "Geometric phases and the separation of the world by Michael Berry". YouTube. International Centre for Theoretical Sciences. February 10, 2020.