घूर्णन समुच्चय: Difference between revisions
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गतिशील प्रणालियों और [[एर्गोडिक सिद्धांत]] में, | गतिशील प्रणालियों और [[एर्गोडिक सिद्धांत]] में, भटकने वाले सेट की अवधारणा आंदोलन और [[मिश्रण (गणित)]] के निश्चित विचार को औपचारिक रूप देती है। जब [[गतिशील प्रणाली]] में गैर-शून्य माप का भटकने वाला सेट होता है, तो प्रणाली विघटनकारी प्रणाली होती है। यह [[रूढ़िवादी प्रणाली]] के विपरीत है, जिस पर पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय लागू होता है। सहजता से, घूमने वाले सेट और अपव्यय के बीच संबंध आसानी से समझा जाता है: यदि [[चरण स्थान]] का हिस्सा सिस्टम के सामान्य समय-विकास के दौरान भटक जाता है, और फिर कभी नहीं देखा जाता है, तो सिस्टम विघटनकारी है। [[अपव्यय प्रणाली]] की अवधारणा को सटीक, गणितीय परिभाषा देने के लिए भटकने वाले सेट की भाषा का उपयोग किया जा सकता है। 1927 में [[जॉर्ज डेविड बिरखॉफ]] द्वारा फेज स्पेस में वांडरिंग सेट की धारणा पेश की गई थी।{{citation needed|date=November 2010}} | ||
== भटकने वाले बिंदु == | == भटकने वाले बिंदु == | ||
घूमने वाले सेटों की | घूमने वाले सेटों की आम, असतत-समय परिभाषा मानचित्र से शुरू होती है <math>f:X\to X</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] एक्स। बिंदु <math>x\in X</math> यदि कोई [[पड़ोस (गणित)]] ''x'' का ''U'' और सकारात्मक पूर्णांक ''N'' है, तो इसे भटकने वाला बिंदु कहा जाता है, जैसे कि सभी के लिए <math>n>N</math>, [[पुनरावृत्त नक्शा]] गैर-प्रतिच्छेदित है: | ||
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एक आसान परिभाषा के लिए केवल यह आवश्यक है कि चौराहे का माप शून्य हो। सटीक होने के लिए, परिभाषा के लिए आवश्यक है कि X | एक आसान परिभाषा के लिए केवल यह आवश्यक है कि चौराहे का माप शून्य हो। सटीक होने के लिए, परिभाषा के लिए आवश्यक है कि X माप स्थान हो, यानी ट्रिपल का हिस्सा <math>(X,\Sigma,\mu)</math> [[बोरेल सेट]] की <math>\Sigma</math> और उपाय <math>\mu</math> ऐसा है कि | ||
:<math>\mu\left(f^n(U) \cap U \right) = 0,</math> | :<math>\mu\left(f^n(U) \cap U \right) = 0,</math> | ||
सभी के लिए <math>n>N</math>. इसी तरह, | सभी के लिए <math>n>N</math>. इसी तरह, सतत समय प्रणाली में नक्शा होगा <math>\varphi_t:X\to X</math> टाइम-इवोल्यूशन ऑपरेटर के साथ सिस्टम के समय विकास या [[प्रवाह (गणित)]] को परिभाषित करना <math>\varphi</math> X पर एक-पैरामीटर सतत [[एबेलियन समूह]] [[समूह क्रिया (गणित)]] होना: | ||
:<math>\varphi_{t+s} = \varphi_t \circ \varphi_s.</math> | :<math>\varphi_{t+s} = \varphi_t \circ \varphi_s.</math> | ||
ऐसे में यह | ऐसे में यह भटकने वाला बिंदु है <math>x\in X</math> x का पड़ोस U होगा और समय T ऐसा होगा कि हर समय के लिए <math>t>T</math>, समय-विकसित नक्शा माप शून्य का है: | ||
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इन सरल परिभाषाओं को | इन सरल परिभाषाओं को [[टोपोलॉजिकल समूह]] के समूह क्रिया (गणित) के लिए पूरी तरह से सामान्यीकृत किया जा सकता है। होने देना <math>\Omega=(X,\Sigma,\mu)</math> माप स्थान हो, जो कि [[सेट (गणित)]] है जिसमें माप (गणित) है जो इसके [[बोरेल सबसेट]] पर परिभाषित है। होने देना <math>\Gamma</math> उस सेट पर अभिनय करने वाला समूह बनें। बिंदु दिया <math>x \in \Omega</math>, सेट | ||
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बिंदु x का [[प्रक्षेपवक्र]] या [[कक्षा (समूह सिद्धांत)]] कहा जाता है। | बिंदु x का [[प्रक्षेपवक्र]] या [[कक्षा (समूह सिद्धांत)]] कहा जाता है। | ||
तत्व <math>x \in \Omega</math> | तत्व <math>x \in \Omega</math> भटकने वाला बिंदु कहा जाता है यदि वहां 'एक्स' का पड़ोस 'यू' और पहचान का पड़ोस 'वी' मौजूद है <math>\Gamma</math> ऐसा है कि | ||
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वांडरिंग सेट वांडरिंग पॉइंट्स का | वांडरिंग सेट वांडरिंग पॉइंट्स का संग्रह है। अधिक सटीक रूप से, का उपसमुच्चय W <math>\Omega</math> असतत समूह की कार्रवाई के तहत भटकने वाला सेट है <math>\Gamma</math> यदि डब्ल्यू औसत दर्जे का है और यदि, किसी के लिए <math>\gamma \in \Gamma - \{e\}</math> चौराहा | ||
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माप शून्य का | माप शून्य का सेट है। | ||
घूमने वाले सेट की अवधारणा पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय में व्यक्त विचारों के लिए | घूमने वाले सेट की अवधारणा पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय में व्यक्त विचारों के लिए अर्थ में दोहरी है। यदि सकारात्मक माप का आवारा सेट मौजूद है, तो की क्रिया <math>\Gamma</math> बताया गया{{dfn|dissipative}}, और गतिशील प्रणाली <math>(\Omega, \Gamma)</math> अपव्यय प्रणाली कहा जाता है। यदि ऐसा कोई वांडरिंग सेट नहीं है, तो क्रिया को कहा जाता है{{dfn|conservative}}, और प्रणाली रूढ़िवादी प्रणाली है। उदाहरण के लिए, कोई भी प्रणाली जिसके लिए पॉइनकेयर पुनरावृत्ति प्रमेय धारण करता है, परिभाषा के अनुसार, सकारात्मक माप का भटकने वाला सेट नहीं हो सकता है; और इस प्रकार रूढ़िवादी प्रणाली का उदाहरण है। | ||
एक घुमंतू समुच्चय W के प्रक्षेपपथ को परिभाषित कीजिए | एक घुमंतू समुच्चय W के प्रक्षेपपथ को परिभाषित कीजिए | ||
:<math>W^* = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} \;\; \gamma W.</math> | :<math>W^* = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} \;\; \gamma W.</math> | ||
की क्रिया <math>\Gamma</math> बताया गया{{dfn|completely dissipative}} यदि सकारात्मक माप का | की क्रिया <math>\Gamma</math> बताया गया{{dfn|completely dissipative}} यदि सकारात्मक माप का भटकने वाला सेट W मौजूद है, जैसे कि कक्षा <math>W^*</math> लगभग-हर जगह के बराबर है <math>\Omega</math>, यानी अगर | ||
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माप शून्य का | माप शून्य का सेट है। | ||
हॉफ अपघटन बताता है कि | हॉफ अपघटन बताता है कि रूढ़िवादी प्रणाली के साथ प्रत्येक माप स्थान | गैर-एकवचन परिवर्तन को अपरिवर्तनीय रूढ़िवादी सेट और अपरिवर्तनीय भटकने वाले सेट में विघटित किया जा सकता है। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 23:43, 29 May 2023
गतिशील प्रणालियों और एर्गोडिक सिद्धांत में, भटकने वाले सेट की अवधारणा आंदोलन और मिश्रण (गणित) के निश्चित विचार को औपचारिक रूप देती है। जब गतिशील प्रणाली में गैर-शून्य माप का भटकने वाला सेट होता है, तो प्रणाली विघटनकारी प्रणाली होती है। यह रूढ़िवादी प्रणाली के विपरीत है, जिस पर पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय लागू होता है। सहजता से, घूमने वाले सेट और अपव्यय के बीच संबंध आसानी से समझा जाता है: यदि चरण स्थान का हिस्सा सिस्टम के सामान्य समय-विकास के दौरान भटक जाता है, और फिर कभी नहीं देखा जाता है, तो सिस्टम विघटनकारी है। अपव्यय प्रणाली की अवधारणा को सटीक, गणितीय परिभाषा देने के लिए भटकने वाले सेट की भाषा का उपयोग किया जा सकता है। 1927 में जॉर्ज डेविड बिरखॉफ द्वारा फेज स्पेस में वांडरिंग सेट की धारणा पेश की गई थी।[citation needed]
भटकने वाले बिंदु
घूमने वाले सेटों की आम, असतत-समय परिभाषा मानचित्र से शुरू होती है टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स। बिंदु यदि कोई पड़ोस (गणित) x का U और सकारात्मक पूर्णांक N है, तो इसे भटकने वाला बिंदु कहा जाता है, जैसे कि सभी के लिए , पुनरावृत्त नक्शा गैर-प्रतिच्छेदित है:
एक आसान परिभाषा के लिए केवल यह आवश्यक है कि चौराहे का माप शून्य हो। सटीक होने के लिए, परिभाषा के लिए आवश्यक है कि X माप स्थान हो, यानी ट्रिपल का हिस्सा बोरेल सेट की और उपाय ऐसा है कि
सभी के लिए . इसी तरह, सतत समय प्रणाली में नक्शा होगा टाइम-इवोल्यूशन ऑपरेटर के साथ सिस्टम के समय विकास या प्रवाह (गणित) को परिभाषित करना X पर एक-पैरामीटर सतत एबेलियन समूह समूह क्रिया (गणित) होना:
ऐसे में यह भटकने वाला बिंदु है x का पड़ोस U होगा और समय T ऐसा होगा कि हर समय के लिए , समय-विकसित नक्शा माप शून्य का है:
इन सरल परिभाषाओं को टोपोलॉजिकल समूह के समूह क्रिया (गणित) के लिए पूरी तरह से सामान्यीकृत किया जा सकता है। होने देना माप स्थान हो, जो कि सेट (गणित) है जिसमें माप (गणित) है जो इसके बोरेल सबसेट पर परिभाषित है। होने देना उस सेट पर अभिनय करने वाला समूह बनें। बिंदु दिया , सेट
बिंदु x का प्रक्षेपवक्र या कक्षा (समूह सिद्धांत) कहा जाता है।
तत्व भटकने वाला बिंदु कहा जाता है यदि वहां 'एक्स' का पड़ोस 'यू' और पहचान का पड़ोस 'वी' मौजूद है ऐसा है कि
सभी के लिए .
गैर-भटकने वाले बिंदु
एक गैर-भटकने वाला बिंदु विपरीत है। असतत मामले में, गैर-घूमने वाला है, यदि x और प्रत्येक N> 0 वाले प्रत्येक खुले सेट U के लिए, कुछ n> N ऐसा है
इसी तरह की परिभाषाएँ निरंतर-समय और असतत और निरंतर समूह क्रियाओं के लिए अनुसरण करती हैं।
घुमक्कड़ सेट और अपव्यय प्रणाली
वांडरिंग सेट वांडरिंग पॉइंट्स का संग्रह है। अधिक सटीक रूप से, का उपसमुच्चय W असतत समूह की कार्रवाई के तहत भटकने वाला सेट है यदि डब्ल्यू औसत दर्जे का है और यदि, किसी के लिए चौराहा
माप शून्य का सेट है।
घूमने वाले सेट की अवधारणा पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय में व्यक्त विचारों के लिए अर्थ में दोहरी है। यदि सकारात्मक माप का आवारा सेट मौजूद है, तो की क्रिया बताया गयाdissipative, और गतिशील प्रणाली अपव्यय प्रणाली कहा जाता है। यदि ऐसा कोई वांडरिंग सेट नहीं है, तो क्रिया को कहा जाता हैconservative, और प्रणाली रूढ़िवादी प्रणाली है। उदाहरण के लिए, कोई भी प्रणाली जिसके लिए पॉइनकेयर पुनरावृत्ति प्रमेय धारण करता है, परिभाषा के अनुसार, सकारात्मक माप का भटकने वाला सेट नहीं हो सकता है; और इस प्रकार रूढ़िवादी प्रणाली का उदाहरण है।
एक घुमंतू समुच्चय W के प्रक्षेपपथ को परिभाषित कीजिए
की क्रिया बताया गयाcompletely dissipative यदि सकारात्मक माप का भटकने वाला सेट W मौजूद है, जैसे कि कक्षा लगभग-हर जगह के बराबर है , यानी अगर
माप शून्य का सेट है।
हॉफ अपघटन बताता है कि रूढ़िवादी प्रणाली के साथ प्रत्येक माप स्थान | गैर-एकवचन परिवर्तन को अपरिवर्तनीय रूढ़िवादी सेट और अपरिवर्तनीय भटकने वाले सेट में विघटित किया जा सकता है।
यह भी देखें
संदर्भ
- Nicholls, Peter J. (1989). The Ergodic Theory of Discrete Groups. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37674-2.
- Alexandre I. Danilenko and Cesar E. Silva (8 April 2009). Ergodic theory: Nonsingular transformations; See Arxiv arXiv:0803.2424.
- Krengel, Ulrich (1985), Ergodic theorems, De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 6, de Gruyter, ISBN 3-11-008478-3
