कासिमोर्फिज़्म

समूह सिद्धांत में, समूह (गणित) दिया गया $G$, अर्धरूपवाद (या अर्ध-रूपवाद) फलन (गणित) है $f:G\to \mathbb {R}$ जो बाउंडेड एरर तक योगात्मक नक्शा है, यानी कॉन्स्टेंट मौजूद है (गणित) $D\geq 0$ ऐसा है कि $|f(gh)-f(g)-f(h)|\leq D$ सभी के लिए $g,h\in G$. का सबसे कम धनात्मक मान $D$ जिसके लिए यह असमानता संतुष्ट होती है, का दोष कहलाता है $f$, के रूप में लिखा गया है $D(f)$. समूह के लिए $G$, क्वासिमोर्फिज़्म समारोह स्थान का रेखीय उप-स्थान बनाते हैं $\mathbb {R} ^{G}$.

उदाहरण

• समूह समरूपता और परिबद्ध कार्य $G$ को $\mathbb {R}$ कासिमोर्फिज्म हैं। समूह समरूपता और परिबद्ध कार्य का योग भी अर्ध-रूपवाद है, और इस रूप के कार्यों को कभी-कभी तुच्छ अर्ध-रूपवाद कहा जाता है।
• होने देना $G=F_{S}$ सेट पर मुक्त समूह बनें $S$. कम शब्द के लिए $w$ में $S$, हम पहले बड़े काउंटिंग फंक्शन को परिभाषित करते हैं $C_{w}:F_{S}\to \mathbb {Z} _{\geq 0}$, जिसके लिए लौटता है $g\in G$ प्रतियों की संख्या $w$ के कम प्रतिनिधि में $g$. इसी तरह, हम छोटे काउंटिंग फंक्शन को परिभाषित करते हैं $c_{w}:F_{S}\to \mathbb {Z} _{\geq 0}$, के कम प्रतिनिधि में गैर-अतिव्यापी प्रतियों की अधिकतम संख्या लौटाना $g$. उदाहरण के लिए, $C_{aa}(aaaa)=3$ और $c_{aa}(aaaa)=2$. फिर, बड़ी गिनती क्वासिमोर्फिज्म (प्रतिक्रिया छोटी गिनती क्वासिमोर्फिज्म) रूप का कार्य है $H_{w}(g)=C_{w}(g)-C_{w^{-1}}(g)$ (प्रति. $h_{w}(g)=c_{w}(g)-c_{w^{-1}}(g))$.
• घूर्णन संख्या ${\text{rot}}:{\text{Homeo}}^{+}(S^{1})\to \mathbb {R}$ अर्धरूपवाद है, जहां ${\text{Homeo}}^{+}(S^{1})$ घेरा के अभिविन्यास-संरक्षण होमियोमोर्फिज्म को दर्शाता है।

सजातीय

एक क्वासिमोर्फिज्म सजातीय है अगर $f(g^{n})=nf(g)$ सभी के लिए $g\in G,n\in \mathbb {Z}$. यह पता चला है कि क्वासिमोर्फिज्म के अध्ययन को सजातीय क्वासिमोर्फिज्म के अध्ययन के लिए कम किया जा सकता है, क्योंकि हर क्वासिमोर्फिज्म $f:G\to \mathbb {R}$ अद्वितीय सजातीय क्वासिमोर्फिज्म से सीमित दूरी है ${\overline {f}}:G\to \mathbb {R}$, द्वारा दिए गए :

${\overline {f}}(g)=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(g^{n})}{n}}$.

एक सजातीय क्वासिमोर्फिज्म $f:G\to \mathbb {R}$ निम्नलिखित गुण हैं:

• यह संयुग्मन वर्गों पर स्थिर है, अर्थात $f(g^{-1}hg)=f(h)$ सभी के लिए $g,h\in G$,
• अगर $G$ एबेलियन समूह है, तो $f$ समूह समरूपता है। उपरोक्त टिप्पणी का तात्पर्य है कि इस मामले में सभी अर्ध-रूपवाद तुच्छ हैं।

पूर्णांक-मूल्यवान

एक फ़ंक्शन के मामले में भी इसी तरह क्वासिमोर्फिज़्म को परिभाषित किया जा सकता है $f:G\to \mathbb {Z}$. इस मामले में, सजातीय अर्ध-रूपताओं के बारे में उपरोक्त चर्चा अब सीमा के रूप में नहीं है $\lim _{n\to \infty }f(g^{n})/n$ में मौजूद नहीं है $\mathbb {Z}$ सामान्य रूप में।

उदाहरण के लिए, के लिए $\alpha \in \mathbb {R}$, वो नक्शा $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n\mapsto \lfloor \alpha n\rfloor$ कासिमोर्फिज्म है। क्वासिमोर्फिज्म के भागफल के रूप में वास्तविक संख्या का निर्माण होता है $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ उचित तुल्यता संबंध द्वारा, वास्तविक संख्याओं का निर्माण#पूर्णांकों से निर्माण देखें (यूडॉक्सस रियल)|पूर्णांकों से वास्तविक संख्याओं का निर्माण (यूडोक्सस रियल)।

संदर्भ

• Calegari, Danny (2009), scl, MSJ Memoirs, vol. 20, Mathematical Society of Japan, Tokyo, pp. 17–25, doi:10.1142/e018, ISBN 978-4-931469-53-2
• Frigerio, Roberto (2017), Bounded cohomology of discrete groups, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 227, American Mathematical Society, Providence, RI, pp. 12–15, arXiv:1610.08339, doi:10.1090/surv/227, ISBN 978-1-4704-4146-3, S2CID 53640921

अग्रिम पठन

• What is a Quasi-morphism? by D. Kotschick