कासिमोर्फिज़्म

समूह सिद्धांत में, समूह (गणित) मुख्य रूप से $G$ द्वारा दिये गये अर्धरूपवाद फलन है, जिसे $f:G\to \mathbb {R}$ फलन के रूप में प्रदर्शित करते हैं, जो बाउंडेड एरर तक योगात्मक क्षेत्र को प्रदर्शित करता है, अर्ताथ कॉन्स्टेंट उपस्थित रहते हैं। इस प्रकार $D\geq 0$ होने पर इसका मान इस प्रकार प्राप्त होता हैं कि फलन $|f(gh)-f(g)-f(h)|\leq D$ का मान सभी $g,h\in G$ के लिए सबसे कम धनात्मक मान वाले $D$ के लिए असमानता को संतुष्ट करता है, यह फलन $f$ का दोष कहलाता है, जिसे $D(f)$ के रूप में लिखा जाता है, इस प्रकार $G$ समूह के लिए, क्वासिमोर्फिज़्म फलन का रेखीय उप-स्थान $\mathbb {R} ^{G}$ बनाते हैं।

उदाहरण

• समूह समरूपता और परिबद्ध कार्य $G$ को $\mathbb {R}$ द्वारा कासिमोर्फिज्म के रूप में उपयोग किया जाता हैं। इस प्रकार समूह समरूपता और परिबद्ध कार्य का योग भी अर्ध-रूपवाद को प्रदर्शित करता है, और इस रूप के कार्यों को कभी-कभी तुच्छ अर्ध-रूपवाद कहा जाता है।
• इस प्रकार $G=F_{S}$ समुच्चय के लिए मुक्त समूह $S$ का मान प्राप्तो होता हैं जिसे कम शब्दों में $w$ के लिए $S$ रूप में उपयोग करते हैं, हम पहले बड़े काउंटिंग फलन $C_{w}:F_{S}\to \mathbb {Z} _{\geq 0}$ को परिभाषित करते हैं, जिसके लिए $g\in G$ मान प्राप्त होता है, इसकी प्रतियों की संख्या $w$ के कम प्रतिनिधि में $g$ के समान होती हैं। इसी प्रकार हम छोटे काउंटिंग फलन $c_{w}:F_{S}\to \mathbb {Z} _{\geq 0}$ को परिभाषित करते हैं, जिसके कम प्रतिनिधि में गैर-अतिव्यापी प्रतियों की अधिकतम संख्या $g$ द्वारा प्राप्त होती हैं। उदाहरण के लिए $C_{aa}(aaaa)=3$ और $c_{aa}(aaaa)=2$. की बड़ी गिनती क्वासिमोर्फिज्म प्रतिक्रिया को छोटी गिनती के लिए क्वासिमोर्फिज्म रूप अर्ताथ $H_{w}(g)=C_{w}(g)-C_{w^{-1}}(g)$ (प्रति. $h_{w}(g)=c_{w}(g)-c_{w^{-1}}(g))$ के उक्त फलन के रूप में प्राप्त करते हैं।
• घूर्णन संख्या ${\text{rot}}:{\text{Homeo}}^{+}(S^{1})\to \mathbb {R}$ अर्धरूपवाद रहता है, जहाँ ${\text{Homeo}}^{+}(S^{1})$ इस क्षेत्र के अभिविन्यास-संरक्षण होमियोमोर्फिज्म को दर्शाता है।

सजातीय

एक क्वासिमोर्फिज्म सजातीय है, यदि $f(g^{n})=nf(g)$ का मान सभी $g\in G,n\in \mathbb {Z}$ के लिए उपयोग किया जाता हैं। इस प्रकार यह पता चला है कि क्वासिमोर्फिज्म के अध्ययन को सजातीय क्वासिमोर्फिज्म के अध्ययन के लिए कम किया जा सकता है, क्योंकि हर क्वासिमोर्फिज्म $f:G\to \mathbb {R}$ अद्वितीय सजातीय क्वासिमोर्फिज्म से सीमित दूरी है, जिसे फलन ${\overline {f}}:G\to \mathbb {R}$, द्वारा इस प्रकार प्रकट कर सकते हैं:

${\overline {f}}(g)=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(g^{n})}{n}}$.

एक सजातीय क्वासिमोर्फिज्म $f:G\to \mathbb {R}$ के निम्नलिखित गुण हैं:

• यह संयुग्मन वर्गों पर स्थिर है, अर्थात $f(g^{-1}hg)=f(h)$ का मान $g,h\in G$ के अनुसार प्राप्त होता हैं।
• इस प्रकार यदि $G$ एबेलियन समूह है, तो $f$ समूह समरूपता को प्रकट करता हैं। उपरोक्त टिप्पणी का तात्पर्य है कि इस स्थिति में सभी अर्ध-रूपवाद अनुपयोगी रहते हैं।

पूर्णांक मान

किसी फलन की विशेष स्थिति में भी इसी प्रकार क्वासिमोर्फिज़्म $f:G\to \mathbb {Z}$ को परिभाषित किया जा सकता है, इस स्थिति में, सजातीय अर्ध-रूपताओं के बारे में उपरोक्त मान अब सीमा के अनुरूप नहीं है इस प्रकार इसकी सीमा $\lim _{n\to \infty }f(g^{n})/n$ में $\mathbb {Z}$ सामान्य रूप में उपस्थित नहीं रहते हैं।

उदाहरण के लिए, $\alpha \in \mathbb {R}$, के लिए इसका मान $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n\mapsto \lfloor \alpha n\rfloor$ रूप में कासिमोर्फिज्म को प्रकट करता है। क्वासिमोर्फिज्म के भागफल के रूप में वास्तविक संख्या $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ उचित तुल्यता संबंध द्वारा निर्माण होता है , वास्तविक संख्याओं का निर्माण पूर्णांकों से होता हैं जिसके लिए यूडॉक्सस रियल या पूर्णांकों से वास्तविक संख्याओं का निर्माण यूडोक्सस रियल पर निर्भर करता हैं।

संदर्भ

• Calegari, Danny (2009), scl, MSJ Memoirs, vol. 20, Mathematical Society of Japan, Tokyo, pp. 17–25, doi:10.1142/e018, ISBN 978-4-931469-53-2
• Frigerio, Roberto (2017), Bounded cohomology of discrete groups, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 227, American Mathematical Society, Providence, RI, pp. 12–15, arXiv:1610.08339, doi:10.1090/surv/227, ISBN 978-1-4704-4146-3, S2CID 53640921

अग्रिम पठन

• What is a Quasi-morphism? by D. Kotschick