इंटरटेम्पोरल सीएपीएम: Difference between revisions

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[[गणितीय वित्त]] के भीतर, इंटरटेम्पोरल [[ पूंजी परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल ]] या ICAPM, रॉबर्ट सी. मर्टन द्वारा प्रदान किए गए कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल का एक विकल्प है। यह राज्य चर के रूप में धन के साथ एक रैखिक कारक मॉडल है जो भविष्य के रिटर्न (वित्त) या [[आय]] के वितरण में परिवर्तन का पूर्वानुमान करता है।
[[गणितीय वित्त]] के अंतर्गत[[ पूंजी परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल | इंटरटेम्पोरल कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल]] या आईसीएपीएम रॉबर्ट सी. मर्टन द्वारा प्रदान किए गए सीएपीएम का विकल्प है। यह गुणधर्म के साथ एक रेखीय कारक मॉडल के रूप में है, जो भविष्य के रिटर्न लाभ या [[आय]] के वितरण में परिवर्तन का पूर्वानुमान करता है।


ICAPM में [[निवेश]]क एक से अधिक अनिश्चितताओं का सामना करने पर आजीवन उपभोग निर्णयों को हल कर रहे हैं। आईसीएपीएम और मानक सीएपीएम के बीच मुख्य अंतर अतिरिक्त राज्य चर हैं जो इस तथ्य को स्वीकार करते हैं कि निवेशक खपत में कमी या भविष्य के निवेश अवसर सेट में बदलाव के विरुद्ध  बचाव करते हैं।
आईसीएपीएम में [[निवेश]]क एक से अधिक अनिश्चितताओं का सामना करने पर आजीवन उपभोग निर्णयों को हल कर रहे हैं। आईसीएपीएम और मानक सीएपीएम. के बीच मुख्य अंतर एक अतिरिक्तक स्थिति के रूप में है, जो इस तथ्य को स्वीकार करते हैं कि निवेशक खपत में कमी या भविष्य के निवेश के अवसरों में होने वाले परिवर्तनों के विरूद्ध बचाव करते हैं।


== निरंतर समय संस्करण ==
== निरंतर समय संस्करण ==
रॉबर्ट सी मर्टन<ref>{{cite journal |first=Robert |last=Merton|title= एक इंटरटेम्पोरल कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल|journal= Econometrica|date=1973|pages=867–887|jstor=1913811|volume=41|issue=5 |doi=10.2307/1913811}}</ref> संतुलन में एक सतत समय बाजार मानता है।
रॉबर्ट सी मर्टन<ref>{{cite journal |first=Robert |last=Merton|title= एक इंटरटेम्पोरल कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल|journal= Econometrica|date=1973|pages=867–887|jstor=1913811|volume=41|issue=5 |doi=10.2307/1913811}}</ref> संतुलन में एक सतत समय बाजार के रूप में मानता है। स्टेट चर (X) एक [[वीनर प्रक्रिया]] का अनुसरण करता है।
राज्य चर (एक्स) एक [[वीनर प्रक्रिया]] का अनुसरण करता है:
:<math> dX = \mu dt + s dZ </math>
:<math> dX = \mu dt + s dZ </math>
निवेशक अपने वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता प्रमेय को अधिकतम करता है | वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता:
निवेशक अपने वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता प्रमेय को अधिकतम रूप में करता है।
:<math>E_o \left\{\int_o^T U[C(t),t]dt + B[W(T),T] \right\} </math>
:<math>E_o \left\{\int_o^T U[C(t),t]dt + B[W(T),T] \right\} </math>
जहां टी समय क्षितिज है और बी [डब्ल्यू (टी), टी] धन से उपयोगिता (डब्ल्यू)।
जहां T समय क्षितिज के रूप में है और B[W(T),T] वेल्थ की उपयोगिता W से है।


धन (W) पर निवेशक की निम्नलिखित बाधाएँ हैं।
वेल्थ (W) पर निवेशक की निम्नलिखित बाधाएँ होती है। माना <math> w_i </math> वेल्थ i में निवेश किया भार के रूप में है तब,
होने देना <math> w_i </math> संपत्ति i में निवेश किया वजन हो। तब:
:<math> W(t+dt) = [W(t) -C(t) dt]\sum_{i=0}^n w_i[1+ r_i(t+ dt)] </math>
:<math> W(t+dt) = [W(t) -C(t) dt]\sum_{i=0}^n w_i[1+ r_i(t+ dt)] </math>
कहाँ <math> r_i </math> संपत्ति पर वापसी है i।
जहाँ <math> r_i </math> वेल्थ पर वापसी i के रूप में वेल्थ में परिवर्तन है।
धन में परिवर्तन है:
:<math> dW=-C(t)dt +[W(t)-C(t)dt]\sum w_i(t)r_i(t+dt) </math>
:<math> dW=-C(t)dt +[W(t)-C(t)dt]\sum w_i(t)r_i(t+dt) </math>
हम समस्या को हल करने के लिए [[गतिशील प्रोग्रामिंग]] का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम असतत समय की समस्याओं की एक श्रृंखला पर विचार करते हैं:
हम समस्या को हल करने के लिए [[गतिशील प्रोग्रामिंग]] का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम असतत समय की समस्याओं की एक श्रृंखला पर विचार करते हैं।
:<math>\max E_0 \left\{\sum_{t=0}^{T-dt}\int_t^{t+dt} U[C(s),s]ds + B[W(T),T] \right\} </math>
:<math>\max E_0 \left\{\sum_{t=0}^{T-dt}\int_t^{t+dt} U[C(s),s]ds + B[W(T),T] \right\} </math>
फिर, एक [[टेलर श्रृंखला]] देती है:
यहाँ, एक [[टेलर श्रृंखला]] इस रूप में है,
:<math> \int_t^{t+dt}U[C(s),s]ds= U[C(t),t]dt + \frac{1}{2} U_t [C(t^*),t^*]dt^2 \approx U[C(t),t]dt </math>
:<math> \int_t^{t+dt}U[C(s),s]ds= U[C(t),t]dt + \frac{1}{2} U_t [C(t^*),t^*]dt^2 \approx U[C(t),t]dt </math>
कहाँ <math>t^*</math> t और t+dt के बीच का मान है।
जहाँ <math>t^*</math> t और t+dt के बीच का मान है।


यह मानते हुए कि रिटर्न एक [[वीनर प्रक्रिया]] का पालन करता है:
यह मानते हुए कि रिटर्न एक [[वीनर प्रक्रिया]] का पालन करता है।
:<math> r_i(t+dt) = \alpha_i dt + \sigma_i dz_i</math>
:<math> r_i(t+dt) = \alpha_i dt + \sigma_i dz_i</math>
साथ:
साथ में,
:<math> E(r_i) = \alpha_i dt \quad ;\quad E(r_i^2)=var(r_i)=\sigma_i^2dt \quad ;\quad cov(r_i,r_j) = \sigma_{ij}dt </math>
:<math> E(r_i) = \alpha_i dt \quad ;\quad E(r_i^2)=var(r_i)=\sigma_i^2dt \quad ;\quad cov(r_i,r_j) = \sigma_{ij}dt </math>
फिर दूसरे और उच्च क्रम की शर्तों को रद्द करना:
फिर दूसरे और उच्च क्रम की शर्तों को अस्वीकृत करता है।
:<math> dW \approx [W(t) \sum w_i \alpha_i - C(t)]dt+W(t) \sum w_i \sigma_i dz_i</math>
:<math> dW \approx [W(t) \sum w_i \alpha_i - C(t)]dt+W(t) \sum w_i \sigma_i dz_i</math>
[[इष्टतम नियंत्रण]] का उपयोग करके, हम समस्या को पुन: स्थापित कर सकते हैं:
[[इष्टतम नियंत्रण]] का उपयोग करके, हम समस्या को पुन: स्थापित कर सकते है।
:<math> J(W,X,t) = max \; E_t\left\{\int_t^{t+dt} U[C(s),s]ds + J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}</math>
:<math> J(W,X,t) = max \; E_t\left\{\int_t^{t+dt} U[C(s),s]ds + J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}</math>
पहले बताए गए धन की कमी के अधीन।
वेल्थ बाधा के अधीन पहले कहा गया हैं।


इटो लेम्मा का उपयोग करके हम फिर से लिख सकते हैं:
इटो लेम्मा का उपयोग करके हम फिर से लिख सकते हैं।
:<math> dJ = J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]= J_t dt + J_W dW + J_X dX + \frac{1}{2}J_{XX} dX^2 + \frac{1}{2}J_{WW} dW^2 + J_{WX} dX dW</math>
:<math> dJ = J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]= J_t dt + J_W dW + J_X dX + \frac{1}{2}J_{XX} dX^2 + \frac{1}{2}J_{WW} dW^2 + J_{WX} dX dW</math>
और अपेक्षित मूल्य:
और अपेक्षित मूल्य के रूप में होते है
:<math> E_t J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_t dt + J_W E[dW]+ J_X E(dX) + \frac{1}{2} J_{XX} var(dX)+\frac{1}{2} J_{WW} var[dW] + J_{WX} cov(dX,dW)</math>
:<math> E_t J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_t dt + J_W E[dW]+ J_X E(dX) + \frac{1}{2} J_{XX} var(dX)+\frac{1}{2} J_{WW} var[dW] + J_{WX} cov(dX,dW)</math>
कुछ बीजगणित के बाद<ref>:<math> E(dW)=-C(t)dt + W(t) \sum w_i(t) \alpha_i dt </math>
कुछ बीजगणित के बाद<ref>:<math> E(dW)=-C(t)dt + W(t) \sum w_i(t) \alpha_i dt </math>
:<math> var(dW) = [W(t)-C(t)dt]^2 var[ \sum w_i(t)r_i(t+dt)]= W(t)^2 \sum_{i=1} \sum_{i=1} w_i w_j \sigma_{ij} dt </math>
:<math> var(dW) = [W(t)-C(t)dt]^2 var[ \sum w_i(t)r_i(t+dt)]= W(t)^2 \sum_{i=1} \sum_{i=1} w_i w_j \sigma_{ij} dt </math>
:<math> \sum_{i=o}^n w_i(t) \alpha_i = \sum_{i=1}^n w_i(t)[\alpha_i - r_f] + r_f </math></ref>
:<math> \sum_{i=o}^n w_i(t) \alpha_i = \sum_{i=1}^n w_i(t)[\alpha_i - r_f] + r_f </math></ref> हमारे पास निम्नलिखित उद्देश्य फलन के रूप में है,
, हमारे पास निम्नलिखित उद्देश्य समारोह है:
:<math> max \left\{ U(C,t) + J_t + J_W W [\sum_{i=1}^n w_i(\alpha_i-r_f)+r_f] - J_WC + \frac{W^2}{2} J_{WW}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n w_i w_j \sigma_{ij} + J_X \mu + \frac{1}{2}J_{XX} s^2 + J_{WX} W \sum_{i=1}^n w_i \sigma_{iX} \right\} </math>
:<math> max \left\{ U(C,t) + J_t + J_W W [\sum_{i=1}^n w_i(\alpha_i-r_f)+r_f] - J_WC + \frac{W^2}{2} J_{WW}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n w_i w_j \sigma_{ij} + J_X \mu + \frac{1}{2}J_{XX} s^2 + J_{WX} W \sum_{i=1}^n w_i \sigma_{iX} \right\} </math>
कहाँ <math>r_f</math> जोखिम मुक्त वापसी है।
जहाँ <math>r_f</math> जोखिम मुक्त पुनरावृत्ति है। पहले क्रमबद्ध शर्त के रूप में हैं,
पहले आदेश की शर्तें हैं:
:<math> J_W(\alpha_i-r_f)+J_{WW}W \sum_{j=1}^n w^*_j \sigma_{ij} + J_{WX} \sigma_{iX}=0 \quad i=1,2,\ldots,n</math>
:<math> J_W(\alpha_i-r_f)+J_{WW}W \sum_{j=1}^n w^*_j \sigma_{ij} + J_{WX} \sigma_{iX}=0 \quad i=1,2,\ldots,n</math>
मैट्रिक्स रूप में, हमारे पास है:
मैट्रिक्स रूप में, हमारे पास है
:<math> (\alpha - r_f {\mathbf 1}) = \frac{-J_{WW}}{J_W} \Omega w^* W + \frac{-J_{WX}}{J_W} cov_{rX} </math>
:<math> (\alpha - r_f {\mathbf 1}) = \frac{-J_{WW}}{J_W} \Omega w^* W + \frac{-J_{WX}}{J_W} cov_{rX} </math>
कहाँ <math>\alpha</math> अपेक्षित रिटर्न का वेक्टर है, <math> \Omega </math> रिटर्न का [[सहप्रसरण]], <math> {\mathbf 1}</math> एकता वेक्टर <math> cov_{rX} </math> रिटर्न और राज्य चर के बीच सहप्रसरण। इष्टतम वजन हैं:
जहाँ <math>\alpha</math> अपेक्षित रिटर्न का सदिश होता है, तो <math> \Omega </math> रिटर्न का [[सहप्रसरण|कोवेरीअन्स]] , <math> {\mathbf 1}</math> एकता सदिश <math> cov_{rX} </math> रिटर्न और स्टेट चर के बीच कोवेरीअन्स इष्टतम भार के रूप में हैं:
 
:<math> {\mathbf w^*} = \frac{-J_W}{J_{WW} W}\Omega^{-1}(\alpha - r_f {\mathbf 1}) - \frac{J_{WX}}{J_{WW}W}\Omega^{-1} cov_{rX}</math>
:<math> {\mathbf w^*} = \frac{-J_W}{J_{WW} W}\Omega^{-1}(\alpha - r_f {\mathbf 1}) - \frac{J_{WX}}{J_{WW}W}\Omega^{-1} cov_{rX}</math>
ध्यान दें कि इंटरटेम्पोरल मॉडल [[ पूंजी परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल ]] का समान भार प्रदान करता है। अपेक्षित रिटर्न निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
ध्यान दें कि इंटरटेम्पोरल मॉडल[[ पूंजी परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल | पूंजी परिवेल्थ मूल्य निर्धारण मॉडल]] सीएपीएम के समान भार प्रदान करता है और इस प्रकार अपेक्षित रिटर्न को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है
:<math> \alpha_i = r_f + \beta_{im} (\alpha_m - r_f) + \beta_{ih}(\alpha_h - r_f)</math>
:<math> \alpha_i = r_f + \beta_{im} (\alpha_m - r_f) + \beta_{ih}(\alpha_h - r_f)</math>
जहां m मार्केट पोर्टफोलियो है और h स्टेट वेरिएबल को हेज करने के लिए पोर्टफोलियो है।
जहां m मार्केट पोर्टफोलियो के रूप में है और h स्टेट वेरिएबल को हेज करने के लिए पोर्टफोलियो है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


* [[इंटरटेम्पोरल पोर्टफोलियो विकल्प]]
* [[इंटरटेम्पोरल पोर्टफोलियो विकल्प]] के रूप में होते है


==संदर्भ==
==संदर्भ==

Revision as of 23:54, 30 May 2023

गणितीय वित्त के अंतर्गत इंटरटेम्पोरल कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल या आईसीएपीएम रॉबर्ट सी. मर्टन द्वारा प्रदान किए गए सीएपीएम का विकल्प है। यह गुणधर्म के साथ एक रेखीय कारक मॉडल के रूप में है, जो भविष्य के रिटर्न लाभ या आय के वितरण में परिवर्तन का पूर्वानुमान करता है।

आईसीएपीएम में निवेशक एक से अधिक अनिश्चितताओं का सामना करने पर आजीवन उपभोग निर्णयों को हल कर रहे हैं। आईसीएपीएम और मानक सीएपीएम. के बीच मुख्य अंतर एक अतिरिक्तक स्थिति के रूप में है, जो इस तथ्य को स्वीकार करते हैं कि निवेशक खपत में कमी या भविष्य के निवेश के अवसरों में होने वाले परिवर्तनों के विरूद्ध बचाव करते हैं।

निरंतर समय संस्करण

रॉबर्ट सी मर्टन[1] संतुलन में एक सतत समय बाजार के रूप में मानता है। स्टेट चर (X) एक वीनर प्रक्रिया का अनुसरण करता है।

निवेशक अपने वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता प्रमेय को अधिकतम रूप में करता है।

जहां T समय क्षितिज के रूप में है और B[W(T),T] वेल्थ की उपयोगिता W से है।

वेल्थ (W) पर निवेशक की निम्नलिखित बाधाएँ होती है। माना वेल्थ i में निवेश किया भार के रूप में है तब,

जहाँ वेल्थ पर वापसी i के रूप में वेल्थ में परिवर्तन है।

हम समस्या को हल करने के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम असतत समय की समस्याओं की एक श्रृंखला पर विचार करते हैं।

यहाँ, एक टेलर श्रृंखला इस रूप में है,

जहाँ t और t+dt के बीच का मान है।

यह मानते हुए कि रिटर्न एक वीनर प्रक्रिया का पालन करता है।

साथ में,

फिर दूसरे और उच्च क्रम की शर्तों को अस्वीकृत करता है।

इष्टतम नियंत्रण का उपयोग करके, हम समस्या को पुन: स्थापित कर सकते है।

वेल्थ बाधा के अधीन पहले कहा गया हैं।

इटो लेम्मा का उपयोग करके हम फिर से लिख सकते हैं।

और अपेक्षित मूल्य के रूप में होते है

कुछ बीजगणित के बाद[2] हमारे पास निम्नलिखित उद्देश्य फलन के रूप में है,

जहाँ जोखिम मुक्त पुनरावृत्ति है। पहले क्रमबद्ध शर्त के रूप में हैं,

मैट्रिक्स रूप में, हमारे पास है

जहाँ अपेक्षित रिटर्न का सदिश होता है, तो रिटर्न का कोवेरीअन्स , एकता सदिश रिटर्न और स्टेट चर के बीच कोवेरीअन्स इष्टतम भार के रूप में हैं:

ध्यान दें कि इंटरटेम्पोरल मॉडल पूंजी परिवेल्थ मूल्य निर्धारण मॉडल सीएपीएम के समान भार प्रदान करता है और इस प्रकार अपेक्षित रिटर्न को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है

जहां m मार्केट पोर्टफोलियो के रूप में है और h स्टेट वेरिएबल को हेज करने के लिए पोर्टफोलियो है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Merton, Robert (1973). "एक इंटरटेम्पोरल कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल". Econometrica. 41 (5): 867–887. doi:10.2307/1913811. JSTOR 1913811.
  2. :
  • Merton, R.C., (1973), An Intertemporal Capital Asset Pricing Model. Econometrica 41, Vol. 41, No. 5. (Sep., 1973), pp. 867–887
  • "Multifactor Portfolio Efficiency and Multifactor Asset Pricing" by Eugene F. Fama, (The Journal of Financial and Quantitative Analysis), Vol. 31, No. 4, Dec., 1996