एमवी-बीजगणित: Difference between revisions

Revision as of 13:53, 30 May 2023

अमूर्त बीजगणित में, शुद्ध गणित की एक शाखा, एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें बाइनरी संक्रिया $\oplus$ , एकल संक्रिया $\neg$ , और नियतांक $0$ होते है, जो कुछ अभिगृहीत को संतुष्ट करता है। एमवी-बीजगणितीय लुकासिविज़ तर्क के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) हैं; अक्षर एमवी-बीजगणितीय लुकासिविज़ के बहु-मान तर्क का उल्लेख करते हैं। एमवी-बीजगणितीय परिबद्ध क्रमविनिमेय बीसीके बीजगणित के वर्ग के साथ समतुल्य होता है।

परिभाषाएँ

एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें $\langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle$ सम्मिलित है

अरिक्त समुच्चय (गणित) $A,$
बाइनरी संक्रिया $\oplus$ पर $A,$
एकल संक्रिया $\lnot$ पर $A,$ और
नियतांक $0$ जो $A$ एक निश्चित अवयव (गणित) को दर्शाता है,

जो निम्नलिखित सर्वसमिकाओं (गणित) को संतुष्ट करता है:

$(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z),$
$x\oplus 0=x,$
$x\oplus y=y\oplus x,$
$\lnot \lnot x=x,$
$x\oplus \lnot 0=\lnot 0,$ और
$\lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.$

पहले तीन अभिगृहीत के आधार पर, $\langle A,\oplus ,0\rangle$ क्रमविनिमेय मोनोइड है। सर्वसमिकाओं द्वारा परिभाषित होने के कारण, एमवी- बीजगणित विभिन्न प्रकार के (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं। एमवी-बीजगणित की विविधता बीएल (तर्क) -बीजगणित की विविधता की एक उप-प्रजाति है और इसमें सभी बूलियन बीजगणित (संरचना) सम्मिलित होते हैं।

एक एमवी-बीजगणित को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है (पेट्र हेजेक 1998) एक पूर्वरेखीय क्रमविनिमेय सीमित समाकल अवशेष लेटिस के रूप में $\langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle$ अतिरिक्त सर्वसमिकाओं $x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y$ को संतुष्ट करता है।

एमवी-बीजगणित के उदाहरण

एक साधारण संख्यात्मक उदाहरण $A=[0,1]$ है, जिसमे संक्रिया $x\oplus y=\min(x+y,1)$ और $\lnot x=1-x$ के साथ सम्मिलित है। गणितीय फजी तर्क में, इस एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित कहा जाता है, क्योंकि यह लुकासिविक्ज़ तर्क के मानक वास्तविक मान शब्दार्थ का निर्माण करता है।

सामान्य एमवी-बीजगणित में केवल अवयव 0 है और संक्रिया को एकमात्र संभव $0\oplus 0=0$ और $\lnot 0=0$ तरीके से परिभाषित किया गया है।

दो-अवयव एमवी-बीजगणित वास्तव में दो-अवयव बूलियन बीजगणित $\{0,1\}$ है, जिसमे $\oplus$ बूलियन संयोजन के साथ समतुल्य है और $\lnot$ बूलियन निषेध के साथ नहीं है। वास्तव में अभिगृहीत जोड़ना $x\oplus x=x$ एमवी-बीजगणित को परिभाषित करने वाले अभिगृहीतों के परिणामस्वरूप बूलियन बीजगणित का अभिगृहीतीकरण होता है।

यदि इसके अतिरिक्त $x\oplus x\oplus x=x\oplus x$ अभिगृहीत जोड़ा गया है, तब अभिगृहीत MV₃ को परिभाषित करते हैं बीजगणित तीन-मान लुकासिविक्ज़ तर्क Ł₃ के संगत है।^{[citation needed]} अन्य परिमित रैखिक रूप से क्रमित एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित के समष्टि और संक्रिया को समुच्चय $n$ 0 और 1 (दोनों सम्मिलित) के बीच समदूरस्थ वास्तविक संख्याएँ करने के लिए प्रतिबंधित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात् समुच्चय $\{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},$ जो संक्रिया $\oplus$ और $\lnot$ मानक एमवी-बीजगणित के अंतर्गत संवृत है; इन बीजगणितों को सामान्य रूप से MV_n के रूप में दर्शाया जाता है

एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण सी.सी. चांग का एमवी-बीजगणित है, जिसमें केवल अनंत-सूक्ष्म (आदेश प्रकार ω के साथ) और उनके सह-अनंत-सूक्ष्म सम्मिलित हैं।

चांग ने एक धनात्मक अवयव u को निर्धारित करके और भाग [0, u] को { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } जो x ⊕ y = min(u, x + y) और ¬x = u − x के साथ एक एमवी-बीजगणित बन जाता है। इसके अतिरिक्त, चांग ने दिखाया कि इस तरह से एक समूह से निर्मित एमवी-बीजगणित के लिए प्रत्येक रैखिक रूप से आदेश दिया गया एमवी-बीजगणित समरूप होते है।

डेनियल मुंडिसी ने उपरोक्त निर्माण को एबेलियन लेटिस-क्रमित समूह तक बढ़ाया। यदि G प्रबल (क्रम) इकाई u वाला एक ऐसा समूह है, तो इकाई अंतराल {x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u} को ¬x = u − x, x ⊕ y = u ∧_G (x + y) और x ⊗ y = 0 ∨_G (x + y − u) से सुसज्जित किया जा सकता है। यह निर्माण प्रबल इकाई और एमवी-बीजगणित के साथ लेटिस-क्रमित एबेलियन समूहों के बीच एक स्पष्ट समानता स्थापित करता है।

एक प्रभाव बीजगणित जो लेटिस-क्रमित है और लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित एक एमवी-बीजगणित है। इसके विपरीत, कोई भी एमवी-बीजगणित एक लेटिस-क्रमित प्रभाव बीजगणित है जिसमें रीज़ अपघटन गुण होता है।^[1]

लुकासिविक्ज़ तर्क से संबंध

सी.सी. चांग ने 1920 में जैन लुकासिविक्ज़ द्वारा प्रस्तुत किए गए कई-मान तर्क्स का अध्ययन करने के लिए एमवी-बीजगणित तैयार किया। विशेष रूप से, एमवी-बीजगणित लुकासिविक्ज़ तर्क के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) का निर्माण करते हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

एमवी-बीजगणित A दिया गया है, A-मूल्यांकन (तर्क) प्रस्तावपरक सूत्रों (भाषा में $\oplus ,\lnot ,$ और 0) A के बीजगणित से एक समरूपता है। सूत्र 1 के लिए मानचित्रण किए गए (अर्थात, $\lnot$ 0) सभी A-मानो के लिए A-पुनरुक्ति (तर्क) कहा जाता है। यदि [0,1] से अधिक मानक एमवी-बीजगणित नियोजित है, तो सभी [0,1]-पुनरुक्ति का समुच्चय तथाकथित अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क को निर्धारित करता है।

चांग (1958, 1959) पूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी एमवी-बीजगणित समीकरण मानक एमवी-बीजगणित में अंतराल [0,1] पर धारण करना प्रत्येक एमवी-बीजगणित में होगा। बीजगणितीय रूप से, इसका तात्पर्य है कि मानक एमवी-बीजगणित सभी एमवी-बीजगणित की विविधता उत्पन्न करता है। समान रूप से, चांग की पूर्णता प्रमेय कहती है कि एमवी-बीजगणितीय अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क की विशेषता है, जिसे [0,1]-पुनरुक्ति के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है।

जिस तरह से [0,1] एमवी-बीजगणित सभी संभव एमवी-बीजगणित की विशेषता बताता है, वह इस प्रसिद्ध तथ्य के समानांतर है कि दो-अवयव बूलियन बीजगणित में सम्मिलित सर्वसमिकाओं सभी संभव बूलियन बीजगणित में होती है। इसके अतिरिक्त, एमवी-बीजगणितीय अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क को इस तरह से चित्रित करते हैं जैसे कि बूलियन बीजगणितीय उत्कृष्ट दो-अवयव (लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित देखें) बूलियन बीजगणित की विशेषता रखते हैं।

1984 में, फॉन्ट, रोड्रिग्ज और टॉरेंस ने वाज्सबर्ग बीजगणित को अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए एक वैकल्पिक मॉडल के रूप में प्रस्तुत किया। वाज्सबर्ग बीजगणित और एमवी-बीजगणित पद-समतुल्य हैं।^[2]

MV_n-बीजगणित

1940 के दशक में ग्रिगोर मोसिल ने अपने लुकासिविक्ज़-मोइसिल बीजगणित (LM_n-बीजगणित) को इस उपेक्षा में प्रस्तुत किया कि वे (अंततः) n-मान लुकासिविज़ तर्क के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ दे सकें। हालांकि, 1956 में एलन रोज़ ने पाया कि n ≥ 5 के लिए, लुकासिविक्ज़-मोइसिल बीजगणित लुकासिविक्ज़ n-मान तर्क को प्रतिरूपित नहीं करता है। हालांकि सीसी चांग ने 1958 में अपना MV-बीजगणित प्रकाशित किया, यह केवल ℵ₀-मान (अनंत-अनेक-मान) लुकासिविक्ज़-टार्स्की तर्क के लिए एक विश्वसनीय मॉडल है। स्वयंसिद्ध रूप से अधिक जटिल (अंतिम रूप से) n-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए, उपयुक्त बीजगणित 1977 में रेवाज़ ग्रिगोलिया द्वारा प्रकाशित किए गए थे और MV_n-बीजगणित कहलाते थे।^[3] MV_n-बीजगणित, LM_n-बीजगणित का एक उपवर्ग है; समावेशन n ≥ 5 के लिए प्रबल होता है।^[4]

MV_n-बीजगणित MV-बीजगणित होते हैं जो कुछ अतिरिक्त सूक्तियों को संतुष्ट करते हैं, परिशुद्ध रूप से उसी तरह जैसे n-मान लुकासिविक्ज़ तर्कों में ℵ₀-मान तर्क में अतिरिक्त अभिगृहीत जोड़ दिए जाते हैं।

1982 में रॉबर्टो सिग्नोली ने कुछ अतिरिक्त बाधाओं को प्रकाशित किया जो LM_n-बीजगणित में जुड़कर n-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए उपयुक्त मॉडल उत्पन्न करते हैं।^[5] LM_n-बीजगणित, जो MV_n-बीजगणित भी हैं, परिशुद्ध रूप से सिग्नोली के उपयुक्त n-मूल्य वाले लुकासिविक्ज़ बीजगणित हैं।^[6]

कार्यात्मक विश्लेषण से संबंध

एमवी-बीजगणित डेनियल मुंडिसी द्वारा लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित से संबंधित थे, जो लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित के सभी समरूप वर्गों के बीच लेटिस-क्रमित आयाम समूह और गणनीय एमवी बीजगणित के सभी समरूप वर्गों के बीच एक विशेषण पत्राचार स्थापित करके संबंधित थे। इस पत्राचार के कुछ उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

गणनीय एमवी बीजगणित	लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित
{0, 1}	ℂ
{0, 1/n, ..., 1 }	M_n(ℂ), अर्थात n×n सम्मिश्र आव्यूह
अनंत	अनंत-आयाम
बूलियन	क्रमविनिमेय

सॉफ्टवेयर में

फ़ज़ी तर्क (प्रकार II) को प्रयुक्त करने वाले कई रूपरेखाएं होती हैं, और उनमें से अधिकांश को बहु-संलग्न तर्क कहा जाता है। यह एमवी-बीजगणित के कार्यान्वयन से अधिकतम कुछ नहीं है।

संदर्भ

↑ Foulis, D. J. (2000-10-01). "एमवी और हेटिंग प्रभाव बीजगणित". Foundations of Physics (in English). 30 (10): 1687–1706. doi:10.1023/A:1026454318245. ISSN 1572-9516. S2CID 116763476.
↑ "उद्धृत जे. एम. फॉन्ट, ए. जे" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2014-08-10. Retrieved 2014-08-21.
↑ Lavinia Corina Ciungu (2013). गैर-विनिमेय बहु-मूल्यवान तर्क बीजगणित. Springer. pp. vii–viii. ISBN 978-3-319-01589-7.
↑ Iorgulescu, A.: Connections between MV_n-algebras and n-valued Łukasiewicz–Moisil algebras—I. Discrete Math. 181, 155–177 (1998) doi:10.1016/S0012-365X(97)00052-6
↑ R. Cignoli, Proper n-Valued Łukasiewicz Algebras as S-Algebras of Łukasiewicz n-Valued Propositional Calculi, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, doi:10.1007/BF00373490
↑ "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2014-08-10. Retrieved 2014-08-21.

Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476–490.
------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74–80.
Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I. M. L., Mundici, D. (2000) Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of एमवी-algebras," Journal of Algebra 221: 463–474 doi:10.1006/jabr.1999.7900.
Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.
Mundici, D.: Interpretation of AF C*-algebras in लुकासिविक्ज़ sentential calculus. J. Funct. Anal. 65, 15–63 (1986) doi:10.1016/0022-1236(86)90015-7

अग्रिम पठन

Daniele Mundici, एमवी-ALGEBRAS. A short tutorial
D. Mundici (2011). Advanced Łukasiewicz calculus and MV-algebras. Springer. ISBN 978-94-007-0839-6.
Mundici, D. The C*-Algebras of Three-Valued Logic. Logic Colloquium ’88, Proceedings of the Colloquium held in Padova 61–77 (1989). doi:10.1016/s0049-237x(08)70262-3
Cabrer, L. M. & Mundici, D. A Stone-Weierstrass theorem for एमवी-algebras and unital ℓ-groups. Journal of Logic and Computation (2014). doi:10.1093/logcom/exu023
Olivia Caramello, Anna Carla Russo (2014) The Morita-equivalence between एमवी-algebras and abelian ℓ-groups with strong unit

बाहरी संबंध

Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Many-valued logic"—by Siegfried Gottwald.

[1] Foulis, D. J. (2000-10-01). "एमवी और हेटिंग प्रभाव बीजगणित". Foundations of Physics (in English). 30 (10): 1687–1706. doi:10.1023/A:1026454318245. ISSN 1572-9516. S2CID 116763476.

[2] "उद्धृत जे. एम. फॉन्ट, ए. जे" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2014-08-10. Retrieved 2014-08-21.

[Ciungu2013-3] Lavinia Corina Ciungu (2013). गैर-विनिमेय बहु-मूल्यवान तर्क बीजगणित. Springer. pp. vii–viii. ISBN 978-3-319-01589-7.

[4] Iorgulescu, A.: Connections between MV_n-algebras and n-valued Łukasiewicz–Moisil algebras—I. Discrete Math. 181, 155–177 (1998) doi:10.1016/S0012-365X(97)00052-6

[5] R. Cignoli, Proper n-Valued Łukasiewicz Algebras as S-Algebras of Łukasiewicz n-Valued Propositional Calculi, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, doi:10.1007/BF00373490

[6] "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2014-08-10. Retrieved 2014-08-21.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-अमूर्त बीजगणित में, शुद्ध गणित की एक शाखा, एक एमवी-बीजगणित एक [[बीजगणितीय संरचना]] है जिसमें [[बाइनरी ऑपरेशन]] होता है <math>\oplus</math>, एक [[ एकात्मक ऑपरेशन ]] <math>\neg</math>, और स्थिरांक <math>0</math>, कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना। एमवी-अल्जेब्रा लुकासिविज़ लॉजिक के [[बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क)]] हैं; अक्षर MV अनेक-मूल्यवान लॉजिक|Jan Łukasiewicz|Łukasiewicz के बहु-मूल्यवान लॉजिक को संदर्भित करता है। एमवी-अलजेब्रा, बाउंडेड BCK_एलजेब्रा#BCK_एलजेब्रा BCK अलजेब्रा के वर्ग से मेल खाता है।
+अमूर्त बीजगणित में, शुद्ध गणित की एक शाखा, '''एमवी-बीजगणित''' एक [[बीजगणितीय संरचना]] है जिसमें [[बाइनरी ऑपरेशन|बाइनरी संक्रिया]] <math>\oplus</math>,[[ एकात्मक ऑपरेशन | एकल संक्रिया]] <math>\neg</math>, और नियतांक <math>0</math> होते है, जो कुछ अभिगृहीत को संतुष्ट करता है। एमवी-बीजगणितीय लुकासिविज़ तर्क के [[बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क)]] हैं; अक्षर एमवी-बीजगणितीय लुकासिविज़ के बहु-मान तर्क का उल्लेख करते हैं। एमवी-बीजगणितीय परिबद्ध क्रमविनिमेय बीसीके बीजगणित के वर्ग के साथ समतुल्य होता है।
 == परिभाषाएँ ==
-एक एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है <math>\langle A, \oplus, \lnot, 0\rangle,</math> को मिलाकर
+एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें <math>\langle A, \oplus, \lnot, 0\rangle</math> सम्मिलित है
-* एक [[खाली सेट]] | गैर-खाली [[सेट (गणित)]] <math>A,</math>
+* अरिक्त समुच्चय [[सेट (गणित)|(गणित)]] <math>A,</math>
-* एक बाइनरी ऑपरेशन <math>\oplus</math> पर <math>A,</math>
+* बाइनरी संक्रिया <math>\oplus</math> पर <math>A,</math>
-* एक यूनरी ऑपरेशन <math>\lnot</math> पर <math>A,</math> और
+* एकल संक्रिया <math>\lnot</math> पर <math>A,</math> और
-* निरंतर <math>0</math> के एक निश्चित [[तत्व (गणित)]] को नकारना <math>A,</math>
+* नियतांक <math>0</math> जो <math>A</math> एक निश्चित [[तत्व (गणित)|अवयव (गणित)]] को दर्शाता है,
-जो निम्नलिखित [[पहचान (गणित)]] को संतुष्ट करता है:
+जो निम्नलिखित [[पहचान (गणित)|सर्वसमिकाओं (गणित)]] को संतुष्ट करता है:
 * <math> (x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z),</math>
 * <math> x \oplus 0 = x,</math>
@@ Line 14: / Line 14: @@
 * <math> x \oplus \lnot 0 = \lnot 0,</math> और
 * <math> \lnot ( \lnot x \oplus y)\oplus y = \lnot ( \lnot y \oplus x) \oplus x.</math>
-पहले तीन स्वयंसिद्धों के आधार पर, <math>\langle A, \oplus, 0 \rangle</math> क्रमविनिमेय [[मोनोइड]] है। सर्वसमिकाओं द्वारा परिभाषित होने के कारण, एमवी-अलजेब्रा बीजगणित की एक किस्म (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं। एमवी-अलजेब्रा की विविधता [[बीएल (तर्क)]] -एलजेब्रा की विविधता की एक उप-किस्म है और इसमें सभी [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] शामिल हैं।
+पहले तीन अभिगृहीत के आधार पर, <math>\langle A, \oplus, 0 \rangle</math> क्रमविनिमेय [[मोनोइड]] है। सर्वसमिकाओं द्वारा परिभाषित होने के कारण, एमवी- बीजगणित विभिन्न प्रकार के (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं। एमवी-बीजगणित की विविधता [[बीएल (तर्क)]] -बीजगणित की विविधता की एक उप-प्रजाति है और इसमें सभी [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] सम्मिलित होते हैं।
-एक एमवी-बीजगणित को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है (पेट्र हेजेक|हाजेक 1998) एक प्रीलीनियर कम्यूटेटिव बाउंड इंटीग्रल [[ अवशिष्ट जाली ]] के रूप में <math>\langle L, \wedge, \vee, \otimes, \rightarrow, 0, 1 \rangle </math> अतिरिक्त पहचान को संतुष्ट करना <math>x \vee y = (x \rightarrow y) \rightarrow y.</math>
+एक एमवी-बीजगणित को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है (पेट्र हेजेक 1998) एक पूर्वरेखीय क्रमविनिमेय सीमित समाकल [[ अवशिष्ट जाली |अवशेष लेटिस]] के रूप में <math>\langle L, \wedge, \vee, \otimes, \rightarrow, 0, 1 \rangle </math> अतिरिक्त सर्वसमिकाओं <math>x \vee y = (x \rightarrow y) \rightarrow y</math> को संतुष्ट करता है।
+==  एमवी-बीजगणित के उदाहरण ==
+एक साधारण संख्यात्मक उदाहरण <math>A=[0,1]</math> है, जिसमे संक्रिया <math>x \oplus y = \min(x + y, 1)</math> और <math>\lnot x = 1 - x</math> के साथ सम्मिलित है। गणितीय [[फजी लॉजिक|फजी तर्क]] में, इस एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित कहा जाता है, क्योंकि यह लुकासिविक्ज़ तर्क के मानक वास्तविक मान शब्दार्थ का निर्माण करता है।
-== एमवी-बीजगणित == के उदाहरण
+सामान्य एमवी-बीजगणित में केवल अवयव 0 है और संक्रिया को एकमात्र संभव <math>0\oplus0=0</math> और <math>\lnot0=0</math> तरीके से परिभाषित किया गया है।
-एक साधारण संख्यात्मक उदाहरण है <math>A=[0,1],</math> संचालन के साथ <math>x \oplus y = \min(x + y, 1)</math> और <math>\lnot x = 1 - x.</math> गणितीय [[फजी लॉजिक]] में, इस MV-बीजगणित को मानक MV-बीजगणित कहा जाता है, क्योंकि यह Łukasiewicz तर्क के मानक वास्तविक-मूल्यवान शब्दार्थ बनाता है।
-तुच्छ एमवी-बीजगणित में केवल तत्व 0 है और संचालन को एकमात्र संभव तरीके से परिभाषित किया गया है, <math>0\oplus0=0</math> और <math>\lnot0=0.</math>
+दो-अवयव एमवी-बीजगणित वास्तव में [[दो-तत्व बूलियन बीजगणित|दो-अवयव बूलियन बीजगणित]] <math>\{0,1\}</math> है, जिसमे <math>\oplus</math> बूलियन संयोजन के साथ समतुल्य है और <math>\lnot</math> बूलियन निषेध के साथ नहीं है। वास्तव में अभिगृहीत जोड़ना <math>x \oplus x = x</math> एमवी-बीजगणित को परिभाषित करने वाले अभिगृहीतों के परिणामस्वरूप बूलियन बीजगणित का अभिगृहीतीकरण होता है।
-दो-तत्व एमवी-बीजगणित वास्तव में [[दो-तत्व बूलियन बीजगणित]] है <math>\{0,1\},</math> साथ <math>\oplus</math> बूलियन संयोजन के साथ मेल खाता है और <math>\lnot</math> बूलियन निषेध के साथ। वास्तव में स्वयंसिद्ध जोड़ना <math>x \oplus x = x</math> एमवी-बीजगणित को परिभाषित करने वाले अभिगृहीतों के परिणामस्वरूप बूलियन बीजगणित का स्वयंसिद्धीकरण होता है।
-यदि इसके बजाय स्वयंसिद्ध जोड़ा गया है <math>x \oplus x \oplus x = x \oplus x</math>, तब स्वयंसिद्ध MV को परिभाषित करते हैं<sub>3</sub> बीजगणित तीन-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क Ł के संगत है<sub>3</sub>{{Citation needed|reason=Axiomatizations of Ln need Grigolia's axioms|date=February 2013}}. अन्य परिमित रैखिक रूप से आदेशित एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित के ब्रह्मांड और संचालन को सेट करने के लिए प्रतिबंधित करके प्राप्त किया जाता है <math>n</math> 0 और 1 (दोनों शामिल) के बीच समदूरस्थ वास्तविक संख्याएँ, अर्थात् समुच्चय <math>\{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots,1\},</math> जो संचालन के तहत बंद है <math>\oplus</math> और <math>\lnot</math> मानक एमवी-बीजगणित; इन बीजगणितों को आमतौर पर एमवी के रूप में दर्शाया जाता है<sub>''n''</sub>.
+यदि इसके अतिरिक्त <math>x \oplus x \oplus x = x \oplus x</math> अभिगृहीत जोड़ा गया है, तब अभिगृहीत MV<sub>3</sub> को परिभाषित करते हैं बीजगणित तीन-मान लुकासिविक्ज़ तर्क Ł<sub>3</sub> के संगत है।{{Citation needed|reason=Axiomatizations of Ln need Grigolia's axioms|date=February 2013}} अन्य परिमित रैखिक रूप से क्रमित एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित के समष्टि और संक्रिया को समुच्चय <math>n</math> 0 और 1 (दोनों सम्मिलित) के बीच समदूरस्थ वास्तविक संख्याएँ करने के लिए प्रतिबंधित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात् समुच्चय <math>\{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots,1\},</math> जो संक्रिया <math>\oplus</math> और <math>\lnot</math> मानक एमवी-बीजगणित के अंतर्गत संवृत है; इन बीजगणितों को सामान्य रूप से MV<sub>''n''</sub> के रूप में दर्शाया जाता है
-एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण सी.सी. चांग का एमवी-बीजगणित है, जिसमें केवल [[बहुत छोता]] ([[आदेश प्रकार]] ω के साथ) और उनके सह-इन्फिनिटिमल्स शामिल हैं।
+एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण सी.सी. चांग का एमवी-बीजगणित है, जिसमें केवल अनंत-सूक्ष्म ([[आदेश प्रकार]] ω के साथ) और उनके सह-अनंत-सूक्ष्म सम्मिलित हैं।
-चांग ने एक धनात्मक तत्व u को फिक्स करके और खंड [0, u] को { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u }, जो x ⊕ y = min(u, x + y) और ¬x = u − x के साथ एक MV-बीजगणित बन जाता है। इसके अलावा, चांग ने दिखाया कि इस तरह से एक समूह से निर्मित एमवी-बीजगणित के लिए प्रत्येक रैखिक रूप से आदेश दिया गया एमवी-बीजगणित आइसोमोर्फिक है।
+चांग ने एक धनात्मक अवयव u को निर्धारित करके और भाग [0, u] को { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } जो x ⊕ y = min(u, x + y) और ¬x = u − x के साथ एक एमवी-बीजगणित बन जाता है। इसके अतिरिक्त, चांग ने दिखाया कि इस तरह से एक समूह से निर्मित एमवी-बीजगणित के लिए प्रत्येक रैखिक रूप से आदेश दिया गया एमवी-बीजगणित समरूप होते है।
-डेनियल मुंडिसी ने उपरोक्त निर्माण को एबेलियन [[जाली-आदेशित समूह]]ों तक बढ़ाया। यदि G मजबूत (क्रम) इकाई u वाला एक ऐसा समूह है, तो इकाई अंतराल {x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u} को ¬x = u - x, x ⊕ y = u ∧ से सुसज्जित किया जा सकता है<sub>G</sub> (x + y), और x ⊗ y = 0 ∨<sub>G</sub> (एक्स + वाई - यू)। यह निर्माण मजबूत इकाई और एमवी-बीजगणित के साथ जाली-आदेशित एबेलियन समूहों के बीच एक स्पष्ट समानता स्थापित करता है।
+डेनियल मुंडिसी ने उपरोक्त निर्माण को एबेलियन [[जाली-आदेशित समूह|लेटिस-क्रमित समूह]] तक बढ़ाया। यदि G प्रबल (क्रम) इकाई u वाला एक ऐसा समूह है, तो इकाई अंतराल {x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u} को ¬''x'' = ''u'' − ''x'', ''x'' ⊕ ''y'' = ''u'' ∧<sub>G</sub> (x + y) और ''x'' ⊗ ''y'' = 0 ∨<sub>G</sub> (''x'' + ''y'' − ''u'') से सुसज्जित किया जा सकता है। यह निर्माण प्रबल इकाई और एमवी-बीजगणित के साथ लेटिस-क्रमित एबेलियन समूहों के बीच एक स्पष्ट समानता स्थापित करता है।
+एक [[प्रभाव बीजगणित]] जो लेटिस-क्रमित है और [[लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित]] एक एमवी-बीजगणित है। इसके विपरीत, कोई भी एमवी-बीजगणित एक लेटिस-क्रमित प्रभाव बीजगणित है जिसमें रीज़ अपघटन गुण होता है।<ref>{{Cite journal|last=Foulis|first=D. J.|date=2000-10-01|title=एमवी और हेटिंग प्रभाव बीजगणित|journal=Foundations of Physics|language=en|volume=30|issue=10|pages=1687–1706|doi=10.1023/A:1026454318245|s2cid=116763476|issn=1572-9516}}</ref>
-एक [[प्रभाव बीजगणित]] जो जाली-आदेशित है और [[लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित]] एक MV-बीजगणित है। इसके विपरीत, कोई भी एमवी-बीजगणित एक जाली-आदेशित प्रभाव बीजगणित है जिसमें रीज़ अपघटन गुण होता है।<ref>{{Cite journal|last=Foulis|first=D. J.|date=2000-10-01|title=एमवी और हेटिंग प्रभाव बीजगणित|journal=Foundations of Physics|language=en|volume=30|issue=10|pages=1687–1706|doi=10.1023/A:1026454318245|s2cid=116763476|issn=1572-9516}}</ref>
 ==लुकासिविक्ज़ तर्क से संबंध==
-सी.सी. चांग ने 1920 में जैन लुकासिविक्ज़ द्वारा पेश किए गए कई-मूल्यवान लॉजिक्स का अध्ययन करने के लिए एमवी-एलजेब्रा तैयार किया। विशेष रूप से, एमवी-एलजेब्रा लुकासिविक्ज़ लॉजिक के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) का निर्माण करते हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।
+सी.सी. चांग ने 1920 में जैन लुकासिविक्ज़ द्वारा प्रस्तुत किए गए कई-मान तर्क्स का अध्ययन करने के लिए एमवी-बीजगणित तैयार किया। विशेष रूप से, एमवी-बीजगणित लुकासिविक्ज़ तर्क के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) का निर्माण करते हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।
+एमवी-बीजगणित A दिया गया है, A-[[मूल्यांकन (तर्क)]] प्रस्तावपरक सूत्रों (भाषा में <math>\oplus,\lnot,</math> और 0) A के बीजगणित से एक [[समरूपता]] है। सूत्र 1 के लिए मानचित्रण किए गए (अर्थात, <math>\lnot</math>0) सभी A-मानो के लिए A-[[टॉटोलॉजी (तर्क)|पुनरुक्ति (तर्क)]] कहा जाता है। यदि [0,1] से अधिक मानक एमवी-बीजगणित नियोजित है, तो सभी [0,1]-पुनरुक्ति का समुच्चय तथाकथित अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क को निर्धारित करता है।
+चांग (1958, 1959) पूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी एमवी-बीजगणित समीकरण मानक एमवी-बीजगणित में अंतराल [0,1] पर धारण करना प्रत्येक एमवी-बीजगणित में होगा। बीजगणितीय रूप से, इसका तात्पर्य है कि मानक एमवी-बीजगणित सभी एमवी-बीजगणित की विविधता उत्पन्न करता है। समान रूप से, चांग की पूर्णता प्रमेय कहती है कि एमवी-बीजगणितीय अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क की विशेषता है, जिसे [0,1]-पुनरुक्ति के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है।
-एक एमवी-बीजगणित ए दिया गया है, एक ए-[[मूल्यांकन (तर्क)]] प्रस्तावपरक सूत्रों के बीजगणित से एक [[समरूपता]] है (भाषा में <math>\oplus,\lnot,</math> और 0) ए में। सूत्र 1 के लिए मैप किए गए (यानी, टू <math>\lnot</math>0) सभी ए-मूल्यों के लिए ए-[[टॉटोलॉजी (तर्क)]] कहा जाता है। यदि [0,1] से अधिक मानक एमवी-बीजगणित कार्यरत है, तो सभी [0,1]-टॉटोलॉजी का सेट तथाकथित अनंत-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क को निर्धारित करता है।
+जिस तरह से [0,1] एमवी-बीजगणित सभी संभव एमवी-बीजगणित की विशेषता बताता है, वह इस प्रसिद्ध तथ्य के समानांतर है कि दो-अवयव [[बूलियन बीजगणित]] में सम्मिलित सर्वसमिकाओं सभी संभव बूलियन बीजगणित में होती है। इसके अतिरिक्त, एमवी-बीजगणितीय अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क को इस तरह से चित्रित करते हैं जैसे कि बूलियन बीजगणितीय उत्कृष्ट दो-अवयव (लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित देखें) बूलियन बीजगणित की विशेषता रखते हैं।
-चांग (1958, 1959) पूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी एमवी-बीजगणित समीकरण मानक एमवी-बीजगणित में अंतराल [0,1] पर धारण करना प्रत्येक एमवी-बीजगणित में होगा। बीजगणितीय रूप से, इसका मतलब है कि मानक एमवी-बीजगणित सभी एमवी-बीजगणित की विविधता उत्पन्न करता है। समान रूप से, चांग की पूर्णता प्रमेय कहती है कि एमवी-अल्जेब्रा अनंत-मूल्यवान लुकासिविक्ज़ तर्क की विशेषता है, जिसे [0,1]-टॉटोलॉजी के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है।
+में, फॉन्ट, रोड्रिग्ज और टॉरेंस ने वाज्सबर्ग बीजगणित को अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए एक वैकल्पिक मॉडल के रूप में प्रस्तुत किया। वाज्सबर्ग बीजगणित और एमवी-बीजगणित पद-समतुल्य हैं।<Ref>{{Cite web |url=http://journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf |title=उद्धृत जे. एम. फॉन्ट, ए. जे.|access-date=2014-08-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140810173454/http://www.journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf |archive-date=2014-08-10 |url-status=dead }}</ref>
-जिस तरह से [0,1] एमवी-बीजगणित सभी संभव एमवी-बीजगणित की विशेषता बताता है, वह इस प्रसिद्ध तथ्य के समानांतर है कि दो-तत्व [[बूलियन बीजगणित]] में मौजूद पहचान सभी संभव बूलियन बीजगणित में होती है। इसके अलावा, MV-अल्जेब्रा अनंत-मूल्यवान Łukasiewicz लॉजिक को इस तरह से चित्रित करते हैं जैसे कि बूलियन अल्जेब्रा शास्त्रीय दो-तत्व बूलियन बीजगणित की विशेषता रखते हैं (लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित देखें)।
+=== MV<sub>''n''</sub>-बीजगणित ===
+के दशक में ग्रिगोर मोसिल ने अपने लुकासिविक्ज़-मोइसिल बीजगणित (LM<sub>''n''</sub>-बीजगणित) को इस उपेक्षा में प्रस्तुत किया कि वे (अंततः) n-मान लुकासिविज़ तर्क के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ दे सकें। हालांकि, 1956 में एलन रोज़ ने पाया कि n ≥ 5 के लिए, लुकासिविक्ज़-मोइसिल बीजगणित लुकासिविक्ज़ n-मान तर्क को प्रतिरूपित नहीं करता है। हालांकि सीसी चांग ने 1958 में अपना MV-बीजगणित प्रकाशित किया, यह केवल ℵ<sub>0</sub>-मान (अनंत-अनेक-मान) लुकासिविक्ज़-टार्स्की तर्क के लिए एक विश्वसनीय मॉडल है। स्वयंसिद्ध रूप से अधिक जटिल (अंतिम रूप से) n-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए, उपयुक्त बीजगणित 1977 में रेवाज़ ग्रिगोलिया द्वारा प्रकाशित किए गए थे और MV<sub>''n''</sub>-बीजगणित कहलाते थे।<ref name="Ciungu2013">{{cite book|author=Lavinia Corina Ciungu|title=गैर-विनिमेय बहु-मूल्यवान तर्क बीजगणित|year=2013|publisher=Springer|isbn=978-3-319-01589-7|pages=vii–viii}}</ref> MV<sub>''n''</sub>-बीजगणित, LM<sub>''n''</sub>-बीजगणित का एक उपवर्ग है; समावेशन n ≥ 5 के लिए प्रबल होता है।<ref>Iorgulescu, A.: Connections between MV<sub>''n''</sub>-algebras and ''n''-valued Łukasiewicz–Moisil algebras—I. Discrete Math. 181, 155–177 (1998) {{doi|10.1016/S0012-365X(97)00052-6}}</ref>
-में, फॉन्ट, रोड्रिग्ज और टॉरेंस ने वाज्सबर्ग बीजगणित को अनंत-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क के लिए एक वैकल्पिक मॉडल के रूप में पेश किया। वाज्सबर्ग बीजगणित और एमवी-बीजगणित शब्द-समतुल्य हैं।<Ref>{{Cite web |url=http://journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf |title=उद्धृत जे. एम. फॉन्ट, ए. जे.|access-date=2014-08-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140810173454/http://www.journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf |archive-date=2014-08-10 |url-status=dead }}</ref>
+MV<sub>''n''</sub>-बीजगणित MV-बीजगणित होते हैं जो कुछ अतिरिक्त सूक्तियों को संतुष्ट करते हैं, परिशुद्ध रूप से उसी तरह जैसे n-मान लुकासिविक्ज़ तर्कों में ℵ<sub>0</sub>-मान तर्क में अतिरिक्त अभिगृहीत जोड़ दिए जाते हैं।
-=== एमवी<sub>''n''</sub>-अलजेब्रा ===
+में रॉबर्टो सिग्नोली ने कुछ अतिरिक्त बाधाओं को प्रकाशित किया जो LM<sub>''n''</sub>-बीजगणित में जुड़कर n-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए उपयुक्त मॉडल उत्पन्न करते हैं।<ref>R. Cignoli, Proper n-Valued Łukasiewicz Algebras as S-Algebras of Łukasiewicz ''n''-Valued Propositional Calculi, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, {{doi|10.1007/BF00373490}}</ref> LM<sub>''n''</sub>-बीजगणित, जो MV<sub>''n''</sub>-बीजगणित भी हैं, परिशुद्ध रूप से सिग्नोली के उपयुक्त n-मूल्य वाले लुकासिविक्ज़ बीजगणित हैं।<ref>{{Cite web |url=http://journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2014-08-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140810173454/http://www.journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf |archive-date=2014-08-10 |url-status=dead }}</ref>
-{{expand section|the extra axioms|date=August 2014}}
-के दशक में [[ ग्रिगोर मोसिल ]] ने अपना Łukasiewicz–Moisil बीजगणित (LM) पेश किया<sub>''n''</sub>-algebras) n-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) देने की आशा में। हालांकि, 1956 में एलन रोज़ ने पाया कि n ≥ 5 के लिए, Łukasiewicz-Moisil बीजगणित Łukasiewicz n-मूल्यवान लॉजिक को [[मॉडल (गणितीय तर्क)]] नहीं करता है। हालांकि सीसी चांग ने अपना एमवी-बीजगणित 1958 में प्रकाशित किया, यह केवल ℵ के लिए एक विश्वसनीय मॉडल है<sub>0</sub>-वैल्यूड (इनफिनिटली-मैनी-वैल्यूड) लुकासिविक्ज़-टार्स्की लॉजिक। स्वयंसिद्ध रूप से अधिक जटिल (अंतिम रूप से) एन-मूल्यवान लुकासिविक्ज़ लॉजिक्स के लिए, उपयुक्त बीजगणित 1977 में [[रेवाज़ ग्रिगोलिया]] द्वारा प्रकाशित किए गए थे और एमवी कहलाते थे।<sub>''n''</sub>-बीजगणित।<ref name="Ciungu2013">{{cite book|author=Lavinia Corina Ciungu|title=गैर-विनिमेय बहु-मूल्यवान तर्क बीजगणित|year=2013|publisher=Springer|isbn=978-3-319-01589-7|pages=vii–viii}}</ref> एमवी<sub>''n''</sub>-अलजेब्रा LM का एक उपवर्ग है<sub>''n''</sub>-अलजेब्रा; समावेशन n ≥ 5 के लिए सख्त है।<ref>Iorgulescu, A.: Connections between MV<sub>''n''</sub>-algebras and ''n''-valued Łukasiewicz–Moisil algebras—I. Discrete Math. 181, 155–177 (1998) {{doi|10.1016/S0012-365X(97)00052-6}}</ref>
-एमवी<sub>''n''</sub>-एलजेब्रा एमवी-एलजेब्रा होते हैं जो कुछ अतिरिक्त सूक्तियों को संतुष्ट करते हैं, ठीक उसी तरह जैसे कि n-मान वाले Łukasiewicz लॉजिक्स में अतिरिक्त अभिगृहीतों को ℵ में जोड़ा जाता है<sub>0</sub>-मूल्यवान तर्क।
-में [[रॉबर्टो सिग्नोली]] ने एलएम में जोड़े गए कुछ अतिरिक्त अवरोधों को प्रकाशित किया<sub>''n''</sub>-एलजेब्रा एन-मूल्यवान Łukasiewicz तर्क के लिए उचित मॉडल प्रदान करते हैं; सिग्नोली ने अपनी खोज को उचित n-मूल्यवान Łukasiewicz algebras कहा।<ref>R. Cignoli, Proper n-Valued Łukasiewicz Algebras as S-Algebras of Łukasiewicz ''n''-Valued Propositional Calculi, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, {{doi|10.1007/BF00373490}}</ref> एलएम<sub>''n''</sub>-अलजेब्रा जो एमवी भी हैं<sub>''n''</sub>-अलजेब्रा सटीक रूप से सिग्नोली के उचित एन-वैल्यू लुकासिविक्ज़ एल्जेब्रा हैं।<ref>{{Cite web |url=http://journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2014-08-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140810173454/http://www.journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf |archive-date=2014-08-10 |url-status=dead }}</ref>
 == कार्यात्मक विश्लेषण से संबंध ==
-{{expand section|date=November 2012}}
+एमवी-बीजगणित [[डेनियल मुंडिसी]] द्वारा लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित से संबंधित थे, जो लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित के सभी समरूप वर्गों के बीच लेटिस-क्रमित आयाम समूह और गणनीय एमवी बीजगणित के सभी समरूप वर्गों के बीच एक विशेषण पत्राचार स्थापित करके संबंधित थे। इस पत्राचार के कुछ उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
-एमवी-अल्जेब्रस [[डेनियल मुंडिसी]] द्वारा लगभग परिमित-आयामी C*-एलजेब्रा से संबंधित थे, जो लगभग परिमित-आयामी C*-अलजेब्रा के सभी आइसोमोर्फिज़्म वर्गों के बीच जाली-आदेशित आयाम समूह और गणनीय एमवी बीजगणित के सभी आइसोमोर्फिज़्म वर्गों के बीच एक विशेषण पत्राचार स्थापित करके संबंधित थे। इस पत्राचार के कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:
 {| class="wikitable"
 |-
-! Countable MV algebra !! approximately finite-dimensional C*-algebra
+! गणनीय एमवी बीजगणित !! लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित
 |-
 | {0, 1} || ℂ
 |-
-| {0, 1/''n'', ..., 1 } || M<sub>''n''</sub>(ℂ), i.e. ''n''×''n'' complex matrices
+| {0, 1/''n'', ..., 1 } || M<sub>''n''</sub>(ℂ), अर्थात ''n''×''n'' सम्मिश्र आव्यूह
 |-
-| finite || finite-dimensional
+| अनंत || अनंत-आयाम
 |-
-| boolean || commutative
+| बूलियन || क्रमविनिमेय
 |}
 == सॉफ्टवेयर में ==
-{{further|Multi-adjoint logic programming}}
+{{further|बहु-आसन्न तर्क प्रोग्रामिंग}}
-फ़ज़ी लॉजिक (प्रकार II) को लागू करने वाले कई ढाँचे हैं, और उनमें से अधिकांश को बहु-संलग्न तर्क कहा जाता है। यह एमवी-बीजगणित के कार्यान्वयन से ज्यादा कुछ नहीं है।
+फ़ज़ी तर्क (प्रकार II) को प्रयुक्त करने वाले कई रूपरेखाएं होती हैं, और उनमें से अधिकांश को बहु-संलग्न तर्क कहा जाता है। यह एमवी-बीजगणित के कार्यान्वयन से अधिकतम कुछ नहीं है।
 ==संदर्भ==
@@ Line 82: / Line 84: @@
 *------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," ''Transactions of the American Mathematical Society'' '''88''': 74–80.
 * Cignoli, R. L. O., [[Itala D'Ottaviano|D'Ottaviano, I. M. L.]], Mundici, D. (2000) ''Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning''. Kluwer.
-* Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of MV-algebras," ''Journal of Algebra'' '''221''': 463–474 {{doi|  10.1006/jabr.1999.7900}}.
+* Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of एमवी-algebras," ''Journal of Algebra'' '''221''': 463–474 {{doi|  10.1006/jabr.1999.7900}}.
 * Hájek, Petr (1998) ''Metamathematics of Fuzzy Logic''. Kluwer.
-* Mundici, D.: Interpretation of AF C*-algebras in Łukasiewicz sentential calculus. J. Funct. Anal. 65, 15–63 (1986) {{doi|10.1016/0022-1236(86)90015-7}}
+* Mundici, D.: Interpretation of AF C*-algebras in लुकासिविक्ज़ sentential calculus. J. Funct. Anal. 65, 15–63 (1986) {{doi|10.1016/0022-1236(86)90015-7}}
 ==अग्रिम पठन ==
-* Daniele Mundici, [http://www.matematica.uns.edu.ar/IXCongresoMonteiro/Comunicaciones/Mundici_tutorial.pdf MV-ALGEBRAS. A short tutorial]
+* Daniele Mundici, [http://www.matematica.uns.edu.ar/IXCongresoMonteiro/Comunicaciones/Mundici_tutorial.pdf एमवी-ALGEBRAS. A short tutorial]
 * {{cite book|author=D. Mundici|title=Advanced Łukasiewicz calculus and MV-algebras|year=2011|publisher=Springer|isbn=978-94-007-0839-6}}
-* Mundici, D. The C*-Algebras of Three-Valued Logic. Logic Colloquium  ’88, Proceedings of the Colloquium held in Padova 61–77 (1989). {{doi|10.1016/s0049-237x(08)70262-3}}
+* Mundici, D. The C*-Algebras of Three-Valued Logic. Logic Colloquium ’88, Proceedings of the Colloquium held in Padova 61–77 (1989). {{doi|10.1016/s0049-237x(08)70262-3}}
-* Cabrer, L. M. & Mundici, D. A Stone-Weierstrass theorem for MV-algebras and unital ℓ-groups. Journal of Logic and Computation (2014). {{doi|10.1093/logcom/exu023}}
+* Cabrer, L. M. & Mundici, D. A Stone-Weierstrass theorem for एमवी-algebras and unital ℓ-groups. Journal of Logic and Computation (2014). {{doi|10.1093/logcom/exu023}}
-* [[Olivia Caramello]], Anna Carla Russo (2014) [https://arxiv.org/abs/1312.1272 The Morita-equivalence between MV-algebras and abelian ℓ-groups with strong unit]
+* [[Olivia Caramello]], Anna Carla Russo (2014) [https://arxiv.org/abs/1312.1272 The Morita-equivalence between एमवी-algebras and abelian ℓ-groups with strong unit]

Anonymous

Search

एमवी-बीजगणित: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 13:53, 30 May 2023

Contents

परिभाषाएँ

एमवी-बीजगणित के उदाहरण

लुकासिविक्ज़ तर्क से संबंध

MV_n-बीजगणित

कार्यात्मक विश्लेषण से संबंध

सॉफ्टवेयर में

संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

एमवी-बीजगणित: Difference between revisions

Revision as of 13:53, 30 May 2023

परिभाषाएँ

एमवी-बीजगणित के उदाहरण

लुकासिविक्ज़ तर्क से संबंध

MVn-बीजगणित

कार्यात्मक विश्लेषण से संबंध

सॉफ्टवेयर में

संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories

MV_n-बीजगणित