बीएल (तर्क)

गणितीय तर्क में आधारिक फ़ज़ी तर्क या बीएल तर्क, सतत टी-नॉर्म तर्क, टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क में से एक है। यह अवसंरचनात्मक तर्क के व्यापक वर्ग से संबंधित होता है जो अवशिष्ट नियम के तर्क से संबंधित सभी बाएं-निरंतर टी-नॉर्म तर्क एमटीएल का विस्तार करता है।

विश्लेषण

भाषा

प्रस्‍ताव से संबंधित बीएल तर्क की भाषा में कई प्रस्तावात्मक चर और निम्नलिखित मूल तार्किक संयोजक सम्मिलित हैं:

• निहितार्थ $\rightarrow$ (बाइनरी)
• प्रबल संयुग्मन $\otimes$ (बाइनरी)- चिन्ह और फ़ज़ी तर्क पर साहित्य में प्रबल संयोजन के लिए एक अधिक पारंपरिक संकेतन है, जबकि संकेतन $\otimes$ कभी-कभी अवसंरचनात्मक तर्क की परंपरा का अनुसरण करता है।
• निम्नतम $\bot$ (निष्प्रभावी तार्किक स्थिरांक)- $0$ या ${\overline {0}}$ सामान्य वैकल्पिक संकेत हैं और शून्य प्रस्तावक स्थिरांक के लिए एक सामान्य वैकल्पिक नाम है। जैसा कि एमटीएल में अवसंरचनात्मक तर्क के स्थिरांक नीचे और शून्य के अनुरूप हैं।

निम्नलिखित सबसे सामान्य परिभाषित तार्किक संयोजक हैं:

• दुर्बल संयोजन $\wedge$ (बाइनरी)- जिसे अवशिष्ट संयोजन भी कहा जाता है। जैसे कि बीजगणितीय शब्दार्थ से प्राप्त अवशिष्ट संक्रियक द्वारा सदैव संपादित किया जाता है। एमटीएल और दुर्बल अवसंरचनात्मक तर्कों के विपरीत, दुर्बल संयोजन बीएल में निश्चित है:

$A\wedge B\equiv A\otimes (A\rightarrow B)$

• प्रतिवाद $\neg$ (एकात्मक संक्रियक) के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\neg A\equiv A\rightarrow \bot$

• समानता $\leftrightarrow$ (बाइनरी) के रूप में परिभाषित किया गया है:

$A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)$

एमटीएल की तरह, परिभाषा $(A\rightarrow B)\otimes (B\rightarrow A)$ के बराबर है।

• संयोजन $\vee$ (बाइनरी), जिसे अवशिष्ट संयोजन भी कहा जाता है। जैसे कि बीजगणितीय शब्दार्थ से प्राप्त अवशिष्ट संक्रियक द्वारा सदैव संपादित किया जाता है। जिसको निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

$A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)$

• शीर्ष $\top$ (शून्य), जिसे 1 भी कहा जाता है और इसके द्वारा $1$ या ${\overline {1}}$ को निरूपित किया जाता है। एमटीएल में अवसंरचनात्मक तर्क के स्थिरांक शीर्ष और शून्य के रूप में अनुरूप होते हैं। जिसे निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

$\top \equiv \bot \rightarrow \bot$

बीएल तर्क के अपेक्षाकृत रूप से निर्मित सूत्रों को सामान्य रूप से प्रस्‍ताव से संबंधित तर्क में परिभाषित किया गया है। अनुक्रम को बचाने के लिए पदानुक्रम के निम्नलिखित क्रम का उपयोग करना सामान्य है:

• एकल संयोजक (निकटता से संबद्ध)
• निहितार्थ और तुल्यता के अतिरिक्त अन्य बाइनरी संयोजक
• निहितार्थ और तुल्यता (अस्पष्टता से संबद्ध)

स्वयंसिद्धि (अभिगृहीत)

पेट्र हाजेक (1998) द्वारा बीएल के लिए हिल्बर्ट-शैली की निगमन प्रणाली प्रारम्भ किया गया था। इसका एकल व्युत्पत्ति नियम मॉडस पोनेन्स है जहाँ $A$ और $A\rightarrow B$ का व्युत्पन्न $B$ है। इसकी स्वयंसिद्ध योजनाएँ निम्नलिखित हैं:

${\begin{array}{ll}{\rm {(BL1)}}\colon &(A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))\\{\rm {(BL2)}}\colon &A\otimes B\rightarrow A\\{\rm {(BL3)}}\colon &A\otimes B\rightarrow B\otimes A\\{\rm {(BL4)}}\colon &A\otimes (A\rightarrow B)\rightarrow B\otimes (B\rightarrow A)\\{\rm {(BL5a)}}\colon &(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow (A\otimes B\rightarrow C)\\{\rm {(BL5b)}}\colon &(A\otimes B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow (B\rightarrow C))\\{\rm {(BL6)}}\colon &((A\rightarrow B)\rightarrow C)\rightarrow (((B\rightarrow A)\rightarrow C)\rightarrow C)\\{\rm {(BL7)}}\colon &\bot \rightarrow A\end{array}}$

मूल स्वयंसिद्ध प्रणाली के स्वयंसिद्धों बीएल तर्क-2 और बीएल तर्क-3 को च्वालोव्स्की 2012 और सिंटुला 2005 द्वारा निरर्थक दिखाया गया था। अन्य सभी स्वयंसिद्धों को स्वतंत्र च्वालोवस्की, 2012 द्वारा दिखाया गया था।

शब्दार्थ

अन्य प्रस्तावित टी-नॉर्म फ़ज़ी तर्क की तरह, बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) को मुख्य रूप से बीएल के लिए उपयोग किया जाता है। जिसमें बीजगणितीय संरचना के तीन मुख्य वर्ग होते हैं, जिनके संबंध में तर्क पूर्ण होता है:

• सामान्य शब्दार्थ, सभी बीएल तर्क बीजगणित से निर्मित - अर्थात, सभी बीजगणितीय तर्क जिसके लिए तर्क सत्य है।
• रेखीय शब्दार्थ, सभी रेखीय बीएल-बीजगणित से बनते है - अर्थात, सभी बीएल-बीजगणित जिनका अवशिष्ट अनुक्रम रैखिक है।
• मानक शब्दार्थ, सभी मानक बीएल-बीजगणित से बनते हैं - अर्थात, सभी बीएल-बीजगणित जिनकी अवशेष कमी सामान्य क्रम के साथ वास्तविक इकाई अंतराल [0, 1] है, वे विशिष्ट रूप से उस फलन द्वारा निर्धारित किए जाते हैं जो प्रबल संयोजन की व्याख्या करते है, जिसमे कोई भी सतत टी-नॉर्म तर्क हो सकते हैं।

ग्रन्थसूची

• Hájek P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic. Dordrecht: Kluwer.
• Ono, H., 2003, "Substructural logics and residuated lattices — an introduction". In F.V. Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20: 177–212.
• Cintula P., 2005, "Short note: On the redundancy of axiom (A3) in बीएल (तर्क) and MTL". Soft Computing 9: 942.
• Chvalovský K., 2012, "On the Independence of Axioms in बीएल (तर्क) and MTL". Fuzzy Sets and Systems 197: 123–129, doi:10.1016/j.fss.2011.10.018.