ओवररिंग

यह लेख गणितीय अवधारणा के बारे में है। उच्चारण के लिए, रिंग (विशेषक) देखें

गणित में, अविभाज्य कार्यक्षेत्र के ओवररिंग (ऊपरी वलय) में अविभाज्य कार्यक्षेत्र होता है, और अविभाज्य कार्यक्षेत्र के अंशों के क्षेत्र में ऊपरी वलय होता है। ऊपरी वलय विभिन्न प्रकार के वलय और कार्यक्षेत्र (रिंग सिद्धांत) की बेहतर समझ प्रदान करते हैं।

परिभाषा

इस लेख में, सभी वलय (गणित) क्रमविनिमेय वलय हैं, और वलय और ऊपरी वलय समान समरूप तत्व साझा करते हैं।

माना की ${\textstyle Q(A)}$ एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र ${\textstyle A}$ के अंशों के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं, वलय ${\textstyle B}$ अविभाज्य कार्यक्षेत्र${\textstyle A}$ का एक ऊपरी वलय है। यदि ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ का उपसमूह है और ${\textstyle B}$ अंशों के क्षेत्र ${\textstyle Q(A)}$ का एक उपसमूह है ;तब ${\textstyle A}$ और ${\textstyle B}$ का संबंध है ${\textstyle A\subseteq B\subseteq Q(A)}$.

गुण

अंशो का वलय

वलय ${\textstyle R_{A},S_{A},T_{A}}$ गुणक समुच्चय ${\textstyle A}$ द्वारा वलय ${\textstyle R,S,T}$ के अंशों का कुल वलय हैं. मान लीजिए ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ का ऊपरी वलय है और ${\textstyle A}$ ${\textstyle R}$ में एक गुणक समुच्चय है। वलय ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R_{A}}$ का ऊपरी वलय है। यदि प्रत्येक गैर-इकाई तत्व ${\textstyle T_{A}}$का एक शून्य भाजक है तो वलय ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R_{A}}$ के अंशों का कुल वलय है। यदि ${\textstyle R}$ पूर्ण रूप से ${\textstyle T}$ में बंद है तो वलय ${\textstyle R_{A}}$ ${\textstyle T_{A}}$ में पूर्ण तत्व है प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R_{A}}$ जो ${\textstyle T_{A}}$ में निहित है एक ${\textstyle S_{A}}$ वलय है , और ${\textstyle S}$ ${\textstyle R}$ का ऊपरी वलय है।

नोथेरियन कार्यक्षेत्र

परिभाषाएं

एक नोथेरियन वलय 3 समतुल्य परिमित स्थितियों को संतुष्ट करता है i) गुणावली (वलय सिद्धांत) की प्रत्येक आरोही श्रृंखला की स्थिति परिमित है, ii) गुणावलीों के प्रत्येक गैर-रिक्त श्रेणी का अधिकतम होता है और iii) प्रत्येक गुणावली का एक परिमित आधार होता है।

एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र होता है, अगर कार्यक्षेत्र का प्रत्येक गुणावली प्रमुख गुणावलीों का एक परिमित उत्पाद है ।

वलय का प्रतिबंधित आकार उन सभी प्राथमिक गुणावली की श्रेणियों के बीच अधिकतम क्रुल आकार है जिसमें एक नियमित तत्व होता है.

एक वलय ${\textstyle R}$ स्थानीय रूप से नगण्य है अगर हर वलय ${\textstyle R_{M}}$ अधिकतम गुणावली के साथ ${\textstyle M}$ नगण्य तत्वों से मुक्त है या प्रत्येक गैर इकाई के साथ एक शून्य विभाजक है।

एक सम्बंधित वलय एक क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद वलय की समरूप छवि है।

गुण

डेडेकाइंड वलय का हर ऊपरी वलय डेडेकाइंड वलय होता है।

वलय के प्रत्यक्ष योग का प्रत्येक ऊपरी वलय, जिसके गैर-इकाई तत्व सभी शून्य-भाजक हैं, एक नोथेरियन वलय है।

नोथेरियन कार्यक्षेत्र का प्रत्येक क्रुल 1-आकारीय ऊपरी वलय नोथेरियन वलय है।

ये विवरण नोथेरियन वलय ${\textstyle R}$ और पूर्ण रूप से बंद ${\textstyle {\bar {R}}}$ के समतुल्य हैं।

• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ एक नोथेरियन वलय है।
• प्रत्येक अधिकतम गुणावली ${\textstyle R}$ के ${\textstyle M}$ के लिए, प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R_{M}}$ एक नोथेरियन वलय है।
• वलय ${\textstyle R}$ प्रतिबंधित आकार 1 या उससे कम के साथ स्थानीय रूप से शून्य है।
• वलय ${\textstyle {\bar {R}}}$ नोथेरियन है, और वलय ${\textstyle R}$ सीमित आकार 1 या उससे कम है।
• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle {\bar {R}}}$ पूर्ण रूप से बंद है।

निम्नलिखित विवरण सम्बंधित वलय ${\textstyle R}$ और पूर्ण रूप से बंद ${\textstyle {\bar {R}}}$ के समतुल्य हैं.

• वलय ${\textstyle R}$ स्थानीय रूप से शून्य है।
• वलय ${\textstyle {\bar {R}}}$ एक परिमित है ${\textstyle \operatorname {R-} }$प्रतिरूपण (गणित)।
• वलय ${\textstyle {\bar {R}}}$ नोथेरियन है।

एक पूर्ण रूप से बंद स्थानीय वलय ${\textstyle R}$ एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र या वलय है जिसके सभी गैर-इकाई तत्व शून्य-भाजक हैं।

यदि नोथेरियन वलय का प्रत्येक ऊपरी वलय पूर्ण रूप से बंद है तो नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक डेडेकिंड वलय है।

यदि नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक आघूर्ण वर्ग समूह के साथ डेडेकिंड वलय है तो नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र का प्रत्येक ऊपरी वलय अंशों का वलय है ।

सुसंगत वलय

परिभाषाएं

एक सुसंगत वलय क्रमविनिमेय वलय है जिसमें वलय सिद्धांत की प्रत्येक शब्दावली वलय सिद्धांत की गुणावली शब्दावली है। नोथेरियन कार्यक्षेत्र और प्रुफ़र कार्यक्षेत्र सुव्यवस्थित हैं।

एक जोड़ी ${\textstyle (R,T)}$ वलय सिद्धांत के अविभाज्य कार्यक्षेत्र ${\textstyle R}$ के ऊपर ${\textstyle T}$ का विस्तार दर्शाता है।

यदि ${\textstyle R}$ ${\textstyle S}$ का उपकार्यक्षेत्र है और ${\textstyle S}$ ${\textstyle T}$ का उपकार्यक्षेत्र है तो जोड़ी ${\textstyle (R,T)}$ के लिए वलय ${\textstyle S}$ एक मध्यवर्ती कार्यक्षेत्र है।

गुण

प्रत्येक ऊपरी वलय सुसंगत होने पर एक नोथेरियन वलय का क्रुल आकार 1 या उससे कम होता है।

यदि प्रत्येक मध्यवर्ती अविभाज्य कार्यक्षेत्र पूर्ण रूप से ${\textstyle T}$ में बंद है तो अविभाज्य कार्यक्षेत्र जोड़ी ${\textstyle (R,T)}$ के लिए , ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ का ऊपरी वलय है.

यदि प्रत्येक उपसमुच्चय का ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ सुसंगत है तो का पूर्ण रूप से बंद ${\textstyle R}$ एक प्रुफ़र कार्यक्षेत्र है ।

प्रुफ़र कार्यक्षेत्र और क्रुल 1-आकारी नोथेरियन कार्यक्षेत्र के ऊपरी वलय सुसंगत हैं।

प्रुफ़र कार्यक्षेत्र

गुण

यदि प्रत्येक ऊपरी वलय गुणक समुच्चय के साथ एक स्थानीयकरण है तो एक वलय में QR गुण होता है । QR कार्यक्षेत्र प्रुफ़र कार्यक्षेत्र हैं। आघूर्ण पिकार्ड समूह वाला प्रुफ़र कार्यक्षेत्र एक QR कार्यक्षेत्र है। एक प्रुफ़र कार्यक्षेत्र एक QR कार्यक्षेत्र होता है यदि प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न गुणावली के वलय का तत्त्वरूप एक प्रमुख गुणावली द्वारा उत्पन्न तत्त्वरूप के समरूप होता है।

अभिव्यक्ति, प्रुफ़र कार्यक्षेत्र ${\textstyle R}$ इसके बराबर है:

• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$ के स्थानीयकरणों का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है, और ${\textstyle R}$ पूर्ण रूप से बंद है।
• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$ के अंशों के वलय का प्रतिच्छेदन है, और ${\textstyle R}$ पूर्ण रूप से बंद है।
• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ प्रमुख गुणावली हैं जो ${\textstyle R}$ के प्रमुख गुणावली के विस्तार हैं, और ${\textstyle R}$ पूर्ण रूप से बंद है।
• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ के किसी भी अभाज्य गुणावली के ऊपर अधिक से अधिक 1 मुख्य गुणावली ${\textstyle R}$ होता है, और ${\textstyle R}$ पूर्ण रूप से बंद है।
• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ पूर्ण रूप से बंद है।
• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ सुसंगत है।

अभिव्यक्ति, प्रुफ़र कार्यक्षेत्र ${\textstyle R}$ इसके बराबर है:

• ${\textstyle R}$ के $S$ का प्रत्येक ऊपरी वलय $\operatorname {S-}$प्रतिरूपण की तरह समतल है।
• प्रत्येक मूल्यांकन की वलय ${\textstyle R}$ अंशों का एक वलय है।

न्यूनतम ऊपरी वलय

परिभाषाएं

न्यूनतम वलय समरूपता ${\textstyle f}$ एक अंतःक्षेपक गैर अनुमानित समरूपता है, और यदि समरूपता ${\textstyle f}$ समरूपता ${\textstyle g}$ और ${\textstyle h}$ की एक रचना है तो ${\textstyle g}$ या ${\textstyle h}$ एक समरूप है।

एक उचित न्यूनतम वलय विस्तार ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ उपवलय का होता है अगर वलय ${\textstyle R}$ में सम्मिलित ${\textstyle T}$ एक न्यूनतम वलय समरूपता है। इसका तात्पर्य वलय जोड़ी ${\textstyle (R,T)}$ के रूप में कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।

वलय ${\textstyle R}$ का एक न्यूनतम ऊपरी वलय ${\textstyle T}$ होता है अगर ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ में युक्त एक उपवलय है और वलय जोड़ी ${\textstyle (R,T)}$ के रूप में कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।

गुणावली ${\textstyle I}$ का कप्लैन्स्की गुणावली रूपांतरण (हेज़ रूपांतरण, S-रूपांतरण) अविभाज्य कार्यक्षेत्र ${\textstyle R}$ के संबंध में अंश क्षेत्र का एक उपसमुच्चय ${\textstyle Q(R)}$ है इस उपसमुच्चय में ${\textstyle x}$ तत्व होते हैं ऐसा है कि प्रत्येक तत्व ${\textstyle y}$ के लिए गुणावली ${\textstyle I}$ का एक सकारात्मक पूर्णांक ${\textstyle n}$ है उत्पाद ${\textstyle x\cdot y^{n}}$के साथ अविभाज्य कार्यक्षेत्र ${\textstyle R}$ में निहित है।

गुण

कार्यक्षेत्र के न्यूनतम वलय विस्तार से उत्पन्न कोई भी कार्यक्षेत्र ${\textstyle R}$ का ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ है अगर ${\textstyle R}$ एक क्षेत्र नहीं है।

अंशों का क्षेत्र ${\textstyle R}$ में न्यूनतम ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ का ${\textstyle T}$ सम्मिलित है अगर ${\textstyle R}$ एक क्षेत्र नहीं है।

मान लें एक पूर्ण रूप से बंद अविभाज्य कार्यक्षेत्र ${\textstyle R}$ एक क्षेत्र नहीं है, यदि अविभाज्य कार्यक्षेत्र ${\textstyle R}$ का न्यूनतम ऊपरी वलय सम्मिलित है, तो न्यूनतम ऊपरी वलय एक अधिकतम गुणावली ${\textstyle R}$ के कप्लान्स्की परिवर्तन के रूप में होता है।

उदाहरण

बेज़ाउट अविभाज्य कार्यक्षेत्र प्रुफ़र कार्यक्षेत्र का एक प्रकार है; बेज़ाउट कार्यक्षेत्र की पारिभाषिक विशेषता प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न गुणावली एक प्रमुख गुणावली है। बेज़ाउट कार्यक्षेत्र एक प्रुफ़र कार्यक्षेत्र के सभी ऊपरी वलय गुणों को साझा करेगा।

पूर्णांक वलय एक प्रुफ़र वलय है, और सभी ऊपरी वलय अधिगम भागफल के वलय हैं।

डायाडिक परिमेय एक पूर्णांक अंश और 2 भाजक की शक्ति वाला एक अंश है।

डायाडिक परिमेय वलय दो की शक्तियों और पूर्णांक वलय के एक ऊपरी वलय द्वारा पूर्णांकों का स्थानीयकरण है।

यह भी देखें

• स्पष्ट अंगूठी
• अंगूठियों की श्रेणी
• सुसंगत अंगूठी
• डेडेकाइंड डोमेन
• रिंग थ्योरी की शब्दावली
• अभिन्न तत्व
• क्रुल आयाम
• स्थानीय रिंग
• स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)
• नीलपोटेंट
• पिकार्ड समूह
• प्रधान आदर्श
• प्रूफर डोमेन
• नोथेरियन रिंग
• नियमित तत्व
• सब्रिंग
• अंशों का कुल वलय
• वैल्यूएशन रिंग

संदर्भ

• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, Ian G. (1969). Introduction to commutative algebra. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 9780201407518.
• Bazzoni, Silvana; Glaz, Sarah (2006). "Prüfer rings". In Brewer rings, James W.; Glaz, Sarah; Heinzer, William J.; Olberding, Bruce M. (eds.). Multiplicative ideal theory in commutative algebra: a tribute to the work of Robert Gilmer. New York, NY: Springer. pp. 54–72. ISBN 978-0-387-24600-0.
• Cohen, Irving S. (1950). "Commutative rings with restricted minimum condition". Duke Math. J. 17 (1): 27–42. doi:10.1215/S0012-7094-50-01704-2.
• Davis, Edward D (1962). "Overrings of commutative rings. I. Noetherian overrings" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 104 (1): 52–61.
• Davis, Edward D (1964). "Overrings of commutative rings. II. Integrally closed overrings" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 110 (2): 196–212.
• Davis, Edward D. (1973). "Overrings of commutative rings. III. Normal pairs" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society: 175–185.
• Dobbs, David E.; Shapiro, Jay (2006). "A classification of the minimal ring extensions of an integral domain". Journal of Algebra. 305 (1): 185–193. doi:10.1016/j.jalgebra.2005.10.005.
• Dobbs, David E.; Shapiro, Jay (2007). "Descent of minimal overrings of integrally closed domains to fixed rings". Houston Journal of Mathematics. 33 (1).
• Ferrand, Daniel; Olivier, Jean-Pierre (1970). "Homomorphismes minimaux d'anneaux" (PDF). Journal of Algebra. 16 (3): 461–471.
• Fontana, Marco; Papick, Ira J. (2002), "Dedekind and Prüfer domains", in Mikhalev, Alexander V.; Pilz, Günter F. (eds.), The concise handbook of algebra, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp. 165–168, ISBN 9780792370727
• Fuchs, Laszlo; Heinzer, William; Olberding, Bruce (2004), "Maximal prime divisors in arithmetical rings", Rings, modules, algebras, and abelian groups, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., vol. 236, Dekker, New York, pp. 189–203, MR 2050712
• Lane, Saunders Mac; Schilling, O. F. G. (1939). "Infinite number fields with Noether ideal theories". American Journal of Mathematics. 61 (3): 771–782.
• Papick, Ira J. (1978). "A Remark on Coherent Overrings" (PDF). Canad. Math. Bull. 21 (3): 373–375.
• Papick, Ira J. (1979). "Coherent overrings" (PDF). Canadian Mathematical Bulletin. 22 (3): 331–337.
• Papick, Ira J. (1980). "A note on proper overrings". Rikkyo Daigaku sugaku zasshi. 28 (2): 137–140.
• Pendleton, Robert L. (1966). "A characterization of Q-domains". Bull. Amer. Math. Soc. 72 (4): 499–500.
• Sato, Junro; Sugatani, Takasi; Yoshida, Ken-ichi (January 1992). "On minimal overrings of a noetherian domain". Communications in Algebra. 20 (6): 1735–1746. doi:10.1080/00927879208824427.
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1965). Commutative algebra. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90089-6.

संबंधित श्रेणियां

श्रेणी:रिंग सिद्धांत

श्रेणी:गुणावली (वलय सिद्धांत)

श्रेणी:बीजगणितीय संरचनाएं

श्रेणी:क्रमविनिमेय बीजगणित