बोरेल समुच्चय: Difference between revisions

Revision as of 11:28, 30 May 2023

गणित में, एक बोरेल समुच्चय एक टोपोलॉजिकल स्थान में कोई भी समुच्चय होता है जिसे गणनीय संघ (समुच्चय सिद्धांत) , गणनीय चौराहा (समुच्चय सिद्धांत) और सापेक्ष पूरक के संचालन के माध्यम से खुला समुच्चय (या समतुल्य, बंद समुच्चय से) से बनाया जा सकता है। . बोरेल समुच्चय का नाम एमिल बोरल उपाय नाम पर रखा गया है।

एक टोपोलॉजिकल स्थान X के लिए, X पर सभी बोरेल समुच्चय का समुच्चय एक सिग्मा-बीजगणित बनाता है| σ-बीजगणित, जिसे बोरेल बीजगणित या बोरेल σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता है। X पर बोरेल बीजगणित सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी खुले समुच्चय (या, समतुल्य, सभी बंद समुच्चय) सम्मिलित हैं।

माप सिद्धांत में बोरेल समुच्चय महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि किसी स्थान के खुले समुच्चयों पर या किसी स्थान के बंद समुच्चयों पर परिभाषित किसी भी माप को उस स्थान के सभी बोरेल समुच्चयों पर भी परिभाषित किया जाना चाहिए। बोरल समुच्चय पर परिभाषित किसी भी माप को बोरेल माप कहा जाता है। बोरेल समुच्चय और संबंधित बोरेल पदानुक्रम भी वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाते हैं।

कुछ संदर्भों में, बोरेल समुच्चय को खुले समुच्चय के बजाय टोपोलॉजिकल स्थान के कॉम्पैक्ट समुच्चय द्वारा उत्पन्न होने के लिए परिभाषित किया गया है। दो परिभाषाएँ कई अच्छे व्यवहार वाले स्थानों के लिए समान हैं, जिसमें सभी हॉसडॉर्फ स्थान σ-कॉम्पैक्ट स्थान सम्मिलितहैं, लेकिन अधिक पैथोलॉजिकल (गणित) स्थान में भिन्न हो सकते हैं।

बोरेल बीजगणित उत्पन्न करना

इस घटना में , X एक मीट्रिक स्थान है, पहले अर्थ में बोरेल बीजगणित को सामान्य रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है।

X के सबसमुच्चय के समुच्चय टी के लिए (यानी, X के सत्ता स्थापित पी (X) के किसी भी सबसमुच्चय के लिए), चलो

$T_{\sigma }$ टी के तत्वों के सभी गणनीय संघ बनें
$T_{\delta }$ T के अवयवों के सभी गणनीय प्रतिच्छेद हों
$T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.$

अब ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा अनुक्रम G^m को परिभाषित करें, जहाँ m एक क्रमिक संख्या है, निम्नलिखित तरीके से:

परिभाषा के आधार घटना के लिए, आइए $G^{0}$ को X के खुले उपसमुच्चयों का होने दें।
यदि i (आई) एक सीमा क्रमसूचक नहीं है, तो मेरे पास एक ठीक पूर्ववर्ती क्रमसूचक i - 1 है $G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.$
यदि मैं एक सीमा क्रमसूचक है, तो समुच्चय करें $G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.$

दावा है कि बोरेल बीजगणित G^ω₁ है, जहां ω₁ पहला अगणित क्रमसूचक है। अर्थात्, ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके खुले समुच्चयों के वर्ग से बोरेल बीजगणित उत्पन्न किया जा सकता है

G\mapsto G_{\delta \sigma }.

पहले अगणित अध्यादेश के लिए।

इस दावे को साबित करने के लिए, मीट्रिक स्थान में कोई भी खुला समुच्चय बंद समुच्चयों के बढ़ते अनुक्रम का संघ है। विशेष रूप से, समुच्चय मैप्स G^m का पूरक किसी भी सीमा के लिए अपने आप में क्रमसूचक m; इसके अलावा अगर m एक अगणित सीमा क्रमसूचक है, G^m गणनीय संघों के अंतर्गत बंद है।

प्रत्येक बोरेल समुच्चय B के लिए, कुछ गणनीय क्रमिक α_B है ऐसा है कि B को α_B पर ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके प्राप्त किया जा सकता है. हालाँकि, जैसा कि B सभी बोरेल समुच्चयों में भिन्न होता है, α_Bसभी गणनीय अध्यादेशों में भिन्नता होगी, और इस प्रकार पहला क्रमांक जिस पर सभी बोरेल समुच्चय प्राप्त होते हैं, वह है ω₁, पहला अगणित क्रमसूचक।

उदाहरण

एक महत्वपूर्ण उदाहरण, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर बोरेल बीजगणित है। यह वह बीजगणित है जिस पर बोरेल माप को परिभाषित किया गया है। एक यादृच्छिक चर वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर को संभाव्यता स्थान पर परिभाषित किया गया है, इसकी संभावना वितरण परिभाषा के अनुसार बोरेल बीजगणित पर भी एक उपाय है।

वास्तविक पर बोरेल बीजगणित R पर सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी अंतराल (गणित) सम्मिलित हैं।

ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा निर्माण में, यह दिखाया जा सकता है कि, प्रत्येक चरण में, समुच्चय की प्रमुखता, अधिक से अधिक, सातत्य की कार्डिनैलिटी है। तो, बोरेल समुच्चय की कुल संख्या कम या बराबर है

\aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}.

वास्तव में, बोरेल समुच्चयों के समुच्चय की कार्डिनैलिटी सातत्य के बराबर है (लेबेसेग मापने योग्य समुच्चयों की संख्या की तुलना में उपस्थित है, जो सख्ती से बड़ा है और इसके बराबर है

2^{2^{\aleph _{0}}}

).

मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय

X को टपॉल G का मूल्य रहने दें। X से जुड़ा 'बोरेल स्थान' जोड़ी (X, B) है, जहां B, X के बोरेल समुच्चय का σ-बीजगणित है।

जॉर्ज मैके ने बोरेल स्थान को कुछ अलग तरीके से परिभाषित किया, यह लिखते हुए कि यह एक विशिष्ट σ-क्षेत्र के सबसमुच्चय के साथ एक समुच्चय है जिसे इसके बोरेल समुच्चय कहा जाता है।^[1] हालांकि, आधुनिक उपयोग विशिष्ट उप-बीजगणित को औसत दर्जे का समुच्चय और ऐसे रिक्त स्थान को मापने योग्य स्थान कहते हैं। इस भेद का कारण यह है कि बोरेल समुच्चय खुले समुच्चय (एक टोपोलॉजिकल स्थान) द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित हैं, जबकि मैके की परिभाषा एक मनमाना σ-बीजगणित से लैस समुच्चय को संदर्भित करती है। अंतर्निहित स्थान पर टोपोलॉजी के किसी भी विकल्प के लिए मापने योग्य स्थान उपस्थित हैं जो बोरेल स्थान नहीं हैं।^[2]

मापने योग्य स्थान एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं जिसमें आकारिकी मापने योग्य स्थानों के बीच रूपवाद मापने योग्य कार्य होते हैं। एक फलन $f:X\rightarrow Y$ मापने योग्य कार्य है यदि यह मापने योग्य समुच्चय को ठहराना करता है, यानी, Y में सभी मापने योग्य समुच्चय B के लिए, समुच्चय $f^{-1}(B)$ X में मापने योग्य है।

'प्रमेय'।, X को एक पोलिश स्थान होने दें, यानी एक टोपोलॉजिकल स्थान जैसे कि X पर एक मेट्रिक (गणित) d है जो X की टोपोलॉ G को परिभाषित करता है और जो X को एक पूर्ण वियोज्य स्थान मेट्रिक स्थान बनाता है। तब X वियोज्य स्थान के रूप में से एक के लिए समरूपी है

'R',
'Z',
एक परिमित स्थान।

(यह परिणाम महरम के प्रमेय की याद दिलाता है।)

बोरेल रिक्त स्थान के रूप में माना जाता है, वास्तविक रेखा 'R', एक गणनीय समुच्चय के साथ 'R' का संघ, और Rⁿ समरूप हैं।

एक मानक बोरेल स्थान एक पोलिश स्थान से जुड़ा बोरेल स्थान है। एक मानक बोरेल स्थान को इसकी प्रमुखता द्वारा समाकृतिकता तक चित्रित किया जाता है,^[3] और किसी भी अगणित मानक बोरेल स्थान में सातत्य की प्रमुखता होती है।

पोलिश स्थानों के सबसमुच्चय के लिए, बोरेल समुच्चय को उन समुच्चयों के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो पोलिश रिक्त स्थान पर परिभाषित निरंतर इंजेक्शन मानचित्रों की श्रेणी हैं। हालाँकि, ध्यान दें कि निरंतर गैर-इंजेक्शन मानचित्र की सीमा बोरेल होने में विफल हो सकती है। विश्लेषणात्मक समुच्चय देखें।

एक मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक प्रायिकता माप इसे एक मानक प्रायिकता स्थान में बदल देता है।

गैर-बोरेल समुच्चय

वास्तविक के एक उपसमुच्चय का एक उदाहरण जो गैर-बोरेल है, निकोलाई लुज़िन के कारण,^[4] नीचे वर्णित है। इसके विपरीत, एक गैर-मापने योग्य समुच्चय का उदाहरण प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, हालांकि इसका अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है।

प्रत्येक अपरिमेय संख्या का एक अनंत निरंतर अंश द्वारा एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}

कहाँ $a_{0}$ कुछ पूर्णांक और अन्य सभी संख्याएँ हैं $a_{k}$ सकारात्मक पूर्णांक हैं। होने देना $A$ अनुक्रमों के संगत सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय हो $(a_{0},a_{1},\dots )$ निम्नलिखित संपत्ति के साथ: एक अनंत अनुक्रम उपस्थित है $(a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )$ जैसे कि प्रत्येक तत्व अगले तत्व का विभाजक है। यह समुच्चय $A$ बोरेल नहीं है। वास्तव में, यह विश्लेषणात्मक समुच्चय है, और विश्लेषणात्मक समुच्चय की श्रेणी में पूर्ण है। अधिक जानकारी के लिए वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत और अलेक्जेंडर एस केक्रिस द्वारा पुस्तक देखें, विशेष रूप से पृष्ठ 209 पर व्यायाम (27.2), पृष्ठ 169 पर परिभाषा (22.9), और पृष्ठ 14 पर व्यायाम (3.4) (ii)।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि जब $A$ ए का निर्माण ZF में किया जा सकता है, यह अकेले ZF में गैर-बोरेल साबित नहीं हो सकता। वास्तव में, यह ZF के अनुरूप है $\mathbb {R}$ गणनीय समुच्चयों का एक गणनीय संघ है,^[5] ताकि कोई भी उपसमुच्चय $\mathbb {R}$ बोरेल समुच्चय है।

एक अन्य गैर-बोरेल समुच्चय एक उलटी छवि है $f^{-1}[0]$ समता फ़ंक्शन का # अनंत समता फ़ंक्शन $f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}$ . हालाँकि, यह अस्तित्व का प्रमाण है (पसंद के स्वयंसिद्ध के माध्यम से), स्पष्ट उदाहरण नहीं।

वैकल्पिक गैर-समतुल्य परिभाषाएँ

पॉल हेल्मोस के अनुसार,^[6] स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्थान के एक उपसमुच्चय को बोरेल समुच्चय कहा जाता है यदि यह सबसे छोटे सिग्मा-रिंग | σ-रिंग से संबंधित होता है जिसमें सभी कॉम्पैक्ट समुच्चय होते हैं।

नॉरबर्ग और वर्वाट^[7] टोपोलॉजिकल स्थान के बोरेल बीजगणित को फिर से परिभाषित करें $X$ के रूप में $\sigma$ -बीजगणित इसके खुले उपसमुच्चयों और इसके कॉम्पैक्ट संतृप्त समुच्चयों द्वारा उत्पन्न होता है। यह परिभाषा उस घटनामें अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त है जहां $X$ हॉसडॉर्फ नहीं है। यह सामान्य परिभाषा के साथ मेल खाता है यदि $X$ दूसरा गणनीय है या यदि प्रत्येक कॉम्पैक्ट संतृप्त सबसमुच्चय बंद है (जो कि विशेष रूप से घटना है $X$ हॉसडॉर्फ है)।

यह भी देखें

↑ Mackey, G.W. (1966), "Ergodic Theory and Virtual Groups", Math. Ann., 166 (3): 187–207, doi:10.1007/BF01361167, ISSN 0025-5831, S2CID 119738592
↑ Jochen Wengenroth, Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?
↑ Srivastava, S.M. (1991), A Course on Borel Sets, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98412-4
↑ Lusin, Nicolas (1927), "Sur les ensembles analytiques", Fundamenta Mathematicae (in français), 10: Sect. 62, pages 76–78, doi:10.4064/fm-10-1-1-95
↑ Jech, Thomas (2008). पसंद का स्वयंसिद्ध. Courier Corporation. p. 142.
↑ (Halmos 1950, page 219)
↑ Tommy Norberg and Wim Vervaat, Capacities on non-Hausdorff spaces, in: Probability and Lattices, in: CWI Tract, vol. 110, Math. Centrum Centrum Wisk. Inform., Amsterdam, 1997, pp. 133-150

संदर्भ

विलियम अर्वेसन, एन इनविटेशन टू सी*-अलजेब्रस, स्प्रिंगर-वर्लाग, 1981। (पोलिश टोपोलॉजी की उत्कृष्ट व्याख्या के लिए अध्याय 3 देखें)
रिचर्ड डुडले, वास्तविक विश्लेषण और संभावना। वड्सवर्थ, ब्रूक्स और कोल, 1989
हल्मोस, पॉल आर. (1950). माप सिद्धांत. डी वैन नोस्ट्रैंड कंपनी. See especially Sect. 51 "Borel sets and Baire sets".
हैल्सी रॉयडेन, वास्तविक विश्लेषण, अप्रेंटिस हॉल, 1988
अलेक्जेंडर एस केक्रिस, शास्त्रीय वर्णनात्मक समुच्चय थ्योरी, स्प्रिंगर-वर्लाग, 1995 (गणित में स्नातक ग्रंथ।, खंड 156)

बाहरी संबंध

"बोरेल सेट", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Formal definition में बोरेल समुच्चय की संख्या मिज़ार सिस्टम, और पर समुच्चयीत प्रमेयों की सूची 2020-06-01 जो इसके बारे में औपचारिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं
Weisstein, Eric W. "बोरेल सेट". MathWorld.

Lightface		Boldface
Σ⁰ ₀ = Π⁰ ₀ = Δ⁰ ₀ (sometimes the same as Δ⁰ ₁)		Σ⁰ ₀ = Π⁰ ₀ = Δ⁰ ₀ (if defined)
Δ⁰ ₁ = recursive		Δ⁰ ₁ = clopen
Σ⁰ ₁ = recursively enumerable	Π⁰ ₁ = co-recursively enumerable	Σ⁰ ₁ = G = open	Π⁰ ₁ = F = closed
Δ⁰ ₂		Δ⁰ ₂
Σ⁰ ₂	Π⁰ ₂	Σ⁰ ₂ = F_σ	Π⁰ ₂ = G_δ
Δ⁰ ₃		Δ⁰ ₃
Σ⁰ ₃	Π⁰ ₃	Σ⁰ ₃ = G_δσ	Π⁰ ₃ = F_σδ
⋮		⋮
Σ⁰ _<ω = Π⁰ _<ω = Δ⁰ _<ω = Σ¹ ₀ = Π¹ ₀ = Δ¹ ₀ = arithmetical		Σ⁰ _<ω = Π⁰ _<ω = Δ⁰ _<ω = Σ¹ ₀ = Π¹ ₀ = Δ¹ ₀ = boldface arithmetical
⋮		⋮
Δ⁰ _α (α recursive)		Δ⁰ _α (α countable)
Σ⁰ _α	Π⁰ _α	Σ⁰ _α	Π⁰ _α
⋮		⋮
Σ⁰ _ω^CK ₁ = Π⁰ _ω^CK ₁ = Δ⁰ _ω^CK ₁ = Δ¹ ₁ = hyperarithmetical		Σ⁰ _ω₁ = Π⁰ _ω₁ = Δ⁰ _ω₁ = Δ¹ ₁ = B = Borel
Σ¹ ₁ = lightface analytic	Π¹ ₁ = lightface coanalytic	Σ¹ ₁ = A = analytic	Π¹ ₁ = CA = coanalytic
Δ¹ ₂		Δ¹ ₂
Σ¹ ₂	Π¹ ₂	Σ¹ ₂ = PCA	Π¹ ₂ = CPCA
Δ¹ ₃		Δ¹ ₃
Σ¹ ₃	Π¹ ₃	Σ¹ ₃ = PCPCA	Π¹ ₃ = CPCPCA
⋮		⋮
Σ¹ _<ω = Π¹ _<ω = Δ¹ _<ω = Σ² ₀ = Π² ₀ = Δ² ₀ = analytical		Σ¹ _<ω = Π¹ _<ω = Δ¹ _<ω = Σ² ₀ = Π² ₀ = Δ² ₀ = P = projective
⋮		⋮

[1] Mackey, G.W. (1966), "Ergodic Theory and Virtual Groups", Math. Ann., 166 (3): 187–207, doi:10.1007/BF01361167, ISSN 0025-5831, S2CID 119738592

[2] Jochen Wengenroth, Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?

[3] Srivastava, S.M. (1991), A Course on Borel Sets, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98412-4

[4] Lusin, Nicolas (1927), "Sur les ensembles analytiques", Fundamenta Mathematicae (in français), 10: Sect. 62, pages 76–78, doi:10.4064/fm-10-1-1-95

[5] Jech, Thomas (2008). पसंद का स्वयंसिद्ध. Courier Corporation. p. 142.

[6] (Halmos 1950, page 219)

[7] Tommy Norberg and Wim Vervaat, Capacities on non-Hausdorff spaces, in: Probability and Lattices, in: CWI Tract, vol. 110, Math. Centrum Centrum Wisk. Inform., Amsterdam, 1997, pp. 133-150

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 {{Short description|Mathematical process}}
-गणित में, एक बोरेल सेट एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] में कोई भी सेट होता है जिसे [[ गणनीय ]] [[ संघ (सेट सिद्धांत) |संघ (सेट सिद्धांत)]] , काउंटेबल [[ चौराहा (सेट सिद्धांत) ]] और [[ सापेक्ष पूरक ]] के संचालन के माध्यम से [[ खुला सेट ]] (या समतुल्य, [[बंद सेट]] से) से बनाया जा सकता है। . बोरेल सेट का नाम एमिल [[बोरल उपाय]] नाम पर रखा गया है।
+गणित में, एक बोरेल समुच्चय एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल स्थान]] में कोई भी समुच्चय होता है जिसे [[ गणनीय ]] [[ संघ (सेट सिद्धांत) |संघ (समुच्चय सिद्धांत)]] , गणनीय [[ चौराहा (सेट सिद्धांत) | चौराहा (समुच्चय सिद्धांत)]] और [[ सापेक्ष पूरक ]] के संचालन के माध्यम से [[ खुला सेट | खुला समुच्चय]] (या समतुल्य, [[बंद सेट|बंद समुच्चय]] से) से बनाया जा सकता है। . बोरेल समुच्चय का नाम एमिल [[बोरल उपाय]] नाम पर रखा गया है।
-एक टोपोलॉजिकल स्पेस ''X'' के लिए, ''X'' पर सभी बोरेल सेट का संग्रह एक सिग्मा-बीजगणित बनाता है|σ-बीजगणित, जिसे बोरेल बीजगणित या बोरेल σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता है। ''X'' पर बोरेल बीजगणित सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी खुले सेट (या, समतुल्य, सभी बंद सेट) सम्मिलित हैं।
+एक टोपोलॉजिकल स्थान ''X'' के लिए, ''X'' पर सभी बोरेल समुच्चय का समुच्चय एक सिग्मा-बीजगणित बनाता है| σ-बीजगणित, जिसे बोरेल बीजगणित या बोरेल σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता है। ''X'' पर बोरेल बीजगणित सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी खुले समुच्चय (या, समतुल्य, सभी बंद समुच्चय) सम्मिलित हैं।
-[[माप सिद्धांत]] में बोरेल सेट महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि किसी स्थान के खुले सेटों पर या किसी स्थान के बंद सेटों पर परिभाषित किसी भी माप को उस स्थान के सभी बोरेल सेटों पर भी परिभाषित किया जाना चाहिए। बोरल सेट पर परिभाषित किसी भी माप को बोरेल माप कहा जाता है। बोरेल सेट और संबंधित [[बोरेल पदानुक्रम]] भी [[वर्णनात्मक सेट सिद्धांत]] में मौलिक भूमिका निभाते हैं।
+[[माप सिद्धांत]] में बोरेल समुच्चय महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि किसी स्थान के खुले समुच्चयों पर या किसी स्थान के बंद समुच्चयों पर परिभाषित किसी भी माप को उस स्थान के सभी बोरेल समुच्चयों पर भी परिभाषित किया जाना चाहिए। बोरल समुच्चय पर परिभाषित किसी भी माप को बोरेल माप कहा जाता है। बोरेल समुच्चय और संबंधित [[बोरेल पदानुक्रम]] भी [[वर्णनात्मक सेट सिद्धांत|वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत]] में मौलिक भूमिका निभाते हैं।
-कुछ संदर्भों में, बोरेल सेट को खुले सेट के बजाय टोपोलॉजिकल स्पेस के [[कॉम्पैक्ट सेट]] द्वारा उत्पन्न होने के लिए परिभाषित किया गया है। दो परिभाषाएँ कई अच्छे व्यवहार वाले स्थानों के लिए समान हैं, जिसमें सभी [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] σ-कॉम्पैक्ट स्पेस सम्मिलितहैं, लेकिन अधिक [[पैथोलॉजिकल (गणित)]] स्पेस में भिन्न हो सकते हैं।
+कुछ संदर्भों में, बोरेल समुच्चय को खुले समुच्चय के बजाय टोपोलॉजिकल स्थान के [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट समुच्चय]] द्वारा उत्पन्न होने के लिए परिभाषित किया गया है। दो परिभाषाएँ कई अच्छे व्यवहार वाले स्थानों के लिए समान हैं, जिसमें सभी [[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ स्थान]] σ-कॉम्पैक्ट स्थान सम्मिलितहैं, लेकिन अधिक [[पैथोलॉजिकल (गणित)]] स्थान में भिन्न हो सकते हैं।
 == बोरेल बीजगणित उत्पन्न करना ==
-इस मामले में कि X एक [[मीट्रिक स्थान]] है, पहले अर्थ में बोरेल बीजगणित को सामान्य रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है।
+इस घटना में , X एक [[मीट्रिक स्थान]] है, पहले अर्थ में बोरेल बीजगणित को सामान्य रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है।
-X के सबसेट के संग्रह टी के लिए (यानी, X के [[ सत्ता स्थापित ]] पी (X) के किसी भी सबसेट के लिए), चलो
+X के सबसमुच्चय के समुच्चय टी के लिए (यानी, X के [[ सत्ता स्थापित ]] पी (X) के किसी भी सबसमुच्चय के लिए), चलो
 * <math>T_\sigma </math> टी के तत्वों के सभी गणनीय संघ बनें
 * <math>T_\delta </math> T के अवयवों के सभी गणनीय प्रतिच्छेद हों
 * <math>T_{\delta\sigma} = (T_\delta)_\sigma.</math>
 अब [[ट्रांसफिनिट इंडक्शन]] द्वारा अनुक्रम G<sup>m</sup> को परिभाषित करें, जहाँ m एक क्रमिक संख्या है, निम्नलिखित तरीके से:
-* परिभाषा के आधार मामले के लिए, आइए <math> G^0</math> X के खुले उपसमुच्चय का संग्रह हो।
+* परिभाषा के आधार घटना के लिए, आइए <math> G^0</math> को X के खुले  उपसमुच्चयों का होने दें।
-* यदि मैं एक सीमा क्रमसूचक नहीं है, तो मेरे पास एक ठीक पूर्ववर्ती क्रमसूचक i - 1 है <math display="block"> G^i = [G^{i-1}]_{\delta \sigma}.</math>
+*यदि i (आई) एक सीमा क्रमसूचक नहीं है, तो मेरे पास एक ठीक पूर्ववर्ती क्रमसूचक i - 1 है <math display="block"> G^i = [G^{i-1}]_{\delta \sigma}.</math>
-* यदि मैं एक सीमा क्रमसूचक है, तो सेट करें <math display="block"> G^i = \bigcup_{j < i} G^j. </math>
+* यदि मैं एक सीमा क्रमसूचक है, तो समुच्चय करें <math display="block"> G^i = \bigcup_{j < i} G^j. </math>
-दावा है कि बोरेल बीजगणित G है<sup>ω<sub>1</sub></sup>, जहां ω<sub>1</sub> [[पहला बेशुमार क्रमसूचक|पहला अगणित क्रमसूचक]] है। अर्थात्, ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके खुले सेटों के वर्ग से बोरेल बीजगणित उत्पन्न किया जा सकता है
+दावा है कि बोरेल बीजगणित G<sup>ω<sub>1</sub></sup>  है, जहां ω<sub>1</sub> [[पहला बेशुमार क्रमसूचक|पहला अगणित क्रमसूचक]] है। अर्थात्, ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके खुले समुच्चयों के वर्ग से बोरेल बीजगणित उत्पन्न किया जा सकता है
 <math display="block"> G \mapsto G_{\delta \sigma}. </math>
 पहले अगणित अध्यादेश के लिए।
-इस दावे को साबित करने के लिए, मीट्रिक स्थान में कोई भी खुला सेट बंद सेटों के बढ़ते अनुक्रम का संघ है। विशेष रूप से, सेट मैप्स G<sup>m</sup> का पूरक किसी भी सीमा के लिए अपने आप में क्रमसूचक m; इसके अलावा अगर m एक अगणित सीमा क्रमसूचक है, G<sup>m</sup> गणनीय संघों के अंतर्गत बंद है।
+इस दावे को साबित करने के लिए, मीट्रिक स्थान में कोई भी खुला समुच्चय बंद समुच्चयों के बढ़ते अनुक्रम का संघ है। विशेष रूप से, समुच्चय मैप्स G<sup>m</sup> का पूरक किसी भी सीमा के लिए अपने आप में क्रमसूचक m; इसके अलावा अगर m एक अगणित सीमा क्रमसूचक है, G<sup>m</sup> गणनीय संघों के अंतर्गत बंद है।
-प्रत्येक बोरेल सेट B के लिए, कुछ गणनीय क्रमिक α<sub>B</sub> है ऐसा है कि B को α<sub>B</sub> पर ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके प्राप्त किया जा सकता है. हालाँकि, जैसा कि B सभी बोरेल सेटों में भिन्न होता है, α<sub>B</sub>सभी गणनीय अध्यादेशों में भिन्नता होगी, और इस प्रकार पहला क्रमांक जिस पर सभी बोरेल सेट प्राप्त होते हैं, वह है ω<sub>1</sub>, पहला अगणित क्रमसूचक।
+प्रत्येक बोरेल समुच्चय B के लिए, कुछ गणनीय क्रमिक α<sub>B</sub> है ऐसा है कि B को α<sub>B</sub> पर ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके प्राप्त किया जा सकता है. हालाँकि, जैसा कि B सभी बोरेल समुच्चयों में भिन्न होता है, α<sub>B</sub>सभी गणनीय अध्यादेशों में भिन्नता होगी, और इस प्रकार पहला क्रमांक जिस पर सभी बोरेल समुच्चय प्राप्त होते हैं, वह है ω<sub>1</sub>, पहला अगणित क्रमसूचक।
 === उदाहरण ===
-एक महत्वपूर्ण उदाहरण, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत में, [[वास्तविक संख्या]]ओं के सेट पर बोरेल बीजगणित है। यह वह बीजगणित है जिस पर बोरेल माप को परिभाषित किया गया है। एक यादृच्छिक चर वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर को [[संभाव्यता स्थान]] पर परिभाषित किया गया है, इसकी संभावना वितरण परिभाषा के अनुसार बोरेल बीजगणित पर भी एक उपाय है।
+एक महत्वपूर्ण उदाहरण, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत में, [[वास्तविक संख्या]]ओं के समुच्चय पर बोरेल बीजगणित है। यह वह बीजगणित है जिस पर बोरेल माप को परिभाषित किया गया है। एक यादृच्छिक चर वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर को [[संभाव्यता स्थान]] पर परिभाषित किया गया है, इसकी संभावना वितरण परिभाषा के अनुसार बोरेल बीजगणित पर भी एक उपाय है।
 वास्तविक पर बोरेल बीजगणित R पर सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी [[अंतराल (गणित)]] सम्मिलित हैं।
-ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा निर्माण में, यह दिखाया जा सकता है कि, प्रत्येक चरण में, सेट की [[प्रमुखता]], अधिक से अधिक, सातत्य की कार्डिनैलिटी है। तो, बोरेल सेट की कुल संख्या कम या बराबर है
+ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा निर्माण में, यह दिखाया जा सकता है कि, प्रत्येक चरण में, समुच्चय की [[प्रमुखता]], अधिक से अधिक, सातत्य की कार्डिनैलिटी है। तो, बोरेल समुच्चय की कुल संख्या कम या बराबर है
 <math display="block">\aleph_1 \cdot 2 ^ {\aleph_0}\, = 2^{\aleph_0}.</math>
-वास्तव में, बोरेल सेटों के संग्रह की कार्डिनैलिटी सातत्य के बराबर है (लेबेसेग मापने योग्य सेटों की संख्या की तुलना में उपस्थित  है, जो सख्ती से बड़ा है और इसके बराबर है <math>2^{2^{\aleph_0}}</math>).
+वास्तव में, बोरेल समुच्चयों के समुच्चय की कार्डिनैलिटी सातत्य के बराबर है (लेबेसेग मापने योग्य समुच्चयों की संख्या की तुलना में उपस्थित  है, जो सख्ती से बड़ा है और इसके बराबर है <math>2^{2^{\aleph_0}}</math>).
 == मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय ==
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 {{see also|मानक बोरेल स्थान}}
-X को टपॉल G का मूल्य रहने दें। X से जुड़ा 'बोरेल स्पेस' जोड़ी (X, B) है, जहां B X के बोरेल सेट का σ-बीजगणित है।
+X को टपॉल G का मूल्य रहने दें। X से जुड़ा 'बोरेल स्थान' जोड़ी (X, B) है, जहां B, X के बोरेल समुच्चय का σ-बीजगणित है।
-[[जॉर्ज मैके]] ने बोरेल स्पेस को कुछ अलग तरीके से परिभाषित किया, यह लिखते हुए कि यह एक विशिष्ट σ-क्षेत्र के सबसेट के साथ एक सेट है जिसे इसके बोरेल सेट कहा जाता है।<ref>{{citation | last=Mackey| first=G.W. | title=Ergodic Theory and Virtual Groups |  year=1966 | journal=[[Math. Ann.]]|volume=166|pages=187&ndash;207|issue=3|author-link=George Mackey|doi=10.1007/BF01361167| s2cid=119738592 |issn=0025-5831}}</ref> हालांकि, आधुनिक उपयोग विशिष्ट उप-बीजगणित को औसत दर्जे का सेट और ऐसे रिक्त स्थान को मापने योग्य स्थान कहते हैं। इस भेद का कारण यह है कि बोरेल सेट खुले सेट (एक टोपोलॉजिकल स्पेस) द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित हैं, जबकि मैके की परिभाषा एक मनमाना σ-बीजगणित से लैस सेट को संदर्भित करती है। अंतर्निहित स्थान पर टोपोलॉG के किसी भी विकल्प के लिए मापने योग्य स्थान उपस्थित  हैं जो बोरेल स्थान नहीं हैं।<ref>[https://mathoverflow.net/q/87888 Jochen Wengenroth, Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?]</ref>
+[[जॉर्ज मैके]] ने बोरेल स्थान को कुछ अलग तरीके से परिभाषित किया, यह लिखते हुए कि यह एक विशिष्ट σ-क्षेत्र के सबसमुच्चय के साथ एक समुच्चय है जिसे इसके बोरेल समुच्चय कहा जाता है।<ref>{{citation | last=Mackey| first=G.W. | title=Ergodic Theory and Virtual Groups |  year=1966 | journal=[[Math. Ann.]]|volume=166|pages=187&ndash;207|issue=3|author-link=George Mackey|doi=10.1007/BF01361167| s2cid=119738592 |issn=0025-5831}}</ref> हालांकि, आधुनिक उपयोग विशिष्ट उप-बीजगणित को औसत दर्जे का समुच्चय और ऐसे रिक्त स्थान को मापने योग्य स्थान कहते हैं। इस भेद का कारण यह है कि बोरेल समुच्चय खुले समुच्चय (एक टोपोलॉजिकल स्थान) द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित हैं, जबकि मैके की परिभाषा एक मनमाना σ-बीजगणित से लैस समुच्चय को संदर्भित करती है। अंतर्निहित स्थान पर टोपोलॉजी के किसी भी विकल्प के लिए मापने योग्य स्थान उपस्थित  हैं जो बोरेल स्थान नहीं हैं।<ref>[https://mathoverflow.net/q/87888 Jochen Wengenroth, Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?]</ref>
-मापने योग्य स्थान एक [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिसमें आकारिकी मापने योग्य स्थानों के Bच मापने योग्य कार्य होते हैं। एक समारोह <math>f:X \rightarrow Y</math> मापने योग्य कार्य है यदि यह मापने योग्य सेट को [[ ठहराना ]] करता है, यानी, वाई में सभी मापने योग्य सेट B के लिए, सेट <math>f^{-1}(B)</math> X में मापने योग्य है।
-'प्रमेय'।, X को एक [[ पोलिश स्थान ]] होने दें, यानी एक टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे कि X पर एक मेट्रिक (गणित) d है जो X की टोपोलॉ G को परिभाषित करता है और जो X को एक पूर्ण वियोज्य स्पेस मेट्रिक स्पेस बनाता है। तब X [[वियोज्य स्थान]] के रूप में से एक के लिए [[ समरूपी ]] है
+मापने योग्य स्थान एक [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिसमें आकारिकी मापने योग्य स्थानों के बीच रूपवाद मापने योग्य कार्य होते हैं। एक फलन <math>f:X \rightarrow Y</math> मापने योग्य कार्य है यदि यह मापने योग्य समुच्चय को [[ ठहराना | ठहराना]] करता है, यानी,  Y में सभी मापने योग्य समुच्चय B के लिए, समुच्चय <math>f^{-1}(B)</math> X में मापने योग्य है।
+'प्रमेय'।, X को एक [[ पोलिश स्थान | पोलिश स्थान]] होने दें, यानी एक टोपोलॉजिकल स्थान जैसे कि X पर एक मेट्रिक (गणित) d है जो X की टोपोलॉ G को परिभाषित करता है और जो X को एक पूर्ण वियोज्य स्थान मेट्रिक स्थान बनाता है। तब X [[वियोज्य स्थान]] के रूप में से एक के लिए [[ समरूपी | समरूपी]] है
 # ''''R'''<nowiki/>',
 # ''''Z'''<nowiki/>',
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 (यह परिणाम महरम के प्रमेय की याद दिलाता है।)
-बोरेल रिक्त स्थान के रूप में माना जाता है, वास्तविक रेखा '<nowiki/>'''R'''<nowiki/>', एक गणनीय सेट के साथ '<nowiki/>'''R'''<nowiki/>' का संघ, और ''''R'''<nowiki/>'<sup>n</sup> आइसोमोर्फिक हैं।
+बोरेल रिक्त स्थान के रूप में माना जाता है, वास्तविक रेखा '<nowiki/>'''R'''<nowiki/>', एक गणनीय समुच्चय के साथ ''''R'''<nowiki/>' का संघ, और '''R'''<sup>n</sup> समरूप हैं।
-एक [[मानक बोरेल स्थान]] एक पोलिश स्थान से जुड़ा बोरेल स्थान है। एक मानक बोरेल स्थान को इसकी प्रमुखता द्वारा आइसोमोर्फिज्म तक चित्रित किया जाता है,<ref>{{citation | last=Srivastava| first=S.M. | title=A Course on Borel Sets |  year=1991 | publisher=[[Springer Verlag]] | isbn=978-0-387-98412-4}}</ref> और किसी भी अगणित मानक बोरेल स्थान में सातत्य की प्रमुखता होती है।
+एक [[मानक बोरेल स्थान]] एक पोलिश स्थान से जुड़ा बोरेल स्थान है। एक मानक बोरेल स्थान को इसकी प्रमुखता द्वारा समाकृतिकता तक चित्रित किया जाता है,<ref>{{citation | last=Srivastava| first=S.M. | title=A Course on Borel Sets |  year=1991 | publisher=[[Springer Verlag]] | isbn=978-0-387-98412-4}}</ref> और किसी भी अगणित मानक बोरेल स्थान में सातत्य की प्रमुखता होती है।
-पोलिश स्थानों के सबसेट के लिए, बोरेल सेट को उन सेटों के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो पोलिश रिक्त स्थान पर परिभाषित निरंतर इंजेक्शन मानचित्रों की श्रेणी हैं। हालाँकि, ध्यान दें कि निरंतर गैर-इंजेक्शन मानचित्र की सीमा बोरेल होने में विफल हो सकती है। [[विश्लेषणात्मक सेट]] देखें।
+पोलिश स्थानों के सबसमुच्चय के लिए, बोरेल समुच्चय को उन समुच्चयों के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो पोलिश रिक्त स्थान पर परिभाषित निरंतर इंजेक्शन मानचित्रों की श्रेणी हैं। हालाँकि, ध्यान दें कि निरंतर गैर-इंजेक्शन मानचित्र की सीमा बोरेल होने में विफल हो सकती है। [[विश्लेषणात्मक सेट|विश्लेषणात्मक समुच्चय]] देखें।
 एक मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक प्रायिकता माप इसे एक मानक प्रायिकता स्थान में बदल देता है।
-== गैर-बोरेल सेट ==
+== गैर-बोरेल समुच्चय ==
 {{anchor|counterexample}}
-वास्तविक के एक उपसमुच्चय का एक उदाहरण जो गैर-बोरेल है, [[निकोलाई लुज़िन]] के कारण,<ref>{{Citation | language=fr | last=Lusin | first=Nicolas | year=1927 | title=Sur les ensembles analytiques | journal=Fundamenta Mathematicae | volume=10 |url=https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/fundamenta-mathematicae/all/25/0/93222/sur-les-ensembles-analytiques-nuls|pages=Sect. 62, pages 76–78| doi=10.4064/fm-10-1-1-95 | doi-access=free }}</ref> नीचे वर्णित है। इसके विपरीत, एक [[गैर-मापने योग्य सेट]] का उदाहरण प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, हालांकि इसका अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है।
+वास्तविक के एक उपसमुच्चय का एक उदाहरण जो गैर-बोरेल है, [[निकोलाई लुज़िन]] के कारण,<ref>{{Citation | language=fr | last=Lusin | first=Nicolas | year=1927 | title=Sur les ensembles analytiques | journal=Fundamenta Mathematicae | volume=10 |url=https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/fundamenta-mathematicae/all/25/0/93222/sur-les-ensembles-analytiques-nuls|pages=Sect. 62, pages 76–78| doi=10.4064/fm-10-1-1-95 | doi-access=free }}</ref> नीचे वर्णित है। इसके विपरीत, एक [[गैर-मापने योग्य सेट|गैर-मापने योग्य समुच्चय]] का उदाहरण प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, हालांकि इसका अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है।
 प्रत्येक [[अपरिमेय संख्या]] का एक अनंत [[निरंतर अंश]] द्वारा एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है
 :<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}} </math>
-कहाँ <math>a_0</math> कुछ [[पूर्णांक]] और अन्य सभी संख्याएँ हैं <math>a_k</math> सकारात्मक पूर्णांक हैं। होने देना <math>A</math> अनुक्रमों के संगत सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय हो <math>(a_0,a_1,\dots)</math> निम्नलिखित संपत्ति के साथ: एक अनंत अनुक्रम उपस्थित  है <math>(a_{k_0},a_{k_1},\dots)</math> जैसे कि प्रत्येक तत्व अगले तत्व का वि[[भाजक]] है। यह सेट <math>A</math> बोरेल नहीं है। वास्तव में, यह विश्लेषणात्मक समुच्चय है, और विश्लेषणात्मक समुच्चय की श्रेणी में पूर्ण है। अधिक जानकारी के लिए वर्णनात्मक सेट सिद्धांत और अलेक्जेंडर एस केक्रिस द्वारा पुस्तक देखें, विशेष रूप से पृष्ठ 209 पर व्यायाम (27.2), पृष्ठ 169 पर परिभाषा (22.9), और पृष्ठ 14 पर व्यायाम (3.4) (ii)।
+कहाँ <math>a_0</math> कुछ [[पूर्णांक]] और अन्य सभी संख्याएँ हैं <math>a_k</math> सकारात्मक पूर्णांक हैं। होने देना <math>A</math> अनुक्रमों के संगत सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय हो <math>(a_0,a_1,\dots)</math> निम्नलिखित संपत्ति के साथ: एक अनंत अनुक्रम उपस्थित  है <math>(a_{k_0},a_{k_1},\dots)</math> जैसे कि प्रत्येक तत्व अगले तत्व का वि[[भाजक]] है। यह समुच्चय <math>A</math> बोरेल नहीं है। वास्तव में, यह विश्लेषणात्मक समुच्चय है, और विश्लेषणात्मक समुच्चय की श्रेणी में पूर्ण है। अधिक जानकारी के लिए वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत और अलेक्जेंडर एस केक्रिस द्वारा पुस्तक देखें, विशेष रूप से पृष्ठ 209 पर व्यायाम (27.2), पृष्ठ 169 पर परिभाषा (22.9), और पृष्ठ 14 पर व्यायाम (3.4) (ii)।
-यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि जब <math>A</math> ए का निर्माण ZF में किया जा सकता है, यह अकेले ZF में गैर-बोरेल साबित नहीं हो सकता। वास्तव में, यह ZF के अनुरूप है <math>\mathbb{R}</math> गणनीय सेटों का एक गणनीय संघ है,<ref>{{cite book |last=Jech |first=Thomas |author-link=Thomas Jech |date=2008 |title=पसंद का स्वयंसिद्ध| pages=142| publisher=Courier Corporation.}}</ref> ताकि कोई भी उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}</math> बोरेल सेट है।
+यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि जब <math>A</math> ए का निर्माण ZF में किया जा सकता है, यह अकेले ZF में गैर-बोरेल साबित नहीं हो सकता। वास्तव में, यह ZF के अनुरूप है <math>\mathbb{R}</math> गणनीय समुच्चयों का एक गणनीय संघ है,<ref>{{cite book |last=Jech |first=Thomas |author-link=Thomas Jech |date=2008 |title=पसंद का स्वयंसिद्ध| pages=142| publisher=Courier Corporation.}}</ref> ताकि कोई भी उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}</math> बोरेल समुच्चय है।
-एक अन्य गैर-बोरेल सेट एक उलटी छवि है <math>f^{-1}[0]</math> समता फ़ंक्शन का # अनंत समता फ़ंक्शन <math>f\colon \{0, 1\}^{\omega} \to \{0, 1\}</math>. हालाँकि, यह अस्तित्व का प्रमाण है (पसंद के स्वयंसिद्ध के माध्यम से), स्पष्ट उदाहरण नहीं।
+एक अन्य गैर-बोरेल समुच्चय एक उलटी छवि है <math>f^{-1}[0]</math> समता फ़ंक्शन का # अनंत समता फ़ंक्शन <math>f\colon \{0, 1\}^{\omega} \to \{0, 1\}</math>. हालाँकि, यह अस्तित्व का प्रमाण है (पसंद के स्वयंसिद्ध के माध्यम से), स्पष्ट उदाहरण नहीं।
 == वैकल्पिक गैर-समतुल्य परिभाषाएँ ==
-[[पॉल हेल्मोस]] के अनुसार,<ref>{{harv|Halmos|1950|loc=page 219}}</ref> [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस के एक उपसमुच्चय को बोरेल सेट कहा जाता है यदि यह सबसे छोटे सिग्मा-रिंग | σ-रिंग से संबंधित होता है जिसमें सभी कॉम्पैक्ट सेट होते हैं।
+[[पॉल हेल्मोस]] के अनुसार,<ref>{{harv|Halmos|1950|loc=page 219}}</ref> [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्थान के एक उपसमुच्चय को बोरेल समुच्चय कहा जाता है यदि यह सबसे छोटे सिग्मा-रिंग | σ-रिंग से संबंधित होता है जिसमें सभी कॉम्पैक्ट समुच्चय होते हैं।
-नॉरबर्ग और वर्वाट<ref>Tommy Norberg and Wim Vervaat, Capacities on non-Hausdorff spaces, in: ''Probability and Lattices'', in: CWI Tract, vol. 110, Math. Centrum Centrum Wisk. Inform., Amsterdam, 1997, pp. 133-150</ref> टोपोलॉजिकल स्पेस के बोरेल बीजगणित को फिर से परिभाषित करें <math>X</math> के रूप में <math>\sigma</math>-बीजगणित इसके खुले उपसमुच्चयों और इसके कॉम्पैक्ट [[संतृप्त सेट]]ों द्वारा उत्पन्न होता है। यह परिभाषा उस मामले में अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त है जहां <math>X</math> हॉसडॉर्फ नहीं है। यह सामान्य परिभाषा के साथ मेल खाता है यदि <math>X</math> [[दूसरा गणनीय]] है या यदि प्रत्येक कॉम्पैक्ट संतृप्त सबसेट बंद है (जो कि विशेष रूप से घटना  है <math>X</math> हॉसडॉर्फ है)।
+नॉरबर्ग और वर्वाट<ref>Tommy Norberg and Wim Vervaat, Capacities on non-Hausdorff spaces, in: ''Probability and Lattices'', in: CWI Tract, vol. 110, Math. Centrum Centrum Wisk. Inform., Amsterdam, 1997, pp. 133-150</ref> टोपोलॉजिकल स्थान के बोरेल बीजगणित को फिर से परिभाषित करें <math>X</math> के रूप में <math>\sigma</math>-बीजगणित इसके खुले उपसमुच्चयों और इसके कॉम्पैक्ट [[संतृप्त सेट|संतृप्त समुच्चय]]ों द्वारा उत्पन्न होता है। यह परिभाषा उस घटनामें अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त है जहां <math>X</math> हॉसडॉर्फ नहीं है। यह सामान्य परिभाषा के साथ मेल खाता है यदि <math>X</math> [[दूसरा गणनीय]] है या यदि प्रत्येक कॉम्पैक्ट संतृप्त सबसमुच्चय बंद है (जो कि विशेष रूप से घटना  है <math>X</math> हॉसडॉर्फ है)।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 105: / Line 106: @@
 |year=1950}}  See especially Sect. 51 "Borel sets and Baire sets".
 * [[Halsey Royden|हैल्सी रॉयडेन]], वास्तविक विश्लेषण, अप्रेंटिस हॉल, 1988
-* [[Alexander S. Kechris|अलेक्जेंडर एस केक्रिस]], शास्त्रीय वर्णनात्मक सेट थ्योरी, स्प्रिंगर-वर्लाग, 1995 (गणित में स्नातक ग्रंथ।, खंड 156)
+* [[Alexander S. Kechris|अलेक्जेंडर एस केक्रिस]], शास्त्रीय वर्णनात्मक समुच्चय थ्योरी, स्प्रिंगर-वर्लाग, 1995 (गणित में स्नातक ग्रंथ।, खंड 156)
 ==बाहरी संबंध==
 * {{springer|title=बोरेल सेट|id=पी/बी017120}}
-* [https://web.archive.org/web/20130923121802/http://mws.cs.ru.nl/mwiki/prob_1.html#K12 Formal definition] में बोरेल सेट की संख्या [[Mizar system|मिज़ार सिस्टम]], और  पर संग्रहीत प्रमेयों की सूची 2020-06-01 जो इसके बारे में औपचारिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं
+* [https://web.archive.org/web/20130923121802/http://mws.cs.ru.nl/mwiki/prob_1.html#K12 Formal definition] में बोरेल समुच्चय की संख्या [[Mizar system|मिज़ार सिस्टम]], और  पर समुच्चयीत प्रमेयों की सूची 2020-06-01 जो इसके बारे में औपचारिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं
 * {{MathWorld |title=बोरेल सेट |id=बोरेलसेट}}

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

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बोरेल बीजगणित उत्पन्न करना

उदाहरण

मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय

गैर-बोरेल समुच्चय

वैकल्पिक गैर-समतुल्य परिभाषाएँ

यह भी देखें

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उदाहरण

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गैर-बोरेल समुच्चय

वैकल्पिक गैर-समतुल्य परिभाषाएँ

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